Об оценке коэффициентов нелинейностей зернистой среды методом структурного моделирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 6 (1), с. 143-152

УДК 539.3

ОБ ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ ЗЕРНИСТОЙ СРЕДЫ МЕТОДОМ СТРУКТУРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

© 2012 г. И.С. Павлов

Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

ispavl@mts-nn.ru

Поступила в редакцию 24.08.2012

Разработана нелинейная математическая модель двумерной зернистой среды, представляющей собой квадратную решетку из упруго взаимодействующих круглых частиц, обладающих продольной, поперечной и ротационной степенями свободы. В низкочастотном диапазоне ротационной степенью свободы можно пренебречь, и полученная трехмодовая модель вырождается в двухмодовую. По найденным аналитическим зависимостям коэффициентов нелинейностей обеих моделей от параметров микроструктуры произведены численные оценки этих коэффициентов.

Ключевые слова: структурное моделирование, зернистая среда, упругие волны, коэффициенты нелинейностей.

Введение

Для адекватного описания процессов в структурно-неоднородном материале, как правило, требуется рассмотрение нескольких масштабных уровней, которые находятся в непрерывном взаимодействии между собой за счет внутренних связей [1]. Обычно выделяют следующие масштабы: атомарный, или микроуровень (характерные размеры - ангстремы и нанометры), мезоуровень (от 10-8 до 10-6 метров) и макроуровень (свыше 10-6 метров).

Мысленное разбиение материала на части ограничено некоторым пределом, выражающимся в том, что на данном масштабном уровне происходит качественное изменение физических свойств, т.е. проявляется размерный эффект [2]. Существуют материалы, у которых качественные изменения происходят постепенно, но у кристаллических твердых тел этот предел выражен достаточно четко и приходится на масштаб нанометров. При изучении волновых процессов в материалах размерные эффекты начинают проявляться, когда характерный пространственный масштаб эффекта (например, длина упругой или электромагнитной волны) становится соизмерим с характерным пространственным масштабом материала - размером зерна, периодом решетки и т.п. По мере накопления знаний о микроструктуре материала происходит переход на новый уровень знаний -создается теория, позволяющая с новых позиций объяснить механическое поведение материала. Следует подчеркнуть, что реальные значения «микромасштабов» среды при этом могут

лежать как в области микрон, так и нанометров или ангстрем. Однако с точки зрения методологии теоретического исследования важны не столько их абсолютные значения, сколько малость одних масштабов по отношению к другим.

При математическом моделировании сред с микроструктурой различают два направления. Первое заключается в переходе от моделей атомарного уровня к моделям мезомасштаба и опирается на законы квантовой теории. В этом случае среда рассматривается как дискретная система частиц, связанных силами взаимодействия, найденными из первых принципов [3]. Такой метод моделирования позволяет понять сущность физических закономерностей и объяснить происхождение ряда свойств, не имеющих обоснования в классической теории.

Второе направление предполагает переход от описания среды на макроуровне к моделям мезомасштаба. С развитием этого направления связан континуально-феноменологический подход к моделированию сред с микроструктурой, лежащий на стыке механики и физики твердого тела. Он состоит в уточнении классических моделей сред путем включения в них качественно новых характеристик, присущих реальным дискретным структурам [1, 4, 5]. В настоящее время для моделирования структурно-неоднородных материалов широкое распространение получили обобщенные микрополярные теории типа континуума Коссера [4]. В эти теории входит большое число материальных констант, требующих экспериментального определения, связь которых со структурой материала не ясна. Альтернативой здесь служит метод структурно-

Рис. 1. Квадратная решетка из круглых частиц

го моделирования, предполагающий выделение в массиве материала некоторого минимального объема - структурной ячейки, способной отображать основные черты макроскопического поведения материала [1, 6-10]. При таком подходе нанокристаллический материал представляется регулярной или квазирегулярной решеткой, в узлах которой расположены не материальные точки, а тела малых размеров, обладающие внутренними степенями свободы. Роль таких тел могут играть домены, зерна, фуллере-ны, нанотрубки, кластеры из наночастиц и т.п. К достоинствам структурного моделирования относятся прозрачность связи структуры с макропараметрами среды и возможность целенаправленного проектирования сред с заданными свойствами, а недостатками являются отсутствие универсальности процесса моделирования и сложность учета нелинейных и нелокальных эффектов взаимодействия.

