Оптимизация линейных гибридных систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

УДК 517.977

ОПТИМИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Канд. физ.-мат. наук ГАБАСОВА О. Р.

Белорусский национальный технический университет

Постановка задачи. Функцию //), ( е Т = = [г*, г*], будем называть дискретной в прямом (обратном) времени с периодом квантования ь = (г -й)/ц N - натуральное число), если / (?) = / (т), ге[т, т + Ь[, те {?*, ?* + И,..., { - И} х х (/(?) = /(т), ?е]т-И, т], те {?* + И,...,?*}).

Пусть Т - промежуток управления; Ии = Иу /М;

И = (?* - о/N - периоды квантования времени; М, N - натуральные числа;

Ти = {/*,г* + Аи,...,г -Ьи};

Т = {/*,г* + Ь^...^ -Ь1};

нх е ктХПх, нуеКПХПу,

гапкН Ну) = т< п = пх + Пу

g е К1; и*, и е Ки, V*, V* е №'; сх е Кх, Суе&; х0 е Кх, у0 е Ку; А) е КхХПх,

Аху (?) е Я"х ХПу, Бх0) е КхХ\

? е Т, - кусочно-непрерывные функции; Ау (?) е

е Я"уХПу; Б() е КуХГг, V),у); ? е Т, - дискретные функции в прямом времени с периодом квантования И'; и(?),? е Т, - дискретная функция в прямом времени с периодом квантования Дт

Рассмотрим линейную задачу оптимизации гибридной системы [1]:

3(и,') = о'хх({) + о'уу({) ^ тах; (1)

X = AX AJ,t)y+ Btu, te T; yt+Д) =

(2)

= Atyt + hvBy(t)\{t), te T x(t*) = x0, y(t*) = y0;

Hxx(t*) + Hyy(t*) = g; (3)

u(t eU= {ue Ru : u* < u < u},

(4)

VJ) e V= {ve RV:v* < v< v}, te T

Здесь x = x(t) e R"x - состояние непрерывной части системы в момент времени t; У = y(t) - состояние дискретной части системы.

Под траекторией системы (2), соответствующей управляющим воздействиям и (•) = = (u(t), t e T),v(-) = (v(t), t e T), будем понимать пару из непрерывной функции Xt, te T, и дискретной функции yt), te T, которая удовлетворяет (2).

Пару (и(), v(-)) назовем программой, если на ней выполняются (4) и соответствующая ей траектория системы (2) удовлетворяет ограничениям (3). Программа (и0(-), v0(-)) называется оптимальной, если на ней критерий качества (1) достигает максимального значения. Субопти-

мальную (s-оптимальную) программу (иs (•) vs (•) ) определим неравенством J(и0(-) v°(0 )-

)-J(иs(•) OKs.

Формула Коши. Для решения задачи построим формулу Коши, выражающую зависимость (x(t), y(t)) от начального состояния (3) и управляющих воздействий (4).

Пусть г е Т, T(г) = [г*, г], (u(5) )

'(5))5 е Т(г), - управляющие воздействия, (х^), у^)), s е Т(г), - траектория системы (2) с начальным условием (3). Согласно (2) имеет место тождество:

xS) f ASxS) + AySyS) + Bx(s)u(s) . j(s-+ Д)) [ AysyS) + hfiJS) T<5) sе Щ).

Умножим обе части тождества на пока не определенную матричную функцию

F(t, S) =

Fx(t, S) е^П FyttS е&

Fyjt, S) е Ryxnx, Fy(t, S) е&

sе Щ,

x^Jy

x ny

(5)

считая ее зависимость от 5 такой, что законны все операции с ней. Имеем:

X, 5)"5) + гуг, $)уэ+Д) =

= РД 5)[Л,(5)х(5) + ЛуЗ)уЗ) + БХЗТЗ] +

+ Ру(г, ^)[ЛК(5) _^у^)+ДБу$\{$];

(6)

Рух (г, 5)х(5) + Ру (г, 5)У(5 + ИV ) = Рух (г, 5) Х Х [Ах (5)х(5) + Аху (5)у(5) + Вх ^)и (5)] +

+ Ру (?, 5)[Ау (5)у (5) + И'Ву (5)'(5)], 5 е Т(г).

