Применение явного метода с переменным порядком точности для моделирования систем электропривода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.314

ПРИМЕНЕНИЕ ЯВНОГО МЕТОДА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ ТОЧНОСТИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДА

З.А. Федорова

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Принимая за основу матричный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, получены расчетные формулы и сформированы алгоритмы явного метода с переменным порядком точности. Показана возможность применения полученных алгоритмов для моделирования жестких динамических систем электропривода.

Ил. 3. Табл. 1. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: явный метод с переменным порядком точности; жесткие динамические системы; моделирование электроприводов.

APPLICATION OF THE EXPLICIT METHOD WITH VARIABLE ACCURACY ORDER FOR THE SIMULATION OF ELECTRIC DRIVE SYSTEMS Z. A. Fedorova

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

Based on the matrix method for solving ordinary differential equations the author derives calculation formulae and makes algorithms of the explicit method with the variable accuracy order. The possibility to apply the derived algorithms for the simulation of rigid dynamic systems of an electric drive is shown. 3 figures. 1 table. 4 sources.

Key words: explicit method with variable order of accuracy; rigid dynamic systems; simulation of electric drives.

Эффективность цифрового моделирования непрерывных динамических систем определяется характером решаемых задач и применяемым методом численного интегрирования. Традиционно для цифрового моделирования используются классические, явные и неявные методы Рунге - Кутта, Адамса, прогноза и коррекции и т.д.

Практика показала, что системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающие реальные процессы, скорее всего, оказываются жесткими. Это обусловлено наличием "быстрых" и "медленных" компонент в их решении. Примером могут служить уравнения нагрузочных цепей электроэнергетических систем, вторичных контуров измерительных трансформаторов тока и напряжения с преобладанием активной составляющей нагрузок и т.д.

Решение жестких систем явными методами высокого порядка требует огромных затрат времени, так как приходится производить вычисления с шагом интегрирования, выбранным по минимальной постоянной времени. Для обеспечения эффективности неявных методов нужно решать системы алгебраических уравнений на каждом шаге интегрирования. Чаще всего неявным методом выполняют вычисления для тех уравнений, которые придают системе жесткость, а все остальные - одним из явных.

Возможен и другой подход к решению жестких систем - применение полуявных методов, в которых вычисление алгебраических уравнений заменено вы-

числением и использованием матрицы Якоби, что тоже требует определенных затрат времени.

Поэтому актуальна проблема создания методов, которые при своей реализации не требуют вычисления матрицы Якоби и решения алгебраических уравнений, но в тоже время обеспечивают высокую точность вычисления при небольших временных затратах.

До недавнего времени считалось, что явные методы не пригодны для решения жестких задач, но работа в этом направлении ведется. Одна из таких попыток изложена в работе Л.М. Скворцова [1]. Предложенные им явные адаптивные методы могут оказаться эффективными для решения широкого круга задач, однако требуются определенные затраты времени на самонастройку параметров метода. Е.А. Новиковым в монографии [2] предпринята попытка решения жесткой системы, в которой для расширения области устойчивости явных методов использована оценка собственных значений системы ОДУ.

В данной статье приведены разработки, направленные на создание алгоритмов явного метода с переменным порядком точности (ППТ) для моделирования жестких динамических систем, обладающих следующими характеристиками:

- постоянное количество вычислительных операций на каждом шаге интегрирования, эквивалентное однократному просчету правых частей ОДУ и не зависящее от порядка точности метода К;

1Федорова Зинаида Афанасьевна, кандидат технических наук, доцент кафедры электропривода и электрического транспорта, тел.: (3952) 405128, (3952) 411983.

Fedorova Zinaida, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Electric Drive and Electric Transport, tel.: (3952) 405128, (3952) 411983.

- неизменная структура алгоритма для определения коэффициентов расчетных формул метода при изменяющемся порядке точности.

Для этого был проведен анализ существующих численных методов интегрирования ДУ, который показал, что для большинства из них с ростом порядка точности усложняется алгоритм вычисления решения на каждом шаге интегрирования. Для уменьшения затрат необходимо перенести все вычисления, связанные с повышением порядка точности, на этап формирования исходных данных, как это выполнено в матричном методе, поэтому последний был принят за основу.

