Синтез электростатических энергоанализаторов с помощью обратных задач динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

ФИЗИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА

УДК537.533.3:539.1

Н.К. Краснова, ИЛ. Марциновский

СИНТЕЗ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЭНЕРГОАНАЛИЗАТОРОВ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

Классическая традиционная теория электростатических энергоанализаторов покоится на прямых задачах механики точки в электростатических полях. Суть прямой задачи состоит в том, что самое поле со своей структурой (геометрией) выбрано достаточно конкретно (не обязательно совсем жестко), но может быть с одним, двумя ит. д. свободными управляющими параметрами, характеризующими форму электродов или электрическое питание, либо и то и другое. Сам выбор зависит от квалификации и фантазии конструктора, а также его практической инженерной смекалки. Так или иначе, большинство реализованных систем создано на базе полевых структур, для которых их уравнения движения легко проинтегрировать и осознать природу интегральных многообразий. Имеется в виду не только форма траекторий, но и их взаимное расположение при вариации начальных данных. Таким способом определяются места фокусировки частиц и мера сепарации (пространственного разделения) электронных струй разной энергии: дисперсии угловой и линейной. При современных возможностях компьютерных методов задачи такого рода решаются легко и быстро. Потенциал можно задать косвенно с помощью краевой задачи для него, и тогда задача решается как промежуточный этап с помощью какого-либо (хорошо работающего) пакета программ, например 51М1СЖ. Но фактически трудности решения начинаются уже в момент экспертной оценки поведения системы на основе анализа не слишком широких семейств траекторий, подвластных воображению. Обычно разработчикхорошо «чувствует» поведение (геометрию) одной траектории, гораздо хуже осознает динамику ее изгиба при вариации какого-либо параметра и тем более плохо воспринимает эво-

люцию однопараметрических или многопараметрических семейств тонких парциальных струй. В связи с этим возникают трудности корректной формулировки целевых функций и организации эффективных оптимизационных схем. Наш опыт показывает, что «глухой» способ оптимизации с помощью компьютерного перебора, пусть даже и оптимизированного, не дает сколько-нибудь ощутимого прогресса в деле синтеза энергоанализаторов с параметрами, существенно превосходящими хорошо известные системы. Объяснение этого парадоксального факта следует искать не в неудачах первоначального выбора полевых структур, а в самой природе электронно-оптического действия полей на потоки частиц. Оказывается, что фокусирующее и разделяющее (дисперсионное) свойства электрических структур самой различной геометрии находятся в своеобразном антагонизме друг с другом. При ограниченных размерах осевой траектории редко удается достичь достаточно большой дисперсии в несколько единиц баз траектории, если в качестве базы взять расстояние между источником и детектором. Чаще всего в рабочем режиме линейная энергетическая дисперсия примерно равна базе и никак не более. В свою очередь хорошее качество фокусировки по углу старта частиц на источнике — обычно первого порядка (редко второго и тем более выше) достигается при очень специфических условиях. Оба энергоанализирующих свойства — большая дисперсия и совершенная фокусировка реализуются в совокупности крайне редко. Этого удалось достичь только в двух системах с названиями «Тутанхамон» и «Арка» [1,2].

Данные полевые структуры найдены с помощью обратных подходов на базе аналитического решения некоторых обратных задач механики

частиц. Для этой вольной версификации проблем энергоанализа характерно конструирование потоков траекторий соответствующим математическим аппаратом, достигающим «выгодной энер-гоанализирующей ситуации» и формализующим эти свойства. Далее по указанным характеристикам создается подходящий вариант обратной задачи механики, имеющий однозначное непротиворечивое решение, то есть удовлетворяющий условиям существования и единственности.

Формулировка обратной задачи

Выберем класс полей, для которых на основе обратных задач механики можно построить эффективные энергоанализаторы, используя комбинированную методику — аналитико-компью-терную. Это поля с плоскостью симметрии, где потенциал есть четная функция по одной из координат, например по оси у:

Ф (х,.у, г) = Ф (х ,-у, г). (1)

В плоскости симметрии (х,г) ход потенциала задается функцией ф(х, ж):

Ф

>■=0

= ф(х, г).

