Примеры отсутствия бегущей волны для обобщенного уравнения Кортевега--де Фриза--Бюргерса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.634

А.В. Казейкина1

ПРИМЕРЫ ОТСУТСТВИЯ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА-БЮРГЕРСА*

В настоящей работе строится пример выпуклой функции /(и), для которой обобщенное уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргерса щ + (/(и))х + аиххх — Ьихх = 0 не имеет решения вида бегущей волны с заданными пределами на бесконечности. Пример демонстрирует трудности при анализе асимптотики решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса, которые отсутствуют для уравнения типа закона сохранения, уравнения типа Бюргерса и его дифференциально-разностного аналога.

Ключевые слова: уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргерса, бегущая волна.

1 Факультет ВМК МГУ, студ., e-mail: kazannaQbk.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 08-07-00158. Работа проведена в рамках реализации ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (1.2.1, НК-15П(3)).

9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

1. Введение. Задача изучения асимптотического поведения решения задачи Коши для квазилинейных уравнений в частных производных получила довольно широкое развитие в последнее время. Это связано, в частности, с использованием метода автомодельной редукции для решения дифференциально-разностных уравнений. Метод автомодельной редукции заключается в том, что разность значений функции раскладывается по формуле Тейлора до некоторого порядка, и вместо дифференциально-разностного уравнения изучается соответствующее уравнение в частных производных. Рассмотрим, например, дифференциально-разностное уравнение, описывающее создание и заимствование новых технологий в модели Полтеровича-Хенкина [1]. Если при применении метода автомодельной редукции к этому уравнению в формуле Тейлора брать члены только первого порядка, то получается уравнение типа закона сохранения, при использовании членов второго порядка — обобщенное уравнение Бюргерса, при рассмотрении членов до третьего порядка включительно задача сводится к изучению обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса (далее КдФБ). Таким образом, для обоснования метода автомодельной редукции или установления границ его применимости необходимо изучить, насколько схожа асимптотика решений задачи Коши для перечисленных выше уравнений.

Поведение решения задачи Коши для уравнения типа закона сохранения

Щ + (/0))х = О

и уравнения Бюргерса

Щ + (/0))х - Ьихх = 0 (1)

с начальными данными

и(х, 0) = щ(х), Нт = и±

х—>-±ос

изучалось в [2]. Если и+ > и- и /(и) выпуклая, то асимптотика имеет вид волны разрежения. Если и.|_ < и-, то асимптотика представляет собой ударную волну в случае закона сохранения и бегущую волну в случае уравнения Бюргерса, причем критерием существования такого решения является то, что /(и) удовлетворяет энтропийным условиям на («+,«_). Значения соответствующей волны всегда лежат в интервале («+,«_), и, следовательно, ее поведение целиком определяется поведением функции /(и) на (и+,и-).

Решение задачи Коши для закона сохранения в случае произвольной /(и) исследовано в [3]. Асимптотика имеет вид системы чередующихся ударных волн и волн разрежения: если и+ < то тем участкам, на которых выпуклое замыкание /(и) совпадает с самой функцией /(и), соответствуют волны разрежения, остальным участкам — ударные волны.

Для дифференциально-разностного аналога уравнения Бюргерса асимптотика также представляет собой систему волн: тем участкам, на которых выпуклое замыкание /(и) совпадает с самой функцией /(и), соответствуют волны разрежения, остальным участкам — бегущие волны (см. [4-6]). Кроме того, сдвиги фаз волн в этом случае могут зависеть от времени. Данный результат для уравнения Бюргерса доказан в [7].