Построение механических и математических моделей лежит в основе исследования динамических (волновых) явлений в материалах как естественного, так и искусственного происхождения, обладающих уникальными свойствами [11-13]. Следует иметь в виду, что для адекватного описания того или иного волнового процесса в одном и том же структурированном материале требуется соответствующая математическая модель. Например, в работе [14] было показано, что в области высоких частот необходим учет вращательных движений частиц, в низкочастотном диапазоне достаточно ограничиться уравнениями классической теории упругости, не учитывающей повороты частиц и считающей их материальными точками, а в промежуточной области следует использовать уравнения момент-ной теории упругости, в которые повороты частиц в явном виде не входят, но размеры частиц влияют на коэффициенты уравнений.

Рис. 2. Схема силовых взаимодействий между частицами и кинематика

В данной работе методом структурного моделирования получены нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие распространение продольных, поперечных и ротационных волн в двумерной кристаллической (зернистой) среде. Далее, в области низких частот, когда ротационная волна является нераспро-страняющейся, полученная трехмодовая система уравнений вырождается в двухмодовую, соответствующую континууму «со стесненным вращением частиц» [15]. Благодаря применению метода структурного моделирования удалось установить в аналитическом виде зависимости как линейных, так и нелинейных макропараметров среды от параметров микроструктуры - размеров частиц и параметров взаимодействий между ними, а также произвести численные оценки параметров нелинейностей как для полной (трехмодовой) системы, так и для редуцированной (двухмодовой) модели.

Дискретная модель

Рассмотрим квадратную решетку (рис. 1), в узлах которой расположены однородные круглые частицы (зерна или гранулы) диаметром d и массой М. В исходном состоянии центры масс частиц расположены в узлах решетки и расстояние между ними равно а. Узлы решетки N перенумерованы с помощью индексов (/, .). Каждая частица обладает тремя степенями свободы: смещениями центра масс м. ^) и ^) по

осям х и у соответственно и поворотом ф. ^)

относительно оси, проходящей через центр масс частицы (рис. 3). Кинетическая энергия ячейки равна

М (--.2 , -,2\ . 3 ■ 2

„ М I .2 . 2\ 3 -2

1 ■■ — — \И■■ Н ТУ.. ) Н-----------ф . .

и 2 ^ . ч* 2 у'

(1)

где 3 — Мй2 / 8 — МЯ2 - момент инерции, а Я — й/ 78 - радиус инерции частицы.

Будем рассматривать лишь малые отклонения частиц от положения равновесия. В этом случае силовые и моментные взаимодействия частиц можно описывать степенным потенциалом. В гармоническом приближении потенциал взаимодействия является квадратичной формой переменных состояния системы. Потенциальная энергия, приходящаяся на одну ячейку, равна потенциальной энергии частицы, расположенной в узле N и взаимодействующей со своими соседями, и может быть представлена следующим выражением:

им (ДИУ > Ф> А „гф) =

^ ^ 32и к £

= X X ^-------------Л А„гЧ АыЧ +

1 3(А„Л МаыЧ£)

3 2и

X

А „гФАЫ Ф +

3(А „гФ)3(А1ы Ф)

х-' 32и к

Х 3(А„гЧк )3(А 1ыф) "г4 1ыФ +

х-' 32и к 3и 2

+ Х —^“А„гЧ Ф + ^Тф •

+

к=1 „,г

3(А„ГЧк )3Ф

(3Ф)2

стержни считаются закрепленными в вершинах этих многоугольников.

В настоящей работе для моделирования используется пружинная модель. Смещения зёрен считаются малыми по сравнению с размерами элементарной ячейки рассматриваемой решетки. Потенциальная энергия, приходящаяся на одну ячейку, обусловлена взаимодействием частицы N с восемью ближайшими соседями по решетке, первые четыре из которых удалены на расстояние а от N (это частицы первой координационной сферы), а другие четыре расположены на диагоналях квадратной решетки (частицы второй координационной сферы) и описывается формулой:

О N

1 (X % * +Х К- в

8 ту 4 г7- \

X ^в2 +Х ^3в32

2 2 „ 2 3 „ „=1 2 „=1 2

(2)

Здесь {чк }={ч‘., ч2 }=и, } - компоненты

вектора перемещений центра масс частицы, расположенной в узле с индексами (7,7),

А„гЧк = {Ч+^+г _ 4 V1

Чи) а - величины относитель-

/+«и+г 1 .