(2)

Функция потенциала Ф(х,у,ж) в целом должна быть гармонической:

= 0. (3)

ф +ф +ф

XV уу г

(часто прямую). Конструирование разнообразных оптических каркасов в плоскости симметрии дает обратные задачи для определения функции ф(х,г), которая, естественно, не обязана подчиняться никаким ограничивающим (кроме аналитичности) условиям типа уравнения Лапласа. Вместе с ними открываются возможности для аналитического конструирования (вместе счисленным моделированием) широких потоков и их оптимизация. В свою очередь от этих решений удается перейти к многообразию систем с осевой симметрией и в совокупность полей с дискретным набором плоскостей симметрии, проходящих через одну ось. Таким образом, открывается изрядное богатство возможностей для синтеза нетрадиционных корпускулярно-опти-ческих систем.

Обратные задачи, основанные на интегральном уравнении Абеля

Все наши исследования ведутся в безразмерной математической модели, концепция выбора которой изложена в работах [3,4].

Рассмотрим класс двумерных электрических полей с ходом потенциала /(х) в плоскости симметрии:

ф (х>у>2) Ц=/М-

(4)

Что касается функции ф(х,г), то она должна быть гладкой аналитической, за исключением, быть может, некоторых конкретных точек. Задача восстановления потенциала Ф(х,.у,г) по условию (2) (задача Коши) легко решается, по крайней мере, для окрестности плоскости у = 0 в виде четного ряда по степеням у, а в некоторых случаях решается точно в виде аналитических функций и квадратур. Семейства траекторий, лежащие в плоскости симметрии (х, ж), составляют своеобразный каркас, на который нанизываются пространственные потоки, заполняющие некоторый слой -Н<у <к . Эти семейства уместно назвать оптическим каркасом. Они играют для энергоанализа, с его широкими по углу разброса и линейным размерам пучками, роль своеобразной «интегральной оптической оси». В этом смысле классические изображающие системы являются их частным случаем, когда оптический каркас вырождается в одну кривую

В данном случае задача Коши легко решается при помощи комплексного потенциала

X (ю) = ^(х,.у) + /Ф (х,.у), (5)

который конструируется по формуле [5]:

Х = (а = х + 1у. (6)

Пусть

/(»м. £

>0.

(7)

х>0

т. е. ограничимся при выборе /(х) множеством монотонных функций.

Изучим динамику частиц в плоскости (х, г) при начальных условиях

1 х1т=о 2 хо 2 °>

<=0=*о = 0,

1т=0

=0

2 х0 вшб;

= ¿0 совб,

(8)

• 2 -2

% + £

где IV = 0 0 — безразмерная кинетическая энергия.

Уравнения динамики имеют вид df

X =--

dx

z = 0

(9)

и решаются в виде квадратур при произвольной функции /(х) с помощью интеграла энергии. Решение для данного случая таково:

1

X =

dx

: = z0 X = ^7cos9X,(10)

Рис. 1. Траектория частицы в тормозящем поле; О, Р — точки старта и прилета частицы соответственно; хш — координата вершины траектории частицы; 0 — угол влета частицы

__II!

р = z0-2тт = 2^со$<д J

dx

4A~f (*)'

(id

где А = х|/2— вертикальная кинетическая энергия.

Квадратура (10) редко берется в элементарных функциях, например для /(х) — в виде полинома не выше второй степени либо комбинаций

/ = 4 + / =

х

/ ах, / = Ш2 Рх-Однако математический аппарат для энергоанализа можно существенно упростить благодаря учету конкретных обстоятельств. При этом появятся новые интересные возможности. В условиях (7) на частицу действует тормозящая сила, возвращающая ее на ось старта г в точке Р (рис. 1). Частица описывает при этом симметричную выпуклую дугу, доходя до вершины хт по восходящей ветви, где скорость обращается в нуль, и скатывается назад по нисходящей дуге до точки Р. Координата прилета Л таким образом, вычисляется по формуле

где хт определяется как первый корень уравнения A-f{xm) = 0. (12)

Интеграл (11) — несобственный и берется в элементарных функциях не чаще, чем общий интеграл (10), хотя при фиксированных конкретных значениях энергии А = const можно построить сравнительно много частных случаев берущихся квадратур. Множество монотонных функций /(х) можно равноправно описывать не прямыми формулами f = f (х), но равноценными обратными формулами

x = F(х); F(0) = 0;

dF_ df

>0.

