CC BY
26
Найдем предел при і ^ ж выражения (13), учитывая свойство преобразования Лапласа-Стилтьеса (9), получим неравенство
ж ж
ііш V (] - і) Ри = Я,[ xdA(x) = X a > 0, (14)
і^ж “ і •*
J=0 0
которое выполняется для любых значений параметров системы, в том числе и для любых значений параметра РИз выполнения предельных неравенств (12) и (14) следует существование такого натурального числа і0, что для всех і > і0 выполняются допредельные неравенства (10) и (13).
Таким образом, выполнение условия Каплана и теоремы Сеннота доказывает сформулированную теорему.
Теорема доказана.
Итак, в немарковской Я^-системе с конфликтами заявок и оповещением о конфликте стационарного
режима не существует при любых значениях р, что доказывает неустойчивое функционирование рассматриваемой компьютерной сети случайного доступа.
Библиографические ссылки
1. Artalejo J. R., Dudin A. N., Klimenok V. I. Stationary analysis of a retrial queue with preemptive repeated attempts // Operations Research Letters. 2001. № 28(4). P. 173-180.
2. Kernane T. Conditions for stability and instability of retrial queueing systems with general retrial times // Statistics and Probability Letters. 2008. № 78. P. 3244-3248.
3. Sennot L. I., Humblet P. A., Tweedie R. L. Mean drifts and the non-ergodicity of Markov chains // Operations research. 1983. № 31(4). P. 783-789.
4. Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Теория массового обслуживания : учеб. пособие. Томск : Изд-во науч.-тех. лит., 2004.
A. A. Nazarov, E. A. Sudyko
NONERGODICITY OF MATHEMATIC MODEL OF A RANDOM ACCESS NETWORK
We have considered a random access communication network with conflicts of requests, which mean that the arriving request and request under service are sent to a retrial pool. For a process of system states changing the embedded Markov chain is built up. The theorem on non-ergodicity of Markov chain, which proves the instability of functioning of the computer communication network managed by a random multiple access, is formulated.
Keywords: mass service theory, RQ-systems, conflicts of requests.
© Назаров А. А., Судыко Е. А., 2011
УДК 519.622
Е. А. Новиков
РАЗРАБОТКА (4,2)-МЕТОДА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ*
Получены коэффициенты Ь-устойчивого (4,2)-метода третьего порядка точности для решения жестких задач. Построено неравенство для контроля точности вычислений. Проведены расчеты, подтверждающие работоспособность и эффективность алгоритма переменного шага.
Ключевые слова: жесткая задача, (т,к)-метод, контроль точности.
При моделировании динамических процессов в электрических сетях, радиоэлектронике, химической кинетике и других важных приложениях возникает необходимость численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1; 2]. Стремление к все более точному описанию физических процессов приводит к росту размерности и жесткости соответствующей системы уравнений. В этом случае эффективность алгоритмов интегрирования существенно зависит от свойств устойчивости числен-
ной формулы [3; 4]. Здесь получены коэффициенты ^-устойчивого (4,2)-метода третьего порядка точности для численного решения жестких задач.
Класс (я,&)-методов. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
у' = /(у), у(0 = Уо > ^ 1 < гк, (1)
где у и / - вещественные Ж-мерные вектор-функции;
1 - независимая переменная. Ниже будем предполагать, что задача (1) жесткая.
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 11-01-00106).
Зададимся значениями целых чисел т и к, к < т и введем в рассмотрение следующие множества:
Мт = {1,2т},
Мк = {тг. е Мт 11 = т1 < т2 < — < тк < т} ,
^т-к = Мт \Мк ,
= {т.-1 е Мт | / > 1, mJ е Мк, т. < г}, 2 < /' < т .
Для решения задачи (1) будем применять (т,к)-схемы вида [5]
т
Уп+1 = уп +£ М, Бп = Е - аК/',
г=1
г-1
Б„К = а.г (Уп + £ Р г:,к^)+ £/, ге Мк, (2)
./=1 ]е->!
