Принцип конформного преобразования электростатических полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физическая электроника

УДК 537.533.3:537.291

В.В. Павлов

ПРИНЦИП КОНФОРМНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕй

Традиционная теория построения электростатических энергоанализаторов целиком основывается на прямых задачах динамики заряженных частиц в электрических полях. Начальным этапом конструирования электронно-оптического устройства всегда является выбор электродной конфигурации, как правило, по соображениям симметрии и простоты изготовления. Затем следует стадия интегрирования уравнений движения и построение траекторий. В найденных таким прямым способом системах обычно не удается реализовать достаточно высокий порядок фокусировки одновременно с большой энергетической дисперсией. Для полей с плоскостью симметрии и двумерных гармонических полей можно предложить альтернативный подход к выбору структуры поля, воспользовавшись особой физической интерпретацией конформного преобразования переменных в уравнении Га-мильтона—Яко би.

Предмет исследования в данной работе — двумерные электростатические поля ф(х, у), обеспечивающие идеальную фокусировку в плоскости 0ху, которые являются базой построения энергоанализаторов высокого разрешения для электронной спектроскопии [ 1]. Замысел состоит в следующем: взять за основу одно из таких полей, фокусирующее плоские пучки, и трансформировать его вместе с траекториями, используя при этом аппарат теории функций комплексного переменного. Эта теория основана на преобразовании плоскости к конформным координатам и преобразова-

нии уравнения Гамильтона — Якоби к этим же координатам вместе с траекториями и потенциалом ф(х, у). Необходимо также упомянуть, что все исследования ведутся в безразмерных координатах [2]. Настоящая работа направлена на развитие идей, впервые опубликованных в статье [3].

Уравнение Гамильтона — Якоби для укороченного действия (когда функция Нне зависит от времени явно, т. е. система консервативна) в общем случае имеет вид

дх

'Э^ 2

ду

Э£

дг

= Е-Ф(х, у, г), (1)

в частности для плоского движения, —

д! дх

^ 2

ду

= Е - ф(х, у).

(2)

Преобразуем уравнение Гамильтона — Якоби (2) к конформным координатам и, V. Таким образом, старые координаты х, у есть функции новых.

Введем комплексную величину г = х + /у и будем считать, что г есть аналитическая функция от комплексной величины ю = и + /V.

Перейдем от переменных х, у в уравнении (2) к переменным г, I.

Связь между операторами дифференцирования при таком преобразовании будет иметь вид

д дг

1

(

д д --7-

дх ду

\

д дг

1

(

дд -+ 7-

дх ду

Л

2

2

+

+

2

+

2

2

эти два оператора носят название операторов Колосова [4].

С учетом всех вышеприведенных соотношений уравнение Гамильтона—Якоби примет вид

= Е-ф* (г, I); (4)

помножим обе части этого выражения на йг йг

--—, тогда получим уравнение

й ю й ю

2 = 1 Эю дю 2

= -ф =

ди

2

+

ду

йг

й ю

2

(5)

(ф - Е).

Это уравнение в координатах и, V можно трактовать физически как реальное уравнение Гамильтона — Якоби в декартовых осях и, V, описывающее движение в плоскости, происходящее под действием поля с потенциалом ф** при нулевой полной энергии Е* = 0. На это обстоятельство впервые обратил внимание Э. Гурса [5].

Все траектории на плоскости (х, у) фиксированной энергии Епри таком преобразовании трансформируются в траектории с нулевой полной энергией на плоскости (и, V). Для определения этих траекторий достаточно воспользоваться формулами преобразования

и = и(х, у), V = у), (6)

подставив в них выражения траекторий х(/), у(/) на плоскости (х, у). Потенциал ф** (и, V) отличается от прежнего ф(х, у) не только преобра-

йг 2

зованием аргументов, но и множителем —

й ю

Если преобразование г(ю) близко к тождественному г(ю) = ю, то деформация потенциала ф(х, у) и траекторий незначительна, а при нелинейных функциях г(ю) структура нового поля может отличаться от прежнего сколь угодно сильно. Семейства изоэнергетических траекторий деформируются в соответствии с зависимостью г(ю), но некоторые их свойства сохраняются. Известно, что конформное отображение переводит любую бесконечно малую фигуру, расположенную в окрестности точки г0, в подобную ей фигуру (т. е. точка отобразится в точку) и сохраняет углы между кривыми по величине и направлению.

Поэтому, если поле было идеально фокусирующим, т. е. переводило весь поток траекторий из точки в точку, то все преобразованные поля с потенциалами ф** также будут идеально фокусирующими.

Из вышеизложенного вытекают два важных следствия.