Матричным методом можно решить только систему ОДУ, представленную в виде

^ = АУ + А2У2 + ••• + АпУп + р (г ) йг

Фк

йг

тУ2 = А21У1 + А22У2 + ••• + А2пУп + Р2 () т

аг (1)

% = А1У1 + Л2У2 + ••• + АпУп + <Рп(г) аг

при начальных условиях:

УИ= У о 1 ,У2И= У02..... Уп (г[0] )= Уоп .

Систему (1) можно представить в виде матричного уравнения состояния

(2)

Уп

У1 " А11 А12 • • • Лп

У 2 = А21 А22 • • А2п

_ Ат Ап 2 • • Апп

'У1' _Р1(г )_

У 2 + (2 (г )

Уп _ Р (г)_

или в краткой форме У = А • У + ¥,

где У=(у1, у2, ..., уп) - вектор состояния; А - матрица

состояния; ¥ = ((г), р2(г), ••• ,ри(г)) - вектор

внешних воздействий.

Для матричных методов численное решение уравнения состояния (2) находят на основе рекуррентного алгоритма вычисления [3] для к-ого шага интегрирования Л:

У[к+1] = Як (к) • У[ к ] + ¥к (к) • ¥[ к ], (3) к к2

где Кк (к)= Е + А---ъ А2---ъ ••• - переходная

1! 2!

матрица состояния;

¥к(к)= Е •к + А • — + А2 •— + ••• - входная 1! 2! 3!

матрица; Е- единичная матрица.

Вычисление по рекуррентной формуле (3) по количеству операций соответствует методу Эйлера при изменяющемся порядке точности метода. Сложность

определения переходной матрицы состояния и входной матрицы ограничивает применение матричных методов.

Представим решение для /-ого уравнения системы (1) на к-ом шаге интегрирования в виде, характерном для известных явных методов:

У) к+1] = У к ]+дУ

I к ]

(4)

где у[к], у[к+1 ] - значения /-ой координаты вектора

состояния в начале и конце к-ого шага интегрирова-

. [ к ]

ния; ДУ J - приращение этой координаты.

Для получения достаточно точного решения найдем производные 1, 2 и более высоких порядков для /-ой координаты состояния [4]:

йУ,

йг

= А1У1 + А2У2 + ••• + АпУп + Р () , (5)

йг2

п п п

=У1Е А1 А+у2 Е А1А 2+•••+Уп Е А1 Ап +

1=1 1=1 1=1

+.

Ар (г) + А2Р2 (г) + ••• + А(п (г) + р (г) , (6)

й-У. йг3

п

(

п

=у1 Е Ак1 Е А1 Ак

1=1 У

к=к п ( п

+

+ У 2 Е Ак 2 Е А1 Ак

к=к п ( п

4кп

I=1

+Уп Е Ап Е ААк + р(г)Е АА +

к=к п

I=1

+ ••• +

п

I=1

+ Р2 (г )Е АП А 2 + ••• +

I=1

+

+

(рп (г Е А1 а1п + ар (г) + а ( (г)+ ••• + ар (г )+р// (г)

(7)

и так далее.

Определим Ду[к ], используя разложение реше-

ния в ряд Тейлора в окрестности точки (г + к), выражению

к йу к2 й2 у

Ду =---— +---4^ +

по

2

1! йг 2! йг

к й3у к4

+---4^ +---4^ + •••

(8)

3! йгъ 4! йг4 Подставив выражения для производных (5) - (7) в (8), получим приращение Ду)к ] в виде:

АуР] (У, • + 0(*)■Рк0,, + 0(*)■Рк 1

,=1

+ 0

' ^ )■ Гк 2и + ...)+0. (Г )■ к +

1!

(г )■ |(г )■ |+...

(9)

Если не учитывать производные от внешних воздействий ), то выражение для приращения -ой

координаты вектора состояния можно записать в более простом виде:

эффициентов расчетных формул метода в виде (11) -+ (14) и алгоритм для их определения, в котором порядок метода К является конечным значением параметра одного из циклов и варьирование этого параметра не изменяет структуру алгоритма.

