CC BY
17УДК 621.3.012.5
РАСЧЕТ ТОКОВ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ В СЕТЯХ НАПРЯЖЕНИЕМ ВЫШЕ 1000 В МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
А. В. Белов, канд. техн. наук (ЧГАА)
В статье предложен способ расчета токов короткого замыкания в разветвленных сетях напряжением выше 1000 В с применением метода узловых потенциалов. Способ может быть использован в учебном процессе для студентов специальности «Электроснабжение».
Методика расчета токов короткого замыкания (КЗ) в сетях напряжением выше 1000 В обычно заключается в том, что по расчетной схеме составляют схему замещения, которую путем различных приемов (сложение параллельно и последовательно включенных сопротивлений, преобразование треугольника в трехлучевую звезду и наоборот и т.д.) приводят к итоговой схеме (рисунок 1) состоящей из единственной ЭДС и единственного сопротивления.
Рис. 1. Итоговая схема замещения при трехфазном КЗ
На практике не всякую схему замещения удается привести к такому виду. Чаще всего «камнем преткновения» оказывается четырехугольник или многоугольник из сопротивлений, который с помощью известных формул нельзя преобразовать ни в звезду, ни в какую-либо другую, удобную для расчета схему.
Расчет таких схем весьма трудоемок и обычно не освещается в литературе [1]. Между тем многообразие существующих на практике схем электроснабжения требует освещения этого вопроса в учебном процессе.
Расчет токов КЗ в сложных схемах электроснабжения напряжением выше 1000 В обычно производят при следующих допущениях: пренебрегают активными сопротивлениями элементов системы, а также емкостными проводимостями линий электропередачи. В таких случаях в цепи остаются только индуктивные сопротивления. Это обстоятельство позволяет применить для расчета токов КЗ математический аппарат метода узловых потенциалов, разработанный для линейных цепей постоянного тока [2].
Для примера приведем учебную расчетную схему, в которой четыре генератора типа ТВФ-60-2 через трансформаторы ТДЦ-80000/110/10 работают на четыре линии электропередачи ^ , '^2, ^з, ^4 длиной соответственно 50, 100, 150 и 200 км, соединенные четырехугольником. На рисунке 2 представлена схема замещения этой электрической системы, где величины сверхпереходных ЭДС и сопротивлений выражены в относительных единицах при = 1000МВ • А.
Рис. 2. Схема замещения системы электроснабжения
В точке К1 произошло трехфазное КЗ. Данная схема структурно не упрощается, поэтому расчет тока КЗ необходимо производить с помощью метода узловых потенциалов.
В качестве узла, имеющего нулевой потенциал, примем точку короткого замыкания К1 (узел 1), что вполне соответствует физике процесса. Потенциалы узлов 5, 6, 7, 8 равны соответственно ЭДС Е5 , Е6, Е7, Е8 . Остаются неизвестными потенциалы узлов 2, 3, 4.
Выберем произвольно положительные направления токов в ветвях схемы. Составим уравнения Кирхгофа для узлов 2, 3, 4, принимая величину тока со знаком «плюс», если ток направлен от рассматриваемого узла и со знаком «минус», если ток направлен к узлу:
15 - 12 + 16 - 0
17 - 14 - 16 - 0
(1)
(2)
(3)
Для определения тока в каждой ветви необходимо из потенциала того узла, из которого ток выходит, вычесть потенциал того узла, куда ток входит, и полученную разность разделить на сопротивление ветви (если в ветви имеется ЭДС и её направление согласно с направлением тока, то она учитывается со знаком «плюс», а если её направление противоположно току - то со знаком «минус»). Определим токи в каждой ветви:
1 - Е1 -ф
12 -
14 -
17 -
Л13
е;-Ф4.
*16 ’
ф4 - ф1 .
15 -
Е6 -Фз
*14 ф3 - ф2
Iз -
К-ф
1
16 -
15
фз - ф
4
(4)
4
л -
9
ф2 - ф1
2
'10
Подставив значения величин из (4) в (1), с учетом ф1 - 0 , получим для узла 2:
(
ф2
— + —
V *9 *10
1
Л
1
1
-фз — - Щ—
или
ф2 • 1,2476 - фз • 0,6614 - 0,2882.
