Семейство полевых структур с плоскостью симметрии для элект ронной спектрографии Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

ФИЗИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА

УДК 537.533.79; 537.534.79

Н.К. Краснова, О.А. Абрамёнок

семейство полевых структур с плоскостью симметрии

для электронной спектрографии

Большую роль в изучении физических и химических свойств материалов играют методы электронной спектроскопии. Информация, заключенная в энергетических и угловых спектрах вторичных электронов, позволяет провести качественный и количественный анализ изучаемых объектов. Несомненно, существующий арсенал приборов — спектрометров, может с легкостью справиться с этими задачами анализа. Другое дело, если объектом изучения становятся процессы, протекающие на поверхности и в приповерхностной области в режиме реального времени. В этом случае важно фиксировать полный энергетический спектр со скоростью, сравнимой со скоростью наблюдаемого процесса. Для решения такой задачи подходят спектрографы — приборы, которые одномоментно регистрируют весь диапазон энергий и/или углов.

На протяжении нескольких последних лет в лаборатории «Корпускулярная оптика» радиофизического факультета СПбГПУ строится идеология синтеза таких устройств. Важно, чтобы полевая структура, реализуемая в спектрографе, разделяла бы поток исследуемых частиц на струи, группируя их по энергиям. Тогда на пози-ционно-чувствительном детекторе (ПЧД), совмещенном с микроканальной пластиной, фиксировался бы сигнал от каждой такой группы. Чтобы воплотить данную схему, нами были выработаны подходы к синтезу таких электростатических полей, и это нашло отражение в наших публикациях [1,2]. Если полевая структура представляет собой функцию, однородную по Л. Эйлеру, которая удовлетворяет тождеству

W (сх,су, cz) = спф(х, у, z),

(1)

Траектории частиц с разными энергиями в таких полях подобны, и коэффициент подобия зависит от соотношения энергий двух сравниваемых пучков. Еще одно уникальное свойство данных полей состоит в том, что линия фокусов есть прямая и значит легко совмещается с плоским ПЧД.

Общий класс полевых структур, являющихся однородными функциями, может быть представлен иначе в виде

W = Р g

г

х

чр'

2 р/

где р = Jx2 + у2 + z2 — радиус, g

г

X чр'

2 р/

(2)

— про-

ще с = const, п — показатель однородности, то требуемое разделение потока обеспечено.

извольная функция двух переменных.

Если в тождестве (1) положить с = 1/р, то легко видеть, что представление (2) является его следствием. С другой стороны, аналитическую форму класса рассматриваемых полей (2) можно представить как произведение двух функций: одна зависит от радиуса или координат, а вторая — от отношений координат или от углов. Первая из функций является однородной функцией степени я, а вторая — однородной функцией нулевой степени. Выбор последней и делает класс полевых структур достаточно разнообразным как при практическом воплощении в виде электродных конфигураций, так и при моделировании различных режимов работы прибора.

Безразмерная модель

Для удобства изложения и упрощения записи результатов исследования мы использовали безразмерную, или унифицированную модель движения [3], которую здесь кратко опишем.

Задаются характерные величины — длина / и потенциал Ф0, которые выбираются для каждой конкретной задачи, например, / —база при-Ф

личины X, У, Д Ф и безразмерные величины х, у, I, ф связаны друг с другом через следующие соотношения:

Х = Ы, У = 1у, Z = /z; (3)

Ф = ФоФ(*^)> (4)

где ф (х, у, г) — математическая форма потенциальной структуры.

Кроме того, вводится характерное время Гпо формуле

г = Тх. (5)

Функция Лагранжа будет иметь вид

Ь = т

X2 + Г2 +12

+ д Ф,

(6)

Постановка задачи

Класс однородных функций, в которых можно реализовать спектрографическое разделение потока частиц, обширен, поэтому ограничимся рассмотрением полей, имеющих плоскость симметрии _у = 0. Кроме того, будем изучать свойства полей, описываемых аналитическим выражением (2), где разделены координатная и угловая части. Само исследование мы построим следующим образом. Определив потенциал в плоскости симметрии, в подробности изучим движения пучков, выведем основные закономерности и характеристики режима. Затем, используя методы математического аппарата [2], аналитически продолжим поле в пространство и рассмотрим уже пространственные характеристики данного поля.

Итак, будем изучать свойства поля, задаваемого как

где т — масса частицы, q — ее заряд.

