Применение вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного ценового равновесия Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Papadimitriou Ch.H. The NP-completeness of the bandwidth minimization problem // Computing.- 1976.-V. 16.-P. 263-270.

11. Smithline L Bandwidth of the complete —ary tree // Discrete Mathematics. -1995.-V. 142.-N. 1-3. - P. 203-212.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, д.ф.-м.н., профессор, зав. лабораторией Омского филиала Ин-

ститута математики СО РАН, профессор кафедры «Прикладная математика и информационные системы» ОмГТУ.

ИВАНОВА Светлана Диадоровна, инженер-программист ООО «Омсктелеком».

Дата поступления статьи в редакцию: 27.03.2006 г. © Колоколов A.A., Иванова С.Д.

УДК «"53.3 Н.Б. ШАМРАЙ

Омский государственный технический университет

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННО-ПОДОБНЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТРАНСПОРТНОГО ЦЕНОВОГО РАВНОВЕСИЯ1_

Описывается задача транспортного ценового равновесия, которая состоит в огредепении объемов производства, потребления и распределении товарных потоков по коммуникациям данной сети так, чтобы рассматриваемая экономическая система находилась в состоянии равновесия. Для решения задачи транспортного равновесия предлагается построить вариациомю-подобное неравенство и применить метод лошиыых выпуклых мажорант. На модельном примере проведены численные эксперименты.

Введение

Несмотря на богатую историю, исследование транспортных задач остается весьма актуальным ввиду продолжающейся глобализации экономики, развития коммуникационных технологий, возникновения новых рынков и товаров. К транспортным задачам на сетях можно отнести проблемы, возникающие в технико-экономических системах, представляющих собой сетевые структуры (транспортные, финансовые, энергетические, трубопроводные, информационные и т.д.). Математическая постановка таких задач содержит описание рынков производства и потребления, транспортной сети, определяющей пространственное расположение и связность объектов сети, а также описание схем предоставления транспортных услуг.

Выделяют два подхода к исследованию транспортных задач на сетях. Первый подход основан на построении оптимизационной задачи и поиске экстремального решения (см., например, [1] и ссылки там). Второй — на составлении условий равновесия и определении значений показателей экономической системы, удовлетворяющих этим условиям (см., например, [2] и ссылки там). В последнее время наиболее популярным и развивающимся является второй подход.

В данной работе рассматривается задача поиска транспортного ценового равновесия в экономической системе производства и потребления некоторого то-

вара. Потребители размещены в удаленных от производителя пунктах, поэтому возникает проблема выбора способа доставки товара от производителя к потребителю. Стоимость поставки для потребителя определяется суммой затрат производителя и транспортных расходов. Объемы производства и потребления, в общем случае, не являются фиксированными, следовательно, меняются и объемы перевозок. Поскольку стоимости производства, транспортировки и потребления зависят от соответствующих объемов, то возникает достаточно запутанная ситуация, которую в рамках математического моделирования можно описать с помощью вариационно-подобного неравенства. В статье описан метод решения такого неравенства и показана работа алгоритма на примере решения задачи транспортного ценового равновесия.

Задача транспортного ценового равновесия

Рассмотрим экономический регион, в котором имеются рынки производства и потребления некоторого товара и транспортная сеть, по которой товар поступает от производителя к потребителю. Ценообразование на рынках зависит от объемов товара, а именно, стоимость товара у производителя и потребителя зависят от объемов производства и потребления в данной экономической системе. На стоимость товара также влияют и расходы при его транспортировке, которые зависят от загрузки товарными потоками всей транс-

'Работа выполнена во время прохождения стажировки в ИАПУ ДВО РАН по программе № 14 фундаментальных исследований Президиума РАН раздел!! «Высокопроизводительные вычисления и многопроцессорные системы».

