Принцип кодирования угловых перемещений в системах с несбалансированным ротором Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.31 (075.8)

Г. Ф . Дробышев

ПРИНЦИП КОДИРОВАНИЯ УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СИСТЕМАХ С НЕСБАЛАНСИРОВАННЫМ РОТОРОМ

Рассматриваются условия, при которых возможно сформировать данные о пространственном положении оси вращения чувствительного элемента - сферического ротора - в бесплатформенной инерци-альной навигационной системе.

E-mail: epe@bmstu.ru

Ключевые слова: дебаланс ротора, вектор дебаланса, напряжение биения, ось вращения ротора, ось чувствительности.

Для пояснения принципа кодирования угловой информации в системах с разбалансированным ротором оказывается достаточным принять простую модель, в которой дебаланс массы ротора считается исключительно экваториальным, ось вращения ротора полагается проходящей через его центр масс, а геометрический центр при вращении ротора полагается вращающимся исключительно в экваториальной плоскости. Оставаясь в пределах этих допущений, введем в рассмотрение вектор дебаланса массы ротора 5, по модулю равный экваториальному дебалансу и направленный

от центра масс ротора 0 к его геометрическому центру О'. Из рис. 1 видно, что при вращении разбалансированного ротора вокруг своей оси с угловой скоростью Q проекция Х\ вращающегося в перпендикулярной плоскости вектора 5 на измерительную ось Oí, служащую осью чувствительности электрода, определяется выражением

Xí = Пp0i 5 = 5 sin aí sin Í2t, (1)

где 5 = |5| - радиальный дебаланс ротора; а - угол между осью

вращения ротора и измерительной осью.

Из (1) следует, что вращению разбалансированного ротора с угловой скоростью ^эквивалентны знакопеременные поступательные перемещения его в направлении измерительной оси с той же скоростью ^и амплитудой 5sin aí.

Возвращаясь к рис. 1, можно отметить, что когда в процессе вращения ротора вектор совпадает с проекцией оси чувствительности

Рис. 1. Определение положения разбалансированного ротора

электродной пары О^ на экваториальную плоскость ротора (положение <51 и ¿2), проекция самого вектора 8 на ось чувствительности

достигает своего экстремального значения и этим моментам времени соответствуют экстремальные смещения ротора в направлении оси чувствительности электрода, равные

= ±ösma .

(2)

Из этого факта можно сделать важное утверждение о том, что геометрический угол щ между проекциями каких-либо двух осей чувствительности О, и О)■ электродных пар на экваториальную плоскость ротора численно равен фазовому углу между моментами времени, в которые поступательные перемещения разбалансированного ротора в направлении этих осей чувствительности достигают своих экстремальных значений, т. е.

V.l.

-1

(3)

где t\y\ , t i - моменты времени, в которые поступательные пе-

\л i |max |Xj| max

ремещения разбалансированного ротора достигают экстремальных значений в направлении осей Oi и O¡ соответственно.

Если далее принять, не касаясь пока принципа работы устройства, преобразующего линейные перемещения ротора в электрический сигнал, что коэффициент передачи этого устройства равен K, то на его выходе будет напряжение

ивых = KXi = K8 sin a sin üt = U(a¡) sin üt. (4)

Это напряжение называется напряжением биения, а его амплитуда оказывается функцией положения оси вращения ротора относительно осей чувствительности электродов, установленных на корпусе прибора. Формулы (1) и (4) раскрывают, по существу, принцип кодирования угловых перемещений оси вращения ротора в электростатическом гироскопе в электрический сигнал посредством линейных перемещений оболочки ротора, вызванных биением. Реализация этого принципа, имеющего своей конечной целью измерение пространственных углов, фиксирующих положение оси вращения ротора относительно корпуса, осуществляется в устройствах, измеряющих либо амплитуду напряжений биения, либо фазу между ними. Выбор того или иного метода, в конечном счете, определяется возможностью достижения желаемой точности измерения.

Выражение (2) устанавливает связь проекции вращающегося в перпендикулярной к оси вращения ротора плоскости (орбитальной плоскости, см. рис. 1) вектора смещения 8 на ось чувствительности Ог с углом а между этими осями. Для определения мгновенного углового положения оси вращения ротора в пределах всего или части пространства (косоугольная система координат) необходима информация, по крайней мере, о трех углах а, а также о других функционально связанных с ними углах. Установим совокупность названных углов и их функциональную связь.

