Обобщенная лемма Гиббса и равновесие по Вардропу Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85 МБС 90С90

Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2019. Т. 15. Вып. 2

Обобщенная лемма Гиббса и равновесие по Вардропу

В. Н. Малозёмов, Н. А. Соловьева

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Малозёмов В. Н., Соловьева Н. А. Обобщенная лемма Гиббса и равновесие по Вардропу // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019. Т. 15. Вып. 2. С. 199-211. https://doi.org/10.21638/l1702/spbu10.2019.204

В статье сформулирована и доказана обобщенная лемма Гиббса. Ее заключение согласовано с определением равновесия по Вардропу в транспортных сетях. Данное обстоятельство позволяет наиболее естественным путем построить известную задачу выпуклого программирования с линейными ограничениями, решением которой является вектор равновесия по Вардропу. Детально анализируется (с характерными примерами) непростое определение равновесия по Вардропу. Указывается причина появления парадокса Брэсса. Приводится также пример, который демонстрирует, как может меняться вектор равновесия по Вардропу при введении в транспортную сеть дороги с временем проезда, равным нулю.

Ключевые слова: обобщенная лемма Гиббса, равновесие по Вардропу, парадокс Брэсса, выпуклое программирование.

1. Обобщенная лемма Гиббса. Напомним формулировку леммы Гиббса так, как она представлена в книге Дж. М. Данскина [1].

Лемма Гиббса. Предположим, что вектор х0 = (х0,...,хП) максимизирует функцию

п

Г(Х)=£ ЫХг)

г=1

при дополнительных условиях

п

хг = X, хг ^ 0, г € 1 : п.

г=1

Предположим также, что функции I дифференцируемы. Тогда существует число X такое, что

/[(х°) = X, если х0 > 0,

I'¡(х°) ^ X, если х0 =0.

Эта лемма допускает следующее обобщение. Рассмотрим экстремальную задачу

Г(х\,..., хп) ^ тах,

хв = х~/, 1€ 1: ^ (1)

ре_в~,

хр ^ 0, в € 1 : п. © Санкт-Петербургский государственный университет, 2019 https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.204 199

Здесь индексные множества В7 попарно не пересекаются и их объединение равно 1 : п, все числа хY положительны, функция Г дифференцируема на множестве векторов х = (х1,..., хп) с неотрицательными компонентами.

Обобщенная лемма Гиббса. Для того чтобы план х* = (х*,...,хПП) задачи (1) был оптимальным, необходимо, а в случае вогнутости функции Г на М+ и достаточно, чтобы нашлись числа Х7, 7 € 1 : £, такие, что

Г'хв (х*) = Х7 при в € В7, х*в > 0, (2)

Г'хэ(х*) < А7 при в € В7, х*в = 0. (3)

Доказательство. Необходимость. Пусть х* = (х*,...,хП) — оптимальный план. Возьмем индекс в € В7 такой, что х^ > 0. При ¡л € В7, ¡л = в введем функцию

р(е) = Г(х1 ,...,хв - £,...,х1 + £,...,хП0, £ € [0,х*в].

Очевидно, что ее максимум достигается при £ = 0, поэтому р'(0) ^ 0. Отсюда следует, что

Г'^ (х*) < Г'в (х*) УИ € В7, л = в. (4)

Если при этом и х1 > 0, то справедливо и обратное неравенство. Значит, все произ-

■хв (х ) при в с В, через Х1, получим формулу (2).

Перепишем неравенство (4) в виде

водные Г' (х*) при в € В7, хв > 0 равны между собой. Обозначив их общее значение

Р'хß (x*) < Xy & В7, ц = ß.

Очевидно, что последнее неравенство выполняется для всех ¡л € В7, х*1 = 0. Это соответствует формуле (3) при замене индекса ¡ на в.