¡¡¡и

портной сети. Необходимо определить объемы производства и потребления, а также распределить товарные потоки по сети так, чтобы в рассматриваемой экономической системе стоимость производства плюс расходы на транспортировку совпадали с ценой товара у потребителя. В этом случае будем говорить, что система находится в состоянии равновесия.

Транспортную сеть зададим в виде ориентированного графа (? = (V, Е) ,где V — множество вершин, Е — множество ориентированных дуг графа. Каждая дуга соответствует реальному участку сети (автодороги, ж/д линии и т. п.), каждая вершина представля -етузел, разделяющий дуги сети (пункты производства, потребления, транзитные пункты). Множество пунктов производства обозначим через 5, 5 с: V, множество пунктов потребления — через Д Бс.У .

Пусть и л, — это объем и удельная стоимость производства товара в / -ом пункте, е 5 . Положим 5 = (5, иеЯ) — вектор объемов производства по всем пунктам / е 5 . В общем случае удельная стоимость производства товара в каждом пункте производства I зависит от общего объема производства по всем пунктам, то есть я,- = ж^з). Положим = (тт,: <е Б) — вектор-функция удельной стоимости производства по всем пунктам ¡еБ ■

Пусть и Р! — это объем и удельная стоимость потребления товара в у -ом пункте, у е £> . Положим й = (с1] :у е В) — вектор объемов потребления по всем пунктам у е £>. В общем случае удельная стоимость товара в каждом пункте потребления у зависит от общего объема потребления по всем пунктам, то есть р; = Р](Л). Положим р(с1) = : у е £>) - вектор-функция удельной стоимости потребления по всем пунктам у е й.

Для каждой пары (/, у) 5 5 ж О определим Ру — множество путей, соединяющих поставщика / с потребителем у . Пусть

Р = — совокупность всех путей в сети.

Обозначим через хр объем транспортировки по пути р е р . Очевидно, что для любого хр > 0, ре Р , должны быть выполнены следующие условия баланса

(1)

*<= X*/» XV

Положим х = (хр : реР) — вектор объемов перевозок по путям сети. Множество векторов (¡,х,с{), удовлетворяющих условиям *>() и (1), обозначим п .

Потоки по маршрутам сети О приводят к загрузке ее дуг. Пусть уе — грузовой поток по дуге е е Е и у = (уе:ееЕ) — вектор загрузки всех дуг сети. Потоки вдоль дуг и путей связаны соотношением

У=Ах, (2)

где А = (аер :ееЕ,реР) — матрица инцидентности дуг и путей: аер = 1, если путь р содержит дугу е , аер=0,в противном случае. Каждая дуга е характеризуется своей функцией удельных затрат на перевозку 9е, которая зависит от общего вектора потоков по всем дугам сети, то есть ве =0е(у). Пусть в{у) = (9е(у) :ееЕ) — вектор-функция затрат на перевозку по дугам сети.

Любой маршрут в сети о состоит из последовательности дуг, поэтому расходы на перевозку по каждому пути зависят от стоимости перевозок по входящим в путь дугам, и в общем случае такая зависимость неаддитивна. Учитывая соотношение (2) затраты на перевозку по каждому пути реР обозначим Чр(х). Пусть г](х) = (т]р(х): ре Р) — вектор-функция затрат

по путям сети. Если предполагается аддитивность относительно дуг, то п(х) = Ат6(у) ■ где у определен в (2).

Вектор (Д/^^еО называется точкой равновесия в рассматриваемой экономической системе, если для каждой пары "поставщик-потребитель"' (¿,у) выполнены следующие условия [2]

. .[=/>,(/), если хр>0,реРу,

) + 7Р(* Я 1 л . _ (3)

\ZPjid ), если хр=0,реРи.

Условие (3) означает, что перевозки между производителем / и потребителем у осуществляются только по таким путям р е Ру , для которых цена потребителя совпадает с суммой затрат на перевозку по пути и ценой производителя. Если цена потребителя превышает сумму затрат на перевозку и цены производителя, то товар по таким маршрутам не транспортируется.