(13)

/>о

Тогда очевидно, что имеет смысл перестроить интеграл (11), взяв / за новую переменную интегрирования. В результате получится новое исключительно полезное представление функции Р:

_ л.

P = ^W-A- J-

F\f)df ш

V^ -/ W'

а== ^sin2e.

(14)

Этому интегралу можно придать еще одну полезную форму, если заменить переменную интегрирования. Положим

у=7^7;

тогда

Р^А) = А^\¥-А - |/"(Л-У2)) (15)

о

В такой форме сразу же видно, что интеграл (15) берется в элементарных функциях для весьма широкого многообразия функций Р(/). Если

щ/)

"W

(16)

где М, N — произвольные полиномы целых степеней, то интеграл (15) заведомо элементарен. Здесь интересен в первую очередь вариант цело-

го полинома ) порядка п при N = 1; тогда интеграл (15) будет целым полиномом порядка 2п -1 относительно параметра у[а.

Рассмотрим вариант Т7 = /т и вычислим Р с помощью выражения (14):

Положим

Р = 2^А.

тогда

Р = 1т4\У-А-Ат^

о

л/Г-1 '

(17)

(18)

(19)

При целых т интегралы в выражении (19) представляют собой ряд конкретных чисел, вычисляемых вполне элементарно. Если теперь мы положим

/■ = в1/ + ^/2 + ^/3+... + вя/и, (20) то величина Рс помощью (19) задается формулой Р = иIV-А х

х^А + + ); (21)

(22)

Это выражение позволяет прямыми способами изучить фокусирующие и дисперсионные свойства широкого класса двумерных полевых структур. Так например, рассматривая А как угловой параметр при фиксированной энергии IV, мы можем добиться фокусировки /7-го порядка, располагая п свободными параметрами а1,а2,--.,ап; при этом задача сводится к решению линейной алгебраической системы /7-го порядка относительно искомых параметров а1,а2,...,ап. Определитель этой системы оказывается отличным от нуля. Однако цель статьи — показать только подходы к проблеме, поэтому мы не будем иллюстрировать данную методику громоздкими конкретными выкладками, а обратимся к другой, более выгодной точке зрения на соотношение (14). Перепишем его в виде

Р{Ф,А) ууу/

2 у1Ж-А ^А-/

(23)

Легко видеть, что это классическое интегральное уравнение Абеля относительно функции /•■'(/), если левую часть (23) считать заданной функцией от А. Положим

Р(№,А) _

(24)

тогда, следуя работе [6], мы можем записать:

1 ; я # ¡77^А ■

(25)

И нтегрируя это уравнение с учетом связи (13), получим первую ключевую формулу, связывающую динамические свойства системы, заданные с помощью А):

/

(26)

2я ^ -А)(/-А )

Фиксируя И^и принимаяЛ как параметр фокусировки, например полагая IV = 1, А = ^2 9 , мы можем широко варьировать тип функции Р{А) (но с известной долей осторожности) и каждый раз получать свое поле. Так, полагая Р— С, получим

С

/

(М

2я 1-77

(27)

Обращая (27), получим единственное в своем роде двумерное поле с идеальной фокусировкой по углу с ходом потенциала

f = Ш -

С

(28)

Полагая С — 1 и применяя формулу (6) для комплексного потенциала X(ю), а затем отделяя ф(х,.у), получим скалярный потенциал поля в виде выражения

81122гос-8Ш22лу (сЬ22тис + С082 2пу)

(29)

Полный эквипотенциальный портрет этого поля (рис. 2) дает более широкую картину возможностей его электронно-оптических применений. Например, фрагмент в полуполосе

A = Wsi п 2е,

о-

Полагаем в соотношении (23) А

W=-

sin260

тогда

(31)

(32)

А

sin 0П

,А

= i

F\f )df

(33)

Проделав такие же выкладки, что и проде ланные выше, получим вторую ключевую фор мулу теории двумерных анализаторов:

x = F (/) =

2n

'V4/ )

(34)

Рис. 2. Эквипотенциальный портрет поля, выраженного формулой (29)

-1<_у<1, х>0 лег в основу теории высокодисперсионного энергоанализатора «Тутанхамон» [7]. Но кроме этого, фрагмент поля в квадрате -1<_у<1, -1<х<1 можно использовать для синтеза новой оригинальной квадрупольной линзы, отличающейся от обычной гиперболической тем, что в одной плоскости реализуется идеальная фокусировка. Это означает, что тандем из таких линз более светосильный, чем классический вариант.

