CC BY
76
2014 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 2
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 51-74
А. Ю. Крылатов
ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫМИ ПОТОКАМИ НА СЕТИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ
Санкт-Петербургский государственный университет,
199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация
Управление транспортными потоками — одна из важнейших задач современных мегаполисов. Урбанизация совместно с развитием автотранспортной промышленности привела к возникновению огромных потоков автомобилей, движущихся по улицам современных больших городов. Внушительное скопление машин в условиях ограниченной — в значительной степени уже сложившейся — дорожно-транспортной инфраструктуры приводит к возникновению заторов на дорогах и, как следствие, к вынужденным задержкам цепей поставок. Последнее, в свою очередь, влечет за собой серьезные потери в экономике. Таким образом, существует объективный запрос на развитие методологии управления транспортными потоками и их перераспределения. В настоящей работе изучается проблема нахождения оптимальных управленческих стратегий распределения транспортных потоков на сети из параллельных каналов. В качестве оптимальных стратегий рассматриваются равновесные по Вардропу распределения транспортных потоков. Изучение распределительных стратегий на сети из параллельных каналов обусловлено исследованиями, согласно которым сеть произвольной топологии следует представлять в виде множества пар районов отправления—прибытия, соединенных между собой набором параллельных маршрутов. Использование линейной BPR-функции задержки в сформулированной задаче позволяет найти конкурентное равновесие и системный оптимум в явном виде. Явный вид управленческих стратегий позволит реализовать эффективные приложения в системах улично-дорожной сети (УДС) или интеллектуальных системах управления инфраструктурой УДС большой размерности. В самом деле, полученные явно конкурентно равновесные распределения могут лечь в основу быстродействующих приложений для систем навигации автомобилей в потоках большого объема, опирающихся при оценке транспортного потока не использующих навигационное оборудование автомобилей на принципы Вардропа. В свою очередь, системно оптимальные решения могут быть применены при нахождении оптимальной топологии УДС большого города. Библиогр. 16 назв.
Ключевые слова: равновесие по Вардропу, распределение транспортных потоков.
A. Yu. Krilatov
OPTIMAL STRATEGIES FOR TRAFFIC FLOW MANAGEMENT ON THE TRANSPORTATION NETWORK OF PARALLEL LINKS
St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Fédération
Traffic flows management is one of the major problems of modern cities. Urbanization in conjunction with the development of the automotive industry has led to huge flows of
Крылатов Александр Юрьевич — аспирант; e-mail: [email protected] Krilatov Aleksander Yurievich — post-graduent student; e-mail: [email protected]
vehicles moving through the streets of modern cities. An impressive cluster of cars in reduced — largely already established — road transport infrastructure leads to congestion on the roads, and consequently, force to delay the supply chains. The latter, in turn, entails serious losses in the economy. Thus, there is an objective demand for the development of a methodology for traffic management and reassignment. In this paper the problem of finding of the optimal traffic flow assignment strategies on a network of parallel channels is studied. Wardrop equilibrium assignment of traffic flows is considered as optimal strategies. Network of parallel channels is studied due to research, according to which a network of arbitrary topology should be presented as a set of pairs of departure-arrival areas interconnected by a set of parallel routes. Using linear BPR-delay function in the formulated problem user-equilibrium and system optimal strategies are found explicitly. Explicit form of found strategies allows us to realize the effective application for the road navigation systems or systems of intelligent infrastructure management in large cities. In fact, obtained explicit user equilibrium can form the basis for high-speed applications in car navigation systems when evaluation of traffic flows based on the Wardrop's principles. In turn, system optimal solutions can be used for finding the optimal topology of transportation networks in big cities. Bibliogr. 16.
Keywords: Wardrop equilibrium, traffic flows assignment.
1. Введение. В 1952 г. Вардроп предположил, что любая транспортная система по прошествии некоторого времени приходит в равновесное состояние и сформулировал два принципа равновесного распределения транспортных потоков [1]. Согласно первому принципу, «время передвижения по всем используемым маршрутам одинаково для всех участников движения, и меньше времени, которое потратит любой участник движения, изменив свой маршрут», а согласно второму, «среднее время передвижения является минимальным».
Впервые математическую формулировку этих принципов предложил Бек-манн [2]. Впоследствии данная математическая модель стала классической [3] и сейчас есть один из ключевых конструктов в теории транспортных потоков [4, 5]. Среди основных недостатков классической формулировки равновесия по Вардропу, касающихся применения модели на практике, можно выделить два. Первый состоит в чрезвычайно трудоемких вычислениях, когда сеть становится довольно большой [6]. Второй заключается в отсутствии безупречных (используемых всеми) с теоретической точки зрения постановок задачи динамического распределения транспортных потоков [7].
