CC BY
52
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС 77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
Анализ уравнений функциональной связи в электростатическом гироскопе (ЭСГ)
Инженерное образование # 12, декабрь 2012 Б01: 10.7463/1212.0506112 автор: Дробышев Г. Ф.
УДК 621.31
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана в [email protected]
Пространственное положение оси вращения разбалансированного ротора ЭСГ относительно положительного направления трех осей
а,
чувствительности емкостных датчиков устанавливается тремя углами ' . связанными меяеду собой системой трех уравнений вида [1]:
COSCi^ 1 — C°S А
:з
COSfZj -COSO^ — cos Л? COS£Z3 ■ COSÖTj - cos А1Ъ
-зтц 1 smör2 ■ cos<ри -sinet, • sina^ "Cos^3 sша3 -sin^ • cos^
(i)
Эта система, в принципе, позволяет при известных значениях углов
Л12 А1Ъ Ахъ <plz
определить
неизвестные три угла
составляемых осью вращения ротора с тремя осями чувствительности O1, O2, O3.
Для однозначного определения произвольной угловой ориентации оси вращения ротора в диапазоне 0-360° система уравнений
функциональной связи [ 1] должна обеспечивать однозначную функциональную связь входящих в нее геометрических углов
а.
4- %
"а т;:
" , . В то же время при выводе основных уравнений связи на область допустимых значений углов , фиксирующих угловую ориентацию оси вращения ротора, было наложено ограничение (1.8), устанавливающее, что ось вращения не совпадает и не перпендикулярна ни одной из осей чувствительности ротор-электродных пар. Очевидно, что при угловых перемещениях оси вращения в широком диапазоне углов возможны и такие ее положения, когда наложенное ограничение не удовлетворяется, во всяком случае, для одной из осей чувствительности.
От указанного недостатка свободна октантная система электродов подвеса [12], в которой оси чувствительности ротор -электродных пар совпадают с диагоналями куба с вершинами в центрах электродов подвеса (рис. 1).
Рисунок 1.
В результате очевидных тригонометрических вычислений можно показать, что для октантной системы электродов подвеса взаимное расположение положительных направлений осей чувствительности ротор-электродных пар характеризуется следующими количественными соотношениями:
Тогда система уравнений функциональной связи вида (1) относительно углов, составляемых осью вращения ротора, например с положительными направлениями осей 1, 2 и 3, будет иметь следующий вид:
Обозначив
сохй^ = Д. со$а2 - - Оъ
, перепишем систему (2) в виде:
Разрешив уравнения системы (3) относительно О2, О3, ^соответственно, получим следующие алгебраические выражения:
Рассматривая первое из полученных алгебраических выражений при
и выполнив его дифференцирование
по аргументу, а затем, приравняв получившееся выражение поочередно нулю и бесконечности, найдем координаты характерных точек
ЯА> соз^2)
функции рис. 2
Рисунок 2.
соз®., <0
Возвращаясь к первому уравнению системы (2), можно отметить, что в случае, если 1имеет место £>;1)_1>1/3 и,
следовательно, точка решения -лежит на участке 2-3 (рис. 2), в противном случае — на участке 2-1 — 4-3. Выполнив
соответствующие алгебраические преобразования и при
со
>1/3
, также получим координаты характерных точек
функции
рис. 3
Рисунок 3.
Рисунок 4.
cos <р%л <0
В этом случае также справедливо утверждение, что при 1 точка решения лежит на участке 2-3, в противном случае
/(ZX-COS0,,) /(Д,созец)
— на участках 1-2 или 3-4. Поскольку функция " ' —J идентична функции "
вычисление координат ее характерных точек приводит к аналогичным выражениям с теми же замечаниями к области нахояедения * _*
точки решения
Рассматривая третье уравнение системы (2), можно отметить, что вследствие имеющего место неравенства ДрОу > 0, для того, чтобы
это уравнение могло обратиться в тождество, должно иметь место
cos (рЪ1 <1/3
а, следовательно, график функции
/(-Д, cos ipn) f (Д, cos )
" аналогичен графику функции L " (рис. 3) в области отрицательного аргумента
(-Д)с соответствующими алгебраическими выражениями для координат характерных точек кривой
/(-/>3,008^)
Таким образом, анализ функциональных зависимостей системы (4) показал, что соответствующие функции являются непрерывными и монотонными на участках их изменения, вследствие чего функциональное уравнение вида х = -Р(Х), где х иЕ(х), в частности, могут
ДД,соз^2)
быть равны соответственно В и имеет решение и притом единственное, которое может быть найдено с
необходимой точностью одним из численных итерационных методов решения функциональных уравнений вида х = -Р(Х). В результате
О* д*
численного решения функционального уравнения определяются две из трех необходимых точек решения (в частности — и ),
*
а после преобразования в одной из двух оставшихся координатных плоскостей находится и последняя точка решения
а
При перемещениях оси вращения ротора в широком диапазоне углов возможно ее совпадение с одной из осей чувствительности (для определенности будем считать, что ось вращения совпала с положительным направлением 1-ой оси чувствительности). В этом случае
