CC BY
4УДК 51 Ляхов Д.Ю., Грищук И.Д.
Ляхов Д.Ю.
курсант 1 факультета подготовки штурманов
Филиал Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил
Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Челябинск, Россия)
Грищук И.Д.
курсант 1 факультета подготовки штурманов
Филиал Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил
Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Челябинск, Россия)
ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В НАВИГАЦИИ
Аннотация: в статье рассматривается применение сферической геометрии в навигации. Приводятся особенности решения задач сферической геометрии в вопросах воздушной навигации.
Ключевые слова: сферическая геометрия, сфера, навигация, картография, тригонометрия.
Навигация является одной из старейших дисциплин. Уже первым мореплавателям приходилось решать такие простейшие задачи, как определение самого короткого маршрута и выбор направления движения. В настоящее время эти же задачи стоят перед летчиками, космонавтами и моряками. Некоторые аспекты навигации тесно связаны с сферической геометрией.
Поставим перед собой задачу №1. Имеются географические координаты - широта и долгота точек А и В на поверхности Земли. Необходимо определить кратчайшее расстояние между этими точками вдоль поверхности Земли (при условии, что радиус Земли известен: Я = 6371 км).
Решение: вначале стоит напомнить, что широтой точки М на поверхности Земли понимается угол фМ, образованный радиусом ОМ, где О — центр Земли, с плоскостью экватора: -90° < фМ < 90°. Севернее экватора широта считается положительной, а к югу — отрицательной (см. рисунок 1).
Долгота ХМ точки М представляет собой угол между плоскостями СОМ и СОН, где С — Северный полюс Земли, а Н — точка, соответствующая Гринвичской обсерватории: -180° < ХМ < 180° (положительная долгота на востоке от Гринвичского меридиана, отрицательная — на западе).
Как известно, кратчайшее расстояние между точками A и B на поверхности Земли — это длина меньшей дуги большого круга, соединяющей A и B (такую дугу называют ортодромией — это слово из греческого переводится как «прямой путь»).
Таким образом, наша задача заключается в определении длины стороны AB сферического треугольника ABC (где C — северный полюс). Используя стандартные обозначения для элементов треугольника ABC и соответствующего трехгранного угла ОАВС, из условия задачи мы находим: угол C также можно выразить через координаты точек A и B. Следовательно, либо, если, либо, если.
Рисунок 1.
Зная , мы находим с помощью теоремы косинусов:
Зная cosy и, следовательно, угол у, мы определяем искомое расстояние
3адача 2. Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в B, если известны географические координаты этих точек
Решение. Сначала уточним условие. Курсом корабля в точке М называется величина угла, образованного меридианом, проходящим через М, и продольной плоскостью судна. Таким образом, начальный курс судна в точке А — это угол CAB. Для вычисления этого угла применим теорему косинусов к сферическому треугольнику ABC:
ens COA = ras COK cos ЛОВ+sin COAán AOñ atsA
Подставляя найденное значение cosy, получаем:
_ s™ (sinf>A sin fl, + cns^a ais ib cos(Aa))
Рисунок 2.
Хотя прямой маршрут (ортодромия) является самым коротким на поверхности Земли, транспортные средства, такие как самолеты и корабли, следуют другим путям. Это происходит потому, что прямой маршрут пересекает меридианы под разными углами, в отличие от дуги меридиана или экватора, что требует постоянного изменения курса при движении по нему. Это практически
невозможно осуществить. Гораздо проще двигаться по линии постоянного угла (локсодромия). Локсодромия пересекает меридианы под постоянным углом, что показано на рисунке 2. Хотя при движении по локсодромии путь становится длиннее, если точки А и В находятся близко друг к другу, удлинение маршрута по сравнению с ортодромией незначительно. Однако при большом сферическом расстоянии потери при движении по локсодромии могут быть значительными. В таких случаях рассчитывают прямой маршрут (ортодромию) между точками А и В, определяют координаты нескольких промежуточных точек и следуют по курсам локсодромий, соединяющих эти точки. Чем больше промежуточных точек нанесено на ортодромию, тем меньше отличается маршрут от прямого (в морской практике обычно используют промежуточные точки с разницей в долготе 10°).
