ПРИМЕР РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ "СИЛЬНОЙ" ТОЧКИ ПОВОРОТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 3, 2022 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: jodiff@mail.ru

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

Пример решения сингулярно возмущенной задачи Коши для параболического уравнения при наличии «сильной» точки

поворота

А.Г. Елисеев

Национальный исследовательский университет «МЭИ», г. Москва, Россия

predikat@bk.ru; yeliseevag@mpei.ru

Аннотация. В статье на основе метода регуляризации С.А.Ломова построено асимптотическое решение сингулярно возмущенной задачи Коши для параболического уравнения при наличии сильной точки поворота. Метод регуляризации позволяет построить равномерное на всей вещественной оси асимптотическое решение задачи. Идея данной работы восходит к работе, в которой разработаны методы решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае «простой» точки поворота предельного оператора с натуральным показателем.

Ключевые слова: сингулярно возмущенная задача Коши, параболическое уравнение, асимптотическое решение, метод регуляризации, «сильная» точка поворота.

1. Введение.

С помощью метода регуляризации активно развивается общая теория сингулярных возмущений в условиях стабильности спектра предельного оператора [1]. Условия стабильности спектра переменного оператора, если говорить кратко, обеспечивают такое же поведение спектральных характеристик оператора (равномерное по независимой переменной), как и при постоянном спектре. Задачи с нестабильным спектром с общематематических позиций начали изучать порядка 50 лет назад, но для них законченной математической

теории не получалось. Хотя были получены (с определенной долей искусственных приемов) асимптотические решения неоднородных задач с точками поворота и других задач с нарушением условий стабильности спектра [3, 4]. В результате стало ясно, что в условиях нестабильного спектра существенно особые сингулярности в неоднородных задачах определяются не только общим числом точек спектра предельного оператора, как это имеет место при стабильном спектре, но и числом нулей у отдельных точек спектра переменного оператора. Тщательный анализ имеющихся результатов привел к разработке общей теории асимптотического интегрирования для задач, в которых переменный предельный оператор дискретно необратим (т.е. необратим в нулях точек спектра). Метод регуляризации классифицирует три группы точек поворота:

1. «Простая» точка поворота — собственные значения предельного оператора изолированы друг от друга, одно собственное значение в отдельных точках t обращается в нуль [2], [5].

2. «Слабая» точка поворота — хотя бы одна пара собственных значе-

t

сохраняет диагональную структуру вплоть до точек пересечения. Базис из

t

3. «Сильная» точка поворота — хотя бы пара собственных значений пе-

t

диагональную структуру на жорданову в точках пересечения. Базис в точках

t

Классические точки поворота, которые

изучали Г. Вентцель, Х.А. Крамере и Л. Бриллюэн, относятся к «сильным» точкам поворота.

Данная работа посвящена развитию метода регуляризации на сингулярно возмущенную задачу Коши для параболического уравнения с «сильной» точкой поворота первого порядка у предельного оператора.

2. Постановка задачи.

Рассмотрим задачу Коши

_ ди _ _2 В2 и _ x

fc dt _ Ь дх2 x

u(x, 0) _ f (x),

x2u + h(x, t), , — oo < x < +oo

(1)

Условие 1 3M > 0 |h(x,t)| < M,h(x,t) 6 +ж) x [0,T],

Условие 2 БЫ > 0 |/(х)| < М, /(х) е Сж(—ж,

Условие 3 £ — малый параметр. Задача изучается при £ ^ 0.

Задача (1)относится к классической задаче с сильной точкой поворота.

