Применение вариационного принципа Гамильтона-Остроградского в дискретноконтинуальных моделях деформируемых элементов механизмов подъёмно-транспортных машин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534: 539.3

Ю.В. Човнюк, К.И. Почка

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСКОГО В ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕХАНИЗМОВ ПОДЪЁМНО-ТРАНСПОРТНЫХ МАШИН

Постановка проблемы. Основные уравнения нелинейной теории упругости в лагранжевых переменных, моделирующие деформирование и движение гибких канатов (элементов механизмов подъёмно-транспортных машин), наиболее коротким путём получаются из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, согласно которому вдоль истинного движения функционал действия принимает стационарное значение:

з = ШЦ ¿3 - + и • V, • л = о. (1)

Го [Ко д¥о )

Здесь ¿з - лагранжиан (функция Лагранжа единицы объёма среды), X, - поверхностные силы, , = (1,3). Интегрирование в (1) ведётся по всему объёму КО (и его границе дУо), занимаемому средой в начальный момент времени Го . Конфигурация системы в начале (Г = Го) и в конце движения (Г = ^ ) считается фиксированной, а поверхностные силы X, - "мёртвыми".

В случае прямоугольных координат плотность функции Лагранжа может быть записана следующим образом:

¿3 (V,, Г, V,, к )=Р-(у,, Г )2-р-и-(¡1,¡ъ ¡3, Б), (2)

где р - плотность среды (каната) в начальный момент времени Го, р-и - объёмная плотность внутренней энергии, являющаяся функцией энтропии Б и алгебраических инвариантов тензора конечных деформаций ¡к , У, (-1, -2, -X?, Г) = £,■- X, - компоненты вектора смещения, X, - координаты материальных точек среды/каната до деформации (лагранжевы координаты), ^¡(хл, Г) - текущие

ду / ду /

координаты точек среды; Уп , = ; Уп Г = Уп = .

Использование вариационного принципа предполагает, что объёмная плотность внутренней энергии (или другого термодинамического потенциала: внутреннюю энергию удобно использовать при адиабатических процессах, а при рассмотрении термоупругих процессов деформации удобнее

пользоваться функцией свободной энергии), как функция инвариантов ¡к и Б , к = (1,3), нам известна.

Вид этой функции можно установить на основе рассмотрения термодинамики деформирования.

Если тело (канат подъёмно-транспортной машины, рассматриваемый здесь в рамках модели нелинейно-упругого гибкого стержня) находится во внешнем силовом поле с потенциалом

П(-к, Г, Ук ), то лагранжиан (2) имеет более общий характер:

¿3(г,-у,Уу,уи, у,к)=р-(у]Г)2-р-и + п(-к,Г,Ук), 0, к) = р). (3)

При отсутствии внешних поверхностных сил из (1) получаем систему уравнений Эйлера-Остроградского, которые описывают нелинейные процессы деформации:

БГ

( \

дЬ

3

дУ,- /

V },Г У

+ -

Б

Г \

дЬ

3

дУ,- ь дУ,-V },к У у

дЬ

= о, у =(1,3), (4)

д/

где - означает частную производную по У у , а через

О

БГ

д д д д —1--у1Г 4--у1 Г н--у1 ы

дГ ду ,■ ду^ ду,- и

V 1 1, Г 1, к у

обозначена полная производная по времени (аналогично вычисляется полная производная по координате ). Уравнение (4) можно записать в более привычном виде:

/ Вх к

Щ- вьк

— +—- = Л, (6)

т Вхк ^

где введены обозначения Р - = ^^^ - обобщённый импульс частицы среды/тела (количество

движения), Ь-к = - несимметрический тензор напряжений Кирхгофа (его называют также

/ к

тензором Пиолы-Кирхгофа), определяющий условные напряжения (псевдонапряжения), отнесенные к недеформируемым элементам площади, = ^^^ - внешние потенциальные силы.

Уравнения (4) и (6) будут справедливы и в криволинейных лагранжевых координатах, если все входящие в них производные считать ковариантными.