Исследование работоспособности сформированных алгоритмов осуществлено при реализации способа моделирования динамических звеньев по виду передаточной функции. Для этого передаточную функцию динамического звена запишем в виде

п , ,

Ду[к ]=Ё(у, ■ (* )■ т.,)

+

,=1

+0.)■к

. (10)

Для упрощения в выражениях (9) и (10) значения

переменных t^] и у^к] записаны как t и у., а также

введены следующие обозначения коэффициентов расчетных формул метода с ППТ: к

Ж,, = - А +

м 1! ,

+

к1 X А А + к1 А X А А1к

I =1

2! X^ 3! X

+

(11)

к4 п (

(

+ к, X X Акт X А \

4 т=Ц к=1 V 1=1

п

\Л

V

+...

УУ

к2

Ы 0. , = — А, +

к3

к

4 П

+ . X АЛ ^1X1 Ак, X А А1к

3! 1=1 4! к=1 V 1=1

к3

Гкк3 = - А +

к4 п к5 п ( п + 77XАА + -XI Ак,XА А

4- 1=1 к=1 V 1=1

Л

(12)

+...

(13)

+...

к4

Гк 21 , = — А +

.1 4! ^

к

1

5 п

к"

(14)

+ X А А11 XI Ак1 X А А1к

5! 1=1 6! к= V 1=1

+...

При получении расчетных формул метода с ППТ все выражения записывались в виде линейной комбинации координат вектора состояния, координат вектора внешних воздействий и их производных. Это позволило разработать выражения для вычисления ко-

Ж (р) =

+ Ь1рт-1 + ... + Ьт

а0рп + а1рп +... + ап

(15)

Для нахождения решения представим исходную передаточную функцию в виде суммы отдельных передаточных функций

Ж (р ) =

Ьрт

■ +

+ -

Ь1Р

аоР + ... + ап

т-1

— +... + -

Ь

(16)

а0 р +... + ап а0 р +... + ап

Выходную координату звена в этом случае можно найти как сумму решений для каждого отдельного слагаемого, но сначала находится решение для последнего слагаемого с единичным коэффициентом, т.е. для звена с нормированной передаточной функцией:

Жо (р) =

1

_= у (р)

аоРп + ар-1 +... + ап ивх (р)'

(17)

где У(р), ивх(р) - изображение выходной и входной координат звена.

Дифференциальное уравнение для звена с передаточной функцией (17) имеет вид

йпу ёп-1 у I ч

а„—- + а,-т- +... + а у = и и) . (18)

0 dtn 1 dtn-1 пУ ^' Это дифференциальное уравнение приведем к системе дифференциальных уравнений первого порядка, введя следующие обозначения:

_ _dy _dy1 _ d2 у _ dy2

У1 = у; У2 = ~сИ ~ ' Уз = И? ~ Их

_ ^-1у _ <Луп-! уп =

dtn

dt

Используем все введенные обозначения, кроме первого, для формирования уравнений от первого до (л-1)-ого. Последнее уравнение системы получим из уравнения (18), разрешив его относительно старшей производной и подставив все введенные обозначения. В результате получим систему дифференциальных уравнений для звена с нормированной передаточной функцией в виде

п

п

п

У

п

п

У

dyl dt

dt

= У 2'

= Уз,

(19)

dyn _ Ux (t)

a.

a.

a,

dt

a

Уг-

a

У2

a

Уп

a

Получив решение одним из численных методов

для системы (19), содержащее у = у и производные

разного порядка от этой переменной (у2,у3, •••,уп),

можно найти общее решение для выходной координаты динамического звена.

Выходную координату для звена с передаточной функцией (15) и порядком числителя, меньшим порядка знаменателя (т < п), можно найти по формуле

Увых = У1 • — + У2 • — + ••• + Ут+1 • — ■ (20)

^ 0 ^ 0 0

Если порядок числителя больше порядка знаменателя (т > п), то выражение для выходной координаты динамического звена приобретает более сложный вид [4]. Для формирования этого выражения необходимо выполнить дифференцирование последнего уравнения системы (19) по формулам (5) - (7). Выражения, аналогичные (20), можно получить и для вычисления производных от выходной координаты динамического звена. Для этого достаточно рассмотреть вопрос моделирования звена с передаточной функцией (15), умноженной на оператор р в нужной степени.

