CC BY
41
6. Касаткин, А. М. О представлении знаний в системах искусственного интеллекта роботов / А. М. Касаткин // Кибернетика. 1979. № 2. С.57-65.
7. Лопатин, П. К. Применение алгоритма полного перебора в качестве подпрограммы в задаче управления манипуляторами в среде с неизвестными препятствиями / П. К. Лопатин // Компьютерные и вычислительные технологии в задачах естествознания и образования : сб. материалов Междунар. науч.-техн. конф. / Пенз. гос. с.-х. акад. Пенза. 2005. С. 97-100.
8. Мэнсон, Дж. Робот планирует, выполняет и контролирует в неопределенной среде / Дж. Менсон // Интегральные роботы. М. : Мир, 1973. С. 355-381.
10. Тимофеев, А. В. Роботы и искусственный интеллект / А. В. Тимофеев. М. : Наука, 1978. 215 с.
11. Ahrikhencheikh, C. Optimized-Motion Planning: Theory And Implementation / С. Ahrikhencheikh, A. Seireg. New York : John Wiley & Sons, Inc, 1994. 375 p.
12. Barraquand, С. Robot Motion Planning: A Distributed Representation Approach / C. Barraquand, J.-C. Latombe // Int. J. of Rob. Res. Vol. 10, 1991. J№ 6. P. 628-649.
13. Canny, J. The Complexity Of Robot Motion Planning / J. Canny. Cambridge, Massachusetts : The MIT Press., 1988. 250 p.
14. Collins, G. E. Quantifier Elimination For Real Closed Fields By Cylindrical Algebraic Decomposition / G. E. Collins // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 33. New York : Springer-Verlag, 1975. P..135-183.
15. Donald, B. R. On Motion Planning with Six Degrees of Freedom: Solving the Intersection Problems in Configuration Space / B. R. Donald // Proc. of the IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. Tampa, Florida, 1985. P. 1 183-1 197.
16. LaValle, S. M. Planning Algorithms. [Electronic resource] / S. M. LaValle. Electronic data. Regime for access: http://msl.cs.uiuc.edu/planning. Title from a display. Information is gathered for 1999-2003.
18. Lopatin, P. K. Algorithm of a manipulator movement amidst unknown obstacles / P. K. Lopatin // Proc. of the 10th Inter. Conf. on Advanced Robotics (ICAR 2001), 22-25 Aug. 2001. Budapest, 2001. P. 327-3 31.
19. Lumelsky, V. J. Three-Dimensional Motion Planning In An Unknown Environment For Robot Arm Manipulators With Revolute Or Sliding Joints / V. J. Lumelsky, K. Sun // International. Journal of Robotics and Automation. Vol. 9. 1994. J№4. P. 188-198.
9. Нильсон, Н. Искусственный интеллект / Н. Нильсон. М. : Мир, 1973. 272 с.
P. K. Lopatin
ALGORITHM 2 FOR DYNAMIC SYSTEMS CONTROL IN AN UNKNOWN STATIC ENVIRONMENT
It is presented an algorithm for dynamic systems control in an unknown static environment for conditions when a sensor system supplies information about local neighborhood of different points in a configuration space. It is proved the theorem stating that while moving according to the algorithm the dynamic system reaches a target state in the finite number of steps. It is given sequences from the theorem which facilitate the system functioning.
ХЦК 519.866
А. В. Медведев, П. Н. Победаш
ПРИМЕНЕНИЕ Z-ПPEOБPAЗOBAHИЯ И ДИСКРЕТНОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА К АНАЛИЗУ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
Рассмотрена динамическая задача инвестиционного анализа, представленная в виде многошаговой задачи линейного программирования (МЗЛП). Предложен подход к ее решению, основанный на комбинации z-преобразования и дискретного принципа максимума (ДПМ), который позволяет получить аналитическое решение z-задачи, соответствующей исходной МЗЛП, провести ее параметрический анализ и получить оценки сверху на оптимальную стоимость инвестиционного проекта.
При анализе инвестиционных проектов относительно редко решаются динамические, оптимизационные задачи, допускающие наличие эффективных алгоритмов их решения. Вместе с тем исследование большинства экономических процессов требует учета эффектов обесценения во времени финансовых ресурсов. Последнее, как правило, осуществляется путем использования методов дисконтирования. В данной статье предложен подход, позволяющий учитывать указанный эффект обесценения
в рамках многошаговой задачи линейного программирования (МЗЛП). Цанный подход дает возможность получать оценки на оптимальную стоимость инвестиционного проекта, описывающего динамическую задачу инвестиционного анализа, предложенную в работах [1; 2] и имеющую следующую содержательную постановку.