Для уравнения КдФБ

Щ + (1(и))х + аиххх - Ьихх = 0 (2)

в случае, когда /(и) выпукла и и+ > волна разрежения будет глобально устойчивой, как для закона сохранения и уравнения Бюргерса (см. [8]). Случай и+ < и- исследован для функции /(и) = и2. Если выполнено условие на параметры задачи

^ - «+, (3)

V N

то бегущая волна для уравнения КдФБ существует, монотонна и локально устойчива [9]. Если (3) нарушается, то бегущая волна для уравнения КдФБ существует, но не является монотонной, и ее значения могут превосходить и,- [10]. В [11] доказана локальная устойчивость немонотонной бегущей волны при небольших отклонениях Ь/у/\а\ от 2^/и- — и+.

Если /(и) — произвольная выпуклая функция, то условия

Г 4= ^ 2^/4«-) - А, а>0,

^Ь ,__(4)

V у —а,

обеспечивают существование и монотонность бегущей волны (см. [12]). В данной работе продемонстрировано, что если условие (4) не выполнено, то выпуклости функции /(и) на («+,«_) недостаточно для существования бегущей волны. Также показано, что если условия (4) выполняются, то нельзя ослабить требование выпуклости /(и), заменив его на энтропийные условия. Таким образом, необходимы дополнительные требования на поведение функции /(и) при и > чтобы обеспечить существование бегущей волны. Это свидетельствует о том, что асимптотику решения задачи Коши для уравнения КдФБ не удается построить таким способом, каким она строится для закона сохранения, уравнения Бюргерса и его дифференциально-разностного аналога.

2. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение КдФБ (2). В данной работе бегущей волной для уравнения КдФБ будем называть u(x,t) = ср(х — Аt):

1) (р{х — Аt) — решение уравнения КдФБ;

2) lim cp(s)=U-, 3 lim cp(s) = u+;

S-7- — 00 S-7- + 00

3) 3 lim <p'(s) = 0, 3 lim <p"(s) = 0.

s—»±00 s—»±00

Будем предполагать, что выполнены условия:

(a) а, Ь G Ж, Ь > 0 (положим для определенности а > 0);

(b) и+ < и-;

(c) f(u) € С1(К), f(u) выпукла на («+,«_).

3. Сведение задачи к изучению траектории динамической системы. Введем обозначения: Ф(<р) = ¡{ар) ^ А (р + <],, й= А и- - /(и_).

Утверждение 1. Если бегущая волна и = ср(х — \1) для уравнения КдФБ (2), удовлетворяющая условиям 1-3, существует, то ее скорость определяется однозначно из условия

А = /(■»-) - /(ц+)

и- — и+

Бегущая волна для уравнения КдФБ существует тогда и только тогда, когда для динамической системы

^ ^ ф # Ь / ч

-Г = -Ф- $(¥>)•

. ая а

сепаратриса Б, входящая в седло (и+,0) при в ^ +оо из области {(р > и+, ф < 0}, при я —оо входит в точку (и_,0).

Доказательство. Бегущая волна для уравнения КдФБ удовлетворяет уравнению

<*¥> #(¥>) <13<р Л2Ч> п

^А— Л-----У а—т--Ь—тг = 0.

ая ая сгз ая^

Проинтегрируем это уравнение от ^оо до 5, учитывая условия 2, 3. Получим

_*£ + »(„) = о, («)

ав* ая

где Ф((р) = /((р) — А(р + й, й = \и- — /(и-). Устремляя « ^ +оо, получим, что А определяется однозначно как угол наклона прямой, проходящей через точки («+,/(«+)), (и-, /(и-)):

х = Яи-) ~ /(Ц+)

и- — и+

10 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

Если обозначить ф = ай<р/д„ч, то уравнение (6) эквивалентно динамической системе:

йю 1 ,

Т =

ая а

■ ая а

Существование бегущей волны эквивалентно существованию траектории данной динамической системы, выходящей из точки (и_,0) и входящей в точку (и+,0) при возрастании параметра в.

Изучим особые точки системы. На отрезке [«+,«_] система имеет ровно две особые точки: 0) и (и-, 0).