Достаточность. В силу вогнутости функции Г на М+, для любого плана х задачи (1) имеем выражение

Г(х) - Г (х*) < (Г'(х* ),х-х*) = £ £ Г^ (х*)(хв - х*р). (5)

■уеъе/зев^

В силу (2), при всех 7 € 1 : £ получаем, что

£ Г'в (х*) х*в = £ Г'в (х*) х*в = .

вев^ (Зев^, х^>0

Учитывая (2), (3) и то, что х — план задачи (1), приходим к неравенству

F'Xß (x* )(xß - xß) =53 FXß (x*) xß — XyXy < 0.

'

ßeßj ßeßj

Отсюда и из (5) следует, что F(x) — F(x*) ^ 0, т. е. x* — оптимальный план. □ Отметим, что обобщенная лемма Гиббса по существу является элементарной. В дальнейшем нам потребуется вариант леммы Гиббса для экстремальной задачи вида

F(xi, ...,xn) ^ min,

£ xß = Xy, Y & 1 : ^, (6)

ßeßy

xß > 0, ß & 1 : n,

в которой, в отличие от задачи (1), целевая функция Г не максимизируется, а минимизируется. Предположение о дифференцируемости функции Г сохраняется. В этом случае обобщенная лемма Гиббса формулируется следующим образом:

для того чтобы план х0 = (х0,... ,хЩ) задачи (5) был оптимальным, необходимо, а в случае выпуклости функции Г на М+ и достаточно, чтобы нашлись числа Х7, 7 € 1 : £, такие, что

К в (х0

Кв (х0) > Х^

при в € В7, при в € В7,

хв > 0,

х0р = 0.

(7)

(8)

2. Транспортные сети. Транспортную сеть удобно представлять как ориентированный граф О без петель. Дуги графа — это дороги, вершины графа — перекрестки дорог.

Выделим £ пар вершин графа (07), 7 € 1 : I. Будем называть элемент 07 пунктом отправления, а элемент — пунктом назначения. Предположим, что при каждом 7 € 1 : £ в графе О существует хотя бы один путь из 07 в . Маршрутом из пункта 07 в пункт будем называть путь без циклов, ведущий из вершины 07 в вершину .

Пусть из 07 в ведут маршрутов. Обозначим общее число маршрутов в транспортной сети через п, так что п = п\ + ••• + щ. Сами маршруты упорядочим произвольным образом. Получим общее множество маршрутов П1,...,ип. Можно считать, что множество индексов 1 : п разбито на £ подмножеств В\,...,В^ таким образом, что маршруты Пр с номерами в из В7 ведут из 07 в (при каждом 7 из 1 : £).

Для примера рассмотрим транспортную сеть, изображенную на рис. 1. В ней выделим две пары вершин (01,01) и (02,02). Пункт отправления 0\ с пунктом назначения О соединяют два маршрута (01 Л0\) и (01ВС01), п1 = 2; пункт отправления 02 с пунктом назначения О — три маршрута (02 01ВС02), (02ВС02) и (02^02), п2 = 3. Общее количество п маршрутов в сети равно 5.

Рис. 1. Транспортная сеть с 8 вершинами Перенумеруем все маршруты, к примеру, так:

Щ = (01А01), Щ = (01ВС01), Щ = (0201ВСБ2), Щ = (02 ВС02), Щ = (02 №).

В данном случае В1 = 1:2, В2 = 3:5.

3. Транспортные потоки. Введем количественную характеристику транспортного потока. Будем говорить, что поток транспортных средств имеет плотность р, если в течение единицы времени мимо наблюдателя проходит р транспортных средств. Плотность потока считается постоянной во времени.

Для каждого номера 7 из 1 : £ зафиксируем общую плотность потока, который следует из пункта отправления 07 в пункт назначения . Наша задача состоит в том, чтобы распределить этот общий поток по маршрутам в каком-то смысле наилучшим образом.