Пусть предприятие предполагает производить пользующуюся спросом продукцию нескольких видов, и известны технико-экономические характеристики основных
производственных фондов (ОПФ): стоимость, срок службы, производительность единицы ОПФ и стоимость единицы производимой на них продукции каждого вида. Требуется определить суммы инвестиций, выделяемые инвестором на рассматриваемый инвестиционный проект (ИП) в целом, приобретение ОПФ и объемы продаж по каждому виду продукции, максимизирующие его стоимость за определенный период. Модель описанной задачи в форме МЗЛП имеет следующий вид:
хк(і +1) = хк(і) + ик(і) (к = 1,п; і = 0,Т -1),
х„+і(і +1) = -Ехк(і) 1 Тк + хп+і(і) + Xик(і) (і = Т2 > ■■■>Т-1)= к =1 к=1
хп + 2 (І + 1) = -«2Хп+1 (І) + п
+ хп+2 (і) - Xик (і) + М2п+1 (і) + М2п+ 2 (і) (і = 0),
к=1
хп + 2 (і + 1) = -«2хп+1 (І) + хп+2 (І) -
-Е"к (І) + М2п+1(І) (І = Т2 - 1),
к=1
Хп+2 (І + 1) = «3 X ^ - 0Хп+1 (І) + Хп+2 (І) -
(1)
-Xuk (t) + г]^un+k (t) + U2n+1 (t) (t = T2 , ..., T1 - 1)
k=1 k=1
Xn+2 (t + 1) = «3 eL - 0Xn+1 (t) + Xn+ 2 (t) -
k=1 Tk
-^E,Uk (t) + г LLUn+k (t) (t = T1 , "^ T - 1)>
k=1 k=1
Xn+3(t + 1) = Xn+3(t) + U2n+1(t) (t = 0, ..., T1 - 'X
Xn+3(t +1) = Xn+3(t) (t = T1,..., T -1),
Xk (0) = 0 (k = 1,..., n + 3), Xn+2(t) > 0 (t = 1,..., T),
и X (t) и
-Е - «2 Xn+1 (t) + (1 - в)Е Un+k (t) > 0 (t = T2,..., T -1),
k=1 Tk k=1
0 < un+k(t) < qk(t+'X
un+k(t) < 6kxk(t) (k = 1,..., n;t = T2,..., T-1),
Xn+3(T 1) > ІС U2n+2 (0) < ^,
uk (t) < 0 (k = 1,..., n; t = 0,..., T -1),
і(- ) < 0 (t = 0,..., T1 -1), U2n+2(0) > 0, 2 (0) +
J = -E1 U2n+1 (t)
J 2-І П , M\t “2n+2'
r' -l
+E
t=T2
t=0 (1 + r)■ xk(t)
E^—0xn+i(t)+г Е un+k(t)
=1 Tk
, n;
ятия и накопленные суммы внешних инвестиций в момент г соответственно; qk (і +1) (і = Т2,..., Т -1), Гк, Тк, ск и Рк к =1, ..., и - спрос в стоимостном выражении в момент г + 1, производительность, срок службы, стоимость единицы ОПФ и стоимость единицы продукции к-го типа соответственно; I, К0 - суммы внешних и внутренних инвестиций, выделяемых на весь срок действия ИП; а1, а2, а3 - ставки налога на добавленную стоимость (НДС), налога на имущество (НИ) и налога на прибыль (НП) соответственно (НДС включен в цену продукции, поэтому можно считать, что а1 = 0); в - доля выручки от реализации, выделяемая на фонд оплаты труда (ФОТ);
0 = (1 -аз)«2, 5к = РкУк /ск (к = 1,п), 5к = 1 -а3,
г = (1 - а3 )(1 - в); и - число типов ОПФ; г - ставка доходности ИП; 5(0 < 5 < 1) - доля остаточной стоимости всех ОПФ на момент г = Т от ее балансовой стоимости.