Задача 3. Найти такое соотношение координат точек А и В, которое позволит вычислить координаты промежуточных точек на ортодромии АВ, является задачей данного текста. Другими словами, необходимо вывести уравнение ортодромии, соединяющей точки А и В.
Для начала отметим, что если точки А и В находятся на одной долготе или экваторе, то уравнение ортодромии находится просто: X=const или ф = 0°. В случае же, если это не так, то ортодромия пересекает экватор в точке А0. Обозначим долготу точки А0 как Х0, а угол между ортодромией АВ и экватором как К0. Далее выведем уравнение ортодромии, предполагая, что К0 и Х0 известны.
Предположим, что Х(ф, X) — это произвольная точка на ортодромии, а У — точка пересечения меридиана, проходящего через X, с экватором. Тогда треугольник А0ХУ является прямоугольным. Рассмотрим его.
По теореме синусов:
аш4ю _ яп у
ап 4РХ
Так как ^ т0 обозначив ^ через р, а угол А0ОХ через у,
получим:
По теореме косинусов:
ак^=ав /? сок 7"+яп /?яп усп&Л^
Отсюда:
(жрав у
cos Д, =smE.„
sin ^an /f
получаем:
9Hfl ЯЛуЯЛр
—--—
ЯПJ CDS ф~ COS pens J
По сферической теореме Пифагора:
cos J = cos pcasip
Отсюда:
с%кй = =
an^an/?
anf^ in ji? _ tg<p
cos ф cos2 /fcos ф cos ф an'/f sin
От полученного уравнения ортодромии по ее угловому коэффициенту можно перейти к ее уравнению по двум точкам A(Xi, 91) и Б(Х2, ф2). Дело
сводится к решению системы двух уравнений относительно ^о и А^ в самом деле, координаты точек А и В удовлетворяют уравнению. Поэтому:
№ = сфК^ап^
Отсюда:
ten
Из (5.4) и (5.5) следует:
Так как:
имеем:
Из этого соотношения находится X о, а из уравнения - Ко.
Решение задачи (3) позволяет определить координаты точек ортодромии, соединяющей точку А(Х1, ф1) с точкой В(Х2, ф2). Однако для того чтобы наметить маршрут из точки А в точку В, необходимо умение решать другую задачу: определить курс движения корабля по локсодромии АВ, имея координаты точек А и В. Для решения этой задачи можно вывести уравнение локсодромии АВ. Но существует и более простой подход.
Этот метод связан с другой задачей в области навигации — выбором наиболее подходящих карт для управления судном. Поскольку углы играют важную роль при прокладке курса, основное требование к картам, используемым в навигации, заключается в том, чтобы углы между кривыми на сфере соответствовали углам на карте, так как маршруты судов на поверхности Земли часто представляют собой локсодромии, желательно, чтобы локсодромии на навигационных картах были представлены как можно проще, лучше всего отображаясь отрезками.
Существуют карты, удовлетворяющие обоим этим требованиям. Их впервые предложил фламандский картограф Меркатор примерно 400 лет назад (на рисунке 3 показан пример такой карты). Задачи, связанные с созданием карт, также решаются с использованием сферической геометрии.
Рисунок 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Избранные вопросы математики: 10 Кл. Факультативный курс/А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев и др., Сост.: С.И. Шварцбурд.- М.: Просвещение, 1980. - 191 с;
2. Атаносян Л.С. Геометрия. Часть 2. - М.: Просвещение, 1974;
3. Энциклопедия элементарной математики, книга IV, V. Геометрия. - М.: Наука, 1966. - 624 с;
4. Энциклопедия Т. 11. Математика/Глав. ред. М.Д. Аксёнова. - М.: Аванта+, 2001. - 688 с
LyakhovD.Yu., GrischukI.D.
Lyakhov D.Yu.
Air Force Academy named after N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin (Chelyabinsk, Russia)
Grischuk I.D.
Air Force Academy named after N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin (Chelyabinsk, Russia)
APPLICATIONS OF SPHERICAL GEOMETRY IN NAVIGATION
Abstract: the article discusses the use of spherical geometry in navigation. The features of solving problems of spherical geometry in matters of air navigation are given.
Keywords: spherical geometry, sphere, navigation, cartography, trigonometry.