Матрица системы, линеаризованной в точке (и+,0), имеет собственные значения

+ _Ь± ^Ь2 - 4аФ'(«+) А1'2 = 2а

и собственные векторы

'(р\ + /1 /а

^1,2 №

Поскольку Ф'(«+) = /'(«+) ^А < О (следствие выпуклости /(и)), то точка (и+,0) является седлом. Матрица системы, линеаризованной в точке (и_,0), имеет собственные значения

_ Ь± sjb2 - 4аФ'(«_) Àl'2 " 2а

и собственные векторы

V V =( 1/_а

^/1,2 \ЛГ,2

Поскольку Ф'(и_) = /'(«_) — Л > 0 (следствие выпуклости /(и)), то точка («_, 0) является либо неустойчивым фокусом, либо неустойчивым узлом.

В точку (и+, 0) при s ^ +оо входят ровно две полутраектории системы: сепаратриса Т, входящая в (и+, 0) из области {ср < и+, ф > 0}, и сепаратриса S, входящая в (и+, 0) из области {(р > и+, ф < 0}.

Покажем, что траектория Т не может входить в точку (и_,0) при s ^ —оо. Это происходит потому, что траектория Т никогда не пересекает прямую ср = и+. Действительно, умножим (6) на <p'(s) и проинтегрируем от s до +оо:

V(s) +ос

- I Ф(<p)d<p=l(<p'(s))2 + b j(<p'(0)2dt. (7)

и+ s

Предположим теперь, что траектория Т пересекает прямую (р = и+ при значении параметра s = s*: <p(s*) = и+. Тогда имеем

S

Получаем противоречие.

Итак, бегущая волна в определенном выше смысле существует тогда и только тогда, когда сепаратриса S входит в точку (и-, 0) при s —> —оо.

4. Вспомогательные утверждения. Будем рассматривать векторное поле системы (5). Запишем уравнение изоклины:

с1ф _ Ьф — аФ((р)

dip ф

Пусть а — угол наклона, соответствующий данной изоклине: йф/dip = а. Имеем уравнение изоклины

аФ(у)

Фа(<Р) = Т-• (8)

О — О!

Обозначим через а+ угол наклона, который имеет траектория когда 5 —>► +оо, а+ = = (Ь - ^/Ъ2 -4аФ'(м+))/2.

Заметим, что 5 не может пересекать отрезок {ср Е (гл+,гл_), ф = 0} в силу того, что на нем векторное поле системы имеет вид (0, -Ф((р) > 0. Значит, всюду в области (р Е (и+,и-) угол

наклона сепаратрисы 5 ¿ф/(1(р < оо, и в этой области сепаратриса 5 может быть задана уравнением ^ = Ф(<Р)-

Утверждение 2. Пусть ф = ф((р) — уравнение траектории Б в области (р Е (гл+,гл_). Тогда ф((р) < фа+((р) всюду в этой области.

Поведение траектории 5 системы (5) в области (р Е (и+,и-)

Доказательство. Заметим, что изоклины (рисунок), соответствующие а < а+ < 0, лежат выше изоклины фа+ на (гл+,гл_). Рассмотрим одну из таких изоклин и касательный вектор

к ней в некоторой точке сро:

г = л грыу

\ о — а )

Рассмотрим также векторное поле динамической системы (5) в точке {(ро,фа((ро)):

. /Ф(Ы у

\ о — а о — а ]

\Ь — а Ь — а '

Покажем, что

д= Т1 Т2

VI г>2

Это будет означать, что траектория в никогда не пересекает изоклину фа, а ^ а+,

> 0.

А =

1 аФ'(Уо)

Ь — а

ФЫ 6ФЫ_ФЫ

Ь — а Ь — а

ЬФ(<р0) ф( аФ(ро)Ф'Ы

Ь — а

(Ь-а)<

= {ъ^а)2 (Ь(ь - а)ф(^о) - (ь - «)2Ф(^о) - аФЫФ'Ы) = (-«2 + Ьа - аФ'(Ы) •

Поскольку — Ьа+ + аФ'(гл+) = 0 и а < < 0, то а2 — Ьа + аФ'(и+) > 0. Кроме того, (ро > и+ и в силу выпуклости Ф;((/9о) > Ф7(г£+), значит,

а2 - Ьа + аФ'(<ро) > 0.