Рассмотрим задачу оценки стоимости описанного ИП, когда 5 = 0. Доопределим управления ип+к(і)
(k = 1,..., n; t = 0,..., T2 -1), u2n+l(t )(t = T',..., T -1),
2(t)
(/ = 1,Т -1), полагая их равными нулю и сопоставив им в исходных данных нули элементы. Цополнив задачу (1) следующими условиями: хп+3(/) < 10 (/ = 1,..., Т),
л-) < 0, -i(t) < о.
, (t) < 0(k = 1,..., n; t = 0,..., T2-1),
'(t) < 0(t = T',..., T2 -1),
,(t) < 0
и2п+2(/) < 0(/ = 1,...,Т-1), обозначим ее (2). Цалее символом * будут отмечены оптимальные значения переменных. В работе [1] доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Если выполняются условия
qk = тах qk (/ +1) < +
/=1,... (3)
+ о(к = 1,..., п), Т ^ +о, г > 0, Т2 = 1, то задача (1) имеет решение, причем оптимальная сто-
^ *
имость проекта КРУ * = У* > 0.
Теорема 2. КРУ есть неубывающая функция от параметров Т, п, Т1, у, 5, 5к, qk(/ +1) (к е{1,..., п}, /е-е-Т2 +1,..., Т + 1}), I о, К о и невозрастающая функция -от параметров Т2, с и г (Т, п, Т1, Те {1, 2, ...}) при неизменных значениях остальных параметров.
По теореме 1 справедливо условие ЫРУ*(Т2)|т2=1 <+°°, а в силу теоремы 2 функция КРУ *(Т2) является невозрастающей по аргументу Т2, т. е. КРУ*(Т2) < КРУ*(Т2)| "
(1 + г)'
X* 5x„+i (T)
+ / — т . ^ max,
,=T2 (1 + г)T-1
где uk (t)(k = 1,..., n; t = 0,..., T -1), «„+* (t)(k = 1,
t = T^ ..., T - l), U2n+1 (t) (t = 0,..., T1 -1) и M2n+2(0) - стоимость приобретаемых ОПФ и выручка от реализации продукции k-го типа, внешние и внутренние инвестиции в момент t + 1 и t = 1 соответственно; xk(t), xn+1(t), xn+2(t) xn+2(t) (k = 1,..., n; t = 0,..., T) - накопленная стоимость всех ОПФ k-го типа, остаточная стоимость всех ОПФ, текущие денежные средства предпри-
, откуда следует, что КРУ * (Т2) < +°° . В итоге получим такое следствие.
Следствие 1. Если выполняются условия
qk < +^(к = 1,..., п), Т ^ +го, г > 0, (4)
то задача (1) имеет решение при любом Т2 е {1, 2,...}.
Устремляя в задаче (2) Т ^ +°°, полагая z = 1 + г > 1, Т2 = 1, применяя z-преобразование и исключая Хк (х) (к = 1,..., п + 3), с учетом соотношений 2(х(/ +1)) = х [X(х) - х(0)], Т ^+оо^ Тк ^ +°о(к = 1,..., п), получим параметрическую (по параметру z) статическую задачу линейного программирования (ЗЛП):
-( + z - 1)ЕШ (х) +
к=1
+ ф -1) Е ип+к(х)+(х - 1)(и 2п+1 (х) + ^ 2п+2 (х)) > 0,
k
u
u
u
u
k=1
ЗЗ
2 £U (z)
z-1
+ (1 -B)£U„+,(z) > 0, un+k (z) < Qk(z), Un(z) <
k=1
< SkUk(Z)
(z)
(k = 1,n),
U2„+i(z) < I0, U2и+2(z) < K0, Uk (z) > 0 (k = 1,..., 2n + 2), 9£U (z)
J (z) = -
z -1
s(k) = (0;0)T e R2 (k = 0,..., N -1), E2 =
^1 0Л
0 1
V У
с (k) =
с (k) =
' 0 0 ^ / , D(k) =
0 0
V > V
k+1 ;0)’ W (k 2R ш
0 0 ] /
0 0 , D(k) =
1 -1
-Sk
-5,
1
1
V -1 1 -1
h(k) = (Qk+,;0;0)Г e R3 (k = N - 2). С (k) =
(5)
" 0 0 ^ " 1 0 "
0 0 , D(k) = 0 1
а V -1 1 -1 V /
■ + r£ Un +k (z) - U2n +1 (z) - U2n+2 (z) ^ maX>
где Uj(z) = £uj(t)z, Xk(z) = £xk(t)z- (j = 1,---,2n + t =0 t=1
1 + 2; k = 1,..., n + 3) - z-изображения ее управляющих и
def “
фазовых переменных; Qk(z) = £qk(t +1)z(k = 1,..., n).
