CC BY
78
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №9-10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 927
Р.Мустафокулов, С.К.Солиев
ОБ ОДНОЙ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
Таджикский национальный университет
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиевым 26.06.2014 г.)
В статье рассматривается одна многоточечная краевая задача специального вида для дифференциального уравнения 4-го порядка, найдены условия однозначной разрешимости задачи. Для этой задачи построена в явном виде её функция Грина и определены основные её свойства.
Ключевые слова: многоточечная краевая задача - знакосогласованность коэффициентов - невырожденность - фундаментальное решение - функция Грина - предельная срезка.
Пусть (Ь, Ъ ) - промежуток числовой оси Я1 и А = {аг, а2 ,•••, аи-1} -некоторая упорядоченная совокупность точек из этого интервала. Обозначим = (аг_ 1з а )(г' = 1,2, — , т;а0 = Ъх ,ат = Ъ2) и
Г = Ц" | . Рассмотрим в (Л,, Ь2) следующую краевую задачу: на множестве Г рассматривается дифференциальное уравнение
Ьу = (р (х ) у' ' )' ' -(д (х ) у')' = / (х ), (1)
в точках а е А выполнены условия связи
у(аг -0) = у(аг + 0), у"(аг -0) = у"(аг + 0) = 0, (2)
Ду (а^ + 0) - Ду (а^ - 0) + х (аг) у (аг) = 0, (3) а на границах Ъх ,Ъ2 заданы краевые условия типа Штурма
«0у (Ъ ) + аъВъу (Ь1 + 0) = 0, а1у'(Ъ1 + 0)-а2у (Ъ1) = 0, (4)
Ду (Ъ) - А Ду (Ъ2 - 0) = 0, Д,у (Ъ2 - 0) + Ду" (Ъ2) = 0. (5)
Здесь через Оэу (а ± 0) обозначено значение руу' )' - ду' ^ х) в точке х = а по направлению
,,от а " (соответственно, ,,к а ").
Краевая задача (1) - (5) возникает из реальной физической ситуации. Предположим, что у нас имеется механическая система, состоящая из т шарнирно сочленённых растянутых стержней, рас-
Адрес для корреспонденции: Мустафокулов Рахмонкул, Солиев Сафарбек Курбонхолович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки 17, Таджикский национальный университет. E - mail: rmustaf@list.ru; safarbek@mail.ru
положенных на некоторой прямой (а), концы которых каким-нибудь образом закреплены. Допустим, что шарниры, сочленяющие стержни, подпираются пружинками с коэффициентом жёсткости ^ , ось которых перпендикулярна к (а) . Если к описанной системе приложена некоторая ортогональная к (а) и сравнительно малая нагрузка, которую мы будем считать заданной в виде функции / (х), символизирующей линейную плотность распределения этой нагрузки, то деформация стержней у (х) будет являться (см. [1]) непрерывным решением дифференциального уравнения (1), которое в точках а е А принимает вид (2) (условия непрерывности шарнира) и (3) (условие баланса перерезывающей силы и влияние пружины в шарнире). Здесь р(х) символизирует сопротивление
стержней на изгиб, q (х) - коэффициент растяжения стержней. Краевые условия (4), (5) определяют
вид закрепления концов цепочки стержней и охватывают все реально известные случаи закрепления.
Мы будем рассматривать нестандартную краевую задачу (1)-(5) при выполнении следующих условий для коэффициентов (называемых в дальнейшем условиями знакосогласованности коэффициентов):
р(х)е С2(Г), д(х)е С(Г), /(х)е С(Г); причём т/|р(х)|х е г|> 0, q(х)> 0 приx е Г;
q(а) > 0, х(аг) > 0 при аг е А;
а > о, Д > 0(/ = 0,1,2,3), причём а + а > 0, Д + Д > 0 при I + j = 3.
Определение 1. Краевую задачу (1) - (5) назовём невырожденной, если она однозначно разрешима для любой правой части / (х).
Для получения критерия невырожденности краевой задачи (1) - (5), мы предполагаем свести её к классическому вопросу о критерии невырожденности краевых задач для системы дифференциальных уравнений на отрезке, который является хорошо известным (см. [2]). Такой переход приведёт нас к следующему утверждению.
Теорема 1. Краевая задача (1)-(5) невырождена тогда и только тогда, когда соответствующая однородная задача (/ (х) = 0) имеет только нулевое решение.