Проинтегрируем обе части тождеств (6):

г х,5)х) ^+г гг д)^=

(

= | гх(г, 5)[Лу(5)х(5) + луа)уа) + бх(5)Ф)№+

г*

г

+ г гу г, 5)[Л(5) у$+ДБу($ (7)

г*

1 Рук г, 5) ж+г гу г, $уз+Ц)&!=

г* г*

г

= г уь 5)[Лу(5')х(5) + Лу(5)у5) +Бх(з)ф)№+

+

I

j Fyt, S)[AyS) yS) + ДВ,(5)і<5)] ds. (S)

Преобразуем (7), (8), считая Fx (t, 5),

Fyx (t, 5), 5 e T(t), дифференцируемыми по 5, Fy (t, 5), Fxy (t, 5), 5 e T(t) , дискретными в обратном времени с периодом hv :

J F(t, **&*= Ft t)Xt) - Ft t)Xt) -

-\FS-Xd

t t+hv

J Fyt sys+h)ds = J Fyt, s - hv)yS)ds =

t* t* + hv

t t+hv

= J Fy(t,s- h)ys)ds + J Fy(t,s- hv)y{s)ds =

t

t

J Fy(t, s- h)ys)ds+ Fyt, tyth

t+д

t+hv

j Fxt s) dS ds =

= F

I

(t, t)x(t) - Fyx(t, t*)x(t*) - j

dFw (t, s)

y -x(s)ds;

ds

(9)

t + hv

t* +h.

j Fy (t, s)y(s + hv )ds = j Fy (t, s - hv )y(s)ds =

t * t * + hy

t t+hy

j Fy (t, s - hy)y(s)ds + j Fy (t, s - hv )y(s)ds ■■

t

t

j Fyt, s- hT)ys)ds+ Fy(t, i)y{t)hv.

Подставим (9) в (7), (8) и запишем результат в виде:

F(, t)xt) = F£t, t)xt) - Fyt, t)yt)h +

+

FA+f( * a)

^(5)ds+

t

j [Fx(t, s)Ays) - Fy(t, s- Д) + Fyt, s)AyS)y.S)ds-

t +hv

+

t+hv

+

Г +

t*+Д

+

j Fx(t,s)Ay(s)ys)ds-

t

t

j Fyt, s)Ay(s)y{s)ds + j Fx(t, S)Bx(s)u(s)ds+

t t*

+ Д ЕFyt,s+hv)By(s)\{s); (lo)

seT(t)

F(t, ttyt) = - Д Fy(t, txt) + Д Fyt t)xt) +

+ -T-

x<s)ds+

+

Д j [Fy,(t,S)AXy(S) - Fy(t,S- Д +

v t+Д

1 t* + hv

Fy(t, SA(SySds+д j Fyt SAySySds+

t

t +hv t

д j Fyt, SAysySds+д j Fyt S)Bx(s)u{S)ds+

+д ЕFyt,s+A,)B;,(5)t<S). (11)

sеW)

Преобразуем некоторые выражения из (10) и (1l):

t

j [Ft sSAySS - Fy(t, s- Д) + Fyt, sSASSySds =

t + hv

sе TJJt\t

s+hv

j Fit, т)Ау(т)Ут)ії

s+hv

s+h

j Fx,it, т - h)yz)di+ j Fyit, т)Ут)А

= Е

seT^t/t

s+h

j Fx(t, ^Ayfi&yS - Fyt, SyS)h+

+

Fy(t,s+ h)AySySh

= Е

seTy (t)\t*

s + hy

jFx(t, i)Axy (т^т - Fxy (t,s)hy +

+ Fyt, s+Д) AySh

ys =

= Е

sе Tt-h)

Д \ш т)\(т)(Ъ- Fyt,s- Д) +

д

s-hv

+ Fyt, SAys-h)yS);

Д j [Fyt, S)Ay(sS + Fyt, S)AyS) - Fyt, s- Д)] x

t+Д

j Fy(t, ^AJr)x

x ys)ds = h Е

SS Tft)

s+hv

x yx)(h + j Fyt, x)Ay(x)}{x)dx

+hv

j Fyt, т- Д)УЇ)ії

І

д

s+hv

Е j т)/Л(т)у

x yS)ds + Fyt, s+h)A(s)ys)h- Fyt, sysh

s+h

; +

Е Д jFx(t,'bAJd*-ys =

se TTt)\t

+ Fyt, s+ h)A(S - Fyt, S)

Е

se Tt-h)

Д j Fyt, т)\(т)d - Fyt, s- Д) +

+ Fyt, S Ays- Д)

ys).

