Примеры использования системы «Mathcad» в дисциплине «Электротехника» Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ И НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 51-74

Примеры использования системы «Mathcad» в дисциплине «Электротехника»

С. В. Ерохин,

преподаватель, Московский институт энергобезопасности и энергосбережения

Н. Д. Денисов-Винский,

преподаватель, Московский институт энергобезопасности и энергосбережения

В статье рассмотрены возможности использования математической программы Mathcad при решении задач по электротехнике. Программа значительно экономит время, заменяя рутинную счетную работу.

Ключевые слова: высшее образование, теоретические основы электротехники, математика, Mathcad.

Mathcad - программная среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом. Она предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступно множество операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических и технических задач различной сложности.

В настоящее время среди большого количества математических пакетов система Mathcad является наиболее популярной среди студентов, инженеров, проектировщиков. Применение этой системы для решения ряда задач электротехнического профиля является исключительно удобным. Для работы в системе не нужно знать основ программирования. В систему встроен вычислитель, текстовый редактор и графический процессор. Вычислитель работает с математическими выражениями, текстовый редактор очень удобен при работе с комментариями. Это позволяет придавать документу Mathcad читабельность. Кроме того, система автоматически распознает и указывает место ошибки.

И наконец, в системе есть встроенный графический процессор, который позволяет непосредственно после расчета вывести необходимые графики, что улучшает наглядность документа.

В Московском институте энергобезопасности и энергосбережения (МИЭЭ) Mathcad активно используется при обучении студентов-энергетиков математике и другим дисциплинам: как общетехническим, так и специальным. Преподавателями института разработан комплекс учебно-методической литературы по системе Mathcad, который включает в себя основные приёмы решения задач как по математике, так и по общетехническим дисциплинам.

Чтобы продемонстрировать связь между математикой и техническими дисциплинами, покажем решение типичной задачи из курса «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ) тремя разными способами при помощи системы Mathcad.

Задача № 1.1. Дана электрическая цепь, изображенная на рис. 1. Заданы величины сопротивления Rj-R6; заданы величины ЭДС Е1 и Е Требуется найти токи в ветвях Ii-^.

2'

ШШ2ИШШ

Т1 2 1з

©fe

12_ I,

(Г)

Составляем матрицу коэффициентов: ORIGIN: = 1

R mat :=

-1 0 0 -1 0 ( ° 1 (V

1 -1 1 0 0 0 0 R2

0 0 -1 0 1 -1 0 R,

E := R := 3

Я, R2 0 -«4 0 0 E} - E2 «4

0 -r2 -R3 0 -«5 0 e2 «5

0 0 0 «4 «5 R6 I 0 J

Решаем матричное уравнение относительно вектора силы тока:

1Т =(-0,457 -3,899 -3,442 1,478 -2,422 1,021).

Проверим правильность расчета по балансу мощностей:

Рис. 1. Задача № 1.1

Г, ■

Р

- Е2 ■ /2

T^ih)2

рш р

= 734,196 : 734,196.

Определим число уравнений, составляемых по пер вому закону Кирхгофа, по формуле и по второму зако ну Кирхгофа по формуле т-(п~ 1)=3, где п=4 - число наперед заданного числа: узлов, число ветвей.

Далее выбираем (произвольно) направление токов в ветвях (рис. 1).

Составляем систему из трёх уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 1,2 и 3 и из трёх уравнений по второму закону Кирхгофа (контуры I, II и III). Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке.

Относительная ошибка должна быть меньше

IР -Р I

S:={—-^ <5 = 0

Однако можно решить изначальную систему уравнений, используя операторы Given и Find, не приводя систему к стандартному виду.

Система имеет вид - 0 о

о

-h-h+h

h-h+h

-h+h-h

ад

-R2I2

-R2I2

R}I3

E,-E2 = E„

R5IS

V« +«5 /5

-V«

= 0.

Для решения системы линейных уравнений матричным методом необходимо составить матрицу коэффициентов системы, а также матрицу-столбец из свободных членов, для чего сначала необходимо привести систему к стандартному виду.

В Mathcad решение выглядит так: Дано:

Дано:

/?, := 10 R2 := 15 R3 := 20 Ех := 100 Е2 := 200

R4 := 25 R5 := 30 R6 := 35

Решаем систему уравнений:

Получаем матрицу-строку силы тока: / = (-0,457 -3,899 -3,442 1,478 -2,422 1,021).

R

3

R

4

4

4

3

1

R

I

ДЕИЯ2ИИИИ

Очевидно, второй способ решения намного удобнее. Необходимо лишь задать начальные параметры и вписать уравнения, после чего Mathcad выдаст готовый результат. Однако первой способ является более наглядным. Если пользователь задал какое-то значение неправильно, то он может смело его исправить, при этом Mathcad автоматически пересчитает результат.

Метод, при помощи которого была решена данная задача, сводится к непосредственному применению законов Кирхгофа - составлению системы независимых линейных алгебраических уравнений и её решению относительно неизвестных. Как правило, в роли неизвестных выступают токи в ветвях электрической цепи.

Рассмотрим решение той же задачи методом контурных токов, который выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путём исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа. Указанная процедура достигается за счёт введения обобщенных переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа.

Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

Задача № 1.2. Дана электрическая цепь, изображенная на рис 2. Заданы величины сопротивления R1-R6; заданы величины ЭДС E1 и E2. Требуется найти токи в ветвях методом контурных токов.

Выберем направление контурных токов, совпадающее с направление вращения часовой стрелки (рис. 2). Номера контуров совпадают с индексами контурных токов. Отметим, что по второй, четвёртой и пятой ветвям текут по два контурных тока.