Для этого рассмотрим следующую идеальную модель пространственного расположения электродов подвеса сферического ротора: система электродов подвеса содержит в общем случае 2п попарно противоположных электродов, оси симметрии (чувствительности) которых будем считать пересекающимися в единственной точке - центре подвеса. Тогда с учетом принятых выше допущений будем иметь п пересекающихся в одной точке осей чувствительности. Далее будем полагать, что идеальносферический ротор имеет радиальный дисбаланс. Угловое положение оси вращения разбалансированного ротора будем фиксировать относительно совокупности осей чувствительности посредством углов, составляемых ею с направлениями осей чувствительности, принятыми за положительные. Рассмотрим пару произвольно взятых осей чувствительности ротор-электродных пар Ог и О,, с положительными направлениями которых ось вращения ротора составляет углы а и а, удовлетворяющие соотношению

О<а, а] <90(5)

Установим функциональную связь углов а и а, и угла между проекциями положительных направлений осей чувствительности Ог и О) на плоскость, в которой вращается геометрический центр ротора, т. е. на экваториальную плоскость ротора. Для этого выполним необходимые геометрические построения (рис. 2), а именно: в произвольно взятой

точке Ы, расположенной на оси вращения ротора, проведем перпендикулярную к ней плоскость, точки пересечения которой с положительными направлениями осей Ог и О] обозначим соответственно I и J. Далее опустим перпендикуляры из точек I и Л до пересечения с плоскостью, в которой вращается геометрический центр разбалансированного ротора, образовав таким образом точки I 'и J . В результате выполненных построений можно утверждать, что отрезки О1' и OJ' представляют собой часть проекции положительных направлений осей чувствительности Ог и О] на плоскость, в которой вращается геометрический центр разбалансированного ротора, и при этом Z I'ОЛ' = Z ЛЫ1 Из треугольников ОЛ и ЫЛ , используя известную из геометрии теорему косинусов, можно получить следующее равенство:

(

ON

V Г +

V cosa j

ON

cosa,

V J J

2ONON

cos a cos J

cos A, =

= (ON tg а )2 + (ON tg aj )2 - 2ON2 tg atg aj cos <,

где Aj - геометрический угол между осями чувствительности Oj и Oj; щ - геометрический угол между проекциями положительных направлений осей чувствительности Oj и Oj на плоскость, в которой вращается геометрический центр ротора, < = Z INJ.

Рис. 2. Определение геометрических углов, фиксирующих положение оси вращения ротора

Выполнив в последнем равенстве тригонометрические преобразования, получим:

COS a COS CCj - COS Aj = - sin a sin CCj cos <. (6)

Данное уравнение есть уравнение функциональной связи углов, составляемых осью вращения ротора с положительными направлениями двух осей чувствительности ротор-электродных пар, и угла между проекциями этих двух осей чувствительности на плоскость, в которой вращается геометрический центр несбалансированного ротора, причем в качестве постоянного параметра в это уравнение входит геометрический угол между положительными направлениями рассматриваемых осей - угол А,.

Следует отметить, что наложенное выше ограничение (5) на область допустимых значений углов и в процессе угловых перемещений корпуса прибора относительно неподвижного в пространстве направления оси вращения ротора может быть нарушено как для одной из рассматриваемых осей чувствительности, так и для обеих одновременно. В первом случае уравнение, аналогичное уравнению (6), может быть составлено для положительного направления одной оси чувствительности, а для отрицательного - другое, при этом вместо

угла А, в соответствующее уравнение необходимо подставить значе-

*

ние смежного с ним угла А,, = 180 -А,, . Во втором случае, уравнение

вида (6) можно составить для отрицательных направлений осей чувствительности О, и О,, и в него войдет тот же угол А,.

В общем случае уравнения, аналогичные уравнению (6), можно получить для каждой пары осей чувствительности. Используя аппарат теории комбинаторного анализа1, можно показать, что при наличии п осей чувствительности ротор-электродных пар общее число возможных уравнений вида (6) будет следующим:

с 2 = п! = п(п-1)

Сп '

2!( n - 2)!