ного изменения расстояний между частицами, А„гФ = (фг+пи+г ~Фу )/а - величины относительного изменения углов ориентации частиц, индексы „ = +1, г = ±1 определяют пространственные положения соседних частиц. Вторые производные от потенциальной энергии являются постоянными квазиупругих взаимодействий частиц и представляют собой элементы силовых матриц кристаллической структуры [16]. В феноменологических теориях материальные константы должны находиться опытным путем. Их связь с геометрической структурой и силовыми взаимодействиями в кристаллической решетке неясна. Из общих энергетических соображений и условий симметрии могут быть получены лишь некоторые ограничения на их значения [4, 16]. Развиваемый структурный подход позволяет найти явную связь между элементами силовых матриц и параметрами решетки. При структурном моделировании вместо полевого описания взаимодействия частиц вводят эквивалентную силовую схему в виде системы стержней или пружин, осуществляющих передачу сил и моментов между элементами структуры [6-8]. Круглые частицы для удобства заменяются вписанными многоугольниками, форма которых повторяет форму ячейки. Моделирующие взаимодействие между частицами пружины или

где Б1„ (/=0, 1, 2, 3) - удлинения пронумерованных в произвольном порядке пружин четырех типов, соединяющих частицу с ее соседями. Центральные пружины с жесткостью К0 и нецентральные с жесткостью К] моделируют взаимодействия гранул при растяжении-сжатии материала. Через пружины К] передаются также моменты при поворотах частиц. Пружины с жесткостью К2 характеризуют силовые взаимодействия частиц при сдвиговых деформациях в материале. И, наконец, пружины К3 описывают взаимодействия центральной частицы с зернами второй координационной сферы. Для удобства дальнейших вычислений будем считать, что точки соединения пружин К0 лежат в центрах круглых частиц, а пружин К], К2 и К3 - в вершинах квадрата со стороной h = ё/л/2, вписанного в окружность (рис. 2). В выражение (2) входит дополнительный множитель %, поскольку потенциальная энергия каждой пружины делится поровну между двумя частицами, соединенными этой пружиной.

Обозначив Аиг = и И - и _и Аи= и И - ыИ ,

7 У 7 1 3 У У 1

вычислим выражения для удлинений пружин Бы в приближении малости величин

Аиг ~ Аил ~ Аи. ~ Аwи ~ ае , Афг ~ Аф ~ е372 ,

Ф, где Ф=(Ф,._1 и +ФУ-)/2 «V2 и е -мера деформации ячейки. После подстановки этих выражений в (2) составим функцию Лагранжа L = Т. - и. для частицы с номером (7,3)

5/2

с точностью до слагаемых порядка е включительно. Затем с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода можно получить нелинейные дифференциально-разностные уравнения, описываю-

+

щие динамику рассматриваемой решетки (в линейном приближении такие уравнения были получены в работе [17]). Однако в данной работе подробно рассмотрим континуальное приближение предложенной модели.

Континуальное приближение

Для сопоставления структурной модели среды с известными моделями твердого деформируемого тела целесообразно перейти от дискретного описания к континуальному. В случае длинноволновых возмущений, когда а/Л << 1 (Л - характерный пространственный масштаб деформации), дискретные переменные і и у можно заменить непрерывными х=іа и у=]а, а функции и у (?), (?), фу ('() проинтерполиро-

вать полями смещений ы(х,уЗ), м^(х,у^) и полем микроповоротов ф(х, у,ї). В зависимости от степени приближения можно рассматривать различные континуальные модели. В первом приближении приходим к следующему лагранжиану рассматриваемой среды с микроструктурой:

і - — (и,2 + ^ + R2ф2)- —[Сі2(и2 + м?) +

+ С2 (w2 + и1 ) + R2С3 (ф2 + фУ ) +

+ 5 2(UxWy + UyWx ) + 2Р 2^х-иу )ф + 2Р "ф2 +

—

у х

^3

+ аі(и3 + w3) + а 2(и3 + w3 + и2хиу +

(3)

2 2 2 „2 1 дF1 1 дF2

я ихх + С^уЫуу + 5 Wxv — Р фу +-----------------------------1-----------

1 хх 2 уу ху ^ ^у 2 дх 2 ду

2 2 2 п2 1 дР3 1 дР4

w„ - с2 w + + 5 и +Рф+--------3 +-----, (4)

" 2 хх 1 уу ху ^х 2 дх 2 ду

Я 2 Ф» = Я 2 С32 (Ф х, + Ф уу ) + Р2(иу _ Их ) _ 2Р2Ф _ ^ . Здесь введены обозначения: с. (г = 1, 2,3) -

скорости распространения соответственно продольной, сдвиговой волн и волны микровращений, £ - коэффициент линейной связи между продольными и сдвиговыми деформациями в материале, Р - параметр дисперсии. Зависимости коэффициентов уравнений (4) от силовых постоянных К0, Кь К2, К3, параметра решетки а

и размера частицы h = ё / л/2 (ё - диаметр частицы) имеют следующий вид [14]:

-,2 (

С12 -

М

2(а — к)1

Л

К о + 2 К1 + 2 2 м.*. 2

0 1 (а —к)2 + к2 2

К + К

С 2 -

с,2 -

2

—

а2 к

2к2

(а —И)2 + к

(5)

