Дискретная и континуальная модели анизотропной нанокристаллической среды с неплотной упаковкой частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1681-1683 1681

УДК 534.1

ДИСКРЕТНАЯ И КОНТИНУАЛЬНАЯ МОДЕЛИ АНИЗОТРОПНОЙ НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С НЕПЛОТНОЙ УПАКОВКОЙ ЧАСТИЦ

© 2011 г. И. С. Павлов1, И.В. Милосердова2

1 Нижегородский филиал Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН ^Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

ispavl@mts-nn.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Рассмотрена двухмерная модель кристаллической среды, представляющая собой прямоугольную решетку из упруго взаимодействующих частиц в форме эллипсов, обладающих трансляционными и вращательной степенями свободы. Выведены дифференциально-разностные уравнения и линейные уравнения в частных производных, описывающие распространение и взаимодействие волн различных типов в такой среде. Уста -новлена взаимосвязь между акустическими характеристиками среды и параметрами ее микроструктуры. Продемонстрирована возможность управления дисперсионными свойствами среды путем изменения параметров ее микроструктуры.

Ключевые слова: дискретная и континуальная модели, среда с микроструктурой, анизотропия, упругие волны.

Дискретная модель

Рассматривается двухмерная прямоугольная решетка, состоящая из однородных зерен (гранул) массы М, имеющих форму эллипса с осями длиной а^ и Пространство между частицами представляет собой безмассовую упругую среду, через которую передаются силовые и моментные воздействия. В исходном состоянии расстояние между центрами масс соседних гранул вдоль оси х равно а, а вдоль оси у равняется Ь (рис. 1). При движении в плоскости каждая частица имеет три степени свободы: смещение центра масс частицы с номером N = N(1, ]) по осям х и у (трансляционные степени свободы и, и w.) и поворот относительно центра масс (ротационная степень свободы ф. ). Центральные и нецентральные взаимодействия соседних гранул моделируются упругими пружинами четырех типов (рис. 2): центральными (с жесткостью К0), нецентральными (с жесткостью К) «диагональными» (К2), а также пружинами, соединяющими центральную частицу с зернами второй координационной сферы (К3). Такая модель может найти применение для исследования физико-механических свойств и развития методов волновой диагностики гранулированных сред, композитных материалов, нанокристал-лических сред и иных сред с микроструктурой [1, 2].

Получены дифференциально-разностные уравнения, описывающие динамику прямоуголь-

Рис. 1

Рис. 2

ной решетки из эллипсовидных частиц с квадратичным потенциалом взаимодействия между ними. Такие уравнения можно использовать для численного моделирования отклика системы на внешние динамические воздействия в широком спектре частот, вплоть до критических значений.

1682

И.С. Павлов, И.В. Милосердова

Проанализированы дисперсионные свойства рассматриваемой среды при различных значениях параметров формы решетки. Выявлено, что для квадратной решетки с круглыми частицами в области частот 0 < Ш < 2.42 и 3.09 < Ш < 3.22 (Ш = = (й^М / Ко ) в системе имеется две волновые моды (продольная и поперечная — в области низких частот, продольная и ротационная — в области высоких частот), а при 2.42 < Ш < 3.09 в системе присутствуют все три волновые моды. В случае прямоугольной решетки из анизотропных частиц меняется лишь длина трех вышеуказанных интервалов.

Ротационная мода имеет две критические частоты: наибольшую Ш(п) и наименьшую Ш(0), причем для эллипсовидных частиц с параметром формы Ь/а = 1.5 у ротационной моды появляется локальный минимум. При вырождении решетки в квадратную с круглыми частицами продольная мода остается изотропной до Ш < 1.5 а ротационная мода до Ш < 2.8. В произвольном случае даже в области низких частот все моды являются анизотропными.

Полученные в данном разделе результаты можно применить при конструировании искусственных периодических структур (в частности, фононных кристаллов) с заранее определенными дисперсионными свойствами, а именно по требуемым наибольшему и наименьшему значениям частоты ротационной моды, благодаря полученным в работе соотношениям, можно найти значения параметров микроструктуры среды.

Континуальная модель

В длинноволновом приближении получена система линейных уравнений в частных производных, описывающих распространение продольных, поперечных и ротационных волн в такой среде:

2 о 2 1 +84 2 оо

utt = c1 uxx + ô2c2uyy s wxy -Ö5Pl9y,

22

22 wtt = c2 wxx + ô1c1 Wyy +

I+Ô4 2 n

+~1 S Uxy +ßKPx' (1)

R 29tt = R2c32(9xx + 8эФ yy ) +

+ ß1(05Uy - Wx ) - 2ß29.

Здесь с1, с2, с3 - скорости распространения соот-

ветственно продольной, сдвиговой волн и волны микровращений, s - коэффициент линейной связи между продольными и сдвиговыми деформациями в материале, ß1 и ß2 - параметры дисперсии, R - радиус инерции частицы, ô. (i = 1-5) -поправочные коэффициенты, возникающие вследствие анизотропии рассматриваемой среды. В случае, когда ô.. ^ 1 хотя бы при одном i, уравнения (1) становятся неинвариантными относительно поворота кристаллической решетки на 90° и потому являются математической моделью сильно анизотропной среды. Если же все параметры анизотропии ôi = 1, то полученная система (1) с точностью до коэффициентов совпадает с ранее выведенными уравнениями для гексагональной решетки из круглых частиц [1, 3-5].

Проанализированы зависимости скоростей волн от размеров и формы зерен. Показано, как по измерению скоростей акустических волн, распространяющихся вдоль разных кристаллографических направлений, определить упругие модули зернистого материала [2]. Прозрачность взаимосвязи между макропараметрами такого материала и параметрами его микроструктуры открывает большие возможности для целенаправленного проектирования материалов с заданными физико-механическими свойствами. Рассмотренная модель позволяет не только получить представление о качественном влиянии локальной структуры на эффективные модули упругости, но и проводить количественные оценки их величин. В частности, для некоторых материалов проведена оценка скорости ротационной волны.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №10-08-01108, 09-08-0082).

Список литературы

1. Павлов И.С. // Введение в микро- и наномеха-нику: математические модели и методы / Под ред. А.И. Потапова. НГТУ им. Р.Е. Алексеева. Нижний Новгород, 2010. С. 117-164.

2. Pavlov I.S. // Acoustical Physics. 2010. Vol. 56, No 6. P. 924-934.

3. Suiker A.S.J., Metrikine A.V., de Borst R. // Int. J. of Solids and Structures. 2001. Vol. 38. P. 1563-1583.

4. Павлов И.С., Потапов А.И. // Докл. РАН. 2008. Т. 421, №3. С. 348-352.

5. Милосердова И.В., Павлов И.С., Потапов А.И. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12, №4. С. 555-565.

Дискретная и континуальная модели анизотропной нанокристаллической среды

1683

THE DISCRETE AND CONTINUOUS MODELS OF AN ANISOTROPIC NANOCRYSTALLINE MEDIUM WITH NON-DENSE PACKING OF THE PARTICLES

I.S. Pavlov, I. V. Miloserdova

The two-dimensional model of a crystal medium is considered that represents a rectangular lattice consisting of elastically interacting particles in the form of ellipses possessing transla-tional and rotational degrees of freedom. The differential-difference equations and linear equations in partial derivatives are obtained, which describe propagation and interaction of waves of various types in such a medium. The interrelation between the acoustic characteristics and the parameters of its microstructure is established. Possibility of control of dispersion properties of a medium by variation of parameters of its microstructure is shown.

Keywords: discrete and continuous models, medium with microstructure, anisotropy, elastic waves.