Если ввести безразмерные величины с учетом выражений (3)—(5) и наложить условие

тI1

т2

= дФ0

(7)

то в функции Лагранжа (6) выделится общий множитель, который можно сократить, и функция Лагранжа сохранит свой вид, но уже в новых безразмерных координатах:

■ 2 -2 -2

. х + у + г Ь =---+ 9 .

(8)

Размерному набору начальных данных будет соответствовать свой безразмерный набор

/ 1 . Т ■ ч =у ^о;

/1 . Л =7 Г0; (9)

/ 1 . т ■ ¿0 =— Z0;

.Уо = ¿0 =

а энергии — свой безразмерный аналог:

Е

IV =

■ 2 -2 -2

х0 + _у0 + г0

(Ю)

2 \дФ0\ '

который приобретает свой особый смысл: это есть энергия частицы, выраженная в долях характерной энергии прибора.

9 (х,г) = — = . ж

(Н)

Координатная часть — это плоское поле, а угловая — тангенс угла у относительно оси г. Сечения эквипотенциалей плоскостью симметрии этого поля есть параболы, симметричные относительно оси г. Точка (х = 0, г— 0) является особой точкой поля — полюсом, и все эквипо-тенциали — и положительные, и отрицательные проходят через эту точку. На всей оси г поле равно нулю, поэтому очень удобно выбрать эту ось в качестве старта пучка и детектирования. Идеальная ситуация со спектрографической точки зрения получилась бы, если запуск частиц осуществить из начала координат — из центра подобия. Однако из-за неопределенности потенциала в этой точке положение источника следует сместить либо вдоль оси г, либо вниз вдоль оси х.

Анализ движения заряженных частиц в плоскости у = 0

=

пишутся в виде

X =--

г = -

2х

Рис. 1. Реализация спектрографического принципа разделения потока заряженных частиц в поле ф = л^/г

Траектории частиц с разной энергией И^ 1 (/); 2 (2); 3 (5); 4 (4): 5 (5); 6 (6); 7 (7); 8 (<У); 9 (9); 10 (10)

(13)

а начальные данные

х0 = -А, х0 шб;

г0 = 0, ¿0 =^2М/совб, где А — варьируемый параметр.

Интегрирование системы (12) с учетом данных (13) проводилось численно по методу Рун-ге — Кутта 6-го порядка.

Моноэнергетический пучок )¥= 1, стартующий из точечного источника (х0 = — 0,001, г0 = 0), фокусируется на ось г, если осевая траектория пучка составляет с этой осью угол 90 = 73,5°. Размер пятна на границе поля от пучка с разбросом 71°< 0О < 76° составляет Л = 0,0072. Увеличивая диапазон энергий до 10, мы получаем набор тонких струек, разнесенных вдоль оси г (рис. 1). Размер пятна от каждой такой струйки растет с увеличением энергии: для IV — 10 размер пятна

2Л

(рис. 2). Небольшое смещение источника из точки центра подобия нарушает предсказанное подобие траекторий [2], однако отклонение это небольшое.

Выходной угол осевой траектории составляет приблизительно 16°. Поле фактически превращает электронный пучок в параллельный: при угловом разбросе на входе в 5—6° на выходе разброс снижается до 0,4-0,5°.

Энергетическая дисперсия спектрографа, которая выражается как

АЖ

(14)

— небольшая и растет линейно с ростом энергии. В этом случае более показательной оказывается другая характеристика — приведенная дисперсия

Л

Л =-

(15)

Чем больше энергия И7, тем дальше точки прилета, и, кроме того, растет и само пятно, тогда приведенная дисперсия £) практически остается неизменной во всем исследуемом диапазоне энергий (1 <^<10) и составляет около единицы (рис. 3).

Удельная дисперсия 5Ж , характеризующая эффективность работы спектрографа, зависит от смещения струек друг относительно друга, т. е. дисперсии, и от качества фокусировки, т. е. размера пятна. Энергетическое разрешение как обратная величина удельной дисперсии г = 1/5ж , которое может быть достигнуто в спектрографе, уменьшается с ростом энергии и имеет значение не хуже 0,003 (рис. 4).

Траекторный расчет был проведен и для энергий, меньших ИК<1. Для диапазона энергий 0,1 < Ж< 1 характерен сильно нелинейный характер всех величин (см. рис. 1—4). Такое поведение

где расстояние между источником и центром пятна данной энергии.