Ок. = к. , + £ а к., г е М . .
п г г-1 г/ / ’ т-к
Здесь Е - единичная матрица; // = д/уп)/ду - матрица Якоби системы (1); А - шаг интегрирования; а, р, а. и р. - вещественные константы, определяющие свойства точности и устойчивости методов (2). В отличие
о других известных одношаговых численных схем, в (т, к)-методах правая часть задачи (1) вычисляется не для всех стадий. За счет этого значительно упрощается проблема замораживания матрицы Якоби, т. е. проблема использования одной матрицы Бп на нескольких шагах интегрирования. Для описания традиционных одношаговых методов достаточно одной константы т (число стадий). В данных схемах для описания затрат на шаг необходимо введение двух постоянных т и к. Вычислительные затраты на шаг интегрирования в методах (2) следующие: один раз вычисляется матрица Якоби и осуществляется декомпозиция матрицы Бп, к раз вычисляется функция/и т раз осуществляется обратный ход метода Гаусса.
Устойчивость численных методов обычно исследуют на скалярной тестовой задаче
у' =Ху, у(^) = Уо, г > 0,
где к - произвольное комплексное число, Яе(к) < 0. Применяя численную схему (2) для решения данной задачи, имеем уп + 1 = Q(x)ym х = кк. Схема называется устойчивой при х = Кк, если |б(х)| < 1. Область Я комплексной плоскости называется областью устойчивости схемы, если она устойчива в каждой точке области. Схема называется А -устойчивой, если ее область устойчивости включает всю полуплоскость Яе(Кк) < 0. Схема называется ^-устойчивой, если она А-устой-чива и |б(Кк)|^0 при Яе(Кк) ^ -да.
Максимальный порядок (ш,2)-методов. Рассмотрим (т,2)-схемы следующего вида:
т
уп+1 = уп +£ р,к,, Оп = Е - аК/п,
г=1
Ок = к/(уп), Бпк, = к,-, 2 < г < * -1, (3)
Ч -1
Бк = к/(у + £ В к.) + а к
п Э1 Л '/п г^1,/ / ^1,^1 -1 ^1 -1’
. =1
где т и 51, 51 < т - произвольные целые постоянные. Нетрудно видеть, что схемы (3) описывают всевозможные варианты (т,2)-методов.
Теорема. При любом выборе множеств Мк и Ji и при любом т нельзя построить (т,2)-метод выше четвертого порядка.
Без потери общности для простоты доказательство проведем для скалярной задачи (1), точное решение у(4+1) которой можно записать в виде
у ('п+1) = у &) + к/ +1 К1 // +1 К [ /' / + //2] +
2 6
+^ к 4[ /'3/ + 4 ///2 + / / ] + ^ К [ /' 4/ + 4 ///3 + +5/'//2 + /''/3 + /1¥/4] + 0(К6),
где элементарные дифференциалы вычислены на точном решении у(4). Учитывая, что ряд Тейлора для Б„^ имеет вид
Б- = Е + ак/: + а2К2/2 + а3!г3/'3 +...,
получим, что второе вычисление функции /уи,с) будет осуществляться в точке
ч -1
уп, с = уп+£РЧ,/к/ =
. =1
= уп +£ сК1/:^-1) /п + 0(К5),
1=1
где числа с, 1 < г < 4 определяются через коэффициенты схемы (3), а элементарные дифференциалы вычислены на приближенном решении уп. Учитывая ряд для точного решения у(4 + 1), для доказательства теоремы достаточно показать, что в представлении функции /(уп, с) в виде ряда Тейлора по степеням К не содержится слагаемое К5/п"2/1^. Разлагая /у„,с) в ряд Тейлора в окрестности точки уп до членов с К5 включительно, имеем
/ (у. с)=к/п+с^2 //+к3 с /: 2 /п +
+2 /;/п2]+к4[сз /:3 /п + с^ /х/1 +
+1 сз /+к5[с4 /:4 /п+с!сз /:2 // +
6
I 1 2 г1 гтгЗ . 1 4 гIV г4 т . / 6 \
+ 2 с1с2/п/п Х + 24 с1/п /п] + 0(К ),
что завершает доказательство.