Действительно, если перевести уравнение в систему, предварительно сделав замену

£ —

дх £ —

дх

= V,

= х2и + £ £ — Н(х,г)

то имеем

£

д_ дх

и

V

0 1

2 0

х

и

V

+ £

00 I 0

Матрица предельного оператора имеет вид

и

V

+

0

Н

01 20

х

Можно заметить, что при х = 0 матрица диагонализируемая и собственный базис есть в^х) = (х), е2(х) = (_х)- А при х = 0 матрица принимает жорданову форму и базис есть в^0) = (¿), в:(0) = (1). Базис разрывен в х=0

х

к которой можно привести с помогцю гладких преобразований [8]. В данном случае предельный оператор уже имеет каноническую форму. Поэтому в построении базиса и канонической формы нет необходимости. Кроме того

х=0

ции правой части Н(х,Ь).

3. Формализм метода регуляризации

В случае задачи (1) регуляризируюгцую функцию будем искать в виде в-1 <р(х,*\ Сделаем замену и(х,£) = в-1 ^(х'^(х,£) Подставив в однородное уравнение задачи (1), получим

— (& + (& )2 — хХМ) + £( ^ + & V(x,t) + 2 д«) — £2 ^ = 0.

Выберем регуляризирующую функцию как решение задачи

дх+(дх )2 - х2=о,

р(ж, 0) = 0.

Введем обозначение р = ^, Я = дг' Тогда получим систему уравнений:

22 р + я2 = ж2,

| + 2Я | ^

Ж + 2я дХ = 2ж,

р(ж, 0) = 0, я(ж, 0) = 0.

Запишем уравнения характеристик

¿ж др ¿я

2я 0 2ж р + 2я2'

Параметризуем ось 0ж, ж = й. Тогда р = й2, я2 = ж2 — й2. Последовательно получаем серию решений

^ 7 ж + л/ж2 — й2 жл/ж2 — й2 2£ = 1п-, ^ = -

2

Из первого выражения найдем параметр й = ^ Подставив во второе выражение , получим выражение для

р(ж,*) =—^

Отсюда получаем регуляризирующую функцию в виде:

х2гн(2г)

Дополнительные регуляризирующие сингулярные операторы, связанные с точечной необратимостью предельного оператора, строятся с помощью фундаментального решения [9]. Задача их вложить правую часть уравнения в образ предельного оператора. Предельный оператор получается, если положить в уравнении задачи (1) £ = 0. Фундаментальное решение уравнения (1)согласно работе [9] имеет вид:

к = 7ЗДежр[—^ + дау'1

2

е

ь

чН2(г-т)

Ядро Мелера обладает свойством К (ж, £, 0) = ^(ж — £).

Дополнительные сингулярные интегральные операторы, если проинтегрировать ядро Мелера по переменной £ имеют вид:

£ +то £ 2

ас(ж,М)(0 = ДОдт / К(ж,£,* — т)д£ =/(•)"

0 —то 0 V ( т )

£ +то £ 2.,2(. )

О1(ж,4,е)(0 = /(•)дт / £К(ж,£,4 — т)д£ = ж/(•) е—^^.

0 —то 0 ус=2(£-г)

Фактически сингулярные операторы (ж, £,£)(•), о"1 (ж, £, £)(•) суть решения уравнения теплопроводности па правые части е, еж. Действия операторов па функцию запишется как:

+ 2

^ (т ) х2 ЬН2(Ъ-т)

-¿л_)__ е ^ '

00(/(*)) = Г , ;(т) е—^^дт,

/ - - х2гН2(г-т)

01(/(()) = ж/ е—^дт.

0 УС=2(£—Т )

Обозначим оператор Т£ = е— е2д^ + ж2.Тогда

Т£М/(*))) = £/(*) + 00(Т£/(*)) = £/(*), Т£(о1(/(*))) = еж/(*) + 01(Т£/(*)) = еж/(*).

Регулярпзованное решение задачи (1) ищем в виде

х2ЬН(2Ь)

и(ж, ¿, е) = г>(ж, £, е)е + о0(у(£, е)) + е)) + и>(ж, ¿, е). (2)

Подставив (2) в (1) и выделив слагаемые при регуляризирующих функциях, получим систему:

I + 2ж^) дХ + = е 0,

00(Т£у (*,е) = 0,

оДТ^ (*,е) = 0, и

ж2^ = й(ж, ¿) — е + е212| — еу(£, е) — ежг (¿, е).