Если в формуле (26) положить

Р = С + с(Л), (30)

где а — функция, разложение которой по степеням [A -Aq ) начинается с какой-то конечной степени 2, 3.....то мы получим класс полей с заданным порядком фокусировки, причем путем более коротким, чем при использовании выражения (20). Есть еще одно ценное приложение этого алгоритма. Если принять, что тах|а(Л)| < е, то с помощью формулы (26) можно связать вариацию идеальной структуры (29) (ее электродов) с аберрациями пучка в конце пути (около точки возврата Р) в виде нетривиальной мажорантной оценки, свободной от идеологии обычных степенных оценок аберраций.

Дисперсия. Если считать параметр Л энергетическим, полагая 0 = 0О= const и варьируя энергию W, то наши рассуждения и расчеты легко перестроить так, что получится связь поля и дисперсионной характеристики:

Линейная энергетическая дисперсия выражается следующими очевидными формулами:

дР дР

D = W—=A—

dW дА

(35)

Если задать дисперсию ) как функцию отД то из (35) можно сначала восстановить Р(А) одной квадратурой

Р = dA, J л

(36)

и далее по формуле (34) восстановить функцию потенциала. Для полей / ~ х" (степенные поля)

легко показать прямым вычислением, что диспер-()

[) ~ хт. С помощью формул обратного построения (35) и (34) легко доказать обратное утверждение, что степенную зависимость дисперсии от Л в классе двумерных полей могут иметь только поля со степенным потенциалом.

Еще одну нетривиальную задачу — определения полей с наперед заданным запасом энергетической дисперсии — можно также решить указанным способом. Эта область нуждается в подробной разработке , так как здесь просматриваются большие перспективы для синтеза энергоанализаторов высокого разрешения.

Обратные задачи, решаемые с помощью уравнения Гамильтона — Якоби

Уравнение Гамильтона — Якоби для укороченного действия ¿"(х^) для плоского движения с потенциалом ф(х,.у) имеетвид

"ф(*>у) = Е,

(37)

■ 2 -2

X + V

где Е= + ф(*>.у)~ полная энергия.

Если при заданном потенциале ф(х,.у) найти так называемый полный интеграл Б(х,у,Е,С), т. е. решение, содержащее кроме .Сеще одну произвольную постоянную С, тогда, в соответствии с методом Якоби, задача интегрирования уравнений движения выполнена, и траектории запишутся двумя равенствами:

dS [х,у,Е,С)

дС

dS [х,у,Е,С)

= D = const;

(38)

д

= х - xn

дает механический импульс, а в нашем случае безразмерной модели движения точки — это просто скорость

У = БХ1 + Бу]. (40)

Таким образом, задание частного действия ^х^) — это просто задание поля скоростей, интегральное многообразие которого составляет изоэнергетическое однопараметрическое семейство траекторий, порождающее потенциал Ф (х,.у) вида

S2+S2 W {х,у) = Ео—

(41)

где D — постоянная, как и Е, выражаемая через начальные данные.

Поиск интегрируемых типов (37), т. е. поиск подходящих ф(х,.у), как известно, приводит к сравнительно узкому классу лиувиллевых систем [8]. Это дает некоторый простор для синтеза новых систем энергоанализа, но возможностей здесь явно недостаточно. Уравнение (37) по самой своей структуре располагает к постановке обратных задач динамики. В идеале наиболее глобальной задачей такого рода явилось бы построение наиболее широкого класса функций S{x,y,E,C) таких, чтобы при подстановке в уравнение (37) любая такая функция порождала потенциал ф(х,у), не зависящий от постоянных Ей С:

v{x,y) = E-h^S(x,y,E,cf . (39)

Угадывать такие структуры, даже частного характера, очень трудно. Можно «снизить запросы» и рассматривать однопараметрические семейства .S^x,^С) при фиксированной энергии Е = const. Здесь уже появляются некоторые возможности, но все еще очень частные. Наиболее простой случай вычисления w (х,.у) получается, когда S = S(х,у) — функция, вообще не содержащая в явной форме произвольных постоянных Е или С. Здесь мы должны обратиться

к физическому толкованию таких частных дей-()

Поскольку траектории ортогональны повер-

=

построения траекторий сводится к классической геометрической проблеме построения взаимно ортогональных семейств кривых.