Окончательно, поскольку Ф(<ро) < 0, имеем А > 0.

Утверждение 3. Пусть (и-^ф(и-)) — точка, в которой Б пересекает прямую (р = и-. Тогда

аФг

= ф+ ^ ф(и_) ^ ф- =

а

Ь ^ ^ Ь — а+

11 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

Фтт + Ь(гА_ - (р-Ш1),

(9)

где #min = min Ф(и), иш\п = argmin Ф(и), (р-иЛ — единственное решение уравнения Ф(<р) =

ие(и+,и_) ие(и+,и_)

= ЬФт{п/(Ь — а+) на отрезке

Доказательство. Из уравнения изоклины имеем, что если ф(р>) < фа(р>) в некоторой точке (р, то угол наклона траектории в этой точке а = йф/dip > 0, т.е. когда траектория S лежит ниже изоклины фа, она возрастает (см. рисунок). Значит,

; / \ ^ / ß^min

ф{и-) ^ф+ = —— •

Согласно утверждению 2, ф(р>) < фа+(р>) при р> € («+,«_). Обозначим через U С (umin,u-) область значений (р, при которых ф(р>) ^ фо(ср). В этой области йф/йф ^ 0, значит, ф(р>) < фа+ («min) = = аФтт/(Ь — «+)■ Таким образом, траектория пересекает изоклину ф0 в точке, абсцисса которой не превосходит значения (р-иЛ,, которое является единственным на отрезке [ит{п,и-] решением уравнения

ч а

-#(9?intJ = --Фшт-

О Ь — Q!_|_

Если (p € (ит{п,и-)\и, то 0 < (1,ф/(1,1р < b. Значит, имеем оценку

а

ф(и-) = т-Фтт + Ь(и- - (pint).

и — ск_|_

Замечание. При Ь —> 0 ф- —> 2а,Фш\п/4Ф'(«+) < 0, значит, существует достаточно малое Ь, такое, что ф- < 0.

5. Достаточные условия отсутствия бегущей волны.

Утверждение 4. Пусть существует единственный корень и* уравнения Ф(и) = 0 на множестве (и-, оо). Пусть b достаточно мало, т. е. таково, что в обозначениях предыдущего утверждения ф_ < 0. Тогда если

ф2_ , s и* < и- + ———----, (10)

2(-Ьф++ аФтжУ

где Фтах = т&х Ф(и), то бегущей волны не существует.

мё(И~,И,)

Доказательство. Рассмотрим область U- С («_,«*) значений (р, при которых изучаемая траектория S остается в полуплоскости ф < 0. В области U-

йф = Ьф - аФ(ср) > Q

d(p ф '

а значит, значение ф возрастает при увеличении р> и выполнено неравенство ф+ < ф,

с1ф _ Ьф — аФ{ир) _ -Ьф + аФ{ир) ^^ -Ьф+ + аФтах

d(p ф —ф """ —ф Интегрируя это неравенство, получаем

-ф2(<р) + Ф2(и_) < 2(-Ъф+ + аФтах)((р - U-)

или

Ф2{<р) ^ ф2(и_) + 2(Ьф+ - аФтах)((р -U-). Окончательно имеем оценку, справедливую при р> € U-,

ф{<р) < ф(<р) = + 2{Ъф+ - аФтах)((р -и-).

Отсюда видно, что если и* < и- + ф2_/(2(—Ьф+ + аФтах)), то ф(и*) < 0.