Допустим, что по маршруту и в с номером в € 1 : п идет поток с плотностью хв ^ 0. Вектором потока (или просто потоком) в транспортной сети будем называть вектор-столбец

Х ^Х1 Хи) '

На вектор потока х накладываются естественные ограничения:

хв = Х~/ при каждом 7 € 1 : £, хв ^ 0 при всех в € 1 : п. (9)

веят

Поток х, удовлетворяющий условиям (9), называется допустимым.

Дальнейшая формализация связана с рассмотрением дуг графа О (дорог) и1,..., иN, входящих хотя бы в один маршрут ив, в € 1 : п. Через ра будем обозначать плотность потока, идущего по дороге иа. Зададим матрицу С = (сав)аел^,вел.п следующим образом:

{1, если дуга иа входит в маршрут ив, п

0, в ином случае. Поток ра по дороге иа вычисляется по формуле

и

Ра = £ Сав Хв. (10)

в=1

Каждой дороге иа сопоставим время Ьа прохождения по ней транспортного средства. Это время зависит от плотности р потока автомашин, идущих по дороге. Будем предполагать, что при р ^ 0 функция Ьа(р) неотрицательна, непрерывна и не убывает.

Определим время Тв(х) прохождения одного транспортного средства по маршруту ив:

N

Тв (х) = £ Сав 1а(ра), (11)

а=1

где поток ра вычисляется по формуле (10). Подробнее,

N /и \

Тв (х) = £ Сав 1а I £ Сав' хв' I .

а=1 \в'=1 /

Здесь х — допустимый поток.

Отметим, что величина Тв(х) может быть положительной, даже если поток хв по маршруту ив нулевой. Дело в том, что в маршруте ив может встретиться дорога иа, которая используется другим маршрутом ив' с положительным потоком хв'.

В таком случае поток

п

Ра = ^ Са@' Х@' в' = 1

по указанной дороге положителен. Если функция этой дороги не является тождественным нулем, то в правой части формулы (11) появится положительное слагаемое (ра). Положительной будет и величина Тр(х).

Данная особенность определения Тр (х) служит причиной появления парадокса Брэсса [2]. Более подробно об этом пойдет речь в п. 7.

Общее время прохождения потока из пункта отправления 07 в пункт назначения по транспортной сети вычисляется следующим образом:

Т7(х) = тах{Тв(х) | в е В7, хв > 0}. (12)

За это время все транспортные средства доберутся из 01 в В7. В случае, когда задана одна пара «пункт отправления—пункт назначения», формула (12) принимает вид

Т(х) = тах{Тв(х) | в е 1 : п, хв > 0}. (13)

4. Пример, в котором используются все введенные выше понятия. Пример 1. Рассмотрим транспортную сеть, изображенную на рис. 2. Здесь О — пункт отправления, Б — пункт назначения, £ =1. Рядом с каждой дугой иа указано время (р) проезда по ней (в зависимости от плотности потока р).

В

Рис. 2. Транспортная сеть с 4 вершинами Упорядочим дуги графа. Пусть

и1 = ОВ, ш = 5р;

и2 = ОС, Ь(р) = 81+ Р;

из = ВБ, *з(р) = 57 + р;

и4 = СБ, и(р) = 6р;

и,5 = ВС, и(р) = 13 + р.

Л 0 1

0 1 0

1 0 0

0 1 1

V0 0 1

Пункты О и В соединяют три маршрута: и1 = (ОБВ), и2 = (ОСВ) и из = (ОБСВ). Матрица С = (сав)ае1 : 5,ве1 ■ з принимает вид (формируется по столбцам)

С=

Положим общий поток х из О в В равным 12 транспортным средствам в единицу времени. Распределим его по трем маршрутам произвольным образом. Например, по маршруту и идет поток х1, равный 4 транспортным средствам в единицу времени, по маршруту и — поток х2, равный 2 транспортным средствам, по маршруту из — поток хз, равный 6 транспортным средствам. Вектор потока имеет вид

х = (4, 2, 6)т. (15)

По формуле (10) вычислим поток по каждой дороге (дуге):

р1 = х1 + хз = 10, р2 = х2 = 2, рз = х1 = 4,

р4 = х2 + хз = 8, р5 = хз = 6.