В задаче распределения транспортных потоков мегаполиса нас прежде всего интересует возможность создания эффективных приложений для решения конкретных транспортных проблем. Другими словами, в настоящем исследовании мы заинтересованы в решении задачи распределения потоков больше с точки зрения возможности практического применения полученных результатов. При этом из перечисленных выше недостатков классической формулировки равновесия по Вардропу, в предложенной работе будем рассматривать первый - временные затраты на вычисления. Будем использовать идею, согласно которой транспортную сеть произвольной топологии следует представлять в виде множества пар районов отправления-прибытия, соединенных между собой набором параллельных маршрутов [8]. В результате ее использования удается свести задачу маршрутизации транспорта на произвольной улично-дорожной сети (УДС) к множеству однотипных задач распределения транспортного потока между двумя узлами по параллельным маршрутам и получить равновесные по Вардропу распределения транспортного потока в явном виде. В свою очередь, явный вид таких распределений дает возможность существенно сократить временные затраты на вычисления. Стоит отметить, что подобный подход применялся в предыдущих наших исследованиях [9, 10].
Статья построена следующим образом. Классической математической задаче нахождения равновесия по Вардропу посвящен п. 2. В п. 3 сформулирована задача поиска равновесных по Вардропу распределений для заданных пар районов отправления-прибытия транспортной сети, выявлены необходимые и достаточные условия для нахождения распределения транспортного потока, приводящего к конкурентному равновесию, и распределения транспортного потока, приводящего к системному оптимуму. В п. 4 приведены некоторые комментарии. В п. 5 даны основные выводы по работе.
2. Математическая формализация равновесного распределения транспортных потоков. В качестве модели транспортной сети будем рассматривать ориентированный граф О, состоящий из множества последовательно пронумерованных узлов и множества последовательно пронумерованных дуг [3, 11].
Введем обозначения: N - множество последовательно пронумерованных узлов графа О; А - множество последовательно пронумерованных дуг графа О; К - множество узлов, являющихся районами отправления, К С N; Б - множество узлов, являющихся районами прибытия, Б С N; подразумевается, что К П Б = 0; КГ8 - множество маршрутов между районом отправления г € К и районом прибытия в € Б; ха -транспортный поток по дуге а € А, х = (...,ха,...); ¿а - время передвижения (задержка) по дуге а € А; /Г - транспортный поток по маршруту к € КГ8; Егв - совокупный транспортный спрос между районом отправления г € К и районом прибытия в € Б;
1, если дуга а € А «входит» в маршрут к € Кга\
$аек - индикатор: 5гаьк = л а'К а'к [0, в противном случае.
Математическая формализация первого и второго принципов Вардропа возможна в виде задач минимизации с ограничениями [2], при этом множества ограничений у обеих задач одинаковы и имеют вид
]Г /г = Р™ Уг € К, в € Б, (1)
к ^ К^гБ
к > 0 Ук € КГ8, г € К, в € Б, (2)
при условии, что
= ЕЕ J2 frss::k vaе а, (3)
rERsES kEKrs
целевые же функционалы различаются. Так, для реализации первого принципа Вардропа необходимо при заданных выше ограничениях (1)-(3) решить задачу минимизации
zue(xue) = min^ f da (u)du, (4)
X aEA 0
а в соответствии со вторым принципом при тех же ограничениях - задачу
zso(xso) = min V da(xa)xa. (5)
x z—'
aEA
Говорят [3], что решение оптимизационной задачи (4) с ограничениями (1)-(3) приводит транспортные потоки между парами районов отправления-прибытия к конкурентному равновесию (user-equilibrium), а решение оптимизационной задачи (5) с ограничениями (1)-(3) - к системному оптимуму (system optimum).
3. Оптимальные стратегии распределения транспортных потоков. Трудоемкость нахождения равновесных по Вардропу распределений транспортных потоков возрастает при решении описанных в п. 2 оптимизационных задач, очевидно, с ростом мощностей множеств Krs. В самом деле, чем больше маршрутов из района r в район s имеют одинаковые дуги, тем сложнее становятся вычисления (увеличивается количество индикаторов 6Гк). Более детально ознакомиться с этим феноменом можно в [12]. В то же время на практике не всегда рационально включать в рассмотрение абсолютно все дуги транспортной сети. Бывает, что из-за некоторых дуг (подчас незначительных с практической точки зрения) алгоритм нахождения равновесных по Вардропу распределений транспортных потоков между парами районов отправления-прибытия «зацикливается» вблизи оптимального решения, но так до него дойти и не может [13].