К1 +

(а —к)2 + к

2 К 2

2 2а 2а

2

5 -

М

Кз, Р2 -

—

к2

(а —к)2 + к

2 К 2

2 2 2 2 2 2 + ^у + Их Иу + ИхИу -их Их -иу Их -их Иу _

_иуИ1 -иХ -ихИ_2) -

- 2а2(ихиу (Их + Иу ) + ИхИу (их + иу )) +

+ а3(ихИх2 + и2Иу ) +

+ “4(ИхИуФ- ихиуФ +

+ :У(wу -и2 + ^ - и^2 )ф) +

+ «5 (иуФ2 + ИхФ2) + “б (ихФ2 + ИуФ2) +

+ “7 (ихИхФ + иуИуФ)].

С помощью вариационного принципа Га-мильтона-Остроградского из лагранжиана (3) выводится система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая динамические процессы в двумерной кристаллической среде с неплотной упаковкой частиц:

Кроме того, в правых частях уравнений (4) содержатся функции нелинейностей:

^ = Ъа1и1 + а2(2ихиу + ^ -2ихИх -

- ихИу -И,у) + а3Их2 - 2а2(иуИх +

+ иуИу + ИхИу )- а4(иуФ+ ихФ) +

2

+ а6ф +а 7 Ихф,

^2 = а 2(3и_2 + их2 + 2ихиу - 2иуИх -

^ -Их2) + 2а3иуИу -2а2(ихИх + _

(6)

+ ихИу + ИхИу )- а4(ихФ + иуФ) +

2

+ а5 ф +а7 Иу ф,

^ = 3а2Их2 + а2 (2ИхИу + ^ --и2 -и_2 -2иуИх ) + +2а3ихИх-

-2а 2(ихиу + ихИу ) + а4(ИуФ +

+ wx ф) + а5ф2 + а 7их ф,

- 3а1 WV2 + а2(М>1 + 2wxwy —

— и2 —1uywy —1uxwy ) + а3и_2 —

— 2а 2(ихиу + uxwx + uywx ) +

+ а4 (^сф + ^ф) + абф2 + а7иуФ,

Р5 -а4 (WxWv —ихиу + l(Wx2 — иХ +

2

+ W3 — иу2)) + +2а5 (иуф + Кф) +

+ 2а б(их ф + Wy ф) +

+ а7(их^ + иу^ X

2

а

где аг (г = 1,--.,7) - коэффициенты нелинейностей. Они зависят от параметров микроструктуры следующим образом:

Ма1 = а3(а-И)И2 + К 3

4(а - И)

К3 3

Ма2 =----------а

4(а-И)

а3 К.

Ма3 = К0 а + К1----------1—2 а (а-И) х

а - И г

х (а2 - 2аИ - И2) - - К3а

4(а-И)’

2а2 ИК, _ К

Ма4 = ^3 , Ма5 = ^3 , а2И2, (7)

4 а-И 5 (а-И)2

Ма 6 = К1-аИ— + К 2 ^И-^И-а) х а-И г

2 ~2' ■ К а2И2

х (5аИ - 2И - а ) +

(а - И)2

не распространяются. Поэтому рассмотрим низкочастотное приближение уравнений (4), в котором микроповороты частиц среды не являются независимыми и определяются полем смещений. Связь между микроповоротами ф и смещениями и и и можно найти из линейной части третьего уравнения (4) методом последовательных приближений. В первом приближении

Ф(х,?)~ 1 (иу - Их ) . (8)

Это классическое соотношение теории упругости, связывающее повороты частиц среды с завихренностью поля смещений. Учет соотношения (8) приводит к «замораживанию» вращательной степени свободы. При этом в среде остаются лишь трансляционные степени свободы и два типа волн - продольные и сдвиговые (поперечные) и лагранжиан L принимает вид:

2 2 и, + И,

п 2 ^

+ -4- (иу,-Их,)2

Ма7 = К.

7 1 а-И

2а2И 2а3И / 2 г 7 2\

+-----4— К2 (5И — 5аИ + а ).

г

Здесь г = -^(а - И)2 + И2 - длина в начальный момент времени пружин с жесткостью К2 (рис. 2).

Система (4) описывает динамику кристаллической (зернистой) среды с учетом локальных взаимодействий гранул и совпадает с уравнениями динамики двумерного анизотропного континуума Коссера, состоящего из центрально-симметричных частиц [15]. От уравнений классической теории упругости эта система отличается появлением дополнительного уравнения для волны микровращений. При континуальном подходе подобное уравнение возникает как следствие закона сохранения момента количества движения, когда вводятся в рассмотрение внутренние кинетические моменты частиц среды.