Исследование (4,2)-метода. Для решения задачи (1) рассмотрим численную формулу
уп +1 = уп + £ Рк , Бп = Е - аК/п' , г=1
Бпк = К/ (уп), Бпк2 = к., (4)
Бпк3 = К/(.у п+1) +а32к2 , Бпк4 = к3 +а42к2 ,
где схему
у п+1 = уп +Рз1к1 +Рз2 к2 (5)
называют внутренней схемой метода (4).
Для построения численной формулы третьего порядка точности разложим стадии кг, 1 < г < 4 в ряды Тейлора в окрестности точки уя, т. е.
к = к/п + аК // + а2 К /2 /п + а3 к4 / 3 /п + 0(К5), к2 = к/п + 2ак2 // + 3а2 к3 2 /п + 4а3к4 / 3 / + 0(к5),
к3 = (1 + а32 )К/п + (а + 3аа32 + Рэ1 + в32 )К /п/п +
+ (а2 + 6а 2 0,32 + 2аР3^ + 3а^2 )К /2 /п +
+ т(в31 +в32)2 к3./птп2 + (а3 + 10а3а32 + 3а2Рэ1 +
+ 6а 2Рз2)Л4 / 3 /я + | а(Рз! +Рз2)2 А4 ///1 +
+ а(Рзі + Рз2)(Рзі + 2Рз2)А4 ІЇІЇІЇ +
+ 1(Рзі + Рз2 )з л4 Г”/1+0(к5),
6
^4 = (1 + аз2 + а 42) к/ + (2 а + 4 аа^ + 3 аа^ + + Р31 +Р32)Л2 /П/„ +(3а2 +10а 2а32 +6а 2а42 +
+ ЗаРзі + 4аРз2)А3 / 2 / + ^2(Рзі +Р32)2 Л3 Г/2 + + (4а + 20а аз2 + і0а а42 + 6а Рзі +
+ і0а 2Рз2)й 4 / 3 /пп + а(Рзі +Р32)2 к4 ///2 +
32/" ^п ^п 1 “ЧРзі 1 Р32/ " ^п^п^п
зі +Рз2)(Рзі + 2Рз2)л4 /:/х
арі + 2ар2 + (а + Р3і + Р32 + Заа32) р3 +
+ (2а + Р3і +Р32 +4аа32 +3аа42) р4 = і, (8)
а2 рі + За2 р2 + (а2 + 2аР3і + 3аР32 + 6а 2а32) р3 +
+ (За2 + 3аР3і + 4аР32 + і0а2 а32 + 6а2 а42) р4 = ,
(Рзі +Рз2)2( р4 + рз) = 3 •
Неравенство для контроля точности вычислений построим по аналогии [3]. Для этого потребуем, чтобы локальная ошибка 5И метода (4) представлялась в виде
8п=|к4 / 3 /п +0(к5),
(9)
(6)
где 4 - некоторая постоянная. С применением (6) и (7) нетрудно видеть, что требование (9) приводит к следующим дополнительным соотношениям на коэффициенты метода:
(Рзі +Рз2) (р4 + рз) 4 ,
і
+ -(Р31 +Р32)3к4ГЛ + 0(к5).
