CC BY
6
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ И ПРОИЗВОДСТВАМИ
УДК 681.513.5
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-2-449-454
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ КВАЗИОПТИМАЛЬНОЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ И ЭНЕРГОЗАТРАТАМ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОУСТАНОВКОЙ
В.С. Хорошавин, В.С. Грудинин
Предлагается свести решение многокритериальной задачи по быстродействию, энергозатратам и точности к решению задачи устойчивого программного движения с помощью условий общности положения для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат, учитывающим объект, критерий и время. Из эффективных решений по времени перехода и амплитуде управления определяется параметр инерционности программного движения, обеспечивающий в устойчивой замкнутой системе квазиоптимальность по быстродействию и энергозатратам. Показана эффективность предлагаемого подхода для объекта общего вида и электротермической установки. Полученные результаты сопровождаются моделированием, подтверждающим аналитические расчеты.
Ключевые слова: быстродействие, энергозатраты, программное движение, принцип максимума, особое управление, условия общности положения, устойчивость.
Введение. Задачи обеспечения в переходных режимах минимальных временных, материальных, энергетических затрат и точности воспроизведения программного движения, а также устойчивости конечного стационарного состояния являются основными задачами оптимального управления электроустановками. Для электротехнических процессов и установок в качестве критерия энергозатрат используется интегральный функционал с квадратичной по управлению подынтегральной функцией, учитывающей мощность электрического сигнала напряжения или тока. Получить предельное энергосбережение классическими методами оптимального управления в замкнутой системе со стационарными обратными связями не удается из-за трансцендентности уравнений траекторий и управлений, к тому же нужно будет дополнительно решать задачу стабилизации конечного состояния.
Данная работа является продолжением работы [1], в которой было показано построение квазиоптимальной по быстродействию и энергозатратам замкнутой системы управления электроустановкой с примером модели первого порядка для нулевого начального состояния. Целью данной работы является развитие предложенного в [1] подхода по анализу и синтезу многокритериальных квазиоптимальных систем на основе особого (в смысле принципа максимума) оптимального управления.
Методы исследования. Обзор методов решения задач оптимального управления при квадратичном по управлению функционале приведен в [1, 2]. Предлагаемый способ синтеза программного движения на основе особого оптимального управления, учитывающий быстродействие, энергозатраты и устойчивость, характеризует синергетический подход на основе методов классического вариационного исчисления [2], принципа максимума и условий общности положения для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат [3], теории принятия решений [4], качественной теории дифференциальных уравнений [5], моделирования [6], синтеза алгоритмов и структур [7].
Результаты. Покажем применение предложенной в [1] методики в задачах управления общего вида с произвольными граничными условиями (пример 1) и электротермической установкой (пример 2).
Пример 1. В продолжение примера работы [1] рассмотрим управление линейным объектом первого порядка, динамика которого описывается дифференциальным уравнением
x1 = U — х1, (1)
где коэффициент усиления и постоянная времени равны 1, на управление и состояние наложены ограничения 0<U < 1, 0< х± <1. Выбор объекта объясняется меньшей громоздкостью вычислений и большей прозрачностью результатов для оценки вычислительных, временных и энергетических затрат и
449
оценки устойчивости получаемых решений. В отличие от работы [1] примем произвольные граничные условия: начальное хх(0) = х1н, конечное х±(Т) = х1к.
Рассмотрим программное движение для объекта (1) с критерием
т Л
1 = /о (*1к +(*1н -х1к)е т — хх)2^£:, (2)
т.е. желаемым для исходного объекта (1) будет движение по экспоненте с изменяемой постоянной времени или параметром инерционности т.
Для решения задачи (1, 2) в [1] применены условия общности положения для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат К„+2, учитывающими объект, критерий и явное вхождение времени. Хотя можно применить метод структурного синтеза [8] или метод решения обратных задач динамики [9], но отметим достоинства условий общности положения по сравнению с временными методами: 1) расширение множества алгоритмов особого управления, 2) условия общности положения основаны на менее трудоемкой операции дифференцирования, а не интегрирования.
Особое управление в (1, 2) равно
и = х1к + (х
1к
что после исключения времени дает алгоритм управления в замкнутой системе
х1к т)
(3)
(4)
не зависящий от начального состояния х1н и совпадающий с полученным в [1] при х1н = 0. При этом структура замкнутой позиционной системы, показанная в [1, рис.5], сохраняется, т.е. свойства программного движения для линейного объекта с нелинейным квадратичным критерием сохраняются при произвольных граничных условиях.
Анализ поведения системы удобно провести на фазовой плоскости с координатами и и хг в зависимости от параметра т и задания граничных условий на линии стационарных состояний и = хг (рис. 1).