Рис. 2. Зависимость размера

пятна изображения Л от энергии пучка частиц И/

■

■

■

■ \ \

■

■

■

■

■

■ 1 1 1 1 1

Рис. 3. Зависимость приведенной энергетической дисперсии от энергии в поле ф = х2/^

Рис. 4. Энергетическое разрешение спектрографа

ф

в зависимости от энергии

объясняется тем фактом, что медленные частицы, влетая в поле вблизи сильной неоднородности поля (х = 0, г = 0), большее время оказываются под воздействием сил, чем частицы с энергиями ИО 1, которые быстро покидают эту область.

Можно оценить число энергетических каналов, которые могут быть разрешимы на ПЧД, если иметь сведения о размытии пятна от точечного источника и расстояний между отдельными струями. Их число с ростом энергии уменьшается в несколько раз: например, для энергий число каналов не превышает 10, а для 1 < IV< 2 составляет несколько десятков.

Для того чтобы исследовать возможности данного класса полевых структур и найти оптимальный режим работы спектрографа, на следующем этапе мы рассмотрели поле

ф(х, г) = .

X X

-

Ч* * У

(17)

где ц — произвольная константа, которая может принимать и положительные и отрицательные значения.

Мы провели полный траекторный анализ в этом поле (17), варьируя параметр ^. Условия ввода-вывода пучка были выбраны те же, что и ранее.

На границе поля пучокэнергией \¥= 1 и разбросом Д9 = 4—5° хорошо фокусировался в небольшое пятно при наклоне осевой траектории 90 = 73° независимо от тех значений параметра ц, которые изучались в работе. Более острая фокусировка получилась при ц =0,001 для пучков с энергией из всего исследуемого диапазо-

ц

= —0,001. Гораздо большее размытие пучка наблюдалось в полях с большим значением пара-цц

Энергетическая дисперсия остается на прежнем уровне для всех рассмотренных вариантов.

Характер зависимости энергетического разрешения от энергии меняется: во всем диапазо-цц

превышает0,0015 (рис. 5), ипри положительном значении параметра разрешение немного лучше (см. кривая У, рис. 5).

В целом все основные электронно-оптические характеристики поля (17) мало отличаются от таковых полевой структуры (11); по-видимому, модификации полевых структур

X4 X6

с добавлением такихчленов, как ——г и т. д.,

кардинально не изменят электронно-оптическую ситуацию, поскольку являются членами

более высокого порядка малости. Поэтому теперь перейдем к изучению пространственных свойств поля. Для этого нам необходимо по ходу потенциала в плоскости симметрии восстановить структуру потенциала в пространстве. Сформулируем задачу Коши для исследуемого потенциала (11).

Задача Коши

Мы ищем аналитическую гармоническую функцию, являющуюся решением уравнения Лапласа

Э2ф Э2ф Э2ф „

Аф = —у + —у + —-г = 0;

дх Эу дг

(18)

однородную, удовлетворяющую тождеству Л. Эйлера

Эф Эф Эф

х--ь у--— = яф,

Эх Эу Эг

(19)

если п = 1, и заданную в плоскости симметрии У = 0:

Ф

>■=0

X" г

(20)

г

0.0026 •

0,0022 •

0,0018 •

0,0014 •

0,0010 ■

3 --------НИШ----

_______— 4

"1 11 1 у*'

■

____________ 2 ___________________

У и \\ _________________ 1

1 ■

0 2 4 ь цг

Рис. 5. Энергетическое разрешение как функция от энергии для различных конфигураций спектрографа на основе поля, выраженного формулой (17), при следующих значениях параметра ц: 0,001 (/); -0,001 (2); 0,01 (5); -0,01 (4)

Известно, что совместное решение уравнения Лапласа (18) иуравнения Эйлера (19) с показателем однородности п = 0 дает решение в виде потенциалов Донкина [4]:

X (ю) = ' (х, у, г) + /ф(х, >>, г);

Ю =

х + 1}>

г + р

р = ^х2+у2 +г2

(21) (22)

или полярного угла, например У

и

, ТО ПОЛНЫЙ

на, если аргумент также веществен, и удовлетворяет следующему условию:

/нц=у

(24)

где X (ю) — произвольная аналитическая функция от аргумента ю , комплексный потенциал; V — функция потока; ф — скалярный потенциал.

Если потенциал симметричен относительно плоскости ]» = 0,ав самой плоскости задается функцией, зависящей от отношения координат

комплексный потенциал в пространстве может быть найден как

Х(ю) = Г(ю), (23)

где ю — аргумент Донкина (22); f — произвольная аналитическая функция, которая веществен-

Эти потенциалы Донкина (21), (22) и послужат нам для поиска полей с определенными выше свойствами.