6
Подставим разложения стадий (6) в первую формулу (4). В результате запишем
уп+1 = у п + [Р1 + Р2 + (1 + а32 )Р3 + (1 + а32 +
+ а 42) р4]к/п + [ар1 + 2ар2 + (а + 3аа32 +Р31 +
+ Рз2) р3 +(2а + 4аа32 +3аа42 +Р31 +
+ в32 )р4]к2Л/п +[а2р1 +3а2р2 +(а2 +6а2а32 +
+ 2аР31 + 3аР32) р3 + (3а2 + 10а2 а32 + 6а2 а 42 +
+ 3аР31 + 4аР32) р4]к3/п' 2 Л + 2( р3 + р4)(Р31 + (7)
+Р32)2 К ^/п+[а3 р\+4а3 р2+(а3+1°а3а32+
+ 3а Р31 + 6а Р32)р3 + (4а + 20а а32 +
+ 10а3а, 42 + 6а 2Р31 + 10а 2Р32) р4]к4 /' 3 / +
+ 2 а (в31 +в32)2( р3 + 2 р4)К 4 /п'/;/п2 +
+ а(р3 + р4)(в31 + Р32 )(в31 + 2Р32)к4ЛЛЛ +
+1(в31+в32)3(р3+рЖ /:/:+0(к5).
6
Условия порядка. Сравним полученное соотношение (7) с разложением точного решения у(4 + 1) в ряд Тейлора в окрестности точки 4 до членов с к3 включительно. В результате получим условия третьего порядка точности схемы (4), которые имеют вид
р + р2 + (1 + а32) р3 + (1 + а32 +а42) р4 = 1,
а(в31 + в32 )(в31 +2в32)( р 4 + р3) = “> (10)
о
21
а(в31 +в32 ) (2р4 + р3) = ,
при этом постоянная 4 вычисляется по формуле | = -2-4 - а3р1 - 4а3р2 - (а3 + 3а2р31 +
+ 6а2р32 + 10а3а32)р3 - (4а3 + 6а2р31 + (11)
+ 10а2р32 + 20а3а32 + 10а3а 42) р4.
Устойчивость. Исследуем устойчивость схемы (4) на линейном скалярном уравнении у' = ку. Применяя
(4) для решения у' = ку, получим у п + 1 = б4(х)уи, х = кк, где 04(х) есть дробно-рациональная функция. Мы не приводим Q4(x) в силу ее громоздкости. Из вида б4(х) следует, что для ^-устойчивости (4) необходимо выполнение соотношения
а(а - рі) + (Рзі - а) рз = 0.
(і2)
Теперь исследуем устойчивость промежуточной численной формулы (5). Применяя (5) для решения уравнения у' = ку, получим уп + 1 = 02(х)у„, где ^(х) имеет вид
Ql(. х) =
і + 0,25(3 - 8а)х + а(а - рзі)х (і - ах)2
Отсюда следует, что промежуточная схема (5) будет Ь-устойчивая, если р3і = а. Учитывая (і2), имеем, что основная схема (4) и промежуточная (5) будут Ь -устойчивые, если
рі = Рзі = а•
(із)
Коэффициенты метода. Исследуем совместность нелинейной системы алгебраических уравнений (8)
и (10) при условии (13). Из четвертого соотношения (о) и первого уравнения (10) следует, что р31 + р32 = 3/4. Учитывая (13), имеем р32 = 3/4-а. Из четвертого равенства (о) следует р3 + р4 = 16/27. Тогда из третьего уравнения (10) имеем р4 = а-1(4-16а)/27 и р3 = а-1(32а-4)/27. Подставляя полученные значения во второе равенство (10), получим квадратное уравнение относительно коэффициента а, т. е.
32a - 48a + 9 = 0.
(14)
Рзі = -V2,
В5 395 2
а— =------------------V2,
31 16 12В
2121 3 095 /- „ 2 461 145^2
а а- =-;г^- + ^^г V2, 4=-
64 12В
3 072 256
Данное уравнение имеет два вещественных корня: а1 = % + 3^2/8 и а2 = 3/4-3^2/8. Отметим, что для известных четырехстадийных численных формул уравнение относительно а имеет четвертую степень. Требование ^-устойчивости промежуточной схемы (5) позволило понизить порядок до второго.
Оставшиеся коэффициенты р2, а32 и а42 определим из трех первых уравнений (8). В результате получим следующие коэффициенты метода (4):
при которых схема (4) имеет третий порядок точности и является ^-устойчивой вместе с промежуточной численной формулой (5).