Найдем время прохождения транспортного потока по каждому из маршрутов и1, и2, из. Согласно (11) и (14),

Т1(х) = 11 (р1) +^з(рз) = 111, Т2(х) = 12 Ы+^Ы = 131, Тз(х) = 11 Ы+^Ы+^Ы = 117.

На основании (13) заключаем, что время прохождения потока х фиксированной величины 12 из пункта О в пункт В равно

Т(х) = шах{Т1(х),Т2(х),Тз (х)} = 131.

Посмотрим, как изменяется время прохождения из О в В потока фиксированной величины 12, если распределить его по маршрутам так:

х = (5,1, 6)т. (16)

(Мы перевели часть потока с маршрута и2 на маршрут и1.) Вычислим поток ра по каждой дуге иа:

р1 = х1 + хз = 11, р2 = х2 = 1, рз = х1 =5, р4 = х2 + хз = 7, р5 = хз = 6.

Найдем время прохождения транспортного потока по каждому из маршрутов и1, и2, из. Согласно (11) и (14),

Т1(х) = 11 (р1)+*з(рз) = 117, Т2(х) = 12 Ы+^Ы = 124, Тз(х) = 11 Ы+^Ы+^Ы = 116.

Время прохождения потока из пункта отправления в пункт назначения равно Т(х) = тах{Т1(х),Т2(х),Т3 (ж)} = 124.

Отметим, что при переходе от допустимого потока (15) к допустимому потоку (16) общее время прохождения потока Т(х) снизилось с 131 до 124 единиц. Обратим также внимание на величины Тр(х). Разность по времени между «самым долгим» и «самым быстрым» маршрутами уменьшилась с 20 до 8 единиц.

Представляет интерес так выбрать вектор потока, чтобы время проезда по всем используемым маршрутам было одинаковым (чтобы все транспортные средства прибывали из пункта О в пункт Б одновременно). Перейдем к изучению таких потоков в общем случае.

5. Равновесие по Вардропу. Рассмотрим транспортную сеть, описанную в пп. 2 и 3. Напомним определение, приведенное в [3-5].

Определение. Допустимый вектор потока х0 = (х0,.. .,хП) называется вектором равновесия по Вардропу, если найдутся числа Л7, 7 € 1 : £, такие, что

Те(х0) = Л7 при в € Б7, х0в > 0, (17)

Те(х0) > Л7 при в € Б7, х0в = 0. (18)

Соотношение (17) означает, что время проезда по всем маршрутам из О7 в Б7 с положительным потоком одинаково (оно обозначается Л7). А из соотношения (18) следует, что время проезда по маршрутам с потоком, равным нулю, не меньше, чем время проезда по маршрутам с положительным потоком.

Вернемся к примеру 1 и покажем, что допустимый поток х0 = (5,0, 7)Т является вектором равновесия по Вардропу.

Согласно (10) и (11), имеем р? = 12, р0 = 0, р3 = 5, рЦ = 7, р5> = 7,

Тг(х0) = г1(р01)+гз(р0^) = 122, Т2(х0)= Ь(р0)+и(р0) = 123, Тз(х0) = Ьр) + г4(р0°) + г5(х°0) = 122.

Видим, что условия (17), (18) выполнены с Л = 122.

6. Переход к экстремальной задаче. Обратим внимание на то, что условия (17), (18) аналогичны условиям (6), (7) обобщенной леммы Гиббса. Это открывает путь к нахождению вектора равновесия по Вардропу. Действительно, если построим функцию Е(х1,..., хп) со свойством

Е'хэ (х)= Те(х), в € 1: п, (19)

и решим задачу вида (5), то ее решение х0 будет допустимым потоком, образующим вектор равновесия по Вардропу.