Разработан алгоритм для моделирования динамического звена, использующий расчетные формулы (4) и (9) метода с ППТ для моделирования звена с нормированной передаточной функцией, формирующий (на базе полученных координат вектора состоя-

ния) выходную координату звена с передаточной функцией, порядок числителя которой условно превышает порядок знаменателя. Он может быть использован для моделирования динамических звеньев в том случае, когда при моделировании звена с нормированной функцией применен другой численный метод.

Этот алгоритм был использован для исследования как классических методов решения ДУ - Эйлера (Э), Эйлера - Коши (ЭК), Рунге - Кутта 4 порядка (РК4) и других, так и метода с ППТ. Исследования показали, что метод с ППТ позволяет обеспечить точность, свойственную явным методам: Э (К=1), ЭК (К=2), РК4 (К=4), при минимальных затратах времени, соизмеримых с методом Эйлера.

При изменении порядка n динамической системы затраты машинного времени возрастают с увеличением порядка системы, но для метода с ППТ в меньшей степени, чем для других методов (например, разница в затратах по РК4 и ППТ составляет: при n=2 - в 2,2 раза; n=4 - в 2,7; n=10 - в 3,3 раза).

Также было проведено исследование границ устойчивости метода с ППТ при изменении порядка точности и вида входного воздействия. Для этого был произведен расчет переходных процессов динамического звена при различных величинах шага интегрирования; определено абсолютное значение максимальной относительной погрешности (ошибки) вычисления выходной координаты исследуемого динамического

звена для каждого из полученных переходных

процессов. Результаты такого исследования для звена с передаточной функцией W(p) = 1 (Tep +l)

для случая, когда для решения системы (18) был использован упрощенный вариант расчетных формул метода с ППТ - (4), (10), при входных воздействиях

^(t) = const (графики 2, 4) и ^(t) = 1 - e~0M

(графики 1, 3) представлены на рис. 1. Аналогичные

исследования при (t) = const (графики 2, 4) и

- Чек?! 1

К=4) -г-И- 3,4 (К=30 )

4-< |

-1 о ^¿d.__ -«- olh/T }

—:- - - • •

•• ••

.....]•"•!"•*•• •• -5

Рис. 1. Графики зависимостей 0\(h)npu и,,х(/) = const (2 и 4) и uex(i) = 1 - е 01' (1 и 3)

{ ) = 1 -e~0'0lt (графики 1, 3) приведены на рис.

2. Графики 1, 3 на рис. 1, 2 отражают наличие общей

траектории изменения погрешности |0тах| для явных

методов с разным порядком точности. Она появляется в том случае, когда изменение входного воздействия в пределах шага интегрирования не учитывается. Положение этой траектории зависит от вида входного воздействия. По мере уменьшения скорости изменения входного сигнала она смещается вниз. В программе моделирования динамического звена по виду передаточной функции использованы переменные двойной точности (8-ми байтовые).

Точки зависимостей (к могут располагать-

ся как выше оси к/Тв (где Те - постоянная времени

звена) в области неустойчивых решений системы ОДУ (значения относительной погрешности больше 1), так и ниже - в области устойчивых решений, то есть ось абсцисс является границей устойчивости. Значения

отношения к/Т и погрешности нанесены на

соответствующих осях в логарифмическом масштабе.

Проведенные исследования показали: зона устойчивых решений при повышении порядка точности метода расширяется и не зависит от скорости изменения входного воздействия; погрешность вычисления выходной координаты звена снижается по мере уменьшения скорости изменения входного воздействия (см. рис. 1, 2). Это дает возможность производить вычисления с шагом интегрирования, превышающим постоянную времени звена (при К=30 на порядок). Затраты времени на расчет инерционного звена 1 -го порядка при использовании метода с ППТ в 2 раза ниже, чем при применении метода РК4 с тем же шагом интегрирования, а повышение порядка точности позволяет увеличить шаг интегрирования и дополнительно сократить затраты машинного времени, что очень важно при решении жестких систем ДУ.

Исследование возможности применения метода с ППТ для моделирования жестких динамических систем рассмотрено на примере структурного модели-

рования системы тиристорный преобразователь -двигатель (ТП-Д ) с обратными связями по скорости и току с отсечкой.