1. Если плоскости (х, у) и (и, V) ассоциировать с электрическими полями, для которых они являются плоскостями симметрии, то изложенный алгоритм позволяет трансформировать поля с управлением дисперсионными и фокусирующими свойствами.

2. Указанный способ преобразования позволяет неограниченно размножать многообразие полей с идеальной фокусировкой, если известно хотя бы одно.

Поле Корсунского

Наиболее простым и интересным для нашей методики является поле Корсунского, которое и будет изучаться достаточно подробно [6]:

ф = х2 + у2.

(7)

В реальности такое распределение получится для гармонического поля гиперболоидов вращения

Ф = х2 + у2 - 2г2

в плоскости симметрии ф = Ф12=0 (рис 1, а).

Подставляем этот потенциал в уравнения движения

х = -Фх(х,у), У = -фу(х,у);

(8)

тогда придем к следующей системе уравнений:

х = -2х, У = -2у.

(9)

Решая уравнения (9) с начальными условиями

XУ 1=0 = Хо,Уо ; -У и = -0'уо , (10) получим следующее:

х = х0 со8\/2? + ;

У = Уо

72'

= у0ооъ^ + .

(11)

2

Рис. 1. Графическое представление электростатического поля Корсунского: а — поверхности гиперболоидов вращения; Ф = ± 1; б — траектории частиц при разных энергиях и углах вылета, стартовая точка х = 1; у = 0

Анализ решения показывает, что частицы, вылетевшие из точки (х0, у0), попадут в противоположную точку (—х0, —у0) через момент времени т = п /Л . Например, если взять в качестве стартовой точку (1; 0), то к указанному промежутку времени все частицы сфокусируются в точке (—1; 0) (рис. 1, б).

Энергоанализатор обязательно должен обладать двумя свойствами: во-первых, фокусирующим (фокусировка частиц по углам вылета); во-вторых, диспергирующим (разделение частиц по энергиям).

Однако видно, что поле Корсунского не подходит для использования в энергоанализе из-за невозможности обеспечить второе свойство, так как все частицы сфокусируются в одной точке не только при вылете с разными углами, но и с разными энергиями. Но если использовать теорему Гурса, то можно с помощью конформного преобразования трансформировать это поле так, чтобы у него появилась дисперсия. Покажем это.

Варианты потенциалов полей после преобразования

Рассмотрим изменения траекторий частиц после различных конформных преобразований.

Преобразуем потенциал (7) с помощью функции ю = г1/2 по формуле (5). Положим Е= 1 и учтем, что

2 2 — Ф = x + y = zz ;

(12)

где

r = у[x2+y2 , 9 = arceos

= Jv2,„2 o =

X

лР+У2

. (15)

Выделяем мнимую и вещественную части и выбираем к = 0, что обеспечит сохранение точки старта на прежнем месте; получим следующие траектории:

u(t) = y[r(t) cos ^(р ; v(t) = yfr(t) sin

M 2

.(16)

Вычисления с помощью формул (16) в промежутке времени от 0 до т = п /42 дают вид траекторий, показанных на рис. 2, а.

Рассмотрим другое преобразование поля Корсунского, например ю = ехр(г). Действуем как в предыдущем случае, т. е. положим Е = 1 и используем выражение (12); тогда по формуле (5) получим (рис. 3, а):

In2 л/ и2 + V2 +

arccos

4Û2

+ V2

1

. (17)

тогда получим следующее выражение для потенциала:

ф**(и, V) = 4((и2 + V2)3 - и2 - V2). (13)

Для того чтобы определить траектории при новом потенциале (13), необходимо воспользоваться формулами преобразования (6). Используя формулу для извлечения корней из комплексных чисел, можно записать

, . т/т i 9 + 2пк , . . 9 + 2кк\ .... u + iv = r/2\ cos-:-+ i sin-:-I ,(14)

Ф (u,v) =-

u~ + V

На эквипотенциальных линиях можно заметить небольшие изломы в точках, соответствующих v = 0; их происхождение есть следствие неоднозначности Римановой поверхности.

Траектории при таком преобразовании определяются так же, как и в предыдущем случае, т. е. из соотношений (6):

u + iv = ex+iy = exeiy = ex cos y + iex sin y . (18)

Сопоставляя мнимую и вещественную части, получим

u(t) = ex(t)cos y(t) ; v(t) = ex(t}sin y(t). (19)

На рис. 3, б приведены траектории (19) в промежутке времени t е [0, п / V2]. Фокусировка частиц, вылетевших из точки (e; 0), происходит в точке с координатой (e - 1; 0).