Построить функцию Е, удовлетворяющую условию (19), несложно. Положим,

что

N / п \

Е(х) = У^ /а У) а хв , (20)

где

/ и ц а I / и •

=1 \в=1

у

1а(у) = J ta(p) ¿р.

0

Лемма. Функция Г(х) вида (20) выпукла на множестве М+. Кроме того, она

дифференцируема на R+ и выполняется соотношение (19).

+

Доказательство. Напомним, что функции ta(p) приp ^ 0 непрерывны, неотрицательны и не убывают. Значит, функции fa(y) при y ^ 0 непрерывны и выпуклы (в силу того, что f'a(y) = ta(y)). Такими же свойствами обладает и функция F(x) на R+.

Далее, с помощью формул (10) и (11) получаем, что

N / n \ N /и \

F'x ß (x) = Caß Xß) Caß = Caß ta ( Xß) =

a=1 Vß=1 / a=1 Vß=1 )

N

Caß ta(pa ) = Tß (x).

a=1

Лемма доказана. □

Теперь рассмотрим задачу выпуклого программирования с линейными ограничениями

Nn

F(x) := £ fa I £ caß xß I ^ min, a=1 \ß=1 J

£ xß = x7, Y e 1: ^ (21)

ßeßy

xß ^ 0, ß e 1 : n.

Такая задача появляется, в частности, в работе [2] из других соображений.

Теорема. Решение задачи (21) и только оно является вектором равновесия по Вардропу.

Доказательство. Пусть x0 — решение задачи (21). Очевидно, что x0 — допустимый вектор потока. В силу обобщенной леммы Гиббса, найдутся числа А7, y e 1 : i, такие, что

F'xß(x0) = А7, ß e By, x0ß > 0, (22)

xß\x ) aY , ß e BY, xß

FXß (x0) > А7, ß e В7, xß = 0. (23)

Принимая во внимание формулу (19), заключаем, что х0 — вектор равновесия по Вардропу.

Наоборот, пусть х0 — вектор равновесия по Вардропу. Поскольку вектор х0 определяет допустимый поток, то он является планом задачи (21). Соотношения (17), (18), в силу (19), можно переписать в виде (22), (23). Наконец, по лемме целевая функция Г(х) задачи (21) выпукла на М+. Мы находимся в условиях обобщенной леммы Гиббса, согласно которой х0 — решение задачи (21).

Теорема доказана. □

7. Более сложный пример на построение вектора равновесия по Вардропу.

Пример 2. Рассмотрим транспортную сеть, изображенную на рис. 3. Рядом с каждой дугой указано время проезда по ней (переменная р соответствует плотности потока, идущего по дуге). Зададим три пары «пункт отправления—пункт назначения»: (А, Г), (О, В), (А,Н).

Рис. 3. Еще одна транспортная сеть с 8 вершинами Упорядочим дуги графа произвольным образом. Пусть

U1 = AB, t1(p) = 200; U6 = GA, t6(p) = 12p; U11 = BE, tn(p) = 10;

U2 = BC, t2(p) = 2p; U7 = GF, tr(p) = 210; U12 = EB, t12(p) = 10;

из = CD, t3(p) = 2p; U8 = FG, t8(p) = 210; U13 = BH, t13(p) = 50;

U4 = DE, t4(p) = 40; Ug = EF, tg(p) = 12p; U14 = HC, t14(p) = 10;

U5 = AG, t-5 (p) = 12p; U10 = FE, t10(p) = = 12p; U15 = CH, t15(p) = 10.

Пункты A и F соединяют маршруты

U1 = (AGF), U2 = (ABEF), U3 = (ABCDEF), U4 = (ABHCDEF);

пункты G и D — маршруты

U5 = (GABCD), U6 = (GFEBCD), U7 = (GABHCD), U8 = (GFEBHCD);

пункты A и H — маршруты

U9 = (ABH), U10 = (ABCH), Un = (AGFEBH), U12 = (AGFEBCH).