Отметим, что теорема 1 сводит вопрос о невырожденности краевых задач к исследованию соответствующих однородных задач.
Имеет место утверждение (см. [3]):
Теорема 2. Пусть для краевой задачи (1) - (5) выполнены условия знакосогласованности коэффициентов, причём ц (х) ^ 0 на Г и а0 + Д > 0. Тогда задача (1)-(5) является невырожденной.
Замечание. Если в условиях теоремы 2 коэффициент д(х) = 0(х е Г), то соответствующая задача является невырожденной при д(а) + ^(а)> 0 (а е А) в условиях связи (3). А если
д (а ) = X (а ) = 0 для всех а е А, то соответствующая задача является невырожденной лишь при
т < 3 и а0 > 0, Д > 0 в граничных условиях (4), соответственно, (5).
Аналогичное утверждение было установлено ранее в [4] для случая общего графа. Ниже, предполагая невырожденной краевую задачу (1) - (5), изучим её функцию Грина. Построим в явном виде эту функцию и определим её важнейшие свойства. Рассмотрим на множестве Г систему уравнений
которая представляет собой набор скалярных дифференциальных уравнений на соответствующих отрезках у множества Г, считая теперь все условия (2) - (5) краевыми. Запишем все эти условия в виде набора равенств
при произвольной нумерации функционалов /г. Можно показать, что число скалярных условий (7)
совпадает с порядком к = 4т системы уравнений (6) на множестве Г, что позволяет считать краевую задачу (6) - (7) замкнутой.
На каждом интервале у множества Г система (6)-(7) представляет собой обычную двухточечную краевую задачу, которая является, по предположению, невырожденной. Поэтому существует (см. [5]) её функция Грина, которую обозначим через Qi (х, 5) (/ = 1,2,..., т) .
Определение 2. Функцию К (х, 5), непрерывную по совокупности переменных на каждом прямоугольнике у = yi х у , назовём фундаментальным решением уравнения Ьу = 0, если для любой непрерывной на Г функции / (•), функция
(6)
(7)
у (х ) = |к (х, 5) / (5)
Г
является решением уравнения (1).
Лемма 1. Функция К (х, 5), определяемая формулой
является фундаментальным решением уравнения Ьу = 0 .
Лемма 2. Функции интервале у{ (/ = 1,2,., т).
равномерно непрерывны на каждом
Из лемм 1 и 2 вытекают основные свойства (см. [5]) фундаментального решения К (х, 5) уравнения Ьу = 0 :
при каждом фиксированном 5 как функция от х она удовлетворяет однородному уравне-
нию;
при х = 5 все производные этой функции по х до порядка 2 включительно равны нулю; при х = 5 скачок третьей квазипроизводной П3у (х) равен 1.
Определение 3. Функцией Грина краевой задачи (1)-(5) на множестве Г называется функция двух переменных О (х, 5), заданная на [Ъ, Ъ2 ]х Г и такая, что для каждой / (-)е С (Г), решение
у (х) задачи (1) - (5) может быть представлено в виде
у (х) = |О (х, 5) / (5) ё5.
Г
(8)
Пусть {ф. (х)} - фундаментальная система решений однородного уравнения Ьу = 0, которая получена из фундаментальных систем скалярных уравнений Ьу = 0 на отрезках склеиванием в точках а е А условиями (2), (3). Функцию Грина О(х,5) краевой задачи (1) - (5) будем искать в виде
О ( х 5 ) = К ( х 5 ) + ^ ( 5 ) (Р] ( х ),
(9)
j=l
где К (х, 5) - фундаментальное решение уравнения Ьу = 0 . При подстановке О (х, 5) по переменной х в условии (2), (3), для 5 отличных от концов промежутков , получим систему уравнений относительно с. (5) с ненулевым определителем (в силу невырожденности задачи). Выразив с. (5) по формуле Крамера и подставив в (9), получим следующую формулу для функции Грина
О ( х, 5) =
А
К(х^) <р1(х)---(рк(х) А (*(■,«)) 11{(р1)-11{(рк)
(10)
где А = ёвТ^ (ф ) - есть определитель системы. В силу нерырожденности краевой задачи (1) - (5), мы можем выбрать такую фундаментальную систему решений {ф (х)}, для которой /г (ф ) = 8 , где
8 - символ Кронекера. Поэтому из (10) получим
к
G (х, ^) = K (х, ^) — £ h (K (■, ^)) р (^). (11)
j=i
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда функция G(х,s), определенная равенством (11), является функцией Грина краевой задачи (1) - (5) , которая является единственной в классе непрерывных на [b, Ъ2 ]х Г функций.