t=0
При этом для значений J*(z) и J (z) критериев в задачах (1) и (5) при T ^+°° справедливо неравенство
def
NPV*(T2 )|T2 = = J(z) < J (z). (6)
Полагая u1 (k, z) = 0 Uk+1 (z)/ (z -1), u2 (k, z) = rUn+k+1 (z) (k = 0,n -1), Uj(n, z) = U
2 n+1(z), U2 (n, z) = U2n+2 k-1 k-
Xj (k, z) = £ Uj (j, z), X2 (k, z) = £ U2 (j, z) (k = 0,..., n),
j=0 j=0
a = 1 + (z-1)/0, Qk = rQk(z), Sk(z) = rSk/0(k = 1,..., n), N = n + 1 и учитывая, что a2г/ [0(1 -в)] = 1, xt(k +1,z) = xt(k, z) + ut(k,z)(k = 0,..., n-1), xi(0,z) = 0(i = 1, 2), откуда следует: x (n, z) = x (n -1, z) + u (n -1, z) (i = 1, 2), представим ЗЛП (5) как N-шаговую задачу:
x (k +1, z) = x (k, z) + ut (k, z)(k = 0,..., N -1),
X(0,z) = 0(i = 1,2), u2(k,z) < Qk+„
-5k+1u1 (k, z) + u2 (k, z) < 0 (k = 0,..., N - 2), xj (k, z) - x2 (k, z) + uj (k, z) - u2 (k, z) < 0 (k = N - 2), u1(k, z) < I0, u2(k, z) < K0! ax1 (k, z) - x2 (k, z) - u1 (k, z) - u2 (k, z) < 0 (k = N -1), (7)
u(k, z) < 0 (i = 1, 2; k = 0,..., N -1), J(z) =
= 2x2 (N -1, z) - x1 (N, z) - x2 (N, z) ^ max.
В соответствии с общим видом МЗЛП [3] приведем исходные данные для задачи (7):
^(k) = E2, B(k) = E2,
И(к) = (/0; ^0;0) е Я3 (к = Ж -1),
а(к) = (0;0)г е Я2 (к = 0,..., Ж - 2),
а (к) = (0;2 ) е Я2 (к = Ж -1),
а (к) = (-1; -1) е Я2 (к = Ж),
й(к) = (0; 0) е Я2 (к = 0,..., Ж -1),
гк = 2, п = 2 (к = 0,..., Ж -1),
= 2 (к = 0,..., Ж - 3),
шк = 3 (к = Ж - 2; Ж -1),
и(к, г) = (м1(к, г), и2(к, г))Г е Я2,
Цк, г) = (к, г),%шк (к, г))Т е Яш (к = 0,..., Ж-1),
х(к, г) = (х1(к, г), х2(к, г))Т е Я2,
р(к, г) = (р1(к, г), р2(к, г))Т е Я2 (к = 0,..., Ж)
- прямые и двойственные управляющие и фазовые переменные задачи (7) и двойственной задачи к ней.
Учитывая, что р(Ж, г) = (-1; - 1)Т е Я2, запишем прямую ЗЛП, полученную по дискретному принципу максимума (ДПМ) [3] по МЗЛП (7), на шаге k = N - 1:
Нр (и (к, г)) = -и1 (к, г) - и2 (к, г) ^ тах,
и1 (к, г) < 10, и2 (к, г) < К0, ах* (к, г) - х* (к, г) - и1 (к, г) - и2 (к, г) < 0,
и1 (к, г) < 0(г = 1,2; к = Ж -1), (8)
где Нр (и (к, г)) - гамильтониан прямой ЗЛП на шаге k.
Управление |и(к, г) = (0; 0)Т е Я2 (к = 0,..., Ж -1)} -допустимое в МЗЛП (7), поэтому управление и0 (Ж -1, г) = (0; 0)Т е Я2 будет допустимым в ЗЛП (8). Поскольку Нр (и(Ж -1, г)) < 0 и Нр (и0(Ж -1, г)) = 0 , то управление и*(Ж -1, г) = (0; 0)Т является оптимальным в ЗЛП (8).