В работе [2] разработан и описан генезис класса спектрографических структур через потенциалы Донкина. «Прародителем» этого класса является потенциал, равный произведению

потенциала кулоновского центра — и функции

р

от аргумента Донкина X (ю). Каждая из этих

функций в отдельности является гармоничной, но поскольку их поверхности постоянного уровня взаимно перпендикулярны, то их произведение — также гармоническая функция, что следует из леммы, сформулированной в работе [2]. Используя процедуру дифференцирования по г,

примененную к потенциалу

П(ю)

мы можем

получить бесконечную цепочку однородных функций с отрицательными степенями. Далее, если воспользоваться преобразованием Кельвина [5], то класс функций расширится столь же обширным рядом функций с положительными степенями. Кроме того, в этой работе описан подробно алгоритм решения задачи Коши, если известен ход потенциала в плоскости симметрии. Для решения задачи Коши, сформулированной в начале раздела, мы и применим данный подход.

Сначала перепишем условие (20), разделив радиальную и угловую части:

Ф1

I '

— иг

=4.

2 2 х + г

(25)

1

г2 И 2

г гЫх +г

(26)

Полный комплексный потенциал Х_2 есть

результат дифференцирования Х_, пог, и построение будет выглядеть как

Х_2 =

дх_

дг

■ = 1-

. д

д

/И

(27)

Неизвестная функция /(ю) есть функция, четная относительно у и не содержащая мнимости, кроме своего аргумента ю . Эта функция должна удовлетворять условию задачи Коши (26):

д_

дг

/и

>•=0

2 2 х + г

(28)

ю =

г + ^х2 + г2

(29)

Введем новую переменную р = — и найдем связь

х

между р и ю из последнего соотношения (29). Получим формулу

1

ю =--. (30)

+ р2

Теперь преобразуем с учетом (30) выражение (28):

д_

др

/

р+ф+р-

4

+ Р

2

1

/г

Р\Р )

Поскольку радиальная часть представляет собой функцию, однородную кратности п = 1, то искомый полный потенциал X, также есть однородная функция первой степени кратности, и его можно получить из потенциала Х_2, применив преобразование Кельвина. Угловые части обоих потенциалов X, и Х_2 идентичны; различаются лишь радиальные, определяющие собственно степень однородности функции. Поэтому на данном этапе мы будем искать потенциал Х_2, для которого условие задачи Коши переформулируется следующим образом:

Интегрируя обе части обыкновенного дифференциального уравнения, получим вид функции /, выраженной через переменную р:

с \

/

1

Р +

Я

= 1-Ф+ р21п

+ р

.(31)

Теперь необходимо привести найденную функцию к виду, который бы представлял зависимость от аргумента ю ; для этого используем связь между р и ю (30) и выполним обратную подстановку:

/Н = 1-:

1

ю

-ю |1п

, 1

1 + — + ю ю

1

--ю

ю

(32)

Заменяем вещественную часть аргумента Донкина (или укороченный аргумент) на полный и вычисляем комплексный потенциал, подставив найденное выражение (32) в (27):

р дг р

Х-2 = I

д

д

Далее, выполняя дифференцирование и проведя некоторые тривиальные математические преобразования, имеем выражение:

Х_2 = —

т 1 1 2ь---ью--ю

ю

/—1п р !_ ю

ю

ю

—ью ю

, (34)

В правой части уравнения (28) фигурирует лишь вещественная часть аргумента Донкина:

где в квадратных скобках представлена угловая часть искомого потенциала, выраженная через аргумент Донкина.

Далее следует выразить аргумент ю через декартовы координаты, воспользовавшись (22), и выделить мнимую часть полученного выражения. Тогда

1

Ф-2= — р

X 2z

V V

-—arctg— р

(35)

Чтобы перейти к потенциалу, являющемуся однородной функцией первой степени, выполним преобразование Кельвина. Оно трансформирует лишь множитель, стоящий перед квадратной скобкой. Окончательно мы имеем решение задачи Коши, поставленной в начале раздела, в виде

2

X z

, .— у arctg—. (36)

z¿ + y¿ Z

Форма эквипотенциальных поверхностей поля ф, = const — квазиконическая. Ось х есть местоположение особых точек, где поле не определено, вблизи нее проходят все эквипотенциа-ли. Относительно плоскостей х = 0 и у = 0 поверхности симметричны, а плоскость z = 0 есть плоскость антисимметрии. В изучаемой области движения {х > 0, z > 0} эквипотенциальные поверхности с неотрицательными номерами есть незамкнутые, расширяющиеся от начала координат квазиконуса, вложенные друг в друга, не имеющие общих точек; эквипотенциальные поверхности с отрицательными номерами разбиваются на два крыла. Вид эквипотенциальной поверхности ф = 1 представлен на рис. 6.