Контроль точности вычислений. Согласно [6], для контроля точности вычислений метода (4) с локальной ошибкой (9) можно использовать ошибку е„ вида
£п=^к3 /; 2 /п +0 (к4),
где постоянная 4 определена формулой (11). Величину £„ оценим следующим способом. Определим коэффициенты Ьг, 1 < г < 4, из условия выполнения соотношения
pi Рзі a, Рзі 4 a,
3 - 57a + 312a2 - 528a3
P2 =-----------------------------22-+
54a (4a -l)1
a(4a - 1)1(-162a2 + 196a -11)
54a2 (4a -l)1
P3 =
32a - 4 27a ’
P4 =
4 - 16a 27a ’
432a3 - 1040a2 + 392a - 24
Pi =-
65 281 ^ 64 16 r
:V2, p3 = — + —V2,
324 64В
В1 В1
16 16 /- n 3 3/—
P4 =-vi, P31 =—I— ■>/2,
4 В1 В1 4 В
n 3^ В5 395 f-
P31 =—V 2, a31 =------------+---------V2,
В 31 16 12В
2121 3 095 ^ „ 2 461 14571
a f1 =---------------V2, 4=---------------+ -
(15)
64 12В
и следующего
a = 3 - Pi= 3 - 3V2,
4 В 4 В
65 + 2В1 2 64 16 2
P2 =-----+-''і, P3 = ~-~"vi,
3 072 256
3 3
324 64В 16 16
В1 В1
о о
p4 =---------+ — Vl, p31 =-----------------л/2,
4 В1 В1 4 В
Z bk = h3 f 1 f; + O(h4).
32 64а(4а -1)
-216а4 + 284а3 - 154а2 + 44а - 3
а 42 — 2 .
42 8а(4а -1)2
Подставляя сюда корни уравнения (14), получим два набора коэффициентов вида
3 3 гг 3 3 гг
а = —^— >/2, р = —^— л/2,
4 8 1 4 8
Используя разложения (6) стадий ki, 1 < i < 4, в ряды Тейлора в окрестности точки y n до членов с Нъ включительно и приравнивая соответствующие соотношения на коэффициенты нулю, получим относительно bi, 1 < i < 4, линейную систему алгебраических уравнений
Ъ + b2 + (1 + a32) Ъъ + (1 + a32 +^42) ^4 = 0, ab1 + 2ab2 + (a + P31 +P32 + 3aa32)b3 +
+ (2a + P31 +P32 +4aa32 +3aa42)b4 = 0, (17)
a 2bj + 3a 2b2 + (a2 + 2aP31 + 3aP32 + 6a2 a 32)b3 +
+ (3a2 + 3aP31 + 4aP32 + 10a 2a32 + 6a 2a 42 )b4 = 1,
(P31 +P32)2(b4 +b3) = 0.
Исследуя совместность (17), получим
", b3 = —b4,
b4 = „ 1
Вa a31 + 4a a41 + 3a
*2 = -(і + а32 + 2а42)ЬА, * = (і + аз2 + а42)ЬА.
Подставляя сюда коэффициенты (і5) и (і6), получим два набора значений Ьі, і < і < 4 вида
bi =
bi =
b3 =
b4 =
З 96В 960 - 2 745 760^2 3319В9 ,
53 105 31^71 - 76 6В7 712 2 9В7 901 ,
69В 36в72 - 217 0ВВ
2 9В7 901
217 088 - 698 36871 2 987 901 ,
и следующего
bi =■
3 968 960 + 2 745 76071
+
331989
і=1
6В
Ь2 =-
Ь3 =-
Ь4 =
76 687 712 + 53105 312л/2 2 987 901 ’
217 088 + 698 368л/2 2 987 901 ’
217 088 + 698 368^2 2 987 901 '
= S bk.