Пусть функция (5) удовлетворяет соотношениям:

FS- = -Fts)A(s\se Tfy;Fy(t,s-Д) =

= Fyt, S Ays- Д) +

+ Д jF(,se Tr(s- Д);Fy(t, s-Д) = (12)

vs-hv

= Fyt,s)Ays-h), se Tt- Д),

FyX(t,s) = o, se T(t).

Тогда

Fx (t, t) = E, Fxy (t, t) = 0, Fy (t, t) = E. ( 13)

Подставив (12), (13) в (10), (11), получим искомую формулу Коши

+

xj) = Fx(t, і)Хі) +

t+hr

Fyt і + h)Ayt)h + j Fx(t, s)Ay(s)ds

yj) +

+

t

j Fx(t, S)Bx(s)u(S)ds

+

+ h ZFy(t,s+ hv)By(s)\is); (14)

seT^t)

yt = Fy(t, t* + hv)Ayt*)ytt) +

+ hy Z Fy(t,s+h)By(s)vs), t= t* + h,..., t.

seTlt)

Для полного обоснования формулы осталось показать, что существует единственная функция (5), компоненты которой принадлежат упомянутым классам функций и удовлетворяют (12), (13). Это легко сделать, решая справа налево уравнения (12) с условиями (13) последовательно на интервалах длины hv.

Вычисление оптимальной программы методом математического программирования. Традиционный метод математического программирования [2] решения задачи (1)-(4) сводится к замене производной разностным отношением

X?) * (Xt+ h) - X,t))lhu ,teTu.

После этого задача (1)-(4) принимает вид: c'xx(t*) + c'yy(t*) ^ max;

Xt+ h) - Xt - hAtyt) + Aytyt +

+ Byt)iit)) = 0, te Tu;

yt+ h) - Aytyt - hvBy(i)v,t) = 0, te T x(t*) = xo, y(t*) = yo; (15)

Hxx(t •) + Hyy(t *) = g;

u* < ut) < u, teTu; v* < v < v, teTv

Переменными задачи (15) являются и(^), x(t), t e Tu; v(t),y(t),t e Tv. Их общее количество равно ruMN+ nxNM + rJN + n^N. Количество основных ограничений задачи составляет

пхМЫ + п^Ы + т. При малых И' задача (15) представляет собой большую задачу линейного программирования [3] с матрицей условий специальной структуры, содержащей большой процент нулевых элементов. Методов линейного программирования, учитывающих указанную специфику задачи (15), пока не создано. Поэтому можно использовать методы, учитывающие только разреженность матрицы условий.

Опишем модифицированный метод математического программирования решения задачи (1)-(4), позволяющий существенным образом сократить размеры эквивалентной задачи линейного программирования.

Перепишем критерий качества задачи (1)-(4), используя формулу Коши (14):

Схг + Суу(г) = С^уг, /*)х(/*) -

+

+

t+hr

Fy(t, І + Д)ЛУі)Д + j Fyt, s)Ay(s)ds

yt) +

- jFyt, s)Bys)u{s)ds+д Е s+

І seTitІ)

+ dj>Fyti, t+д^лу^УІ +

+д Е У',s+Д}) rsS)=

seTTt)

(16)

ґ т+Д \

Е jcxFyi,s)Bys)ds u(%) + ЕCxFУiA+vrx

seTj)

x By(s) + CyFyi, s + hv)By(s))r,s) + dxFyt, t)xyt) + + diFyit + Д)Ауі)д+

+

t

j Fyt, s)Axys)dSyti)\+ CyFyt, І + Д)А(І)УІ).