Вектор потока имеет вид x = (xi,..., X12)T.

В данном примере n =12, N =15, i = 3; B1 = 1:4, B2 = 5:8, B3 = 9:12. Согласно теореме, вектор равновесия по Вардропу является решением экстремальной задачи (21), в которой

y

fa(V) = J ta(p) dp 0

и

{1, если дуга иа входит в маршрут и в, п

0, в ином случае. Целевую функцию задачи (21) можно записать следующим образом:

N

Г(х) = £ /а (Ра ),

а=1

где

п

Ра = £ Сав хв ■

в=1

В табл. 1 приведена вспомогательная информация, необходимая для формирования функции Г (х).

Таблица 1. Параметры формирования функции Е(х)

а иа Ра /а(Ра)

1 АВ 200 Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х7 + Хд + 1ю 200(ж2 + хз + Х4 + хв + х7 + Хд + х10)

2 ВС 2р Хз + Хв + Хв + 1ю + Х12 (хз +х5 +Хв + 110 + Ж12)2

3 СИ 2р Хз + Х4 + хв + хв + х7 + х8 (ж3 + х4 + хв + хв + ж7 + ж8)2

4 ИЕ 40 хз + Х4 40 (жз +ж4)

5 АС 12р XI + Хц + х12 6(ж1 + 1ц + х12)2

6 СА 12р Хв + Х7 6(хв + ж7)2

7 СЕ 210 XI + Хв + Х8 + Хц + х12 210(ж1 + хв + ха + 1ц + Ж12)

8 ЕС 210 0 0

9 ЕР 12р Х2 + Хз + Х4 6(ж2 + ж3 + ж4)2

10 РЕ 12р хв + Х8 + ХЦ + Х12 6(жб + Х8 + 111 + Ж12)2

11 ВЕ 10 Х2 10ж2

12 ЕВ 10 Хв + Х8 + ХЦ + Х12 10(жб + хв + хц + Ж12)

13 ВН 50 Х4 + Х7 + Х8 + Хд + 1Ц 50(Ж4 + Х7 + Х8 + жэ + жц)

14 НС 10 Х4 + Х7 + Х8 10(Ж4 + Ж7 + хв)

15 СН 10 Х10 + Х12 10(жю + Х12)

Положим Х1 = 20, Х2 = 100, хз = 10. Ограничения задачи (21) в данном случае будут выглядеть так:

х1 + х2 + хз + х4 = 20, х5 + хб + х7 + х8 = 100, хд + х10 + хц + х12 = 10, хв > 0, в е 1 : 12.

Решим сформированную задачу выпуклого программирования в среде MATLAB. Получим вектор равновесия по Вардропу

х0 « (10, 10, 0, 0, 0.02, 29.98, 50.8134, 19.1867, 10, 0, 0, 0)Т. (24)

Для проверки вычислим время проезда по маршрутам

из А в Г: Т1(х0) = Т2(х0) = 330, Т3(х0) = Т4(х0) = 620;

из О в Б: Т5(х0) = Т6(х0) = Т7(х0) = Т8(х0) = 1070;

из А в Н: Т9(х0) = 250, Тю(х0) = 270, Тц(х0) = 980, Т12(х0) = 1000.

Видим, что Ах = 330, Л2 = 1070, А3 = 250. Маршруты П3, П4, и10, П11, П12 не используются (х0р = 0). На них Те(х0) > Л7. По определению, вектор (24) — это вектор равновесия по Вардропу.