С помощью принципа Гамильтона-Остроградского основные уравнения (4) и (6) нелинейной теории упругости можно записать также в гамильтоновой форме:

дк В Р =--+

( ^ \ ъ ( \

] дУ- Вхк

дк

к У

дк В

V,- = -

дР- Вхк

дк

Р к у

(7)

где к =

ГдЦ

■ V- — Ь/ I = (Р- ■ V- — Ь/ ) - плотность гамильтониана сплошной среды/тела. Такая форма

записи удобна для вывода законов изменения энергии и импульса, переносимых волной деформации (в канате).

Из вариационного уравнения (1) можно получать также естественные граничные условия. Однако, вопрос о возможном характере трехмерных краевых задач в теории упругости при конечных деформациях, по мнению авторов данной работы, исследован ещё недостаточно.

Анализ публикаций по теме исследования. Наиболее общая идея приведения трёхмерных уравнений теории упругости к одномерным (в случае стержней) заключается в выражении напряжённо -деформированного состояния в произвольной точке тела через новые величины, заданные вдоль оси стержня (модели каната). Получаемые уравнения для этих новых переменных и будут являться динамическими уравнениями стержней. Так как в стержнях поперечные размеры обычно малы по сравнению с характерной длиной волны, то процессы деформации в поперечных сечениях можно считать квазистатическими. Это позволяет, в частности, искать распределение смещений и напряжений по сечению стержня на основе решения соответствующей статической задачи при том или ином типе деформации (растяжение, кручение, изгиб или их комбинации). Другой, часто применяемый (в теории пластин) способ аппроксимации смещений по толщине заключается в использовании разложения

точного решения задачи для упругого слоя в степенной ряд по параметру к ■ к (к = - волновое

число, к - толщина пластины) [1].

Для применения вариационных принципов к выводу уравнений стержней наиболее удобен переход от бесконечного числа степеней свободы в направлении нормали к конечному числу степеней свободы путём аппроксимации смещений конечными многочленами:

V (х, у, г, 0=Е {^(у, (х, 0) + Ф^к, х (х, 0)+ ...}, (8)

к=1

где г) и - известные функции, определяющие распределение смещений в поперечном

сечении стержня, Ык (х, ^) - новые искомые функции (обобщённые координаты), заданные вдоль оси стержня, к = 1,2,3,...,М, М - целое число мод, определяющее количество степеней свободы в

направлении нормали к оси стержня. В качестве аппроксимирующих функций О^^^у, г) используются

степенные функции, функции Лежандра и др. [2-4]. Функции в(т) в общем случае характеризуют

нелинейность связи между смещениями частиц среды у (х, у, г, Г) и обобщёнными координатами

и£ (х, Г) = и (х, Г). При малых смещениях 0(гт) являются линейными функциями своих аргументов.

На выборе аппроксимации (8) заканчивается основной этап формирования приближённой модели стержня. Далее вступают в действие математические аппараты нелинейной теории упругости и вариационного исчисления [5-10].

Цель статьи. Обоснование теоретико-волнового подхода к изучению нелинейных динамических процессов в упругих элементах (канатах) подъёмно -транспортных машин (ПТМ) на основе принципа Гамильтона-Остроградского, определение граничных условий и законов сохранения для одномерных дискретно-континуальных систем (гибких стержней, моделирующих работу указанных элементов ПТМ).

Основная часть. Функционал действия (1) для стержня при отсутствии объёмных и поверхностных сил запишется в следующем виде:

Х2 Х2 I С _

" " ' 4 2 Р -2(-р-и |йЬ \dхdt. (9)

1 х2

-1 = I I Z1(х, t, и , и ,t , и ,х , и, хt, и ,хх )йхй = I JiJ.fi р--Р-и | йЬ\.

t0 х1 х1 1Ь ^2 У J Если одномерный лагранжиан Ь зависит от вторых производных, то из условия стационарности функционала (9) получаем уравнения Эйлера-Остроградского:

дЦ_ ди

Dt

(

дЬ

\

кди,г у

Dх

(

дЬ

\

ди.

+ -

D

,2 (

х У

дЬ

Л

ди.

+ ■

D

2

хг у

Dх

дЬ

Л

ди.

= 0,

(10)

хх у

DtDх

которые описывают колебания (гибких) стержней (канатов ПТМ).

Получающиеся при таком подходе модели (гибких) стержней являются непротиворечивыми, если при учёте какого-нибудь эффекта (например, сдвига поперечного волокна) включаются в рассмотрение все другие эффекты этого же порядка малости.