Обозначим:

т+Д,

d(т) = jc'Ft,s)Bx(s)ds, те Tu;

т

dS = dxFy(t*,s+Д)Ву(5)Д +

+ dyFy(t,s+h)By(s)h,se Tyt*)

(17)

и отбросим в (16) слагаемые, не зависящие от и (т), т e Tu ; v(s), 5 e Tv, так как они не влияют на вид оптимальной программы. Тогда критерий качества (1) примет следующий вид:

Z с'и (т)и (т) + Z c'v (5')v(s') ^ max.

xeTи 5eTv

Аналогичным образом преобразуем терминальное ограничение задачи (1)-(4):

f T + hu '

ИЖ*) + Hyyt) = Z J(HM,s)Bx(s)ds u(T) +

т у

= Y,HxFy(t,s+ hh X

seT(t)

X By(s) + HyFy({, s+hv)By(s)h}j v) +

+ HxFx(t, t*)?(t*) + H^yt, t* + h)Ay(t)hv+

t

J Fxt, ssAy(ssdsy{t*)\+ HyFy(t, t* + hv)Ay(t*)}{t*) = g.

+

Обозначим:

т+ h,,

D

+

(т) = г НхРх (г\ Я)Вх (s)ds, те Ти ; т Б£5) = НРу({\ з+ДДБ(5) + + Нуруг, я+Д)Б(5)Д

g=g- Нрхг, ях*)+

и.+Д

нх\Гу(г, г* + Д)А(и)Д + г рУ(и, ЯЛуЯ х

и*

х с] уи))+НуГуи, г*+Д)уи)). (18)

Тогда терминальное ограничение (4) примет вид:

X °и (т)и(т) + X А (э)'^) = ~ .

хеТи 5еТ'

Таким образом, задача оптимального управления (1)-(4) эквивалентна задаче линейного программирования:

X с'и (т)и (т) + Х С ^Мя) ^ тах;

хеТи 5еТ'

X °и (т)и(т) +Х (5)'(5) = ~; (19)

теТи 5еТ'

и* < и (г) < и*, г е Ти; V* < '(г) < V*, г е Ту.

Задача (19) имеет т основных ограничений и гиМN + переменных и (т), те Ти; v(s) 5 е Т, т. е. при малых Ии,Ич она является «по-лубольшой». Матрица условий задачи (19) плотно заполнена, но имеет особенность, состоящую в том, что элементы си (т) с у, (т)

те Ти; Ви (5), е Т, связаны специальным

образом (17), (18) с элементами исходной задачи оптимального управления (1)-(4), т. е. задача (19) относится к специальным задачам линейного программирования.

В дальнейшем будут опубликованы быстрые алгоритмы решения задачи (19), учитывающие динамическую природу ее элементов.

При любом е> 0 в задаче (1)-(4), имеющей решение, существует бесконечное число е-оптимальных программ. Поэтому на множестве е-оптимальных программ можно ввести любой дополнительный критерий качества. Например, для построения е-оптимальной программы с минимальным полным импульсом скалярного управляющего воздействия и(г) ,| и (г) |< 1, г е Т, достаточно решить задачу:

г*

1 (их (г) + и2 (г)^г ^ тщ X °и (т)(и (т) - и2 (т)) +Х А, (йМя) = ~;

хеТи 5еТ

X Си (т)Ц (т) + и (т)) + X<(яМя) >а0 -е;

xeTtl

seTv

0 < ut < 1, 0 < u2(t) < \teTu;

v < vt < v, te Ta0 = J(u0, v0)

и положить иs(t) = n°(t) -n^(t),t e T.

Область практического применения:

управление движением автомобиля, энергетические системы, медицина.

В Ы В О Д

Предложен метод вычисления оптимальной программы в линейной задаче оптимального управления гибридной системой.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Borelli, F. Constrained Optimal Control of Linear and Hybrid Systems / F. Borelli // Lecture Notes in Control and Information Sciences. - Springer, 2003. - Vol. 290. - 293 p.

2. Табак, Д. Оптимальное управление и математическое программирование / Д. Табак, Б. Куо. - М.: Наука, 1975. - 279 с.

3. Лэсдон, Л. С. Оптимизация больших систем / Л. С. Лэсдон. - М.: Наука,1975. - 431 с.

Поступила 19.09.2006

В отличие от настоящей задача (15) не эквивалентна задаче (1)-(4), а является лишь ее аппроксимацией.