Добавим в транспортную сеть, изображенную на рис. 3, «нулевой мост» — дорогу ОЕ с нулевым временем проезда по ней. Получившаяся транспортная сеть изображена на рис. 4. Появились дуга п\б = ОЕ с функцией задержки ¿16 (р) = 0 и новые маршруты и13 = (АОЕЕ), П14 = (ОЕВСБ), П15 = (ОЕВНСБ), П16 = (АОЕВН), и17 = (АОЕВСН). Теперь В1 = {1 : 4,13}, В2 = {5 : 8,14,15}, В3 = {9 : 12,16,17}.

Рис. 4. Транспортная сеть с дополнительной дугой ОЕ

В табл. 2 приведена вспомогательная информация о новой транспортной сети, необходимая для формирования целевой функции Е(х) задачи (21). Положим, как и раньше, Х1 = 20, Х2 = 100, хз = 10. Ограничения задачи (21) будут выглядеть так:

х1 + х2 + хз + х4 + х1з = 20, х5 + хб + х7 + х8 + х14 + х15 = 100, хд + х10 + х11 + х12 + х1б + х17 = 10, хв > 0, в е 1 : 17.

Решим построенную задачу выпуклого программирования вида (21) в среде MATLAB. Получим вектор равновесия по Вардропу

х0 « (2.5, 2.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 0, 15, 30, 70, 0, 0)Т.

Видим, что количество неиспользуемых маршрутов (с хр = 0) значительно увеличилось (с 5 до 11). Проверим, что вектор х0 удовлетворяет условиям (17), (18).

Таблица 2. Параметры новой транспортной сети

а иа ta(p) Ра fa(Pa)

1 АВ 200 Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х7 + Хд + 1ю 200(Х2 +ХЗ+Х4+Х5 + +х7 + хд + Хю)

2 ВС 2 р ХЗ + Хб + Х6 + хю + Х12 + Х14 + Х17 (.ХЗ + Хб + хв + IE10 + +х12 + х14 + х17)2

3 CD 2 р Хз + Х4 + хв + хв + х7 + х8 + х14 + Х15 (хз + х4 + хв + Хв + +Х7 + Х8 + Х14 + Х1б)2

4 DE 40 хз + Х4 40 (жз + ж4)

5 АС 12р XI + 111 + Х12 + Х13 + х1в + х17 6(Ж1 + хц + х12 + Ж13 + +Ж16 + Х17)2

6 СА 12р Хб + Х7 6(хб+х7)2

7 CF 210 XI + хв + Х8 + 111 + Х12 210(Х! +Хв +Ж8+ +ХЦ +х12)

8 FC 210 0 0

9 EF 12р Х2 + хз + х4 + х13 6(х2 +Х3+Х4+ Х1з)2

10 FE 12р Хв + Х8 + ill + Х12 6(хв + Х8 + Хц + х12)2

11 BE 10 Х2 10х2

12 ЕВ 10 Хв +х8 + ill + Х12 + х14 + х15 + х1в + х17 10(хв + х8 + хц + х12 + +Х14 + Х1б + xie + Х17)

13 ВН 50 Х4 + Х7 + Х8 + хд + 111 + Х1б + Х1в 50(Х4 + х7 + х8 + Ж9 + +Ж11 + Ж1Б + Ж1б)

14 НС 10 Х4 + Х7 + х8 + х15 10(ж4 + Ж7 + Х8 + Ж1б)

15 СН 10 Хю + Х12 + Х17 10(жю + Ж12 + Х17)

16 СЕ 0 Х13 + Х14 + х15 + х1в + х17 0

Вычислим время проезда по маршрутам

из A в F: T1(x°) = T2(x0) = T13(x0) « 420, T3(x0) « 710, T4(x0) « 710; из G в D: T14(x0) = T15(x0) « 270, T5(x0) « 460, T6(x0) « 480,

T7(x0) « 460, T8(x0) « 480; из A в H: T9(x°) « 250, T10(x0) « 270, T11(x0) « 480, T12(x0) « 500, T16(x0) « 270, T17(x0) « 290.