Далее траектория Б всегда остается в области {¡р > и*, ф < 0} при в —> ^оо. Действительно, Б не может покинуть эту область через полупрямую {р > и*, ф = 0}, так как на ней векторное поле имеет вид (0, —Ф(<у?)). Также она не может покинуть эту область через полупрямую {(р = и*, ф < 0}, так как на ней векторное поле имеет вид (ф/а,Ьф/а). Таким образом, траектория никогда не войдет в точку (и-, 0) при 5 —> ^оо.

Пример. Положим а = 1, и+ = —1, и- = 1, /(и) = и — 1 на интервале (—1,1). Тогда

л/1РТ8^Ь , 2 /

<Ртг =--, Ф- = ^т-0 + р 1--- •

У8 Ь + л/Ь + 8 \ л/8 /

Выберем Ь = 1, тогда ф- = (1 — л/2)/2 < 0, = —1. Далее пусть

2

/(и) =---(« - 1)(и - и*)

- I

на множестве (1,+оо). Тогда /(и) € С1(и+,+оо); Фтах = (и* — 1)/2.

Выберем и* = 1 + 1/48. Тогда условие (10) будет выполнено. Получим, что в построенном примере бегущей волны не существует. Итак, уравнение

Щ + (/М)ж + иххх - ихх = О,

где

_ 1^—1, и £ ( — 1, 1), (11)

1 —96(и — 1) (и — ||), иб(1,+оо),

не имеет решения вида и(х,1) = ср(х — XI), так что <£>($) -> 1, <£>($) -> —1; -^ 0;

8—ОО в—Ц-ОО 8—>-±00

¥>"(*) ~О-

6. Случай, когда /(и) удовлетворяет энтропийным условиям и отношение Ъ2/а достаточно велико. В предыдущих пунктах было продемонстрировано, что выпуклости функции /(и) на интервале (и+,и-) недостаточно для существования бегущей волны. Если фунция /(и) имеет на множестве (и_,+оо) корень и*, достаточно близкий к и_, то при достаточно малых значениях отношения Ь2/а, бегущей волны не существует. Однако можно указать оценку на отношение Ь2/а, при выполнении которой выпуклости функции /(и) на интервале (и+,и-) достаточно для существования бегущей волны (см. [12]).

Утверждение 5. Пусть /(и) € С2(Ж) и/(и) выпукла, т.е.

/"(«) ^ о Уме Ж, 0 Уие(и+,«_). (12)

Пусть, кроме того, выполнены условия

Ъ

> 2у/Г(и-)-\, а > 0, = ^2 у/\-Г(и+), а< 0.

а (13)

Тогда бегут,ая волна существует, единственная и монотонная.

Известно [2], что бегущая волна для уравнения Бюргерса (1) существует тогда и только тогда, когда /(и) удовлетворяет энтропийным условиям, т.е. график /(и) на (и+,и-) лежит ниже прямой, проведенной через точки («+,/(«+)), (и-, /(и-)):

¡(и) < ~ (и-и-) + /(«+), «е(!1+,!1_).

и- — и+

Естественно было бы попробовать ослабить требование выпуклости в утверждении 5, заменив его энтропийными условиями. Однако оказывается, что данное требование является существенным. Покажем, что можно построить пример, когда /(и) удовлетворяет энтропийным условиям, выполнено условие (13), однако бегущей волны не существует. Для этого модифицируем пример, приведенный в предыдущем пункте.

Положим а = 1, Ь = 1, и+ = —1, и- = 1, /(и) = и2 — 1 на интервале (и+, и- — А), где А < и- — (р-иЛ (см. утверждение 3). Предположим, что /(и) € С2(Ж), /(и_) = 0 и /(и) удовлетворяет энтропийным условиям на (и+,и-) (т.е. /(и) < 0 при и € («+,«_)). Тогда утверждение 2 для сепаратрисы Б соответствующей динамической системы (5) справедливо в области (р € (и+,и_ — А). Утверждение 3

12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1

также справедливо, так как его доказательство проводится без изменения. Значит, для траектории Б справедливы оценки (9).