Рис. 1. Фазовый портрет программного движения при произвольных граничных условиях
Фазовые траектории при 0<т<го лежат в незаштрихованных областях: слева для х1н <х1к, справа для х1к <х1н. В заштрихованных областях рабочие режимы отсутствуют. Рассуждения о фазовых траекториях при х1н <х1к приведены в [1]. Рассуждения о выходе на ограничение и = 0 при переходе х1к <х1н аналогичны рассуждениям о выходе на ограничение и = 1 при переходе х1н <х1к. Отметим, что хотя управление и = 0 дает минимум энергозатрат, но при снижении с х1к <х1н с заданной инерционностью т иногда включается участок с иф 0.
Отметим также, что при х1н <х1к и т^0 получаем предельное быстродействие в виде скользящего режима, обеспечивающего робастное [10], т.е. устойчивое к возмущениям, управление, как в системах с большим коэффициентом усиления в прямой цепи замкнутой системы. Но в скользящем режиме высоки энергозатраты, которые можно уменьшить, снижая амплитуду управляющего воздействия.
Величина энергии на интервале времени £ 6 [0,3т], затрачиваемой с управлением и (3) при переходе из х1н в х1к, равна
•L
т Т2(3Х1к2 + 2 Х1нХ1к+ ХХн2) + 2т(хХк2 ХХн2) (хХк Х1н)2
U^-at =-
о 2т
Зависимость энергии Е от параметрах, показанная на рис. 2 для х1н = 1,х1к = 0,5, при граничных условиях х1к <х1н имеет более ярко выраженный экстремум, чем при переходах х1н <х1к, что объясняется наличием участков с и = 0.
На рис. 3 и рис. 4 приведены графики переходных процессов для и хх(£:), полученные моделированием в программе Simulink пакета MatLab [6] для различных граничных условиях и параметрах инерционности без возмущения и с возмущением, подтверждающие теоретический анализ управлений и траекторий программного движения, квазиоптимального по быстродействию и энергозатратам с устойчивым характером переходных процессов.
Рис. 3. Процесс без возмущения для х1н = 1,х1к = 0, 5,т = 0. 3
Step ^- I-1 V
Qivde Salurion
Add Integrator
ИКъ
м
№
Scope
Constant! Stepl
View 1 warning 125%
Э Scope
db' i n^FS BiliT«
Рис. 4. Процесс с возмущением для х1н = 0, х1к = 0, 5, т = 0.005
451
Пример 2. Постановку задачи возьмем из работы [2] (обозначения переменных изменены на применяемые в данной работе): «Рассмотрим электротермический объект (сушильный шкаф), динамика которого с приемлемой для инженерной практики точностью описывается дифференциальным уравнением второго порядка
М2х(0 + (Й! + Ь2ЖО + х(0 = Ш(0 (5)
с параметрами Ьх=59,5 мин, Ь2=17,7 мин, ^=0,768° С/В, причем сигнал управления ограничен величиной < Ут=220 В.
Необходимо найти управление, переводящее объект из нулевого начального состояния х(0) = х(0) = 0 в заданное конечное состояние (х(Г) = хк,х(Г) = 0) с минимальным значением энергии сигнала управления
Я = /0^У(02^тт, (6)
где хк = (50 ^ 100)°С - заданное значение регулируемой температуры объекта; Д = 59 Ом - сопротивление электронагревателя объекта; Т - длительность интервала энергосберегающего управления.»
Применить результаты работы [1] к задаче (5, 6) можно, если перейти от дифференциального уравнения второго порядку (5) к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка либо в нормальной форме (форме Коши) либо в форме последовательного соединения двух инерционных звеньев первого порядка, что потребует дополнительного исследования. В данном случае для непосредственного использования результатов работы [1] и рассмотренного там примера аппроксимируем динамику объекта (5) в окрестности конечной точки хк моделью первого порядка
Г1х1=^и — хх. (7)
Коэффициент к остается без изменений, а постоянная времени 7\ аппроксимирующего звена вычисляется из равенства момента времени £к достижения конечной точки хк в переходных процессах реального объекта (5) и аппроксимирующего звена (7) под управлением и = ит = 220 В. Для хк = 50 °С получим £к = 37 мин, 7\ = 105 мин. Отметим, что возможны и другие варианты аппроксимации, например условная и приближенная [11, 12] аппроксимации в диапазонах состояний по частотным характеристикам или по методу наименьших квадратов.
Для аппроксимирующего звена рассмотрим программное движение с изменяемым параметром
инерционности т по соответствующей траектории и управлении
г
Ч
(О = Хк (1 - е"^), = ^ (1 +
что дает алгоритм управления в устойчивой замкнутой системе
Хк -Х!(1 ~ т)
Расход энергии Е (6) на интервале переходного процесса С6 [0,3т7\] равен
х2^ /3т2 +2т + 1
Г"» Л 1
Д^2 \ 2т
минимум которой по условию ЗЯ/Зт = 0 достигается при топт = 0,58, тогда Е = 342,38 Втчас. Расход энергии с релейным управлением ит = 220 В для достижения хк = 50 °С за время £к = 37 мин равен 505,87 Втчас, т.е. выигрыш в энергии при программном движении составляет 32,3%.