Следует отметить, что задание S(x,у) уже дает всю информацию о соответствующих траекториях, если следовать принципу Гюйгенса, но реально эту информацию не прочитать без интегрирования системы

х = £л, у = Sy. (42)

Метод физических аналогий. Источником структур S(x, у), служащих моделью каких-либо электронно-оптических систем, могут быть физические аналогии из динамики идеальных жидкостей, самой электростатики, тепловых задач, теории системы Стокса и ее обобщения — /^-аналитических функций. Все эти аналогии удобны, поскольку всегда оказывается, что эк-випотенциали и поля скоростей всех этих систем взаимно ортогональны. Особенно подобное построение выгодно для задачи синтеза оптических каркасов для энергоанализа. Действительно, изоэнерегетическое семейство траекторий в плоскости симметрии гармонического поля как нельзя лучше подходит на такую роль, особенно, если оно хорошо сфокусировано. Тем самым решается уже важнейшая часть задачи синтеза энергоанализаторов с нужными нам характеристиками. Приоритетной задачей всего этого направления, безусловно, является построение полей с идеальной угловой фокусировкой изоэ-нергетических потоков.

Идеальная фокусировка. Чтобы создать ситуацию с идеальной угловой фокусировкой, надо

научиться конструировать семейства кривых Р(х,у) = const, проходящих через две фиксированные точки (X,, yt), (х2, у2), причем такие, чтобы было известно в явных функциях семейство ортогональных кривых Q(x,.у) = const, так чтобы выполнялось тождество ортогональности

VP-VQ = PxQx + PyQy=0. (43)

На роль таких пар в данном случае особенно подходят электрические поля некоторых фиктивных точечных зарядов. Действительно, если взять два заряда +q и -q (неважно, круглые или линейные) то силовые линии поля начинаются на первом из них и заканчиваются на втором. Налицо идеальная фокусировка, если принять силовые линии этого фиктивного вспомогательного поля за траектории, а ортогональную функцию эквипотенциалей ассоциировать с действием S.

Итак, пусть Р(х,у) — функция потока системы двух точечных фиктивных зарядов, а Q(x,.y) — их потенциал. Расположим эти вспомогательные «математические» заряды в точках х = +1, _у = 0,а заряды возьмем линейные, то есть две бесконечные тонкие линии с линейной плотностью q (Кл/м). Величина заряда q здесь не играет роли, поэтому ее можно просто опустить и записать потенциал фиктивного поля очевидной формулой

Q = In

{x + lf + y2

(х -1

(44)

Рис. 3. Система двух зарядов +с/ и —с/. Идеальная фокусировка во всем диапазоне углов

Соответствующая функция потока /'(х,}') тогда запишется в виде

/'(х,}') = arctg-

V' V'

• --arctg- '

, . . (45)

х + 1 х-1

Линии Р(х,у) = const есть по сути семейство окружностей, проходящих через точки х = +1, у = 0 (рис. 3). Если непосредственно ассоциировать потенциал Q с искомой функцией Sc тем, чтобы рассчитать соответствующий реальный потенциал w(x,.y) по формуле (39), т. е. положить ,5" = Q, то немедленно обнаружится, что квадрат градиента Q в точках заряда обратится в бесконечность, иначе говоря, физически содержательной полевой структуры мы не получим, так как траектории начинаются в одной особой точке и заканчиваются в другой. Исправить это положение можно, если взять в качестве действия не саму функцию Q[x,y), а некоторую,

пока неизвестную функцию R^Q(х,Очевидно, что тождество (43) при этом автоматически выполняется, так как

VR^-VQ

dQ *

(46)