Движение частиц в поле с потенциалом, выраженным формулой (36)

Рассмотрим движение заряженных частиц в пространстве, ограниченном двумя эквипотенци-

фф

выбрав ту часть, где х > 0 и z > 0. Уравнения движения частицы запишутся в виде

х = -

дф, дх'

Эф д

дф z = —

д

(37)

Рис. 6. Пространственный вид полевой структуры, выраженной формулой (17). Эквипотенциальная поверхность ф* :

-1

набор начальных условий определяется выражениями

х0 = -h,

.Уо=0,

z0=0,

х0 = ^2W sin 9 cos 8; у0 = ^2W sin9sin8; ¿0 =^2W cos9.

(38)

Запускаем конический пучок с вариацией углов -2° <Ъ<2° (относительно плоскости симметрии) и 71°< 9 <75° (относительно оси г). Численное моделирование показало, что режимов поперечной фокусировки в этом поле нет и плоскость у = 0 является плоскостью расталкивания частиц. Так, в области поля до 9, = 0 максимальный уход от плоскости симметрии для пучка с энергией Ж= 1 составляет Ду = 0,45, а пучка \¥= 10 — Ду = 3,2; встреча частиц с плоскостью х = 0, в дрейфовой части пространства, ДД

Обсуждение результатов

В данном исследовании мы рассмотрели семейство полевых структур, в которых поток заряженных частиц разделяется по спектрографическому принципу. Выбор данного семейства структур обусловлен несколькими причинами.

Во-первых, изучаемое поле в плоскости у = 0 есть модификация плоского зеркала (ПЗ). Плоское зеркало является «идеальным» спектрографом. Местоположение фокусов на нижней пластине линейно зависит от энергии частиц. Однако поперечной фокусировки в поле нет,

и расходящийся из точечного источника пучок создает изображение в виде отрезка, длина которого растет с ростом энергии. В нашем случае мы получили достаточно хорошую фокусировку по углу для широкого диапазона энергий, что обеспечивает высокое разрешение. Так, для варианта р, = 0 разрешение не более 0,002 практически во всем диапазоне энергий 1 < )¥< 10, в то время как в ПЗ г= 0,004. Приведенная энергетическая дисперсия в обоих случаях почти одна

в 1

и та же: — ~ 1. Размер пятна изображения отто-

и

чечного источника с начальным разбросом углов растет гораздо медленнее и в два раза меньше для больших энергий 1¥>6.

Вторая причина выбора — проверка теории синтеза спектрографических структур на основе потенциалов Донкина и анализ дисперсионных и фокусирующих свойств этих структур. Хотя изученные структуры и не обладают поперечной фокусировкой пучка, однако демонстрируют достаточно хорошие фокусирующие свойства по углу в направлении движения.

Представленное исследование хорошо иллюстрирует и расширяет класс электростатических спектрографов с плоскостью симметрии на основе однородных потенциалов с применением потенциалов Донкина, а также открывает новые перспективные возможности применения методов синтеза для спектрографических сред.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голиков, Ю.К. Обобщенный принцип подобия и его применение в электронной спектрографии [Текст] / Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова // Прикладная физика,— 2007,— N° 2,— С. 5—11.

2. Голиков, Ю.К. Электрические поля, однородные по Л. Эйлеру, для электронной спектрографии |Текст] / Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова // ЖТФ,- 2011,- Т. 81,- № 2,- С. 9-15.

3. Голиков, Ю.К. Теория синтеза электростатических энергоанализаторов [Текст] / Ю.К. Голи-

ков, Н.К. Краснова,— СПб.: Изд-во Политехи, унта, 2010,- 409 с.

4. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа : в 2 т. Т. 2 [Текст] / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон,— М.: Физматгиз, 1963,— 516 с.

5. Гринберг, Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений |Текст] / Г.А. Гринберг,— М.; J1.: Изд-во АН СССР, 1948,- 727 с.