(18)
нительным требованием ^-устойчивости промежуточной численной формулы (5) и без данного требования [8]. В конкретных расчетах левая часть ||еп(/п)|| неравенства (20) вычислялась по формуле
К (/ )||=ПИ X I8(]п )|
К,< N | у
+r
Теперь, согласно [6], в неравенстве для контроля точности вычислений можно применять оценку ошибки вида
Отметим особенность построенной оценки. Для метода (4) в силу ^-устойчивости выполняется соотношение б4(х) ^ 0 при х ^ —». Так как для точного решения у(4 + 1) = ехр(х)у(4) задачи у' = Ху, у(^) = Уо выполняется аналогичное свойство, то естественным будет требование стремления к нулю оценки (18) при х ^ -со. В силу того что оценивается главный член ошибки, т. е. первый член при разложении ошибки в ряд Тейлора, для (18) это требование не выполняется. Поэтому вместо (18) будем контролировать оценку вида
8 (/ ) = Б1-" е , 1 < / < 2, (19)
П V*/ п ' п п ’ ^ п ’ V/
при этом имеет место еп(2) ^ 0 при х ^ -да. В результате для контроля точности вычислений и при выборе шага можно применять неравенство
||8"(/п)||<8, 1 < /п < 2, (20)
где е - требуемая точность расчетов. Нетрудно видеть, что в смысле главного члена оценки еп и еп(/п) совпадают при любом значении /п. Отметим, что применение (19) вместо (18) не приводит к значительному увеличению вычислительных затрат. При х ^ 0 оценка еп(1) = еп правильно отражает поведение ошибки и нет смысла проверять (20) при других значениях }п. При резком увеличении шага поведение ошибки еп может оказаться неудовлетворительным, что проявляется в повторных вычислениях решения. Поэтому если требуемая точность не выполняется, имеет смысл проверить (20) при /п = 2.
Заметим также, что применение (20) для контроля точности вычислений не приводит к дополнительным вычислениям правой части и матрицы Якоби, потому что в данном неравенстве используются ранее вычисленные стадии к, 1 < I < 4.
Результаты расчетов. Численный эксперимент проводился для десяти тестовых примеров [7]. В качестве критерия эффективности алгоритмов выбрано if - число вычислений правой части и / - число обращений матрицы Бп на интервале интегрирования. Время вычисления не приводится, потому что для некоторых оно настолько мало, что не может служить объективной характеристикой эффективности метода.
Целью данного численного эксперимента является сравнение эффективности методов вида (4) с допол-
где N - размерность задачи (1); r - некоторая положительная постоянная. Если по i-й компоненте решения выполняется неравенство [уя‘| < r, то контролируется абсолютная ошибка er, в противном случае - относительная ошибка е.
Из анализа результатов расчетов следует, что алгоритм интегрирования с коэффициентами (15) эффективнее алгоритма с коэффициентами (16). Поэтому ниже будем рассматривать только метод (4), (15), который назовем ODE_A. Алгоритм интегрирования на основе схемы (4) без требования Z-устойчивости
(5) назовем ODE_B.
Для решения десяти примеров [7] алгоритму ODE_A потребовалось 748 вычислений правой части и 345 декомпозиций матрицы Якоби при точности е = 10-2 и if = 4 007 и ij = 2 231 при точности е = 10-4. Для алгоритма ODE_B вычислительные затраты следующие: if = 916, ij = 471 при е = 10-2 и if = 4743, ij = 2534 при е = 10-4' В конце интервала интегрирования фактическая точность вычислений не хуже задаваемой точности. По суммарным затратам эффективность обоих алгоритмов отличается не сильно. Однако на некоторых задачах, на которые приходится небольшой процент вычислительных затрат и жесткость которых достаточно велика, алгоритм ODE_A эффективнее ODE_B примерно в 1,3 раза.
Библиографические ссылки
1. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. Дж. Холла и Дж Уатта. М. : Мир, 1979.
2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи : монография. М. : Мир, 1999.
3. Новиков Е. А. Явные методы для жестких систем : монография. Новосибирск : Наука, 1997.
4. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений : монография. М. : Мир, 1988.
5. Новиков Е. А., Шитов Ю. А., Шокин Ю. И. Одношаговые безытерационные методы решения жестких систем // ДАН СССР. Т. 301. № 6. 1988. С. 1310-1314.