Разложив (2) по степеням е,

то

1(ж,^, е) = ек К (ж, £)е—^"х1" + ^(ул (£)) + (£)) + (ж,

получим из (3) серию итерационных задач:

^ + 2х^) & + ¿М^И = , (¿) = 0,

(¿) = 0, (4)

х2^к = Н(х, — ^ + д2§хк—2 — Ук—1(0 — х**_1Й, ^ Vk(х, 0) + П)к(х, 0) = /(х)£°.

Здесь символ Кронекера. = 1, = 0, при к = 0.

Решения на итерационном шаге £—1 будут v_l(x,í) = 0, 1(х,^) = 0, у—1 (¿), 1 (¿) — произвольные функции. Для их определения рассмотрим итерационную задачу па пулевом шаге £°.

^ + 2х*Н(2*) I0 + ¿Н(2фо = 0, ао(Теуо(^) = 0,

<( а1(Тего(¿) = 0, (5)

х2и>0 = Н(х, ¿) — у—1 (¿) — хг—1 (¿), ^ ^(х,0) + ^о(х,0) = /(х).

Функции уо(^), £о(£) на данном шаге произвольны. Для разрешимости уравнения относительно эдо(х,£) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

дх1

соотношения у—1 (¿) = Н(0, ¿), 2—1(^) = (0,£). Отсюда

( ¿) Н(х, ¿) — Н(0, ¿) — хдх(0, ¿) Н ( ¿) ^о (х, ¿) =-2-^^-= Но(х, ¿).

х2

где Н0(х, ¿)-гладкая функция. Для решения уравнения относительно^ (х, ¿) сделаем замену v0(х,£) = Тогда получим уравнение

да + 2хН(2() ^0(^ = 0.

дх

Запишем уравнение характеристик:

¿х ¿а

= 2хН(2) = Т.

Первый интеграл соответсвенно равен:

х

сН(2£)

= С1.

Отсюда получим общее решение

a(x'i) = g0( СлЩ^

где функция g0 определяется из начальных условий. Таким образом общее решение v0(x,t) имеет вид:

(x t) = g0()

Из начального условия определим произвольную фуекцию д0.При t = 0 имеем

go(x) + ho(x, 0) = f (x) ■ Отсюда g0(x) = f (x) — h0(x, 0). Теперь можем записать решение на шаге е—i

t h(0,T) x2th2(t-r) t ) x2th2(t-T)

u_ 1(x,t) = ,__e 2e dr + x — dT — e 2e dr.

v ; 0 Vch2(t — T) 0 Vch2(t — т)3

Для определения произвольных функций y0(t), z0(t) рассмотрим задачу на шаге е:

^+2xtM2t) fe+th(2t)vi = ,

^(T yi(t) = 0,

ai(Te zi(t) = 0, (6)

x2wi = — ^ (x, t) — y0(t) — xz0(t), v1(x, 0) + wi(x, 0) = 0. Для определения wi(x,t) необходимо и достаточно, чтобы

»(0 = — f0(ML Z0(t) = — &(0,i).

Или

Уо(«) = — §> (0,4), «»(¿) = — & (0,«).

Таким образом на данном шаге найдено слагаемое на нулевом шаге. Его можно записать в виде:

2

ио(х'() = усщ[/(зм) — с^Щ), °)]в—* —

} -Ш-в—^¿г — х } &(о-т)) 3 в—^-¿г+

о т) о т)

^ Ь,( х

Главный член асимптотики запишется как

и - ^ « = 1 [0 ^ е—^ дт + ж / ^ е—^ дт] +

1 /() — Ы, 0)1 е—^ —

I А^Ы) 7 г дттХ (0,Т)) х2^2(^-т)

, дт е— 2ь дт — ж / дтд з е— 2ь дт+ ^ \/с=2(£—т) 0 ■ч/сЬ2(£—т)

Теперь можно написать решения системы (6). Решение относительно ^1(ж, £)будет

, , дл? (ж, *) — д;? (0,*) — ж дтдх (0,л

^(ж,*) = — ' ;-^^^--= Мж,*).