Составим систему из трёх уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтём падение напряжения на резистив-ных элементах от каждого тока, текущего по нему. Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе - второму и т.д.:

В Mathcad эта система линейных уравнений может быть решена следующим образом.

Дано:

Решаем систему уравнений: ORIGIN: = 1

Given

(Rl+R2+R4yiu-R2 I22-R4- /33 = £j - Ег

(R2+R3+R5)-I22-R2 ■/„ -R5 -/33 = E2

(Д, +tf5 +^)-/33-R4 •/„-R, -/22 =0.

V At, , , V f"600 "4520 "1340

/ :=¥md(Iu,I22,I33) -> - - -

v 1 |^1313 1313 1313

Сформируем вектор сил тока:

Наконец, выразим токи в ветвях через контурные. Выберем их направления, например, как в задаче 1.1.

Рис. 2. Задача № 1.2

Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: т-(п-1)=3 , где m и п - число ветвей и узлов соответственно. Число уравнений равно числу независимых контурных токов (в данном случае 3). Обозначим контурные токи III, ^ и ^3.

Пример расчёта в Mathcad построен таким образом, что при перемене входных параметров моментально меняется и ответ без изменений в самой программе.

ВШШИШШ

Теперь решим эту задачу методом узловых потенциалов. Метод выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путём исключения уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и замены переменных токов на потенциалы узлов. Полученная система из (п-1) уравнений решается относительно неизвестных потенциалов узлов, далее токи находятся по обобщенному закону Ома.

Задача 1.3. Дана электрическая цепь, изображенная на рисунке. Заданы величины сопротивления Й1-К6; заданы величины ЭДС Е1 и Е2. Требуется найти токи в ветвях методом узловых потен-

циалов.

Аналогично запишем уравнение для третьего узла:

(Gз+G5+G6)jз-G6j1-Gзj2=0.

Здесь правая часть в уравнении равна нулю, т.к. ветви, образующие третий узел, не содержат ЭДС. Таким образом, получаем систему уравнений

Для решения этой системы необходимо найти проводимость ветвей заданного контура согласно уравнению

Решение этой системы даст значения потенциалов. Затем произвольно выберем направление токов в ветвях, например, такое же, как в предыдущих методах и, используя обобщенный закон Ома, найдём токи в ветвях.

Далее приведён пример решения данной задачи в системе Mathcad.

Дано:

Рис. 3. Задача № 1.3

Определим число уравнений: п-1=4-1=3, где п -число узлов. Заземлим четвёртый узел, потенциал его примем равным нулю: ^=0.

Рассмотрим первый узел. Потенциал этого узла ^ умножим на сумму проводимостей ветвей, образующих этот узел (Gl+G4+G6), минус потенциал узла умноженный на проводимость ветви между первым и вторым узлами G2, минус потенциал третьего узла G6. Полученная сумма равна алгебраической сумме произведений ЭДС ветвей, образующих первый узел, на соответствующую проводимость ветвей. При этом знак плюс берём, если стрелка ЭДС направлена к рассматриваемому узлу, и знак минус, если стрелка ЭДС направлена от него. В данном примере: -Итак, первое уравнение имеет вид

(Gl+G4+G6)jl-Glj2-G6j=-ElGl.

Рассматривая второй узел по аналогии, составляем второе уравнение:

(G1+G2+G3)j2-G1 j1-G3jз=E1G1+E2G1.

Проводимость ветвей:

б, :=/?,' С2 := Я21 Съ := 1 :- Я!1.

G4 :- R4 Gs :- Щ

Находим потенциалы: Given

Нулевой потенциал:

/"(36,938 141,508 72,658 0). Находим токи в ветвях:

Сформируем вектор сил тока:

hÎ

/:=(/, /2 1Ъ /4 /5

Примеры наглядно демонстрируют, насколько полезна может быть система Mathcad при решении задач по электротехнике. Она заменяет рутинную счетную работу, значительно экономя время. Но при этом важно понимать, что программа не решает задачу от и до, а лишь помогает в расчетах. Если человек не знает, как решить задачу, Mathcad не поможет...

Литература

1. Дьяконов В. П. Mathcad 11/12/13 в математике. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007. - 958 с., ил.

2. Денисов-Винский Н. Д. Mathcad. I курс. Учебное пособие для студентов. Специальность 140211 «Электроснабжение». - М.: МИЭЭ, 2007.

3. Бессонов Л. А . Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - Гардарики, 2007.

Интересно знать...

P Во Франции (Дижон) эксплуатируется офисное энергоэффективное здание Elithis Tower, которое производит электроэнергии больше, чем потребляет. На крыше и фасаде 10-этажного офисного центра расположено 330 солнечных панелей, вырабатывающих электроэнергию в объеме, достаточном для освещения, отопления и кондиционирования 54 тыс. м2 офисного пространства.

P Американские исследователи создали батарейку, при помощи которой можно на день запитать жилой дом. Батарея работает на соединении серы и натрия. Серно-натриевый аккумулятор - вторичный химический источник тока, известный своей высокой удельной энергией. Основной недостаток его заключается в высокой рабочей температуре (свыше 300 °С). Однако исследователи заявляют, что они добились эффективной работы соединений уже при 93 °С благодаря керамической мембране, которая разделяет натрий и серу

P Энергетическая компания PG&E (Калифорния) совместно с Solaren Corporation предполагает к 2016 году обеспечить добычу около 200 МВт энергии, получаемой из космоса и передаваемой на Землю. Суть проекта состоит в размещении на геостационарной орбите Земли искусственного спутника, вырабатывающего электроэнергию из солнечного света с помощью больших гальванических фотоэлементов, и передаче ее в виде радиоволн на землю.

По материалам www.aenergy.ru,www.techvesti.ru

ШШ2ИШШ