6. Новиков Е. А. Оценка глобальной ошибки одношаговых методов решения жестких задач // Изв. вузов. Математика. 2011. № 6. С. 80-89.
7. Enright W. H., Hull T. E. Comparing numerical methods for the solutions of systems of ODE’s // BIT. 1975. № 15. P. 10-48.
8. Новиков Е. А. Исследование (m, 2)-методов решения жестких систем // Вычисл. технологии. Т. 12. № 5. 2007. С. 103-115.
i=1
E. A. Novikov
DEVELOPMENT OF (4,2)-METHOD OF ORDER 3 FOR SOLVING STIFF PROBLEMS
We obtain the coefficients of (4,2)-method for solving stiff systems in which both the main and the intermediate numerical schemes are L-stable. We construct an accuracy control inequality. Numerical tests confirming efficiency and workability of the constructed variable step algorithm were held.
Keywords: stiff problem, (m,k)-methods, accuracy control.
© Новиков Е. А., 2011
УДК 621.318.562.5
А. Н. Пахомов, М. Ф. Коротков, А. А. Федоренко
МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Приведена методика синтеза модальных регуляторов координат векторной системы «преобразователь частоты-асинхронный двигатель» методом стандартных уравнений. Дана оценка качества процессов регулирования координат путем анализа результатов имитационного моделирования системы в среде МаіЬаЬ.
Ключевые слова: модальный регулятор, электропривод переменного тока, векторная система.
Теория систем векторного управления частотно регулируемого асинхронного электропривода разработана достаточно полно [1; 2]. Контуры регулирования в системе векторного управления выполняются, как правило, в соответствии с принципами подчиненного регулирования координат, что ограничивает их быстродействие и, как следствие, точность в динамических режимах. Обеспечить предельное быстродействие и точность в динамических режимах возможно, снабдив систему так называемым модальным регулятором, построенным на основе суммирования обратных связей по вектору состояния. Вопросы построения таких регуляторов применительно к векторным системам асинхронного электропривода в литературе отражены недостаточно, в связи с чем в данной работе ставится задача разработки методики проектирования модальных регуляторов векторных систем частотно управляемого асинхронного электропривода и проверка ее эффективности с помощью имитационного моделирования в среде МаіЬаЬ.
В качестве объекта управления принята получившая наибольшее распространение система «преобразователь частоты с автономным инвертором напряжения с широтно-импульсной модуляцией - асинхронный двигатель». Поскольку у таких преобразователей автономный инвертор формирует не только частоту, но и амплитуду выходного напряжения, влияние звена постоянного тока на динамические свойства системы при синтезе можно не учитывать. Кроме того, частота модуляции современных преобразователей весьма высока, что позволяет пренебречь также его дискретными свойствами. Изложенное дает возможность представить в первом приближении преобразо-
ватель частоты безынерционным линейным звеном с коэффициентом передачи кп.
Математическая модель асинхронного двигателя (АД) с учетом общепринятых допущений [2; 3], в декартовой системе координат и^, вращающейся с произвольной скоростью юк, в форме Коши имеет следующий вид [3]:
di
1
dt RT
+ k2 Pn RT
шШ 2v +rokilv;
T2
1
-u,„---------ilv +-
dilv
dt RX T
k2 Pn
T2
RT
2u -®khu;
= R2k2ilu - ^ Ш2u + К - Pnш)Ш2v ;
dt T2
= R2k2ilv - T Ш2v - (“k - Pn®)Y2u ;
dt T2
^ = Wh. ilv Ш 2, - Ml ilu Ш 2v - 1M c
dt
2J
2 J lu 2v J
(l)
Ш2„, Ш2v - проекции результи-
рующих векторов напряжения статора иі, тока статора іі, потокосцепления ротора Т2 соответственно, на оси и и V декартовой системы координат; ю = юэл / рп - угловая скорость вращения ротора;
где ulu , ulv , ilu
lv
