CC BY
41
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2006, том 49, №10-12_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.927
Р.Мустафокулов ПРИНЦИП МАКСИМУМА И МЕТОД РЕДУКЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НА ГРАФЕ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Илоловым 04.12.2006 г.)
о з —
1 . Пусть Г - связный геометрический граф в R , состоящий из ребер у. (і — 1, п),
множества /(Г) внутренних (принадлежащих нескольким ребрам) и дГ граничных (принадлежащих только одному ребру) вершин. Объединение внутренних точек ребер у. обозначим через і?(Г), а множество номеров ребер, содержащих вершину а, обозначим через 1(а). Относительно терминологии и обозначений см. [1].
Через С (Г) обозначим множество непрерывных на Г функций у(х) : Г —» R. Формальное произведение С(/ = \,п) обозначим через C(R(T)). Таким образом, любая функция у(х) из С(і?(Г)) равномерно непрерывна внутри каждого ребра и поэтому имеет конечные пределы в его концах. Если обозначить через y (х) сужение функции y(x) : Г —^ R на ребре у., то связь между С(Г) и C.(R(V)) становится очевидной:
(’(Г) = $х) є C(R(T)) : Va є J(Г) У/, /є/(а) >’ (а) = у}{d) . Соответственно определяются (К(Г)) и С(и)(Г).
Под дифференциальным уравнением на графе Г понимается (см. [1]) совокупность дифференциальных уравнений на ребрах yt вкупе с условиями согласования в вершинах /(Г).
В настоящей работе мы будем рассматривать уравнение четвёртого порядка на ребрах
&*)/ СО /О) О є R(T)) (1)
в совокупности с условиями согласования следующих типов в вершинах графа:
А (а)У, (а) ~ ôt (а)у] (а + 0) = 0, і є І (а), аєУ (Г), (2)
Y,D3y, (а + °) + РІа)у(а) = F(a\ а є^(Г), (3)
ієї(а)
где К(Г) = У(Г)ШГ, а через D3y обозначена третья квазипроизводная (р(х)у ) -q(x)y и
под у і (а + 0) понимается значение производной у (х) в вершине а вдоль ребра у і по на-
правлению “от вершины”.
Таким образом, под дифференциальным уравнением четвертого порядка на графе Г мы понимаем совокупность (1)-(3).
Для уравнения четвертого порядка на графе можно изучить краевые задачи, задавая дополнительно к (1)-(3) условия типа Штурма в каждой граничной вершине Ь^дГ :
а(Ъ)Оъу(Ъ - 0) - р(Ъ)у(Ъ) = ^(¿), (4)
где у (Ъ — 0) означает значение производной у (х) в граничной вершине ЬедГ по направлению “к вершине”.
Частный случай условия (4), получающийся при а{Ъ) - 0, - это условие Дирихле: УФ) = <рф).
Отметим, что условия (2) заданы во всех вершинах графа, условия (3) - во внутренних вершинах, а условия (4) - в граничных вершинах.
В дальнейшем под краевой задачей на Г мы понимаем систему (1)-(3) вместе с условиями Дирихле
у{Ъ) = <рф), Ъ&дТ (5)
с заданной функцией ср \ ЗГ К
Совокупность (1)-(3) и (5) будем обозначать
^У = /, у \8Г=(Р, (6)
понимая под / совокупность правых частей уравнения (1) и условий (3).
Уравнения на графах моделируют целый ряд физических явлений (см. напр. [2,3]). В частности, уравнение (1) описывает колебания механических систем, составленных из упругих стержней, а условия согласования (2) и (3) характерны для соединения этих стержней; при этом условие (2) соответствует упругому защемлению, а условие (3) - упругой опоре в вершине а. Аналогично, в зависимости от способа закрепления системы стержней на границе графа, мы получаем соответствующие краевые условия (2) и (4).
Ниже при исследовании задачи (6) мы будем предполагать выполнения следующих условий:
1) Р(-)еС2(Я(Г)), д(-)еС\Я(Г)Х /ОбСЩГ));
2) Д (а) > 0, (а) > 0, причем Д (а) + 31 (а) > 0
для всех аеК(а) и /е/(а);
3) р(-) > 0, д(-)>0 на Д(Г), я также р(а)>0
для всех скеЛТ).
Условия 1) определяются физическим смыслом задачи, условия 2) есть предположение о невырожденности самих условий (2), а условия 3) означают регулярность дифференциального выражения L как на ребрах, так и в вершинах графа Г .
2°. Путем интерпретации уравнения на графе как векторного дифференциального уравнения устанавливается
Лемма 1 [4]. Неоднородная краевая задача (6) имеет единственное решение для любых правых частей тогда и только тогда, когда соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.
Напомним, что задача (6) называется невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.
Нетрудно видеть, что лемма 1 не обосновывает однозначную разрешимость задачи, а сводит ее к невырожденности. Обоснование невырожденности будем производить на основе принципа максимума (см. [4]).