Известно [2], что вектор 6 П удовлетво-

ряет условиям равновесия (3) тогда и только тогда, когда является решением вариационного неравенства

л-т0')0' - -О + Г1т(х){х (4)

Недостатком такого сведения является большое количество переменных в (4) и нетривиальное описание допустимой области £2, учет ограничений которой может потребовать дополнительных операций при решении задачи. Однако, структура ограничений множества позволяет избавиться от переменных я и ¿,но при этом вместо вариационного неравенства (4) необходимо будет рассмотреть некоторое его обобщение.

Пусть В = (Ьф : / е е Р) — матрица инцидентности пунктов производства и путей, выходящих из этих пунктов: Ь¡р = 1, если путь р начинается в пункте /, Ьф= 0 , в противном случае

С = (с/р : у е Др е Р) — матрица инцидентности пунктов потребления и путей, входящих в эти пункты: с]р = \, если путь р заканчивается в пункте у , = 0, в противном случае.

Тогда, учитывая равенства (1), имеем ^ = ¿(л) = Вх, d = d{x) = Cx.

Следовательно, функции я(.г) и р(с1) можно рассматривать как функции от д : >ф) = ж (Вх) = л(х), р(й) = р(Сх) = р(х).

При этом вариационное неравенство (4) перепишется в виде

гг(*'ХФ0-фг'))+/(/х* - *') - рт(х'Шх)-<1(х')) г о Ухго. (5)

Пусть Н{х) = [Л(х)Мх)-р(х)} и = тогда (5) имеет вид

Нт(х'Шх)-Р(х'))^0 (б)

Получили вариационно-подобное неравенство [3], решение которого является задачей меньшей размерности, чем задача решения неравенства (4) и, кроме того, допустимая область в (6) намного проще, чем в (4).

Метод локальных выпуклых мажорант для нахождения транспортного ценового равновесия

Одним из широко используемых подходов к исследованию и решению вариационных неравенств является построение эквивалентной оптимизационной задачи и д альнейшее применение методов математического программирования для ее решения. В качестве целевых функций таких задач используют оценочные функции (см., например, [5] и ссылки там), характеризующие меру отклонения от решения рассматриваемой задачи.

Определение 1. Оценочной функцией для вариационного неравенства (6) называется функция <р, обладающую следующими свойствами: р(х) ¿0 Ух £ 0 и х > 0 является решением вариационно-подобного неравенства (6) тогда и только тогда, когда <Р(х') = 0.

Для всех 3f >о и zeZ(x),e ели M'y(x,z) Z. 0 . то

1 0.0

I 1

i 1

20 40 60

100 120 MO 190 100 200

Рис. 1. Транспортная сеть G = (У ,E)

Очевидно, что при этом решение (6) эквивалентно задаче условной минимизации ,

В качестве оценочной функции для (6) предлагается рассмотреть

= sup ffT(xXF(x)- Fly)) = Hr(x)F(x) - ,nf Hr(x)F(y). (7.1)

Легко видеть, что функция (7.1) удовлетворяет свойствам определения 1.

По построению вектор-функция F(x) является линейной, чего, в общем случае, нельзя сказать о Я (.т), следовательно, без дополнительных предположений трудно гарантировать выпуклость и дифференцируе-мость <р(х). Поэтому предлагается построить выпуклую аппроксимацию оценочной функции в значительной степени эквивалентную <р(х) с точки зрения ее оптимизации в окрестности приближенного решения.

Подожим Af = [В;1;С] — матрица размерности (| S | +1Р | +1D |)х | Р |, где В и С - матрицы инцидентности, определенные выше, I — единичная матрица размерности | р \.