Задача линейного программирования, двойственная к задаче (8), для шага k = N - 1 такова:
Нв (Х(к, г)) = 10Цк, г) + К0Х2 (к, г) +
+ [-ах* (к, г) + х* (к, г)] Я3 (к, г)(к, г) ^ тт,
^ (к, г) - Xз (к, г) >-1, ^ (к, г) - Я3 (к, г) >-1,
Я, (к, г) >-0(] = 1,3; к = Ж -1). (9)
По локальной теореме двойственности: Нр (и* (к, г)) = Нв (X* (к, г)) (к = 0,..., Ж -1), где
Нв (Х(к, г)) - гамильтониан двойственной ЗЛП, при k = N - 1 получим:
10X* (к, г) + К0Х2 (к, г) [-ах* (к, г) +
I + х* (к, г)]Х3 (к, г) = 0 (к = Ж -1). (10)
По (8) для и*(Ж-1, г) следует:
-ах1 (к, г) + х2 (к, г) > 0 (к = Ж -1). При этом, поскольку
10 > 0, К0 > 0 и X, (к, г) > 0 (, = 1, 2; к = Ж -1), возможны следующие случаи:
k=1
k=1
1) -ах (к, г) + х2 (к, г) = 0 (к = N -1);
2) -ах* (к, г) + х* (к, г) > 0 (к = N -1).
В случае 1 условие (10) примет вид І0X* (к, г) + К0Х^ (к, г) = 0 (к = N -1), откуда, с учетом ограничений в (9), следует, что X* (N -1, г) = (0; 0; сN)Т є Я3, где сN є [0; 1] - параметр.
В случае 2 X* (N -1, г) = (0; 0; 0)Т є Я3. Следовательно, управление X (N -1, г) = (0; 0; 0)Т є Я3. всегда оптимально. Тогда двойственные уравнения движения при к = N - 1 имеют вид рДк +1, г) = р1(к, г) - аХ2 (к, г), р2 (к +1, г) = р2 (к, г) - Х3 (к, г) + 2(к = N -1), откуда имеем р*(к, г) = -1, р*(к, г) = 1 (к = N -1). Следовательно, прямая ЗЛП для шага к = N - 2 такова:
Ир(и(к, г)) = -и1(к, г) + и2(к, г) ^ тах,
и2 (к, г) < бк+1, и2 (к, г) < 5*+и (к, г), и2 (к, г) > и1 (к, г)+ [X* (к, г)- х* (к, г),
иі (к, г)> 0 (і = 1,2; к = N - 2). (11)
В результате анализа (11) получаем, что решение указанной ЗЛП определяется формулами
(0; 0)Т, 5к+1 < 1, и (к, г) = | ск+1а+1 (1; 1)Т, Ск+1 є [0; 1], 5к+1 = 1 (к = N - 2), а+1(1/5к+1;1)Т, 5к+1 > 1,
откуда в силу равноправности ОПФ относительно номера к аналогичные формулы верны для всех к = 0, ..., N - 2. Тогда имеем:
и* (г)= 0, и'+і (г )= 0, 8к+1 > а2 / (1 - в ), и*п+1 (г)= 0; и*п+2 (г)= 0, ик (г )= с1іф1 (г)/5к, и”+і (г)= скдк (г),ск є[0;1], 8к = а2 / (1 - в ), (12)
и*(г)= гдк(г)/5к, и^+к (г)= <2к(г), 5к >; 1)Т, 5к+1 > а2 (1-в) (к = 1,п).
В силу теоремы 2 и условия (6) получим:
* —* (М
J * = Ііт Ґ*..
“ Т
7Т < 7о < 7 (г), где г = 7 (г); „ - з Т
т _ Т ^+о
Подставив формулы (12) в выражение для 7(г) в z-задаче
(5), имеем:
7*(г) < X (г - 0/5к ) (г). (13)
к: 8^ > а2 / (1-в)
Принимая во внимание, что
цк (г +1) < цк (к = 1,..., п; г = 1,..., Т -1), получим:
, п)
Теорема 2 позволяет перенести теоремы 3 и 4на конечный интервал времени Т. Теорема 4 утверждает, что если относительная эффективность8к (к = 1,..., п), ОПФ каждого вида не выше некоторой величины, то оптимальная стоимость ИП равна нулю. Следует отметить, что теоремы 2-4 подтверждены численными экспериментами на ЭВМ [1]. По доказанным теоремам несложно получить ряд следствий.