В данном случае Ai « 420, Л2 ~ 270, A3 « 250. Таким образом, при добавлении в транспортную сеть дороги GE с временем проезда, равным нулю, ситуация значительно улучшилась для водителей, следующих из G в D, не изменилась для водителей, следующих из A в H, и ухудшилась для водителей, следующих из A в F.

В работе [2] приводится пример, когда введение в транспортную сеть дороги с нулевым временем проезда увеличивает время в пути для всех водителей (парадокс Брэсса). Как отмечалось, причина такого явления кроется в специфическом определении времени прохождения транспортного средства по маршруту (формула (11)).

Литература

1. Данскин Дж. М. Теория максимина и ее приложение к задачам распределения вооружения / пер. с англ. М. В. Воронова; под ред. И. Н. Коваленко. М.: Сов. радио, 1970. 200 с. (Danskin J. M. The theory of max-min and its application to weapons allocation problems.)

2. Braess D., Nagurney A., Wakolbinger T. On a paradox of a traffic planning // Transportation Science. 2005. Vol. 39, N 4. P. 446-450.

3. Wardrop J. G. Some theoretical aspects of road traffic research // Proceedings of the Institute of Civil Engineers. 1952. Pt II. P. 325-378.

4. Patriksson M. The traffic assignment problem: models and methods. Mineola: Dover Publ., 2015. 240 p.

5. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. СПб.: Изд-во «Лань», 2016. 448 с.

Статья поступила в редакцию 21 августа 2018 г. Статья принята к печати 15 марта 2019 г.

Контактная информация:

Малозёмов Василий Николаевич — д-р физ.-мат. наук, проф.; [email protected] Соловьева Наталья Анатольевна — канд. физ.-мат. наук, ст. преп.; [email protected]

A generalized Gibbs' lemma and a Wardrop equilibrium

V. N. Malozemov, N. A. Solovyeva

St. Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Malozemov V. N., Solovyeva N. A. A generalized Gibbs' lemma and a Wardrop equilibrium. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 2, pp. 199-211. https://doi.org/10.21638/11702/spbul0.2019.204 (In Russian)

In the article, a generalized Gibbs' lemma is stated and proved. A conclusion of this lemma corresponds to a definition of Wardrop equilibrium in transport networks. This allows us to naturally introduce a well known convex programming problem with linear constraints whose solution is a Wardrop equilibrium vector. The complicated definition of the Wardrop equilibrium is analyzed in detail (typical examples are given). The reason of the Braess paradox' appearance is specified. A large example, that illustrates how the Wardrop equilibrium vector changes when a road with zero driving time is added into the transport network, is also given.

Keywords: generalized Gibbs' lemma, Wardrop equilibrium, Braess paradox, convex programming.

References

1. Danskin J. M. The theory of max-min and its application to weapons allocation problems. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag Publ., 1967, 128 p. (Russ. ed.: Danskin J. M. Teoriya max-min i ee prilozheniya k zadacham raspredeleniya vooruzheniy. Moscow, Sov. Radio Publ., 1970, 200 p.)

2. Braess D., Nagurney A., Wakolbinger T. On a paradox of a traffic planning. Transportation Science, 2005, vol. 39, no. 4, pp. 446-450.

3. Wardrop J. G. Some theoretical aspects of road traffic research. Proceedings of the Institute of Civil Engineers, 1952, pt II, pp. 325-378.

4. Patriksson M. The traffic assignment problem: models and methods. Mineola, Dover Publ., 2015, 240 p.

5. Mazalov V. V. Matematicheskaia teoria igr i priloghenia [Mathematical theory of games and applications]. Saint Petersburg, Publishing house "Lan'", 2016, 448 p.

Received: August 21, 2018. Accepted: March 15, 2019.

Author's information:

Vasiliy N. Malozemov — Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Professor; [email protected] Natalia A. ¡Solovyeva — PhD in Physics and Mathematics, Senior Teacher; [email protected]