Поведение системы ТП-Д с обратными связями можно описать следующей системой уравнений [4]: [и ={и - К К.

у \ вх ос / у1

U у = Uу -

- Ку 2 • К U У = UУ

■(' - Iomc) ПРи

при

Е„ — E

do • sign

(U„ )

при

N > Iот

I/I < L

U > U

су \ су max

Ed —

- E •

— Edo

(21)

• sin (7tUy (2 • Ucy max)) при \Uy\ < U су max

Тп •demn¡dt — Ed - етп Тя • dildt -(етп - C • a - i • R VR

Тм •da/dt — (c • i -Мс)• R/c2,

где U^ - входное напряжение системы; U - напряжение на выходе 1-ого усилителя; U - напряжение на входе системы управления ТП; U^mx - максимальное напряжение на входе системы управления ТП; £d - выпрямленное значение ЭДС ТП; Edo - выпрямленное значение ЭДС ТП при полностью открытых тиристорах; i, a, emn - текущие значения тока якоря, угловой скорости вращения Д и ЭДС на выходе ТП; Iomc - ток отсечки; Ку1, Ку2, Кос - коэффициенты усиления 1-го усилителя, 2-го усилителя и обратной связи по скорости; R - сопротивление шунта; Тп, Тя, Тж- постоянные времени ТП и Д (электромагнитная, электромеханическая); M - момент

и„

и у ису

-ЧЯн ку1

Ф

©

Щ(р)

®

Ку2 /

/

Рис. 3. Структурная схема системы ТП-Д с обратными связями по скорости и току с отсечкой

Сравнительны анализ затрат машинного времени

Порядок точности метода К Точность представления чисел, байт Значение шага интегрирования Л, с Затраты времени Тр, с Сокращение затрат времени (ТР рка!ТР ППТ )

Без масштабирования по времени

8 4 0,0002 15,98 3,63

13 8 0,0004 8,95 6,48

С масштабированием по в ремени

12 4 0,0040 9,17 6,33

20 8 0,0070 5,55 10,55

25 8 0,0090 4,28 13,56

30 8 0,0110 3,52 16,48

сопротивления нагрузки, приведенным к валу двигателя; Я - полное сопротивление якорной цепи; с = к ■ ф - параметр (к, ф- конструктивная постоянная и номинальный поток возбуждения Д).

Для данной системы уравнений составлена структурная схема, приведенная на рис. 3. На этой схеме тиристорный преобразователь представлен двумя звеньями (2, 3), первое из которых учитывает нелинейность регулировочной характеристики ТП -Е = /(иу), а второе - Ж3(р) = 1/(Г„ • р +1) -

его инерционность. Двигатель представлен четырьмя звеньями (4-7). Электромагнитная инерция якорной цепи двигателя учитывается звеном с передаточной функцией (р) = (1/Я)/(Тя ■ р +1), а электромеханическая инерция привода - звеном с передаточной функцией Ж6(р) = (к/с2)1(ГМ ■ р). Структурная

схема содержит звено под номером 8 в обратной связи по току с отсечкой, с еще одной нелинейной характеристикой.

Исследование системы ТП-Д проведено с такими значениями постоянных времени динамических звеньев: Т = 0,0001 с (это значение умышленно занижено для обеспечения жесткости системы ДУ), Т = 0,0333 с, Т = 0,4097 с. При таком разбросе

значений постоянных времени исследуемую динамическую систему можно считать жесткой.

Исследования системы проведены двумя методами: РК4 и ППТ. Расчет с применением РК4 для моделирования динамических звеньев системы был проведен с шагом интегрирования, равным минимальной постоянной времени системы, и затраты времени составили 58,05 с. Метод с ППТ использовался при значениях порядка точности К = 8, 12 - при одинарной точности представления переменных, К = 13, 20, 25, 30 - при двойной. Результаты этого исследования сведены в таблицу и показывают, что зона устойчивых решений при увеличении порядка точности расширяется, что дает возможность производить вычисления с шагом интегрирования, превышающим минимальную постоянную времени системы в несколько раз (от 2,3 до 11 при изменении К от 8 до 30), и дополнительно сократить затраты машинного времени.