Будем предполагать, что функция Н(х) является дважды непрерывно дифференцируемой и для любого х > 0 супремум в (7.1) достижим. Последнее означает, что при MrG(x) £ 0 выполнено

iaf Нт (x)F(y) = 0

уго

Следовательно, при сделанных предположениях оценочная функция имеет вид

tp(x) = HT(x)F(x) . (7.2)

Зафиксируем точку Зс £ 0 и выделим ее s -окрестность Ug(x), где (j > о достаточно мало. Обозначим a(x) = HT(x)F(x), /3(х) = HT(x)VF(x) + FT(l)VH(x) и y(x,z) = VG(x)z + G(x).

Положим Z(x)-{:\\ S,x + :Z0) — множество допустимых смещений из точки х , по норме не превышающих $.

Пусть z е Z(x),x = x + z,R>0 такие, что

Нт(х + zXF(x + г) - F(y)) & а(х) + f(x): - FT(y)y(i, z) + R || г ¡|2 Vy г 0.

Построим выпуклую мажоранту для <р(х) в окрестности Ue( х)

' -infFr(y)y(x,z)>^x + z) (8.1)

yi. О

inf F (y)y(x,z) = 0. Следовательно,

y2 О

i//(x,z) = а(х) + flT(x)z + Л || z |[2 .

(8.2)

Рис. 2. Сходимость алгоритма

Для поиска ситуации равновесия предлагается следующий алгоритм.

Инициализация алгоритма. Выберем точку >о и рассмотрим множество Х° = {х : <р{х) < гр(х°)} ■ Определим $ > 0 такое, чтобы для любого £ е х° и г е Z{x) выполнялось условие <р(х + г) 2 . В качестве на-

чальной точки возьмем х° е Х° ■ Положим £ = 0 •

Итерация алгоритма.

Шаг 1. Решить задачу т\п^(хк,г) = Ч/(хк,гк).

Шаг2. Если :' = 0и = 0 , то хк - решение

вариационно-подобного неравенства (6). Если 2* _ о и 1р(хк,0) * 0 , то вариационно-подобное неравенство

(6) не имеет решения. Алгоритм заканчивает работу. В противном случаи перейти на шаг 3.

Шаг 3. Положим хк+] =хк +:к,к=к+ 1 и перейти на шаг 1.

Модельный пример

В качестве тестового примера для проверки работы алгоритма была выбрана модифицированная задача из [6), в которой рассматривается транспортная сеть й = (У,Е), состоящая из 25 вершин и 40 ориентированных дуг, соединяющих эти вершины (рис. 1).

По сети ведутся перевозки между следующими парами "поставщик-потребитель": ■{(1->4), (2 -» 5), (3 ->1), (4 —» 2), (5 ->3)}

Таким образом, ,9 = й = {1,2,3,4,5}.

В отличие от первоначальной постановки, вводятся в рассмотрение функции удельной стоимости производства и потребления. Для каждого пункта / е 5 удельная стоимость производства задается функцией Я/С0 = £1 + «2>/ф) , где = /151, й.Сг ^ 0 -

заданные числа. Для каждого пункта j ей удельная стоимость потребления задается функцией

= й + . где и(<0 = ' I 01 ■ * 0

УеД

— заданные числа.

Совокупность всех дуг сети С? делится на четыре подмножества:

О/, ' 1(6 -» 7).(8 -> 9).(10 -»11),(12 -. 13).(Н -»15),(17-> 18). (19 -» 20).(21 22),(23 -» 24).(25 -»16));

= ((16 -»1).(15 -»1).(24 2).(7 -> 2),(22 -» 3),(9 -> 3); (20 ->4),(11 -» 4), (1В -»5),(13 -> 5)(: О, = ((1 -> 6),(1 -» 17),(2 -> 25).(2 8).(3 23),(3 -» 10). (4 -> 21). (4 -»12), (5 -»19).(1 -»14) (:

4 нгосюстепенные '1(15" 6)'(7" 8)'(' - ,и)'(1:1 пи""" м,'(16'-17)' 4. второстепенные (|в ^ (20_, 2|) (22 _ ИШ4_ 25)1

Положим, №(г) = / + 1 и пусть — задан-

ные числа. Удельные затраты на транспортировку по

1. магистрали

2. выезды

3. въезды

каждой дуге е = (к

10 + Чуе)+Муь),

/) е Е определяются функцией если ее£>Д^£>л;

если е е Dh, е = (/ -> г) е Dr; если eeDe,e=(r-+l)eDb.