С помощью представления (11) для функции Грина G (х, s) краевой задачи (1) - (5) на Г можно получить все её основные свойства, аналогичные свойствам функции Грина скалярной задачи (см. [5]):
Лемма 3. Пусть G (х, s) - функции Грина краевой задачи (1)-(5) на Г. Тогда при каждом фиксированном s = s0 еГ функция g(х) = G(х,s0) удовлетворяет
1) при х Ф s0 в каждом интервале у однородному уравнению;
2) условиям (2), (3) в точках ai е A;
3) граничным условиям (4), (5) в точках Ъх,Ъ2;
4) при х = s0 выполняется
Dg (s0 + 0)-Ag(s0 - о) = —1. (12)
Следующее свойство функции Грина G (х, s) связано со спецификой рассматриваемой краевой задачи.
Функция
g' (х)= lim G (х, s ),
4 ' s^a—о
где a - некоторая точка множества A , называется предельной срезкой функции Грина G(х, s) .
Лемма 4. Предельная срезка g' (х) функции Грина G (х, s) краевой задачи (1)-(5) при х Ф at обладает свойствами 1) - 3) леммы 3, а при х = at имеет место равенство
Dg (a+0)—Dg (a — 0) = 1—x(al) g (a). (13)
Из лемм 3 и 4 вытекает
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда функция Грина G(х, s) краевой задачи (1)-(5) обладает следующими свойствами:
1) при каждом фиксированном s = s0 еГ функция g(х) = G(х,s0) удовлетворяет однородному уравнению Ly = 0 при х Ф s0, условиям связи (2), (3) в точках ai е A, краевым условиям (4), (5) в границах точках b, Ъ2, а при х = s0 е Г условию (12);
2) если s0 = a е A, то функция g' (х)= lim G (х, s) при х Ф s0 удовлетворяет однородному
s^s0—0
уравнению Ly = 0 на [b, b ] \ {s0 }, краевым условиям (4), (5) в граничных точках b, b, условиям (2), (3) в точках множества A \ {s0 }, а в точке х = s0 выполняется (2) и вместо (3) - (13).
Отметим, что аналогичные утверждения для дифференциального уравнения второго порядка на графе были установлены в [6], а для уравнения четвёртого порядка на случай общего графа - в [4].
Поступило 26.06.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 360 с.
2. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:ИЛ, 1958.
3. Солиев С.К. - Вестник Таджикского национального университета (научный журнал), серия естественных наук, 2013, №1/2 (106), с. 60-66.
4. Мустафокулов Р. - ДАН РТ, 1995,т. 38, №1-2,с. 59-65.
5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. т.1. - М.: Гостехиздат, 1933.
6. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. - ДАН СССР, 1991, т. 318, №3, с. 942-944.
Р.Мустафо^улов, С.К.Солиев
ДАР БОРАИ ЯК МАСЪАЛАИ КАНОРИИ БИСЁРНУЦТАГЙ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола як масъалаи канории бисёрнуктагии намуди махсус барои муодилаи диффе-ренсиалии тартиби чор дида баромада шуда, шартх,ои хдлшавандагии он ёфта шудаанд. Барои чунин масъалаи канорй функсияи Грин дар намуди ошкор сохта шуда, хосиятх,ои асосии он муайян карда шудаанд.
Калимацои калидй: масъалаи канории бисёрнуцтагй - мувофщати аломатуо - гайриищирозй -х,алли фундаменталй - функсияи Грин - буриши уудудй.
R.Mustafokulov, S.K.Soliev ABOUT ONE MULTIPOINT BOUNDARY-VALUE PROBLEM
Tajik National University
In this paper the multipoint boundary-value problem for the 4th order differential eqnation is considered. Conditions decidability of the problem are reduced, explicit form of the Green's function is constructed and principals properties of this function are defined.
Key words: multipoint boundary - value problem - concordance of sign - nondegeneraty - fundamental solution - Green's function -limit cnt off.