Для этого рассмотрим систему, состоящую из одномерного распределённого объекта длины /, соединённого на концах х = 0 и х = / с дискретными системами (например, грузом, поднимаемым канатом ПТМ (х = /), и пружиной/диском, на который наматывается канат (х = 0)). Пусть распределённый элемент (стержень) описывается одномерным лагранжианом (функцией Лагранжа для единицы длины элемента), зависящим от одной функции и(х, t) (обобщение на случай вектор-функции

и(х, t), состоящей из п компонент, тривиально) и её частных производных до второго порядка включительно:

Ь = ь(х; V, и; и,{; u,х; ихх; их1). (11)

Дискретные системы в точках х = 0 и х = / описываются соответственно функциями Лагранжа 1_ ^), I- 2(t,q2,Ц2,12,12), где 1к(г) и (t) - обобщённые координаты. Кроме того, полагаем, что система находится под действием распределённых сил 2(х,t) (0 <х </) и сил, сосредоточенных на границах 0\2 и 2 . Боковая поверхность стержня свободна от нагрузок, а

связи являются идеальными и голономными.

В этом случае из условия стационарности функционала действия:

11 \1 2 1 д = |ШдЬ + 2-ди)йх + д 1 + д 2 + Т(0к+ Ук ■5т1к= 0

к=1

получается неоднородное уравнение колебаний стержня:

дЬ ди

Dt

Г

дЬ

Л

ди,

t У

Dх

(

дЬ

\

Vдu, х У

+ -

D

2

Dх

дЬ

Чди, хх У

+ ■

D

2

DхDt

дЬ

ди,

= 2 (х, t)

хТ У

и естественные граничные условия:

и,

и(0, t ) = q\(t), и(/, t ) = Ц2 (t),

х (0,0=1(0, и,х (/,t)=l2(t),

дЬ D

ди,

Dх

дЬ

\

Чди,хх У

Dt

(

дЬ

VI

Vдu,хг уJ х=0

дЬ й

дц1 й I дц1

д1_

+ 01:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

х

дЬ В

ды.

Вх

дЬ

ды,

хх )

дЬ

ды. х дЬ

В_ Вг

х=0

дЬ

ды,

ди Л

хг )J х=1

д#2 Лг I д^2

д-

+62.

дЬ Л

д-

+ К.

ды,

ди Л

(

Лг

д- 2 дЪ

л

+ъ.

(17)

(18)

(19)

х=1 7

Часто кроме свободных и вынужденных колебаний рассматриваются задачи с начальными условиями, когда при г = 0 задаются распределения смещений и скоростей в стержне:

ы(х,0) = С/0(х). ы.г (х,0) = ¥0(х). 0 < х < I. (20)

совместные с краевыми условиями (14)-(19).

Если заданы конкретные выражения для Ь и - 12, внешних сил и начальных условий, то

соотношения (13)-(19) определяют начально-краевую задачу, описывающую динамику одномерной распределённой системы, взаимодействующей на границах х = 0 и х = I с дискретными системами.

Одним из наиболее ярких свойств волн деформации как коллективной формы движения частиц среды является возможность переноса по среде энергии и импульса без переноса вещества [11. 12]. Ниже рассмотрены эти весьма важные характеристики динамического состояния упругой системы.

В классической механике и вариационном исчислении известна теорема Нётер [7] о связи между инвариантностью лагранжиана относительно некоторых групп преобразований и законами сохранения. В частности, из инвариантности лагранжиана по отношению к группе евклидовых движений вытекают законы сохранения энергии, импульса и момента количества движения. Этой теоремой можно воспользоваться и в рассматриваемом случае, однако здесь мы получим законы изменения энергии и волнового импульса более простым путём, непосредственно из уравнения движения (13) и краевых условий (14)-(19).

Умножим уравнение (13) на производную ы.г, уравнения (16) и (17) на обобщённые скорости

¿1 и ¿¡2, а уравнения (18) и (19) - на 77 и 1)2 . После ряда несложных преобразований получим уравнения изменения энергии в распределённом элементе системы (канате) и на её границах:

ВИ ВБ дЬ ^

-+-=--+ 1-ы.