ж2

д/сЛ(2£)

где ^(ж, *)-гладкая функция. Решим неоднородное уравнение относительно

- + - + = ^

Для решения уравнения относительно^ (ж, *) сделаем замену ^1(ж, *) = а(х,£) и вычислим Тогда получим уравнение

да^.

Запишем уравнение характеристик:

дж с^2(2*)да

* = 2жм2) = .

Первые интегралы соответсвенно равны:

ж = с1, а(ж,*) — -*^(2*)д0(с1) = с2.

сй(2*) ^ " ' у 2 Отсюда получим общее решение

+

Х2

где функция $1 определяется из начальных условий. Таким образом решение г>(х, 4) имеет вид:

, Л 1 Г4^(24) //, х Л , х * (м) = $0 (^+$1(

Определим функцию —2у )• Воспользуемся начальным условием $1(х) = —^1(х, 0). Следовательно,

/ ч 1 г4^(24) //. х , , / х

"1(х,<) = 2 ^ ^ — м ,0)

Функции ^(4), ^(4) находятся на следующем итерационном шаге. Они находятся из условия разрешимости уравнения относительнои>2(х, 4):

!/1(0 = — ^ (0,() + & (0,4),

*(*) = — & (0,4) + & (0,4).

Таким образом на данном шаге найдено слагаемое на шаге е.Его можно записать:

2

и1(х,4) = (щ[ ^ $0(сйм) + $1( сад)]е—

^ ^() — ^ (0,т) е—

0 т)

■ 2 3

—х / дтд1(0 ) е--2(— ¿г—

0 Т)

х2

По этой схеме по индукции находятся следующие слагаемые асимптотического ряда.

4. Оценка остаточного члена

Пусть решены (Ж + 1) итерационных задач. Тогда решение задачи Коши можно представить в виде

N

м(х,4,е) = ^ ек(х,4) + е^1^(х,4,е), (8)

к=—1

где RN(х,4, е) — остаток и слагаемые

«(х,Ь)

щ = Vk (х,«)в ~ + ао(ук («)) + ^(¿к («)) + ^к (х,«). Подставив (8) в (1), получим

2> + (—£ + (Ук(4))+ аЛ(гкМ) + —аТ"+ к=-1

+Ук(¿)+х^к(«)) + £ £к((x2Vk(х,«) —^^Vk(х,«))в +х2ао(ук(¿))+х2^1(гк(«))+

к=-1

+ х2»к (х, «)) + +2 + +1х2Д„(х,«)

= ^(Мх-^к(х,()в—— £ е^^^к(х,«)+2^^«Р-дх дх2 дх дх

к=о к= 1

Ек+2г д^к (х,«) «хо . .. ...

£ [ в—— + ^ (ук («)) + — (гк (г)) +

к=-1

+ д2^к(х,4) ] + +3д2(х,4) + , (х «) + дх2 ]+£ дх2 +Л(х,г).

Учитывая соотношеня для ^(х, ¿) и уравнения для от, о15 получим:

£ £к+1(в—+ ^^ + ук(«) + хгк(¿)) + £ £к(хЧ(х, ¿))+

к= —1 к= —1

N+2 (х,4) . N+1 2п / -А

+ £ + -—--Ь £ + х Ля(х,«) =

V £к+1[З^М) (х,0 + 2+

^^ дх2 дх дх

к=-1

+ у £к+2[^Ч^М)в—«х1 + д^(х] + £«+3д2Д*(;х,*) + Л(х,

дх2 дх2 дх2

N

к=-1

Сделав замену индексов и приведя подобные, получим задачу:

£ ^ — £2 ^ + х2дя = Н (х^) Дя (х, 0,£) = 0.