Пусть справедливы соотношения (3) и срок Т действия проекта, описываемого моделью (1), конечен. Рассмотрим частный случай спроса qk (г), заданного формально на бесконечном интервале времени равенством:
_ 0, г = 1,..., т 2
qk(?) = - qk(г),г = т2 +1,..., т (к = 1,...,п),
0, г = т +1,...,
где qk (г), (к = 1,..., п; г = Т2 +1,..., Т) - фактический спрос по ^му виду продукции в момент г и производство формально начинается с момента г = 1, а фактически - с момента г = Т2. Аналогично (14) получим:
0-к(г) = X Чк (1 + !)г< Чк X г=
Чк
[г‘-Т2 - г1-Г ]
б(г) = х qt(г+1)г~г < qk Xг~г =^(к =1
г=1 г=1 г 1
(k = 1, ..., и).
Учитывая, что z = _1 + г, в итоге имеем:
бк (г) < ^ (к = 1,...,п) (k = 1, ..., и). (14)
Г
По (13) и (14) с учетом (6) получим следующие теоремы. Теорема 3. Если имеют место условия (3), то справедливо неравенство
ЖРУ < 1 X (г - 0 / 8к ) (г), (15)
Г к: 8к > а2 / (1-в)
где суммирование производится по значениям ^ удовлетворяющим условию
8к > а2 / (1 - в )(к е {1,..., п-. (16)
Теорема 4. Если выполняются условия (3) и
8к > а2 / (1 - в )(к е 1,..., п), то ЖРУ * = 0 .
г -1
qk Г г1~т 2 - г1~т ]
или бк (г) < —Г----- ----- (к = 1,..., п).
г-1
По последнему неравенству и (13), принимая во внимание условие (6), по теореме 3 получим представленное ниже следствие.
Следствие 2. Если выполняются условия (4), то имеет место неравенство
Г1 - (1 + Г)т 2 -т - _
жрУ <1 п чт2-1 - X (г-0/8к)qk.(17)
Г (1 + Г) к: 8к > а2 / (1-в)
По следствию 2, с учетом импликации
V, ^+00^8, ^+оо(, е{1,..., п—, можно получить другое следствие.
Следствие 3. Если справедливы условия (4) и все ОПФ имеют сколь угодно высокую производительность: у, е {..., п}), то
* г П - (1 + Г)т2-т ] „
жру < ^---------Т2-^ X q^. (18)
Г (1 + Г )Т-1 ы
В статье [2] приведены следующие теоремы, доказанные в работе [1].
Теорема 5. Если выполняются условия
8к < (0 + г)/г (к = 1,..., п),, то имеет место неравенство
/о ^ \
ЖРУ * < (10 + К0) X
к: 8к > а2 / (1-в)
Если условия (16) имеют место для всех k = 1, по теоремам 1 и 5 вытекает следующая теорема.
г5* -(
) + г - г5.
(19)
Теорема 6. Если справедливо условие (3)
< <
) + г
(к = 1,...,п), то
ЖРУ * < X (г - 0/8к )тш [qк / г, (К„ +10) 8к /(0 + г - г8к)]. (20)
к =1
Рассмотрим частный случай задачи (1), исследованный при Т1 = Т2 = 1 в работе [4], когда спрос на производимую продукцию не учитывается, т. е. формально нео-
граничен. Содержательно последнее условие можно интерпретировать двумя способами:
1) в период внедрения нового продукта на рынок можно считать, что ограничений на объем продаж нет, т. е. вся произведенная продукция полностью потребляется [5];
2) оно может выступать как условие повышенного спроса, т. е. имеют место соотношения:
qk(г +1) ^+о
(к = 1, ..., и; г = Т2, ..., Т- 1), Т2 = 1. (21)
Переходя в (20) к пределу при условиях (21), по теореме 6 получим следствие.
Следствие 4. Если выполняются условия
а2 0 + г п ч
-----< 8к <-----(к = 1,..., п), то в задаче (1) на бесконеч-
1 - в г
ном временном интервале существует решение. При этом оптимальная стоимость ЖРУ проекта, описываемого указанной моделью, не превосходит величины
ЖРУ* < (70+К0)]Г ( г8к -
k=1
) + Г - г5.