Вг Вх дг

0 < х < I.

ви

д-

= -й(0. г)-—1+а-¿1 + ¥х 71. Вг дг

ВИ2 = Б2(I. г+ 02-¿2 + Ъ-72.

Вг дг

где введены следующие обозначения [7. 8]:

- гамильтониан распределённого объекта (каната), имеющий смысл плотности энергии:

, / \ дЬ дЬ И(х. г) =--ы.г +---ы.х1 -Ь.

(21)

плотность потока энергии:

Б(х. г) =

дЬ

ды.г В дЬ

ды.

хг

В дЬ

уды.х Вг ды.хг Вх ды.хх )

■ ы.г+

дЬ ды.„

ы.

хг.

энергия дискретной системы, расположенный на месте ] -го граничного закрепления:

/ ч д-

И] (г )= 7

д- / ч

■¿] - - 7. (] = 1.2).

- потоки энергии, подводимые (или отводимые) к границам от распределённого объекта (каната):

(22)

(23)

2

х

г

^(0, г) =

^2 (/, г ) =

Г дЬ D дЬ D дЬ Л

чди,х Dt ди,хХ Dх ди,хху

Г дЬ D дЬ D дЬ Л

-и„ (0, г)+

дЬ

х=0

уди,х Dt ди,хХ Dх ди,хх у

и,

(/, 0+

ди,

дЬ

и,

хХ

(0, г );

х=0

х=/

ди,

(25)

и хХ(1, г ).

х=/

Проинтегрировав первое выражение в (21) по х и почленно сложив их, придём к уравнению изменения полной энергии системы:

йН 1ГйЬ 1. 2 дЬ - 2

-= -|—йх + |2-инйх- Ъ

]

йг

0

йг

0

;=

1 дt

+

Ъ + У; 1 ) .

(26)

;=1

Здесь Н(х)=|Нйх + + ^2 - полная энергия системы, | — йх - мощность, выделяемая

йг

внутри распределённого элемента (каната) за счёт изменения во времени его параметров,

д1_

дХ

мощность, поступающая в систему в результате изменения параметром граничных закреплений, I

12 -инйх, , У; ' 1; - мощности, подводимые к системе за счёт работы внешних

0

распределённых и сосредоточенных сил. Если внешние силы отсутствуют (2 = 0; = У; = 0), а

йЬ

параметры распределённого элемента (каната) не изменяются во времени (— = 0), то изменение

йг

энергии системы определяется нестационарными свойствами граничных закреплений. Если же и д1 ;

-= 0, то соотношение (26) выражает закон сохранения полной энергии стационарной системы.

дХ

Наряду с плотностью энергии к(х, Х) (22), переносимой волной деформации, у последней имеется и другая, не менее важная, характеристика - волновой импульс У (х, Х) [8]. Для рассматриваемого класса систем (11) он определяется следующим образом:

../ \ дЬ дЬ У (х, Х)=--;--и, „--;--и,

ди,Х ^ ^ хХ

(27)

Следует заметить, что величина У (х, г) является характеристикой лишь волны деформации в целом и, в отличие от обобщённого импульса р = , определённого для отдельно взятой

частицы, не имеет аналога в сосредоточенных системах.

Чтобы получить уравнение изменения волнового импульса, умножим уравнение (13) и

граничные условия (16) и (17) на и,х, а условия (18) и (19) на и,хх. В результате преобразований для

распределённого элемента системы (каната) получаем:

DY DФ „ дЬ

(28)

= 2 -и^ + -

где Ф = Ь - и,х

Dt Dх

Г дЬ D дЬ D дЬ Л дЬ

уди,х Dх ди,хх Dt ди,хгу

ди,

дх

- и,хх - сила волнового давления [8].

На границах х = 0 и х = / справедливы соотношения:

_ DP\ DЬ\ _ Ф + —1 + —1 + 0 -и„+У -и,г Dt Dх 1 х 1 х

DP1 , DЬ2

= 0,

х=0

-Ф + + —^ + 02 - и, х +У2 - и, „

7~Л у 7~\ '2 'Л 2

Dt Dх

(29)

х=/

хх

хх

0

0

хх

хх

<

д- 1.2 д- 1.2

где р 2 =--'—ы.х---—ы.хх - обобщённые импульсы.