При увеличении порядка точности алгоритма в процессе вычисления коэффициентов расчетных формул метода с ППТ возникало переполнение разрядной сетки ЭВМ. Для устранения этого явления разработаны такие рекомендации, как изменение точности представления переменных и применение масштабирования по времени (в нашем конкретном случае - одновременное увеличение на порядок всех постоянных времени системы).

Метод с ППТ, сочетающий простоту реализации, переменный порядок точности и расширяющиеся границы устойчивости с ростом порядка метода, может

быть с успехом применен для решения жестких систем уравнений и моделирования жестких динамических систем.

Библиографический список

1. Скворцов Л.М. Адаптивные методы численного интегрирования в задачах моделирования динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. № 4. С. 72-78.

2. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997. 195 с.

3. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем / под ред. В.И. Чернецкого. Л.: Энергия, 1970. 374 с.

4. Гоппе Г.Г., Федорова З.А. Моделирование электроприводов на ПЭВМ: учеб. пособие для студентов электротехнических специальностей вузов. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2001. 248 с.

УДК 697.27

ПОВЫШЕНИЕ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ РАДИАТОРНЫХ ОБОГРЕВАТЕЛЕЙ И.Ю. Шелехов1, О.А. Дрянов2, Л.И. Духовный3

1,2Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 6664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 3Компания «МСЛ»,

23100, Израиль, г. МигдальАэмек, Промышленная зона Рамат Габриэль, а/я 470.

Приведены результаты исследования и дан анализ работы радиаторных обогревателей. Представлены альтернативные решения по увеличению эксплуатационных параметров радиаторных обогревателей путем применения плоских полупроводниковых резистивных нагревательных элементов. Ил. 4. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: полупроводниковый резистивный нагревательный элемент; радиаторный обогреватель.

IMPROVINGPERFORMANCE PARAMETERS OF RADIATOR HEATERS I.Y. Shelekhov, O.A. Dryanov, L.I. Dukhovny

National Research Irkutsk State Technical University. 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074. "MSL" Company,

Production & Lab. Ramat Gabriel Industrial Zone, MigdalHa'emek, Israel, 23100, P.O. Box 470. The article presents study results and provides the analysis of the operation of radiator heaters. Alternative solutions to increase the operational parameters of radiator heaters through the use of planar semiconductor resistive heating elements are given. 4 figures. 6 sources.

Key words: semiconductor resistive heating element; radiator heater.

Популярность радиаторных обогревателей, несмотря на их относительно большую стоимость по отношению к обогревателям конвективного действия, с каждым годом растет. Производители данных обогревающих устройств совершенствуют дизайн, конструкцию корпуса оптимизируют под конвейерное производство, тем самым снижая её стоимость. Радиаторный обогреватель состоит из герметичного ребристого металлического корпуса, заполненного маслом, внутри которого установлен нагревательный элемент. Из-за наличия промежуточного теплоносителя (масла) радиаторные обогреватели часто называ-

ют масляными или маслонаполненными обогревателями. Радиаторные (масляные) обогреватели в настоящее время наиболее распространены в квартирах и офисах, их используют в качестве основного или дополнительного источника тепловой энергии.

Цель данной статьи - представить реальные характеристики, которыми обладают новые конструкции обогревателей, действительно ли они являются аналогом центральной водяной системе отопления с чугунными батареями и имеются ли альтернативные электрические обогреватели.

Для исследования были выбраны два типа самых

1Шелехов Игорь Юрьевич, кандидат технических наук, докторант кафедры городского строительства и хозяйства, тел.: (3952) 405474, e-mail: promteplo@yandex.ru

Shelekhov Igor, Candidate of technical sciences, Competitor for a Doctor's degree of the Department of Civil Engineering and Economy, tel.: 8 (3952) 40-54-74, e-mail: promteplo@yandex.ru

2Дрянов Олег Анатольевич, директор МЦТЭС, тел.:(3952) 405474, е-mail: fagr@yandex.ru Dryanov Oleg, Director, tel.: +7(3952) 40-54-74, e-mail: fagr@yandex.ru

3Духовный Леонид Изольдович, начальник лаборатории, тел. +97246442666, e-mail: dukhovnyi@gmail.com Dukhovny Leonid, Head of the Laboratory, tel.: +97246442666, e-mail: dukhovnyi@gmail.com