Низкочастотное (двухмодовое) приближение

Теоретические оценки [14] и экспериментальные данные [18] показывают, что ротационные волны в твердых телах существуют в области высоких частот (>109—1011 Гц), где проведение акустических экспериментов сталкивается с большими техническими трудностями. Тем не менее, информацию о микроструктуре среды можно получить даже по акустическим измерениям на сравнительно низких частотах (106 -107 Гц), когда ротационные волны в среде

-—[с12(и2 + И_2)+с2 (их + и1)+

П 2

+ ~ СК(иху-Ихх )2 + (иуу-Иху )2) +

+ £ (ихИу + иуИх )- — (Их-иу ) +

+ а1(и3 + И1 )- а2(их2Иу + ихи2 +

х у ' 2 V х у х у

............................ . . ,. чл3 + и3

х у у х х у 1 у х

+ 2ихиуИу + 2ихИхИу ) + Т1(иу! + -

-иуИ1 -и1 Их ) + 72(ихи2 + ИИу ) +

*ук,,х “у^х) 1 ^у 1 ГУхГУу>

2 2 2 2 ихИх + 7 4иу, Иу + 7 5(ихиу + ИхИу

- их2 Их -иуИ,2)- (275 + 7 6 )ихиу Их -

-(275 +77)иуИхИу ].

Здесь

71 =а 2 +-

(9)

а6 а7 а6 а 7 /1 п\

73 =а3 + _;-— , 74 =а3 + _“ + “т- , (10)

42

42

а 4 1 / \

75 =а 2-^4, 7 6 = 2 (а 6 -а7 ) ,

77 = 1(а6 +а7) .

В лагранжиане (9) появляются дополнительные слагаемые, содержащие вторые производные от поля смещений, которых нет в классическом варианте теории упругости. Именно в них сохраняется информация о микроструктуре среды. Слагаемые со смешанными производными по времени и пространству иу1 и Их1 учитывают вклад ротационных движений в кинети-

г

2

54

4

ческую энергию, а члены с пространственными производными иху , Ихх и т.п. описывают вклад

в потенциальную энергию напряжений, обусловленных изгибом решетки. Из лагранжиана (9) можно получить уравнения градиентной теории упругости [19], содержащие слагаемые с производными высокого порядка (в данном случае - четвертого):

Р2

Р2

ип — С1ихх — (с2 — ~2)иуу — (5 2 + ^Wxy -

Я д_ 4 ду

-д^Г (иу —Wx )— сз2 А(иу —wx )

1 дН, 1 дН 2

+--------L + — 2

(11)

2 дх 2 ду

2 Р2 2 2 Р2

w,, — (с2 — —) ^ — С1 ^у —(5+ ~)иху -

ЯІ _д_

4 дх

д2 2 —[ (uy—wx )— с3 А(иу— Wx )

1 дН 3 1 дН 4

+-------3 + — 4

Задача параметрической идентификации

До сих пор актуальна практическая проблема идентификации континуума Коссера (см. уравнения (4)) для множества реальных неоднородных материалов, пригодных для приложения этой модели [20]. Однако надежные и подтвержденные разными исследователями результаты по определению параметров модели даже в простейшем случае упругого изотропного континуума Коссера встречаются довольно редко. Вклад в решение этой проблемы призвана внести излагаемая ниже процедура оценки макропараметров среды, основанная на методе структурного моделирования.

Среди скоростей распространения трансляционных волн в квадратной решетке из круглых частиц есть три независимые величины - по числу упругих постоянных второго порядка (С11, С12 и С44) в уравнениях Ламе классической теории упругости [16]:

Ри,

C11Uxx + С44иуу + (С12 + С44)

2 дх 2 ду

Здесь символ А обозначает двумерный лапласиан А = 32 /3х2 +32 /3у2, Н1,Н2,Н3,Н4 -функции нелинейностей:

Н1 = 3а1их2 -2а2(ихИу + 2иу2 + иуИу +

+ ИхИу ) + 7 2иу: +7 3 Их2 + 27 5(ихиу -ихИх )-

-(275 +76)иуИх ,

Н2 = -2а 2ихИу + 71 (3иу; - И2 - 2иуИх ) +

+ 272ихиу + 274иуИу + 75(их2 - Иу2) -

-(275 + 7 6)ихИх - (275 + 7 7)ИхИу ,

Н3 = -2а 2ихИу + 71 (3Их2 - ^ - '2иу х ) +

+ 272ИхИу + 273ихИх + 75 (и2 - их2 ) -

-(275 + 7 6)ихиу - (275 + 7 7)иуИу ,

Н4 = 3а1Иу; -2а 2(ихИу + 1 их2 + ихиу +

+ ихИх ) + 7 2 Их2 +7 4и2 + 2 7 5 (ИхИу -иуИу )-

-(275 +77)иуИх.