(22)
j = 1, ..., 2и + 2; к = 1, ..., и + 3; г = 0, 1, ... . По (24), при к = и + 1 следует, что при Т ^ +о задачи оценки стоимости ИП (5 = 0) и стоимости фирмы (5 > 0) эквивалентны.
Неравенство (14) используется для упрощения оценок сверху на ЖРУ , и если его не использовать для исключения функции бк (г), то полученные выше оценки будут точнее.
При Т >> 1, г > 0 и Т2 = 1 оценка (17) на ЖРУ * сверху
1
мало отличается от оценки (15), поскольку
(1 + r)T
■0.
Аналогично (15) уточняются оценки (19), (20) и (22) для случая T2 > 1; T < +^ T2 > 1; T < +^ . Итак,
0 < NPV* <Г(г), (23)
где Г(г) - оценка на NPV * сверху в правой части неравенств (15), (17)...(20), (22), позволяющая отбирать среди инвестиционных проектов потенциально эффективные, не решая МЗЛП (1).
Теоретический и численный анализ использования описанного подхода позволяет сделать ряд существенных замечаний.
В соответствии с [6], при оценке ИП в условиях неопределенности (например, при венчурных инвестициях), r увеличивают с возрастанием риска. Величину Г(г) можно рассматривать как меру неопределенности в оценке NPV*. При r ^ +°° получим: Г(г) ^ +0, и по (23) следует, что NPV* = 0 , т. е. оценка NPV* является определенной. Если инвестор рассчитывает получить стоимость ИП, превышающую Г(г), то рассматриваемый проект для него неприемлем.
При условиях (3) существует решение как ЗЛП (8), так и, в силу (6), МЗЛП (1). Следовательно, на бесконечном горизонте планирования существуют изображения ее управляющих и фазовых переменных относительно z-преобразования. Поэтому, по необходимому признаку сходимости ряда, для указанных изображений получим равенства:
lim u. (T -1) z- (T-1) = 0
T ^+<~ j
^lim xk(T)z- = 0 (j = 1,...,2n + 2;k = 1,...,n + 3), (24)
которые означают, что для долгосрочных ИП, если интерпретировать r как уровень инфляции, в сколь угодно отдаленные от начального (текущего) моменты времени t = T - 1 и t = T приведенные стоимости приобретаемых и накопленных ОПФ, объемов продаж и инвестиций сколь угодно малы. Для существования z-изображений при z > 1 и выполнения соотношений (24) достаточно ограниченности последовательностей { uj (t)} , {xk(t)} , где
При этом последняя оценка является завышенной по сравнению с первой, поэтому если ИП неприемлем для инвестора на бесконечном горизонте планирования, то он тем более неприемлем на конечном временном интервале. При T ^ +°° и T2 = 1 по условию (17) получим соотношение (15).
Если q0(t +1) = q0 = const (k = 1,...,n;t = T2,...,T-1), т. е. спрос постоянный, то qk = q0 (k = 1,..., n) (k = 1, ..., n) и полученные выше с помощью z-преобразования оценки (15) и (17) сверху на NPV * неулучшаемы.
Таким образом, использование z-преобразования за счет сведения z-задачи линейного программирования к эквивалентной МЗЛП и применения дискретного принципа максимума, позволило провести параметрический анализ динамической задачи инвестиционного анализа. Кроме того, использование описанного подхода позволяет, находя аналитическое решение указанной z-задачи, получать с приемлемой для практики точностью (см. [2]) оценки сверху на оптимальную стоимость инвестиционных проектов и отбирать среди них потенциально эффективные.
Библиографический список
1. Медведев,А. В. Применение z-преобразования к исследованию задачи оптимизации капитальных вложений / А. В. Медведев, П. Н. Победаш // Науч. центр Вост-НИИ. М., 2005. 68 с. Деп. в ВИНИТИ 06.05.05, № 672.
2. Медведев, А. В. Параметрический анализ линейных динамических задач реального инвестирования с помощью z-преобразования / А. В. Медведев, П. Н. Побе-даш // Вестн. унив. комплекса / НИИ систем управления волновых процессов и технологий. Красноярск. 2005. Вып. 4(18). С. 139-149.