а,
для определения трех углов ' , фиксирующих пространственную ориентацию оси вращения ротора, уравнения связи можно составить для углов, образуемых осью вращения ротора с положительными направлениями 2 и 4 осей чувствительности и отрицательным направлением 3-ей оси. Соответствующая этому случаю, система уравнений связи будет иметь вид:
си
Под в данном случае понимается угол, составляемый осью вращения ротора с отрицательным направлением 3 -ей оси чувствительности. Система уравнений (5) в результате аналогичных, выполненных выше, преобразований может быть приведена к совокупности алгебраических выражений вида
А ^Д-А^^А ^Л-Д.соз^ДД=Д-А,ссиф_о
(6)
где
cosa4 = A-cosa3 = A?cosa, = ZX-0 < Д, Д, Д < 1
Примерный вид кавдой из зависимостей (6), построенной с учетом того, что в данном случае
, приведен на рис. 4, где координаты точек 1 и 2 соответствуют координатам точек 1 и 4 на рис. 3. Анализируя зависимости (6), можно также утверждать, что функции / в рассматриваемом случае непрерывны и монотонны в интервалах их изменения, а поэтому так же функциональное уравнение х = F(x), соответствующее любой
из функциональных зависимостей системы (6), имеет единственное решение, которое может быть найдено одним из сходящихся итерационных методов решения функционального уравнения х = F(x).
Таким образом, при любой угловой ориентации оси вращения ротора относительно осей чувствительности четырехосной (октантной)
а,
системы электродов подвеса, три угла 1 , могут быть однозначно определены в результате численного решения соответствующей системы трех трансцендентных уравнений функциональной связи. Очевидно, что для решения такой системы уравнений должны быть
также известны значения всех других углов, входящих в систему, а именно: углов совокупности и " . Как уже отмечалось,
4,
" тл
At,
а
совокупность геометрических углов " определяется исключительно конструкцией прибора (взаимным расположением осей симметрии ротор — электродных пар) и является постоянной, не зависящей от угловой ориентации оси вращения ротора, а элементы этой совокупности углов войдут в соответствующую систему уравнений связи в качестве постоянных. В то же время совокупность
фц
углов не является постоянной, а трансформируется в зависимости от положения экваториальной плоскости ротора и, соответственно, оси вращения ротора, Таким образом в данном случае для определения мгновенного углового положения оси
а,
вращения ротора в косоугольной системе координат (мгновенных значений, по крайней мере, трех углов 1 ) необходимо измерить
%
функционально связанные с ним три угла у .
Естественно принять, что система измерения этих углов должна органически вписываться в конструкцию ЭСГ и, что особенно важно, осуществлять измерение с помощью бесконтактных датчиков. В [1] изложен принцип кодирования угловых перемещений оси вращения ротора посредством эффекта модуляции зазора электрод — ротор, вызванного вращением разбалансированного ротора, поэтому логично было использовать бесконтактный емкостной датчик линейных перемещений, уже нашедший применение в конструкции ЭСГ в системе подвеса ротора. В новых условиях на его выходе появится напряжение биения на частоте вращения ротора, параметры которого будут содержать информацию об его угловых перемещениях (формула 1.4). Там же указано, что измерение
геометрических углов - между проекциями каких-либо двух осей чувствительности Ок и О), электродных пар на экваториальную плоскость ротора может быть осуществлено посредством измерения временных интервалов между экстремумами линейных перемещений ротора в направлении этих осей (формула 1.3). Таким образом окончательно можно сделать вывод о том, что
9и
геометрический угол численно равен разности фаз меяеду напряжениями биений на выходе соответствующих датчиков линейных перемещений ротора, то есть
ж as LJma*
где — моменты времени, в которые напряжения биений на выходе датчиков линейных перемещений ротора
по г-ой и j-ой осям чувствительности соответственно достигают своих экстремальных значений.
Выводы: Анализ уравнений функциональной связи в ЭСГ указывает на возможность вычисления неизвестных углов, составляемых осью вращения ротора с осями чувствительности в пространственно-фазовом методе при ограничении, что ось вращения не совпадает и не перпендикулярна ни одной из осей чувствительности. Для однозначного определения произвольной ориентации оси вращения ротора в диапазоне 0-К360°, когда такая ситуация может быть, необходимо перейти к четырехосной (октантной) системе осей чувствительности.
Список литературы:
1. Дробышев Г.Ф. Принцип кодирования угловых перемещений в системах с несбалансированным ротором // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. Спец. вып. «Электротехника и электроника». С. 95-101.
2. Avionics. Light Compact Navigator // Aviation Week & Space Technology. 1970. No 9. P. 51-55.