где C2 — число сочетаний из n элементов по 2.

n

Таким образом, в общем случае можно получить следующую совокупность из П(П„- 1 уравнений функциональной связи:

cos a1 cos а2 - cos A12 = - sin a1 sin a2 cos cosa cosa3 - cos A13 =- sina1 sin a3 cos^3;

cos a cos c(j - cos Aj = - sin a sin c(j cos <py; (7)

COS an-1 cos an - cos An-1n = - sin an-1 sin an cos <n-1n;

i = 1, ..., n, j = 1,..., n i * j.

1 Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969.

Анализируя полученную систему уравнений функциональной связи, следует отметить, что она является системой трансцендентных уравнений и не может быть в общем случае решена аналитически относительно неизвестных углов а. Для этого необходимо применить численные методы решения с использованием ЭВМ, что в случае больших порядков системы (больших п) потребует значительных затрат машинного времени, практически неприемлемых при работе в реальном масштабе времени. Кроме того, нетрудно заметить, что данная система содержит уравнений больше, чем число входящих в эти уравнения неизвестных (число неизвестных п, а число уравнений связи п(п-1)/2), что дополнительно увеличивает затраты машинного

времени на выбор необходимых п уравнений. В связи с этим целесообразно определить минимальное число уравнений связи вида (6), достаточное для однозначного определения угловой ориентации оси вращения ротора относительно совокупности п осей чувствительности. Очевидно, что минимальное число уравнений функциональной связи (6), позволяющее точно определить входящие в них неизвестные, соответствует числу этих неизвестных. Математически данное условие выражается следующим уравнением:

п(п -1)

—-- = п,

2

из которого получаем п = 3. Это означает, что система уравнений функциональной связи (7), составленная для любой совокупности трех осей чувствительности в принципе может быть однозначно разрешена относительно трех неизвестных углов а :

cos am cosap - cos Amp = - sin am sin ap cos <pmp; cos a„ cos aq - cos Anq =-sin a„ sin aq cos «;

p q рц p q рц

cos aq cos am - cos Aqm =- sin aq sin am cos <qm

1 < m, p, q < n; m Ф p Ф q.

(8)

Приведенные уравнения позволяют при известных значениях углов <рт, (ррч, <рдт определить три угла ат, ар, ач, составляем^1х осью вращения ротора с тремя осями чувствительности От, Ор и Од. При этом можно показать, что из полной совокупности уравнений связи (7) можно выделить несколько систем трех уравнений вида (8), отличающихся друг от друга хотя бы одним уравнением функциональной связи вида (6). В результате получаем

с3 = п! = п(п -1)(п - 2) (9)

п 3!( п - 3) 6 .

Если рассматривать совокупность п осей чувствительности в качестве некоторой п-осной системы координат с началом в точке пересечения осей чувствительности ротор-электродных емкостных пар и положительными направлениями координатных осей, соответствующими принятым за положительные направления осей чувствитель-

п(п - 1)(п - 2)

ности, то тогда любую из -троек осей чувствительности

6

можно считать в общем случае косоугольной трехосной системой координат с началом, совпадающим с началом п-осной системы и координатными осями, направленными по соответствующим трем координатным осям п-осной системы координат. В этом случае решение соответствующей системы трех уравнений (8) имеет смысл для определения углового положения оси вращения ротора относительно, в общем случае, косоугольной трехосной системы координат, жестко связанной с корпусом прибора. Поскольку взаимная ориентация ко-

_ „ п(п - 1)(п - 2)

ординатных осей любой из - трехосных систем коорди-

6

нат определяется конкретной конструкцией подвеса ротора, а именно взаимным расположением осей чувствительности ротор-электродных емкостных пар, то в общем случае, как уже отмечалось, трехосная система координат, оси которой направлены по соответствующим трем осям чувствительности емкостных пар, будет косоугольной (хотя бы один из углов А, ^ 90°). В то же время при построении бесплатформенных инерциальных навигационных систем для реализации перехода к инерциальной системе координат угловые координаты осей вращения гироскопов БИНС фиксируются в прямоугольной базовой системе координат. Поэтому в целях обеспечения представления информации об угловом положении осей вращения гироскопов в форме, удобной для использования в БИНС, необходим переход от физической трехосной косоугольной системы координат с координатными осями, направленными по соответствующим трем осям чувствительности ротор-электродных пар, к воображаемой прямоугольной базовой системе координат.

Статья поступила в редакцию 15.11.2011