Лемма 2. Пусть в уравнении (1) коэффициент с/(х) фО на R(Г) или, если с/(х) = 0 на і?(Г), то в условии (3) коэффициенты qt(a)> 0 для всех a<Ej(T)u ієІ(а).
Тогда решение у(х) Ф const однородного уравнения Ly = 0 является монотонной функцией на каждом ребре yi и, если в условии (3) коэффициент р(а) = 0 для всех с/є./(Г), то у(х) не имеет экстремума во внутренних вершинах графа Г; если же р(а) ф0 во внутренней вершине ає.1(Г), то у(х) не имеет положительного максимума и отрицательного минимума в соответствующей вершине а є/(Г).
Лемма 3. Пусть в уравнении (1) коэффициент q(x) = 0 на /¿(Г) и в условии (3) коэффициенты £/( (а) = 0 для всех ає.І(Г) и і є 1(a).
Тогда решение у(х)Ф const однородного уравнения Ly - 0 является монотонной функцией на каждом ребре yt и, если в условии (3) коэффициент р(а) Ф 0 для вершины а є /(Г), то у(х) не имеет экстремума в соответствующей вершине а є/(Г).
Будем говорить, что в уравнении Ly = f дифференциальное выражение L обладает свойством Г - регулярности, если выполнено одно из следующих альтернативных условий:
- в уравнении (1) коэффициент q(x) ф0 на R(T) ;
- если q(x) = 0 на і?(Г), то в условии (3) коэффициенты дг (а) ф 0 для всех аеУ(Г) и і є 1(a);
- если же q(x) = 0 на .К(Г) и qi(a) = 0 для всех аєУ(Г) и /є/(а), то в условии (3) коэффициент р(а)> 0 для всех ає,/(Г).
Из лемм 2 и 3 следует принцип максимума для однородного уравнения Ly = 0 на графе Г.
Теорема 1. Пусть дифференциальное выражение L обладает свойством Г- регулярности и дТ
Тогда решение у(х) Ф const однородного уравнения Ly=0 достигает наибольшего и наименьшего значения лишь на о Г .
С помощью теоремы 1 получим условия невырожденности краевой задачи (6) на графе Г.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 краевая задача (6) на графе Г является невырожденной.
Действительно, в силу теоремы 1 для решения y(x) соответствующей однородной краевой задачи имеем
max | у(х) |= max | у(х) |- 0,
хеГ хеЭГ
т.е. у(х) = 0.
3°. В настоящем пункте излагается метод, позволяющий свести изучение задачи на графе с правой частью, отличной от нуля, только на части графа к задаче на более узком графе или даже вообще на отрезке со специальными краевыми условиями.
Пусть на графе Г задана Г-регулярная задача (6), причем F(a)=0 при всех ає./(Г), (p{b) = 0 для всех ЬєдГ, a f (х) = 0 вне некоторого линейного пути Т, состоящего из цепочки ребер yi=(cti_l,ai) (і = 1,2,...,к), где a0=bl,ak=bk принадлежат множеству 5Г, а а1,а2,...,ак_1 - множеству /(Г).
Множество Г \ Т распадается, вообще говоря, на набор компонент связности Г.. Рассмотрим сужение на Г. дифференциального уравнения Ly — f : на ребрах yt еГ. заданы однородные уравнения
(Р(х)у'У -(Я(х)у )' = 0 (л'є;/ ), (7)
во всех вершинах подграфа Г. (включая ах,а2,...,ак_х ) заданы условия
А (а)у] (а) - 8t (а)у\ (а + 0) = 0, і є 1(a), аєІг(Г/), (8)
а во внутренних вершинах Г. ещё и условия
^ У і (а + 0) + р(а)у(а) = 0, aeJ(Tj). (9)
iel(a)
Так как для каждого подграфа Г. вершины ал,...,ак , являются граничными и в них выполняется только условие (8), то решение у(х) уравнения (7)-(9), удовлетворяющее условию
У 1аг, = °> (10)
может быть записано в виде
у(х) = у(ах)г1 (х) + у(а2)г2(х) + ... + у(ак_1)г*-1(х), (11)
где гг(х) (г = \,2,...,к— \)- решения уравнения на Г., удовлетворяющие условию (10) и 2г(а5) = д5Г(д5Г - символ Кронекера).
В равенстве (11) считается, что гг (х) = 0 при тех г, для которых Г. не примыкает к вершине а •
Таким образом, уравнение Ьу = / на графе эквивалентно набору из задач типа (7)-(10) на подграфах Г., уравнению на Т и условиям гладкости в вершинах а1,а2,...,ак_1. Условия гладкости (3) в вершине = 1,2,...,А; -1) может быть записано в виде
03[ут(сг, +0)-ут(ах -°)]+ £ + 0) +р(ах)уг(ах) = 0 (12)
ГjЭasp /е/ {а5)
Обозначим <у]Ху)= ^^3У,(ах +0), - 1,2,..,&-1) . Тогда для решения у(х)п& Г.