где Н(х,«,£) = х2^я+1(х,«) + £(д Х2^в—+ д ^дх2х,^))• Заметим, что так как итерационные задачи решены вплоть до^+^то слагаемое +1(х, ¿) = 0(1).

Классическим решением задачи (9) называется функция Л(х, 4, е), непре-

__дд дД

рывная в = (-то, +то) х [0,Т] х (0,е0], имеющая непрерывные -7—, -7-—,

д4 дх

— в и удовлетворяющая во всех точках уравнению (9) и начальным

дХ

условиям при 4 = 0.

Теорема 1 (оценка остаточного члена) Пусть выполнены требования:

1) условия 1)-2) для задачи Коши (1);

2) ЗМ> 0 |Н(х,4,е)| < М У(х,4) е (-то, +то) х [0,Т] Уе е (0,ео]/ Тогда ЗС > 0 (х,4,е)| < С У(х,4) е (-то, +то) х [0,Т] Уе е (0,ео].

Используя фундаментальное решение Мелера, запишем решение задачи (9) в виде

£ +то

Л. (М) = !/*/* «,г)* - Т

0 -то

Оцепим остаток по модулю. Тогда получим

£ +то

(х,4)| < Ц ¿т / |Н(£,т)|К(х,£,4 - тК <

о -то

£ +то £ 2.Ю,. ч

< ММ / ¿Т / к(х, 4 - т№ = М / е-^ < М.

Запишем остаточный член в виде

= +1 + +1-Тогда | < |и.+1| + еМ < С С > 0.

Список литературы

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. - М., Наука, 1981, 400 с.

2. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора. Матем. сборник, 1986, т. 131, № 4, с. 544-557.

3. Ломов С.А. Равномерные асимптотические разложения одной задачи с точкой поворота. В кн.: Докл. науч.-техн. конф., секция матем.. - М., МЭИ, 1969, с. 42-50.

4. Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование при изменении характера спектра. Тр. МЭИ, 1978, вып. 357, с. 56-62.

5. Елисеев А.Г.,Ратникова Т.А. Сингулярно возмущенная задача Коши при наличии рациональной «простой» точки поворота у предельного оператора. Дифф. урав. и проц. управл., 2019, № 3, с. 63-73.

6. Yeliseev A. On the Regularized Asymptotics of a Solution to the Cauchy Problem in the Presence of a Weak Turning Point of the Limit Operator. Axioms, 2020, № 9, 86. - http://doi.org/10.3390/axioms9030086.

7. Елисеев А.Г., Кириченко П.В. Решение сингулярно возмущенной задачи Коши при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора. Сибир. электр. матем. изв., 2020, № 17, с. 51-60.

8. В.И.Арнольд. О матрицах, зависящих от параметров.// УМН,1971,том 26, выпуск 2(158), 101-114.

9. F.G.Mehler. Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variablen nach Laplaceschen Functionen honerer Ordnung.,Jornal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 1866, 161-176p.

Example of solution of a singularly perturbed Cauchy problem for a parabolic equation in the presence of a «strong» turning point

A.G. Eliseev

National Research University «MPEI», Moscow, Russia predicat@bk.ru; yeliseevag@mpei.ru

Abstract. In the article, on the basis of S.A. Lomov's regularization method, an asymptotic solution of a singularly perturbed Cauchy problem for a parabolic equation in the presence of a "strong turning point "is constructed. The regularization method makes it possible to construct an asymptotic solution uniform on the entire axis. The idea of this paper goes back to the paper where methods for solving a singularly perturbed Cauchy problem in the case of a «simple» turning point of a limit operator with a natural exponent were developed.

Keywords: singularly perturbed Cauchy problem, parabolic equation, asymptotic solution, regularization method, «strong» turning point.