При более корректном сравнении с соответствующим хк релейном управлении Ук = хк/&, т.е. при т = 1, расход энергии равен 377,05 Втчас и выигрыш по сравнению с программным движением составит 9,2%, но быстродействие увеличивается в 1/топт =1,72 раза в устойчивой замкнутой системе.
Заключение. Показано нахождение алгоритмов квазиоптимальных по быстродействию и энергозатратам управлений в устойчивых замкнутых структурах через решение задач программного движения с изменяемой длительностью переходных процессов с помощью аппарата условий общности положения для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат, учитывающих объект управления, критерий точности и явное вхождение времени.
Показано аналитическое и численное определение наилучших для энергосбережения параметров инерционности программного движения, используемых в дальнейшем в системах автоматизации проектирования и базы знаний в системах нечеткого управления.
Результаты работы могут быть использованы в задачах многокритериальной оптимизации инерционных процессов, в том числе нелинейных и высокого порядка при соответствующей аппроксимации.
Список литературы
1. Хорошавин В.С., Грудинин В.С. Построение квазиоптимальной по быстродействию и энергозатратам замкнутой системы управления электроустановкой // Инженерные технологии и системы. 2022. Т. 32, № 2. С. 279-294.
2. Ловчаков В.И. Аппроксимационный подход к синтезу систем регулирования на основе оптимального программного управления // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. №. 3. С. 225-236.
3. Хорошавин В.С., Зотов А.В. Особое оптимальное управление нелинейными объектами. Киров: Вятский государственный университет, 2019. 208 с.
4. Евланов Л.Г. Теория и практика принятия решений. М.: Экономика, 1984. 176 с.
5. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.
6. Черных И.В. Система численно-математического моделирования MatLab. Система моделирования динамических систем Simulink [Электронный ресурс]. URL: http://bourabai.ru>cm/simulink.htm (дата обращения: 10.02.2023).
7. Хорошавин В.С. Структурный синтез управляющих устройств оптимальных систем. Киров: Вятский государственный университет, 2020. 132 с.
8. Бойчук Л.М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. М.: Энергия, 1971. 112 с.
9. Крутько П.Д., Попов Е.П. Обратные задачи динамики управляемых систем и оптимальные процессы // Доклады АН СССР, 1982. Том 263, 5. С. 1078-1082.
10. Рачков М.Ю. Оптимальное управление в технических системах. М.: Юрайт, 2018. 120 с.
11. Ловчаков В.И. Аналитический синтез квазиоптимальных по быстродействию регуляторов для линейных объектов на основе условно адекватных моделей низкого порядка. Часть 1 // Мехатроника, автоматизация, управление, 2022. Том 23, 2. С. 68-78.
12. Ловчаков В.И. Аналитический синтез квазиоптимальных по быстродействию регуляторов для линейных объектов на основе условно адекватных моделей низкого порядка. Часть 2 // Мехатроника, автоматизация, управление, 2022. Том 23, 3. С. 115-124.
Хорошавин Валерий Степанович, д-р техн. наук, профессор., khoroshavin@yyatsu.ru, Россия, Киров, Вятский государственный университет,
Грудинин Виктор Степанович, канд. техн. наук, доцент, grudinin@yyatsu.ru, Россия, Киров, Вятский государственный университет
EXAMPLES OF CONSTRUCTING A QUASI-OPTIMAL CLOSED-LOOP CONTROL SYSTEM FOR ELECTRICAL INSTALLATION IN TERMS OF SPEED AND ENERGY CONSUMPTION
V.S. Khoroshavin, V.S. Grudinin
It is proposed to reduce the solution of a multicriteria problem in terms of speed, energy consumption and accuracy to solving the problem of stable program motion using the conditions of generality ofposition for nonlinear objects in an extended coordinate space that takes into account the object, criterion and time. From effective solutions in terms of transition time and control amplitude, the inertia parameter of the program movement is determined, which ensures quasi-optimality in terms of speed and energy consumption in a stable closed system. The effectiveness of the proposed approach for a general object and an electrothermal installation is shown. The obtained results are accompanied by modeling confirming the analytical calculations.
Key words: speed, energy consumption, program movement, maximum principle, special control, conditions of general position, stability.
Khoroshavin Valerii Stepanovich, doctor of technical sciences, professor, khoroshavin@vvyatsu.ru, Russia, Kirov, Vyatka State University
Grudinin Victor Stepanovich, candidate of technical sciences, docent, grudinin@vyatsu.ru, Russia, Kirov, Vyatka State University