. ды.г ды. х(

I 2

Уравнение изменения импульса полной системы У0 = ]У Лх + ^ Р■ в соответствии с (28) и

(29) имеет вид:

0 7=1

0УП ' , „ „ „ ,2 В-

—0 = ]г-ы.хЛх + 02-ы.х-01 -ы.х +К2 -ы.хх■ ы.хх. ^

аг п /=1 Вх

Выводы и перспективы дальнейших исследований.

1. На основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского (в лагранжевых координатах) получена система уравнений Эйлера-Остроградского, которые описывают нелинейные процессы деформации в упругих элементах (канат) механизмов подъёма грузов крановых (подъёмно -транспортных) систем/машин. При этом использована дискретно-континуальная модель указанных систем (машин).

2. Произведена редукция трёхмерных уравнений теории упругости к приближённым одномерным уравнениям теории гибких нелинейно-упругих стержней, моделирующих работу канатов (деформируемых элементов) механизмов подъёмно-транспортных машин. Для применения вариационных принципов к выводу уравнений стержней применён наиболее удобный переход от бесконечного числа степеней свободы в направлении нормали к конечному числу степеней свободы путём аппроксимации смещений конечными многочленами (известными функциями), определяющими распределение смещений в поперечном сечении стержня, и функциями, которые в общем случае характеризуют нелинейность связи между смещениями частиц среды (стержня) и обобщёнными координатами, заданными вдоль оси стержня.

3. Определены естественные граничные условия и уравнения изменения во времени: а) плотности энергии, плотности потока энергии, потоков энергии, подводимых/отводимых к (от) границам (границ) распределённого объекта (каната), а также волнового импульса, переносимого волной деформации; б) полной энергии и полного импульса всей дискретно-континуальной системы.

4. Полученные в работе результаты могут быть в дальнейшем использованы для уточнения и совершенствования существующих инженерных методов расчёта механизмов подъёмно-транспортных машин, содержащих гибкие нелинейно-упругие элементы (канаты), в рамках дискретно-континуальных моделей указанных механизмов как на стадиях их проектирования/конструирования, так и в режимах реальной эксплуатации.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Петрашень Г.И. О некоторых проблемах динамической теории упругости в случае сред, содержащих тонкие слои. / Г.И. Петрашень, Л.А. Молотков // Вестник ЛГУ. Серия: физика. -1958. - Т. 22. - № 4. - С. 137-156.

2. Айнола Л.Я. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. / Л.Я. Айнола, У.К. Нигул // Известия АН Эстонской ССР. Серия: физико-математические и технические науки.

- 1965. - Т. 14. - № 1. - С. 3-63.

3. Бердичевский В.Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории и оболочек / В.Л. Бердичевский // Прикладная математика и механика. - 1979. - Т. 43. - № 4. - С. 664-670.

4. Григолюк Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов. - М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

5. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. / В.Л. Бердичевский. -М.: Наука, 1983. - 448 с.

6. Бленд Д.Р. Нелинейная динамическая теория упругости. / Д.Р. Бленд. - М.: Мир, 1972. - 183 с.

7. Гельфанд И.М. Вариационное исчисление. / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. - М.: Физматгиз, 1961.

- 228 с.

8. Гольденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. / И.И. Гольденблатт. - М.: Наука, 1969. - 336 с.

9. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1980. - 512 с.

10. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. / В.В. Новожилов. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948. - 211 с.

11. Бреховских Л.М. Введение в механику сплошных сред (приложение к теории волн) / Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров. - М.: Наука, 1982. - 336 с.

12. Исакович М.А. Общая акустика. / М.А. Исакович. - М.: Наука, 1973. - 496 с.

ЧОВНЮК Юрий Васильевич - к.т.н., доцент, доцент кафедры конструирования машин Национального университета биоресурсов и природопользования Украины. Научные интересы:

- математические модели в механике деформируемого твёрдого тела.

ПОЧКА Константин Иванович - к.т.н., доцент, доцент кафедры основ профессионального обучения Киевского национального университета строительства и архитектуры Научные интересы:

- дискретно-континуальное моделирование гибких упругих элементов механизмов подъёма грузов подъёмно-транспортных машин и кранов.