Необходимо подчеркнуть, что несмотря на отсутствие микроповоротов в уравнениях (11), микроструктура среды повлияла на коэффициенты этих уравнений - в данном низкочастотном приближении по сравнению с исходными уравнениями (4) изменились коэффициенты

перед иуу , ^Иху , и иху .

РИ„ = С44 + С11Иуу + (С12 + С44 )иху .

Из сопоставления этих уравнений с уравнениями (11), коэффициенты которых зависят от размеров частиц, получаются следующие соотношения [21]:

С12 -

Си

р

1Г — г

^2 _ ^^44 ^12

2 _

5 2 - 2Сц

, (12)

р2 - 2(С44 — Сц )

Р

Заметим, что из (12), равно как и из (5), вытекает соотношение с2 = р2 + £2 / 2. С учетом того, что С11 - С12 = Уpv2 [16], где р - плотность среды, V - скорость поперечной волны в кристаллографическом направлении <110>,

£2 = 202-4v2, (13)

и, следовательно, равенства (12) перепишутся в виде:

С11 -Рс2, С12 -Р(с12— 2):

С44 - р(с2 + с2 — 2^2) / 2.

(14)

Формулы (14) демонстрируют, как по акустическим измерениям определить эффективные модули упругости нанокристаллической среды. В силу равенств (12)-(14) можно беспрепятственно использовать любую систему базовых величин: (с1, с2, £), (с1, с2, V) или (С11, С12, С44). В частности, исходя из известных констант упругости второго порядка приходим

2

+

+

Р

к следующим выражениям параметров межчас-тичных взаимодействий:

К - 1

а 2 + К

Си — Си — 2(Си — Си)

Ґ

42

у

— 1

(15)

- (с — С )

V 44 М2 7

а

(

1 +

V

42

2

—1

К. - С

'-'1 г

4(1 — р)

Ра3 - ^—^ +1 С — С12 — 2С44 — С12)х

(2 + К)(1 — р)‘

(1 — Р)2

■] + (С44 — С12)

(1 — Р)(1 — 2 Р — Р2)

((1 — р)2 + р2) р2

2 РС1

Ра 4 -

1 — Р

Р С (1 — Р)

-, (16)

1 Р2

Ра б -—[С — Си)-Р-----------2(С- — С12) х

2 + К

Х (1 — Р)] + (С44 — С12 )

Ра7 -тЛ^Си — Сп)~^ — 2(С- — Сп) х

1 — Р

(2 р —1)(5 р — 2 р 2 — 1)

(1 — Р)2 + Р2 :

2 + К

х Р ] + 2(С 44 — С12)

1 — Р (5 р2 — 5 р +1) Р((1 — Р)2 + Р2)'

где К - К0 / К1 - отношение центральных и нецентральных взаимодействий.

В работе [14] и гл. 3 монографии [1] был проведен подробный анализ соотношений (5) в зависимости от значений параметров микроструктуры, в результате которого по известным экспериментальным данным (при комнатной температуре) [22] для некоторых кубических кристаллов были вычислены значения скоростей волн с1, с2, с3, параметров Р и 5, а также модельных параметров силовых взаимодействий между частицами. При вычислениях принималось, что К -10 (центральные взаимодействия доминируют) и d/a=0.9. В данной работе с помощью равенств (15) оценим коэффициенты нелинейностей (7) (см. табл.), зависимости которых от параметров микроструктуры К,

р - к/а - d/а42 и констант упругости второго порядка имеют следующий вид:

Ра -п 1 — 2Р 2 (С- — Сц ),

(1 — р) + р

С

'-'п

Ра 2 -

Из (16) вытекает, что при р ^ 0, как показано в работе [8], выполняется соотношение

С

Коши С12 = С44 и, как следствие, а 2 ^——,

4р

К +1 „

а3 ^-----------(С„ -C)У), а все остальные ко-

3 (2 + К )р 11 12

эффициенты нелинейностей стремятся к нулю, причем а1 ^ 0 лишь потому, что в данной модели учитывается только геометрическая нелинейность. При учете физической нелинейности коэффициент а1 стремился бы к какому-нибудь положительному значению.

При р = 1 / 2 соотношение Коши уже не выполняется и

а1 (С44 С12 ) 7 Р , а 2 С12 7 2р ,

а3 = (Сп + 2^2 - 3С44)/р, а4 = 2^2 /р ,

С + С -2С

'-'11 “Г '-'1') .1

а5 - С12 / Р , а б --

2(2 + К )р

С + 3С - 4С

а = 11 12 44

7 ~ 2(2 + К)р '

Здесь а3 уже не зависит от параметра межчас-тичных взаимодействий К = К0 / К1 и ни один из коэффициентов нелинейностей не стремится к нулю.