Далее выберем и*: ф- + Ь(и* — и-) = ф* < 0. На множестве («_,+ сю) положим /£(и) = = —е(и — и-)(и — «*), /£(и) непрерывно дифференцируема по е на некотором отрезке [0, во], /£(и) ^ О при £ ^ 0.

На отрезке [и- — А,и_] доопределим /(и) так, чтобы /(и) € С2(Ж) и /(и) < 0 при и € [и- — А,«_).

Теперь устремим е к 0. Последовательность фе{и,-) ограничена, а значит, из нее можно выделить сходящуюся: фе{и,-) ф € [ф+,ф-]. По теореме о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных, существует такое во, что \фео(и*) — Ф(и*)\ < \ф*\/2, где ф — решение задачи Коши

ф(и-) = ф.

Таким образом,

ф* ф* ф* ф* Фе0{'а*) < Ф(и*) - ~2 = Ф + Ь(и* - и~) - ~2 <'ф- + Ь(и* - и~) - ~2 = ~2 <

Окончательно, аналогично п. 5 исследуя векторное поле системы при ср > и*, получаем, что траектория S остается в области {ip > и*, ф < 0} при s ^оо, а значит, не попадает в точку (и-, 0).

Заметим, что при достаточно малых е условие (13) будет выполнено.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору А. А. Шананину за ценный вклад в проделанную работу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полтерович В.М., Хенкин Г.М. Эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий // Экономика и мат. методы. 1988. 24. № 6. С. 1071-1083.

2. И л ь и н А. М., О л е й н и к О. А. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений при больших значениях времени // Мат. сборник. 1960. 51(93). № 2. С. 191-216.

3. Кружков С.Н., Петросян Н. С. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для нелинейных уравнений первого порядка // УМН. 1987. 42. № 5(257). С. 3-40.

4. Henkin G. M., Shananin A. A. Asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem for Burgers type equations //J. Math. Pures Appl. 2004. 83. P. 1457-1500.

5. Henkin G.M., Shananin A. A., Tumanov A.E. Estimates for solution of Burgers type equations and some applications //J. Math. Pures Appl. 2005. 83. P. 717-752.

6. Henkin G. M. Asymptotic structure for solutions of the Cauchy problem for Burgers type equations // JFPTA. 2007. 1. N 2. P. 239-291.

7. Гасников А. В. Асимптотическое по времени поведение решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью // Изв. РАН. Сер. Матем. 2009. 73. № 6. С. 39-76.

8. Duan R., Zhao H. Global stability of strong rarefacion waves for the generalized KdV-Burgers equation // Nonlinear Anal. 2007. 66. P. 1100-1117.

9. Наумкин П.И., Шишмарев И. А. Задача о распаде ступеньки для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса // Функц. анализ и его прил. 1991. 25. № 1. С. 21-32.

10. Bona J.L., Schonbek M. Е. Travelling-wave solutions to the Korteweg-de Vries-Burgers equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1985. 101(A). P. 207-226.

11. Наумкин П. И., Шишмарев И. А. О распаде ступеньки для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргер-са // Функц. анализ и его прил. 1991. 26. № 2. С. 88-93.

12. Казейкина А. В. Устойчивость решения задачи Коши вида бегущей волны для уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса // ЖВМиМФ. 2010. 50. № 4. С. 725-745.

Поступила в редакцию 05.04.10

EXAMPLES OF TRAVELING WAVE ABSENCE FOR THE GENERALIZED KORTEWEG-DE VRIES-BURGERS EQUATION

Kazeykina A. V.

In the present work we build an example of a convex function f(u) for which the generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation ut + (f(u))x + auxxx — buxx = 0 does not have a traveling wave solution with given limits on infinity. This example demonstrates difficulties in the asymptotical analysis of the Cauchy problem for the generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation which do not exist for the equation of the conservation law type, Burgers type equation and its differential-difference analogue.

Keywords: Korteweg-de Vries-Burgers equation, traveling wave.