(5)
Отметим попутно, что коэффициенты при потенциалах являются узловыми проводимостями, а правая часть уравнения - узловым током:
ф2 • 822 - ф3 • 823 - 122 .
Подставив значения величин из (4) в (2), получим для узла 3:
-ф2 —ь ф
1 1 1
--------1------------1------
V *9 *!2 *14 у
-ф -1 - Е" ф4 Е6
12
14
или
-ф2 • 0,6614 + ф3 • 1,0822 - ф4 • 0,1653 - 0,2882.
-ф2 • 823 Ь ф3 • &33 - ф4 • <?34 - 133 .
Подставив значения величин из (4) в (3), получим для узла 4:
-ф3-ь ф4
1 1
1
Л
V *11 *12 *16
- е;—
или
-ф3 • 0,1653 + ф4 • 0,6412 = 0,2882. (^
—Ф3 • g34 ^ ф4 • g44 = 144 .
Уравнения (5), (6) и (7) решим совместно с помощью программы MathCAD. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений с использованием этой программы. Воспользуемся матричным методом с помощью функции Isolve. Для этого необходимо:
• Открыть панель Матрицы (Matrix) и Символьная (Simbolic). Это можно сделать, например, следующим образом: меню Вид (View) ► команда Панели инструментов (Toolbars) ► Матрицы (Matrix), Символьная (Simbolic). Для ввода греческих символов откроем также панель Греческие символы (Greek).
• Задать матрицу узловых потенциалов. Для этого следует в свободном месте экрана набрать символ ф , знак присвоения «:=», на панели Матрицы (Matrix) нажать кнопку «Матрица или вектор» (или [Ctrl + M]) и в открывшемся диалоговом окне задать необходимое число строк и столбцов (в нашем случае Строки (Rows) - 3, Столбцы (Columns) - 3).
В появившиеся поля ввода ввести обозначения коэффициентов (узловых проводимостей), а именно в первую строку g22, g23, g24; (g24=0) во вторую строку g32, g33, g34; в третью стоку g42, g43, g44 (g42=0) и нажать клавишу «Enter».
• Отдельно от первой матрицы задать вектор узловых токов. Для этого задать на экране желаемое расположение визира и набрать символ I, знак присвоения «:=», на панели Матрицы (Matrix) нажать кнопку «Матрица или вектор» и в открывшемся диалоговом окне задать необходимое число строк и столбцов (в нашем случае Строки (Rows) - 3, Столбцы (Columns) - 1). В открывшиеся поля ввода ввести обозначения узловых токов I22, I33, I44 и нажать клавишу «Enter».
• Задать расположение визира, набрать с клавиатуры слово lsolve, открыть скобку и в последовательно открывающиеся поля ввода ввести символы ф и I, затем закрыть скобку.
• Если теперь нажать клавишу «Enter», программа выполнит расчёт и выдаст результат с максимальной точностью (20 знаков). Поскольку такая точность обычно излишня, то на панели Символьная (Symbolic) следует нажать кнопку «float» (число с плавающей запятой) и в появившемся поле ввода задать желаемое число значащих цифр у выдаваемого программой результата, например 4, и только затем нажать клавишу «Enter».
На рисунке 3 изображена часть экрана компьютера с решением системы уравнений с помощью программы MathCAD.
( 1.2476 -0.6614 0 > ( 0.2882 Л
ф := -0.6614 1.082 -0.16З3 I := 0.2882
V0 -0.16З3 0.6412 у v 0.2882 у
lsolve^ ,I) float ,4 ^
( 0.6276 ^ 0.7481 V 0.6423 у
Рис. 3. Решение системы уравнений с помощью программы МаШСАБ
В результате мы получили следующие значения потенциалов узлов:
ф2= 0,6276; ф3= 0,7481; ф 4= 0,6423.
Теперь, когда известны потенциалы всех узлов схемы, мы можем определить токи во всех её ветвях по выражениям (4):
= Е-4 = Ш^-Об276 = 0,1279;
1 х13 3,913
/ 2 = ЕсА = 1128-0748! = 0,0971;
2 х,4 3,913
= ^ = 1,128 = 0,2883;
3 х15 3,913
14 = = 1^06423 = о241;
4 Х!6 3,913
= 6^ = °,7481 - °,6276 = 0,0796;
5 х9 1,512
Iб = 4-6 = °,7481 - 0,6423 = 0,0175;
6 х12 6,049
17 =^ = 0,6423 - 0 = 0 416;
7 х11 4,537
/8=4:;4=^76-о = оо75.