Если же р ^ 1 / л/2 (при р = 1 / частицы будут касаться друг друга и их вращение будет затруднено, поэтому рассматривается лишь предельный переход к этому случаю), то

а, ——

2(2л/2 — 1)(С- — С12) / 7р ,

а 2 —— (2 + 42')С12 / 4р .

„ , 42 9 пт 542—8

а3 — С11 (1 +-------------) + С12 (— 3^/2 +-) —

3 1 2+К *2 2+К

— С44 (^Г — 3л^2"

б42—8 2 + К

)) / Р,

а4 — 2(1 + 42)С12 /р , а5 — (3 + 2л/2)С12 /р ,

а

(2 + 42)Сп + (42 — 8 + К (2л/2 — 5))С12 2(2 + К )р

+ (б — 242 + К (5 — 2л/2))С44 2(2 + К )р ,

а — 2(СП(1 + 42) + с12(У2—3)) +

7 (2 + К )р

2(2С44 (1 — 42) + (2 + К )(2л/2 — 3)(С44 — С12)) (2 + К )р '

а

х

2

+

Таблица

Параметры структуры для кристаллов с кубической симметрией_____________________________

Параметры структуры Кристаллы

LiF NaF №Вг

£ к « К и §* (3 І-Н 1^ 8 (3 и ^ ^ 3 О н э Плотность (кг/м3) р 2600 2800 3200

Константы упругости (109 Н/м2) Си 113.00 97.00 32.55

С12 48.00 25.60 13.14

С44 63.00 28.00 13.26

Вычисленные характеристики Скорости волн (м/с) С1 6593 5890 3190

С2 5477 3295 2045

V 3536 3571 1741

С3 5659 2896 1092

Коэффициент линейной связи между продольными и сдвиговыми деформациями (м/с) 5 6076 4276 2866

Параметр дисперсии (м/с) р 3396 1309 274

Параметры силовых взаимодействий между частицами (109 Н/м ) К0/а 46.01 58.19 16.11

К1/а 4.601 5.819 1.611

К2/а 19.897 3.183 0.159

К3/а 48.00 25.60 13.14

Коэффициенты нелинейностей исходной модели (106 м2/с2) а1 16.60 6.87 2.85

а 2 12.69 6.29 2.82

а 3 -34.75 0.38 -4.91

а 4 64.63 32.00 14.37

а 5 56.65 28.01 12.58

а 6 62.55 30.92 13.17

а 7 0.90 6.49 1.73

Коэффициенты нелинейностей двухмодовой модели (106 м2/?) Ї1 10.68 5.29 2.37

7 2 -3.98 -1.99 -1.07

7 з -19.56 4.87 -2.49

7 4 -18.66 11.36 -0.76

7 5 -3.46 -1.71 -0.77

7 6 30.83 12.22 5.72

7 7 31.72 18.70 7.45

Числовые оценки коэффициентов нелинейностей, представленные в таблице, показывают, что лишь параметры у 2 и у5 являются отрицательными для всех рассмотренных кристаллических материалов, а коэффициенты а3, у3 и у4 могут быть как положительными, так и отрицательными. В трехмодовой модели наибольшим для всех рассмотренных материалов является параметр а4, а в двухмодовой - у7. Для одного и того же материала у 7 превосходит самый маленький по модулю коэффициент у 1 не более чем в 11 раз, а для параметров а, это отношение больше -до 72 раз. Кроме того, некоторые а, могут даже превосходить квадрат скорости продольной вол-

2

ны с1 , что говорит о важности учета нелинейных слагаемых.

Заключение

В данной работе построена нелинейная математическая модель двумерной кристаллической (зернистой) среды с неплотной упаковкой частиц, обладающих двумя трансляционными и одной ротационной степенями свободы. В области низких частот полученная система уравнений сводится к двухмодовой, линейные части уравнений которой совпадают с двумерным аналогом классических уравнений Ламе для сред с кубической симметрией. При этом «память» о микроструктуре среды остается в виде

связей между макроскопическими характеристиками среды и параметрами микромодели.

^вдены аналитические зависимости скоростей упругих и ротационной волн и коэффициентов нелинейностей от размеров частиц и параметров взаимодействий между ними. Если скорости упругих волн вдоль разных кристаллографических направлений не составляет особого труда измерить экспериментально, то скорость ротационной волны, ее критическую частоту и коэффициенты нелинейных взаимодействий между волнами различных типов определять экспериментально намного сложнее, а зачастую и невозможно. В связи с этим представляются весьма полезными оценки этих величин, полученные следующим путем: сначала по найденным зависимостям (5) экспериментально измеряемых скоростей упругих волн от параметров микроструктуры материала выводятся обратные зависимости (15), а затем они используются для вычисления остальных макропараметров среды. Таким способом в данной работе вычислены коэффи-циенты нелинейных взаимодействий полной трехмодовой системы (7) и двухмодовой мо-дели среды со стесненным вращением частиц (10). Показано, что некоторые из этих коэффи-циентов могут быть отрицательными, а другие превосходят квадрат скорости продольной волны.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-08-90032-Бел-а, М 10-08-01108-а).