Таким образом, структура семейства траекторий Р(х,у) = const при этом сохраняется, но структура потенциала становится управляемой при помощи функции R[Q). Итак, полагая

S = R (Q), (47)

найдем w (х,у) из (39) в виде обобщенной формулы

п2

к=-

dR(Q) dQ

(48)

где К — всегда положительная функция. Рассчитаем |У0|2 для потенциала (44):

4

И1 =

(х +1) +У1 (х-1) +у

(49)

В точках зарядов х = ±1, у = 0 эта функция имеет полюса второго порядка. Чтобы их ликвидировать, подберем положительную функцию К (О), которая имела бы в точках полюсов нули

порядка выше или равного двум. Здесь можно предложить множество вариантов, но, конечно, надо стремиться к самым простым математическим структурам. В качестве таковой можно взять

К = -

1

(50)

4с11(20) '

Этот гасящий множитель действительно обращается в нуль при 0 = +оо . Подстановка 0 из выражения (44) в (50) и далее в формулу (48) с учетом (49) дает окончательный потенциал с идеальной фокусировкой в виде

9 = сош1-

1

{^х2+у2 +1) +4х2

(51)

эквипотенциальный портрет которого представлен на рис. 4.

Если взять К в виде агрегата о0 ах

К =

сЬ(20) [сЬ (20)]2

-+... +-

[сЬ (щу [сЬ (2(?)]"

(52)

то мы можем получить множество различных структур с идеальной фокусировкой на одной и той же системе траекторий — окружностей.

Описанная схема может видоизменяться бесконечным числом способов, в зависимости от фантазии исследователя, если брать различные комбинации точечных (и не только) фиксированных зарядов. В частности, если взять один сосредоточенный заряд величины +пд , где

Рис. 4. Эквипотенциальный портрет поля, выраженного формулой (51)

п = 2,3,4, з и ряд разнесенных друг от друга зарядов величины , то поток из первого суммарного заряда разделится на п струй, и каждая идеально сфокусируется на свой заряд.

Таким образом, мы рассмотрели несколько вариантов обратных задач, решая которые можно сконструировать эффективные электростатические энергоанализаторы. Некоторые из них уже нашли свое практическое воплощение, часть требует еще дополнительного осмысления и приложения. В целом можно констатировать, что описанный нетрадиционный подход к синтезу энергоанализаторов успешно работает и дает гораздо более широкие возможности для конструирования устройств энергоанализа с наперед заданными полезными свойствами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голиков, Ю.К. Обратные задачи теории электростатических энергоанализаторов [Текст] / Ю.К. Голиков, К.Г. Уткин, Д.В. Григорьев // ЖТФ,- 1999,- Т. 69.-№ 9,- С. 128-132.

2. А. е. 1265890 СССР. МКИ Н 01J 49/44. Энер-гомассоанализатор |Текст| / Ю.К. Голиков, А. А. Косячков, В .Т. Черепин (СССР) // № 3838916/24-21 ; заявл. 02.01.85 ; опубл. 23.10.86, Бюл. N° 39,— 1 с.

3. Голиков, Ю.К. Расчет элементов электростатических электронно-оптических систем [Текст]: Учеб. пос. / Ю.К. Голиков, КГ. Уткин, В.В. Чепа-рухин. - Л.: Изд-во ЛПИ, 1984. - 79 с.

4. Голиков, Ю.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов [Текст] / Ю.К. Голи-

ков, Н.К Краснова,— СПб.: Изд-во Политехи, унта, 2010,- 409 с.

5. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст] / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат,— М.: Физматгиз, 1958,— 688 с.

6. Трикоми, Ф. Интегральные уравнения |Текст] / Ф. Трикоми — М. : Изд-во иностр. литры, 1960,- 299 с.

7. А. е. 544307 СССР. МКИ Н 01 Л 37/26; Н 01 Л 39/34. Электростатический энергоанализатор [Текст] /Л.Н. Галль, РН. Галль, Ю.К. Голиков, К.Г. Уткин (СССР) // № 2091369/25 ; заявл. 03.01.75.

8. Уиттекер, Э.Т. Аналитическая динамика |Текст] / Э.Т. Уиттекер,— М.: Едиториал УРСС, 2004,- 504 с.