В сети б всего имеется 25 путей возможной транспортировки.

При реализации алгоритма для решения оптимизационной зад ачи использовался метод отделяющих плоскостей [7]. Результатчисленных экспериментов демонстрирует преимущественно линейный характер сходимости алгоритма, однако на начальном и, что особенно важно, на конечном этапах наблюд ается существенное ускорение, близкое к квадратичной сходимости (рис. 2).

Заключение

Известно, что транспортные задачи ценового равновесия сводятся к решению вариационных неравенств [2]. Вместе с тем вместо вариационных можно использовать вариационно-подобные неравенства меньшей размерности и с более простой допустимой областью. Для их решения рекомендуется применить метод локальных выпуклых мажорант. На модельном примере показана работа алгоритма. В результате получено решение, весьма близкое к равновесному.

Библиографический список

1. Васильева Е.М., Левит Б.Ю., Лившиц В.Н. Нелинейные транспортные задачи на сетях. - М.: Финансы и статистика, 1981.

2. Nagumey A. Network Economics: A Variational Inequality Approach (second revised edition). - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.

3. Parida J., Sahoo M., Kumar A. A variational-like inequality problem // Bulletin of the Australian Mathematical Society. 1989. V. 39. P. 225-231.

4. Patriksson M. A Class of Gap Functions for Variational Inequalities // Mathematical Programming. 1994. V. 64. № 1-3 P. 53-79.

5. Bertsekas D., Gafni E. Projection methods for variational inequalities with application to the traffic assignment problem // Mathematical Programming Study. 1982. № 17. P. 139-159.

6. Нурминский E. А. Численные методы выпуклой оптимизации. - М.: Наука, 1991.

ШАМРАЙ Наталья Борисовна, старший преподаватель кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Дата поступления статьи в редакцию: 27.03.2006 г. © Шамрай Н.Б.

УДК 538.561 М.Б. МОИСЕЕВ,

Б.К. НЕВОРОТОВ

Омский государственный технический университет Омский аграрный университет

ФОРМИРОВАНИЕ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ ФОРМЫ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ЧАСТОТ

Рассматривается обратная задача теории излучения по каждой заданной функции спектра на конечном отрезке частот.

После большого цикла работ [1-5], посвященных излучению свойств заряженных частиц во внешних электромагнитных полях и после выяснения того, что это излучение послано определенными порциями частотного спектра на объекты микробиологии и микро-электроники имеют определенную ценность [6-8], встал вопрос о решении обратных задач теории излучения заряженных частиц. Если прямые задачи, по известным характеристикам внешних электромагнитных полей, позволяют судить о спектральной функции, то в обратных задачах последовательность суждений прямо противоположная.

В данной работе (часть 1) была рассмотрена задача о формировании спектра излучения заданной формы на некотором частном отрезке, полученного от релятивистской заряженной частицы, движущейся во

внешнем магнитном поле, Определена функциональная зависимость этого внешнего магнитного поля, в котором движется релятивистская заряженная частица, от функции спектра. Выяснилось, что существенную роль при решении подобных задач играют нули задаваемой спектральной функции. Это и определило то обстоятельство, что функция спектра в данной работе (часть 1) задана на отрезке, внутри которого она не обращается в ноль. В реальных же излучательных устройствах, например в ондуляторах, устанавливаемых в накопительных кольцах циклических ускорителей заряженных частиц, спектральная функция может иметь счетное количество нулей.

Прежде чем переходить к анализу задачи о возможности формирования спектральной функции с бесконечным количеством нулей, необходимо провести ис-

Часть 2. Начало в № 2(36)