Исследуем преобразование потенциала (7) функцией ю = lnz. Положим E = 1 и применим к выражению (12) формулу (5). Тогда новое поле будет описываться потенциалом

Ф**(м) = e4u - e2u

(20)

Формулы преобразования (6) дадут выражения для трансформированных траекторий. Для их определения потребуется применение логарифма к комплексному числу. В этом случае получим:

и + /у = 1п г + /(0 + 2 пк); (21)

2

и

а)

б)

Рис. 2. Траектории частиц после преобразования потенциала по формулам:

ю = г1/2 (а); ю = (б)

г -г -1 о 1 г г

и

б)

V

О 1 2 3 4 и

Рис. 3. Результат преобразования поля Корсунского по формуле ю = ехр(г): а — эквипотенциальный портрет поля; б — соответствующие траектории частиц

r и 9 определяются из формул (15).

При k = 0 обеспечивается место старта в начале координат:

u(t) = ln(r(0) ; v(t) = arccos(e(0). (22)

После такого преобразования оказывается, что точки старта частиц и их фокусировки лежат на оси v (см. рис 2, б).

Расчет дисперсии

В качестве объекта изучения возьмем потенциал (20), получаемый при преобразовании ю = lnz. Выбор можно объяснить тем, что такое поле является одномерным. Таким образом появляется возможность проинтегрировать уравнение движения в явном виде и при любых значениях энергии.

Из закона сохранения энергии получаем следующее уравнение:

•2 -2

U , **, ч V „

— + m (u) + — = E. 2 2

Введем обозначения

•2 -2 U ** V

— + ф (U) = Eu ; — = ev ;

(23)

(24)

тогда из первого соотношения получим следующие уравнение:

du

u = — = dt

y¡2(Eu - e4u + e2u ). (25)

(26)

t2 = 2t2 =

1

1

(27)

Общее время полета от старта до фокусировки будет выражаться как

t = ti+|t2l=^=ln(l + 4£«). (28)

у u

Пусть p — координата точки прилета частиц. Поскольку сила вдоль оси v не действует, то в этом направлении будет просто дрейф. Тогда

Р = vt = ^ln(l + 4Eu). (29)

\¡2Lu

Используя соотношения (24), выразим Eu и v через полную энергию влетающей частицы и тогда получим следующее выражение:

p = ctga • ln(1 + 4E sin2 a). (30)

По определению дисперсия по энергии следует выражению

DE E. E dE

(31)

dp

После вычисления производной — дис-

д E

персия выражается как

De =

2E ■ sin 2a 1 + 4E sin2 a

(32)

Поскольку во время движения частиц компонента скорости вдоль оси и дважды меняет свой знак, интегрирование уравнения (25) проведем в два этапа.

Сначала рассмотрим область и > 0. Интегрируя по этой области, получим выражение для времени tl:

Аналогичные действия проводим над этим уравнением для области и < 0:

Таким образом, в работе излагается эффективный метод конструирования электрических полей, которые могут найти применение в энергоанализаторах. В основе метода лежит преобразование исходного поля и траекторий заряженных частиц к конформным координатам. Данная возможность иллюстрируется рядом примеров трансформации электростатического поля Корсунского посредством функций комплексного переменного. Установлено, что конформное преобразование ю = 1пг для поля Корсунского дает новый вид потенциала (20), который обладает помимо фокусирующего свойства, еще и диспергирующим, поскольку вычисленная энергетическая дисперсия Бе отлична от нуля. Это обстоятельство открывает дальнейший путь для исследования применимости полученного поля в энергоанализирующих устройствах корпускулярной оптики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голиков, Ю.К. Обратные задачи теории электростатических энергоанализаторов [Текст] / Ю.К. Голиков, К.Г. Уткин, Д.В. Григорьев // ЖТФ.-1999.- Т. 69.-№ 9.- С. 128-131.

2. Голиков, Ю.К. Расчет элементов электростатических электронно-оптических систем [Текст]: Учеб. пос. / Ю.К. Голиков, К.Г. Уткин, В.В. Чепарухин. — Л.: Изд-во ЛПИ, 1984. - 79 с.

3. Голиков, Ю.К. Конформно-инвариантные фокусирующие системы [Текст] / Ю.К. Голиков // Труды

ЛПИ № 345. Физическая электроника. - Л.: Изд-во ЛПИ, 1975. - С. 82-84.

4. Лаврентьев, м.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст] / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат.- М.: Физматгиз, 1958.- 688 с.

5. Уиттекер, Э.Т. Аналитическая динамика [Текст] / Э.Т. Уиттекер.- М.: Едиториал УРСС, 2004.- 504 с.

6. Голиков, Ю.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов [Текст] / Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова.- СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010.- 409 с.