Список литературы

1. Введение в микро- и наномеханику: математические модели и методы / Под ред. A.K Потапова.

H. Швгород: Изд-во И"ТУ им. Р.Е. Aлексеева, 2010. З0З с.

2. Miller R.E. and Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology. 2000. V. 11. P. 1З9-147.

3. Максимов Е.Г., Зиненко В.И., Замкова HX. Расчеты физических свойств ионных кристаллов из первых принципов // Успехи физ. наук. 2004. Т. 174. № 11. С. 1146-1170.

4. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. 1: Foundation and solids. New York: Springer, 1999.

5. Лисина СА., Потапов A.K Обобщенные модели сплошной среды в наномеханике // Доклады Aкадемии наук. 2008. Т. 420. № З. С. З28-ЗЗ0.

6. Chunyu Li, Tsu-Wei Chou. A structural mechanics approach for the analysis of carbon Nanotubes // Int. J. of Solids and Structures. 200З. V. 40. Р. 2487-2499.

7. Гольдштейн Р.В., Ченцов A^. Дискретноконтинуальная модель нанотрубки // Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 57-74.

8. Pavlov I.S., Potapov A.I., and Maugin G.A. A 2D

Granular Medium With Rotating Particles // Int. J. of Solids and Structures. 2006. V. 43. № 20. Р. 6194-6207.

9. Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Фирсова А.Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 75-85.

10. Павлов И.С., Потапов А.И. Структурные модели в механике нанокристаллических сред // Доклады Академии наук. 2008. Т. 421. № 3. С. 348-352.

11. Erofeyev V.I. Wave processes in solids with microstructure. New Jersey-London-Singapore-Hong Kong-Bangalore-Taipei: World Scientific Publishing, 2003. 256 р.

12. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит, 2009. 320 с.

13. Гуляев Ю.В., Лагарьков А.Н., Никитов С.А. Метаматериалы: фундаментальные исследования и перспективы применения // Вестник РАН. 2008. Т. 78. № 5. С.438-457.

14. Potapov A.I., Pavlov I.S., Lisina S.A. Acoustic Identification of Nanocrystalline Media // Journal of Sound and Vibration. 2009. V. 322. № 3. Р. 564-580.

15. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

16. Федоров В.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 386 с.

17. Павлов И.С., Шудяев А.А. Акустические и оптические фононы в квадратной решетке из круглых частиц // Прикладная механика и технологии машиностроения: cборник научных трудов / Под ред. В.И. Ерофеева, С.И. Смирнова и Г.К. Сорокина. Н. Новгород: Изд-во общества «Интелсервис», 2010. № 2 (17). C. 295-306.

18. Гросс Е., Коршунов А. Вращательные колебания молекул в кристаллической решетке органических веществ и спектры рассеяния // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. № 1. С. 53-59.

19. Ванин Г.А. Градиентная теория упругости // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. № 1. С. 46-53.

20. Адамов А.А. О вычислительных эффектах при решении краевых задач для изотропного однородного континуума Коссера // Труды VI Российской научнотехнической конференции «Механика микронеодно-родных материалов и разрушение» http://book. uraic.ru/proj ect/conf/txt/008/2010/mmp2.htm, Екатеринбург, 2010.

21. Pavlov I.S. Acoustic Identification of the Anisotropic Nanocrystalline Medium with Non-Dense Packing of Particles // Acoustical Physics. 2010. V. 56. № 6. P. 924-934.

22. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов / Справочник под ред. И.Н. Францевича. Киев: Наукова Думка, 1982. 286 с.

ON ESTIMATION OF THE NONLINEARITY COEFFICIENTS OF A GRANULAR MEDIUM BY THE STRUCTURAL MODELING METHOD

I.S. Pavlov

A nonlinear mathematical model has been worked out for a two-dimensional granular medium that represents a square lattice consisting of elastically interacting round particles with longitudinal, transverse and rotational degrees of freedom. In the low-frequency range, the rotational degree of freedom can be neglected, and the obtained threemode model reduces to a two-mode one. Numerical estimates of nonlinearity coefficients have been given for both models by obtained analytical dependences of these coefficients on the microstructure parameters.

Keywords: structural modeling, granular medium, elastic waves, nonlinearity coefficients.