* х,° 3,024
Начальное действующее значение периодической составляющей тока трехфазного КЗ в точке К1, выраженное в относительных единицах, находим согласно первому закону Кирхгофа (см. рисунок 2):
1»П(0)-К1 = 13 + 18 + 17 ;
/(3П)(0)-К1 = 0,2883 + 0,2075 + 0,1416 = 0,6375.
При базисном токе, который в нашем случае составляет
4 = * = ^°°°- = 5,02 кА,
■Л •{/„ л/3-115
эта же величина, но выраженная в кА, будет равна
С-К1 = И5о)-К1 - 4 = 0.6375 - 5,02 = 3,2 кА.
Таким образом, мы рассчитали начальное действующее значение периодической составляющей тока короткого замыкания и её распределение по ветвям схемы, не прибегая к определению результирующего сопротивления хе и результирующей ЭДС ЕЕ (см. рисунок 1). Однако эти две величины необходимо найти, если в дальнейшем нам предстоит произвести расчет несимметричного короткого замыкания.
Для определения результирующих эквивалентных ЭДС Ее и сопротивления хе , которые совпадают с результирующими эквивалентными величинами прямой последовательности (Е1Е = Ее , Х1Е = ХЕ ), удобно воспользоваться схемой замещения, показанной на рисунке 4:
Рис. 4. Схема замещения для определения Е1Е Ее , Х1Е хе
Схема имеет вид четырехлучевой звезды, в которой каждый из источников соединён с точкой короткого замыкания через собственное эквивалентное сопротивление. Зная сверхпереходные ЭДС и найденные выше токи, исходящие от источников, можно рассчитать эти сопротивления:
Хэк1 =
Е\
Хэк3 =
Е3
1,128
0,1279
1,128
= 8,819 *эк2 = — =
= 3 913' х = — =
эк4
Е"
4
1,128
0,0971
1,128
= 11,617;
= 9,089.
13. 0,2883 ' ' эк4 I. 0,1241
Результирующую эквивалентную ЭДС прямой последовательности рассчитаем по известной формуле:
Е” Е" Е"
* * о * 'і
Е1Е = Ее = '
эк2
эк3
1111
-+-+-+-
х^ х„.
1,128 1,128 1,128 1,128
8.819 11,617 3,913 9,089
1 1 1 1
8.819 11,617 3,913 9,089
1,996
1,769
= 1,128.
эк1 эк 2 эк3 эк4
И, наконец, определим результирующее сопротивление прямой последовательности:
Е
Х1Е ХЕ
1Е
П(0)-К1
1,128
0,6375
= 1,769.
Полученные данные впишем в итоговую схему замещения (см. рисунок 1) и будем использовать при расчете однофазного и других несимметричных токов короткого замыкания.
В заключение произведем проверку расчета тока КЗ с использованием учебной программы «Епе^о» разработки ЮУрГУ [3]. Для проверки расчета необходимо из условных обозначений элементов системы собрать на экране компьютера расчетную электрическую схему и задать ее параметры. Затем указать точку КЗ двойным щелчком левой кнопки мыши на нужном узле схемы. После задания вида КЗ программа выполнит расчет (рисунок 5).
|| твзда- ф
Рис. 5. Проверка правильности расчета с использованием программы «Епег§о»
На рисунке 5 показана часть экрана компьютера с собранной расчетной схемой и результат расчета трехфазного КЗ. Результат полностью совпадает с полученным нами значением тока КЗ при использовании метода узловых потенциалов, что подтверждает правильность изложенного способа расчета.
Список литературы
1. Ульянов С. А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах: Учебник для электротехнических и энергетических вузов. М.: Энергия, 1970. 530 с.
2. Горбунов А. Н., Кабанов И. Д., Кравцов А. В., Редько И. Я. Теоретические основы электротехники. М.: МГАУ, 1998. 491 с.
3. Коровин Ю. В., Саломатин Р Г. Программа расчета токов коротких замыканий «Епе^о» // Энергосистема: управление, качество, безопасность: Сб. докл. Всерос. научн.-техн. конф. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2001. С. 303.
Л Л Л