ге/(о,)
п £Г_/
получим
(у) = У(а 1 ) + У(а2)о>(г2) + ... + У(ак_х)а(г^1).
Подставляя полученное выражение в условия гладкости (12), получим
£>3[У («,+0)-у К-0)]+ ^[сг^)у («!> + <т^(г2)у (а2) +
(13)
+ --- + °Лгк~1)У («*-1)] + /?Ю^ 00 = 0 0 = 1,2,...,£-1).
Здесь также считается, что гг(х) = 0 при тех г, для которых Г не примыкает к вер-
шине аг.
Если обозначить теперь
Р,(«,) = Р(А)+ и Рг(«,) = -Есг^(гГ)’
Г'¡за, Г¡за,
то условия (13) оказываются условиями вида
1)3 I (Ра+0)-у (аа-0)+ра(а,)у (а,)-^рг(а6)у (аг)= 0 (^ = 1,2,..., к -1). (14)
ГФБ
■«Э а,
Вместе с дифференциальными уравнениями (1) на ребрах уі = (агЧ,аг) (і = 1,2и условиями (2) в вершинах а0, агак, условия (14), а также условия
у(а0) = у(ак) = 0
образуют самостоятельную задачу на линейном подграфе Т (см. [5]).
Таким образом, мы приходим к следующему результату.
Теорема 3. Пусть задача (6) является Г - регулярной. Если F(a)=0 при всех ¿/є./(Г), ср{Ь) = 0 для всех ЬєдГ и fix) = 0 вне некоторого линейного подграфа Т, состоящего из цепочки ребра yt — (аі_1,аі) (і - 1,2 где a0 -bx,ak = ¿2 є <ЭГ и ax,...,ak_x є J(r), то зада-
ча (6) на Г эквивалентна следующей задаче на Т:
(р(х)у)" -(q(x)y')' = /(х) (хє уг, і = 1,2,.-,к), ß(a,)y(a,)-S(a1)y1(a1 +0) = 0 (/ = 0,1,2,...,*),
‘ D3 \у(аг + 0) - у(аг - 0)] + рг (аг )у(аг )~YjPj (а> Maj) = 0 O' = l>2>- ^k~ll ^^
Abi) = y(b2 ) = °.
Отметим, что переход к описанной задаче (15) на Т означает для плоской решетки стержней, что при отсутствии нагрузки f (•) на ее части, примыкающей к вершине as, воздействие этой части на деформацию остальной решетки эквивалентно пружине, подставленной в узле сочленения a •
Отметим также, что в условиях теоремы 3, если Т состоит из одного ребра у = (а1,а2),то задача (6) на Г становится эквивалентной задаче на отрезке у = (а1,а2)\
(р(х)у У ~(Ф)у'У =/(хХ
ß(ai)y "(ai) - S(a1)y(a1 + 0) = 0, ß(a2)y' (а2) + S(a2)y'(a2 - 0) = 0,
D3y(aі) + px (ax )y(a1) - p2 (ax)y(a2) = 0, D3у(a2) - p1 (a2 )y(a1) + p2 (a2 )y(a2) = 0.
Такое сведение оказывается очень удобным, например, при анализе функции Грина задачи, у которой правая часть сосредоточена в одной точке.
Таджикский государственный Поступило 04.12.2006 г.
национальный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Покорный Ю.В. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. - М.: Физматлит, 2004, 272 с.
2. Павлов Б.С. Фаддеев М.Д. - ТМФ, 1983, т.55, №2, с.257-269.
3. Nicaise S. - Lecture. Notes in math.V. 1235 -Berlin: Springer, 1987, p. 120-140.
4. Боровских А.В., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. - Докл. РАН, 1995, т. 345, №6,с.730-732.
5. Покорный Ю.В., Мустафокулов. Р. - Диффер. Уравн, 1997, т. 33, №10, с.1358-1365.
Р .Мустафокулов
ПРИНСИПИ МАКСИМУМ ВА МЕТОДИ РЕДУКСИЯ БАРОИ МУОДИЛА ДАР ГРАФ
Дар мак;ола масъалаи канорй барои муодилаи дифференсиалии тартиби чорум дар графи геометрй (тури фазой) омухта шудаааст. Барои чунин муодилах,о принсипи максимум ва дар асоси он шарти хдлшавандагии масъалах,ои канорй муайян карда шу-дааст. Инчунин методе нишон дода шудааст, ки бо ёрии он масъала дар тамоми граф ба к;исми он, ё умуман дар порча оварда мешавад.
R.Mustafokulov
THE MAXIMUM PRINCIPLE AND THE REDUCTION METHOD FOR THE EQUATION ON THE GRAPH
The boundary-value problem for equation of the fourth order in the geometric graph will be considered in this paper. The reduction method and maximum principle will be used for this kind of equations.