3. Пропой, А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. М. : Наука, 1973. 256 с.
4. Медведев, А. В. Параметрический анализ модели реальных инвестиций без ограничений на спрос с помощью дискретного принципа максимума / А. В. Медведев, П. Н. Победаш // Вест. унив. комплекса / НИИ систем управления волновых процессов и технологий. Красноярск, 2005. Вып. 4(18). С. 186-196.
5. Синявский, Н. Г. Оценка бизнеса: гипотезы, инструментарий, практические решения в различных областях деятельности / Н. Г. Синяковский. М. : Финансы и статистика, 2004. 240 с.
6. Глазунов, В. Н. Финансы фирмы / В. Н. Глазунов. М. : Экономика, 2000. 246 с.
A. V. Medvedev, P. N. Pobedash
THE APPLICATION OF Z-TRANSFORMATION AND THE DISCRETE PRINCIPLE OF MAXIMUM TO THE ANALYSIS OF A REAL INVESTMENT PROJECT MODEL
A method for solving a dynamic control problem that describes an investment project in the form of multistage linear programming problem is considered. This method allows obtaining the analytical solution of the problem by the combination of z-transformation and the discrete maximum principle. The parametrical analysis of solution and the estimations of optimal project cost are also possible to obtain with this method.
УДК 62-501
А. Р. Низамеев
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Приведена схема управления многосвязным технологическим процессом. Даны общая и математическая постановки задачи управления многосвязным процессом. Построены непараметрические модели идентификации входных и выходных значений управляемого процесса.
При моделировании и управлении сложными технологическими процессами часто возникает ситуация, когда параметрическая зависимость по ряду каналов объекта неизвестна полностью или частично. В этой связи перспективным является использование теории непараметрических обучающихся систем [1]. Рассмотрим формулировку задачи идентификации и управления для одного объекта, который будем считать фрагментом технологического процесса.
Общая постановка задачи. Рассмотрим схему (рис. 1).
Рис. 1. Схема управления процессом: О - объект;
АС - адаптивная система; и< - управляющее воздействие;
- контролируемое неуправляемое воздействие;
- случайное воздействие; х, г, - выходные переменные; Ни, Нм, Нх, кг - помехи в каналах измерения; и*, Ц, хД г* -измеренные значения соответствующих переменных; х* и zt*- заданные значения выходных переменных
Следует заметить, что блок АС представляет собой достаточно сложную структуру, детализацию которой приводить не будем, лишь укажем, что в ее состав входят как модель исследуемого процесса, так и соответствующая процессу иерархия блоков управления.
Целью системы управления является поддержание заданного значения х* и г*. Отметим в связи с этим суще-
ственные отличия выходных переменных х1 и г.. Выходная переменная х1 контролируется через достаточно малые интервалы времени Д,, как и переменные и,, ц, А выходная переменная отслеживается через существенно большие интервалы времени ДТ (ДТ >> Дг). С технологической точки зрения для всего технологического процесса наиболее важным является контроль именно этой переменной. Например, если выходная переменная х1 контролируется с помощью различного рода индукционных, емкостных и других датчиков, то выходная переменная
- по результатам химического анализа, физико-математических испытаний и др. Этим и обусловлено существенное отличие дискретности контроля выходных переменных х1 и г. Если дискретность измерения х , и, ц, - это секунды, минуты, то дискретность составляет смену, сутки, недели и более. Последнее обусловлено технологией проведения самого контроля, который обычно регламентируется государственным стандартом.
Математическая постановка задачи. Пусть ц, ={,...,цк,} Кк, и, } Кт, Х{ X"}е К",
={,..., }е К. Характеристики объектов О1, О2и О3
взаимооднозначны по вектору управляющих переменных, т. е. одному значению и1 соответствует только одно значение ц,. Имеется обучающая выборка {ц,, и,, х,, г = 1, « }, где т указывает на запаздывание (смена, сутки и т. д.). Сформулируем критерий оптимальности:
К(2) = М и {Мг (7 _ 2)2 | и, ц} = тш, (1)
где 2 - оценка вектора выхода г.
Используя необходимое условие минимума, т. е. приравняв производную функции Я по искомой величине 2 к нулю, получим:
2 орг = М (г\и, ц}. (2)
Непараметрическая оценка выходной переменной для системы (см. рис. 1) имеет вид