Избежать описанные выше проблемы можно, представив транспортную сеть произвольной топологии в виде множества пар районов отправления-прибытия r-s, соединенных между собой набором параллельных маршрутов Krs. Такое представление базируется на предположении о том, что основные потоки между районами отправления и прибытия не должны пересекаться. Здесь под основными потоками мы понимаем наиболее значимые по своему объему потоки между районами отправления и прибытия, составляющие значительную долю всего объема потоков на УДС. C одной стороны, целесообразность применения данного подхода описана в исследовании [14], согласно которому сужение дороги (использование несколькими маршрутами одной и той же дуги или системы дуг) всегда приводит к возникновению пробок при нарастании потока во времени. С другой стороны, как было показано в [8, 15], для предотвращения проявления в сети парадокса Браесса следует конструировать транспортную сеть таким образом, чтобы из района отправления в район прибытия потоки распределялись по параллельным (непересекающимся) маршрутам.
Предположим, что УДС представлена в виде множества пар районов отправления-прибытия r-s, для каждой из которых множество Krs состоит из параллельных маршрутов. Более того, будем считать, что множества Krs и Kqp для любых районов отправления r и q и районов прибытия s и p не имеют общих дуг. Такое предположение представляется разумным и с практической точки зрения, так как в действительности позволит определять, в каком именно месте необходимо построить мост, виадук или туннель в первую очередь (убрать пересечение между основными транспортными потоками города). Таким образом, получаем, что разные пары районов отправления и прибытия независимы друг от друга в смысле использования соответствующими потоками ресурсов транспортной сети. В связи с этим можно сформулировать задачу равновесного по Вардропу распределения транспортного потока для любой пары районов отправления и прибытия, и полученные результаты смогут быть перенесены на любую другую пару районов.
Перейдем к математической постановке задачи равновесного по Вардропу распределения транспортного потока, в которой транспортная сеть является графом, состоящим из двух узлов (районы отправления и прибытия) и n параллельных дуг. В качестве функции задержки выберем BPR-функцию, довольно часто применяемую на практике Бюро общественных дорог (Bureau of Public Road) США, осуществляющего мониторинг трафика при изучении движения транспорта по отдельным сегментам УДС [16].
Введем обозначения: i - номер маршрута, i G {1,n}; F > 0 - объем общего транспортного потока из района отправления в район прибытия; fi ^ 0 - объем
транспортного потока, направляемого по г-му маршруту; / = (/1,...,/п) - вектор распределения транспортного потока по п маршрутам; г0 - время свободного движения по г-му маршруту; е, > 0 - пропускная способность г-го маршрута; ], (/,) > 0 -функция задержки потока /, на маршруте г.
В предложенных обозначениях ВРИ-функция имеет следующий явный вид:
]/)= г
1+ (
Уг е {\,п}.
В общем случае в является параметром, который определяется в процессе калибровки функции на реальных данных, здесь будем считать в = 1:
+ Уге{1,п}.
С учетом этого задача (4) преобразуется таким образом:
п
»-е(г) = ™Ё + (в)
а задача (5) -
п
г=1 ^ г '
Опишем множества ограничений для каждой из задач (6) и (7):
(7)
Т./ = Е, (8)
г=1
V» = (9)
Итак, получаем две задачи оптимизации: задачу (6) с ограничениями (8), (9), решение которой приводит транспортный поток к конкурентному равновесию, и задачу (7) с ограничениями (8), (9), решение которой приводит транспортный поток к системному оптимуму. Справедлива следующая
Лемма. /ие приводит транспортный поток к конкурентному равновесию (задача (6), (8), (9)) тогда и только тогда, когда существует неотрицательное иие (множитель Лагранжа) такое, что
Ф^) V г е {!,«},
> шив при /ие = 0,
а приводит транспортный поток к системному оптимуму (задача (7)-(9))
тогда и только тогда, когда существует неотрицательное (множитель Лагранжа) такое, что
с, /\ > при = 0,
Доказательство. Воспользуемся условиями теоремы Куна-Таккера. Заметим, что в силу выпуклости целевых функционалов (6) и (7), а также области
е
допустимых решений (8), (9), условия Куна-Таккера являются как необходимыми, так и достаточными. Построим лагранжианы для задачи (6), (8), (9):
п / / \ ( п \ п
г=\{ ^ \ г=1 ) г=1
0
и задачи (7)-(9):
ь8° = (1 + - )л+■(р - Е л) +
Продифференцируем оба лагранжиана по / и, приравняв полученные выражения к нулю, получим для Ьие
/ие 4
ие 10 1-\ | 31 \ ие
и (1 + — ) - %
а для Ьв
/ в<
= *?( 1 + 2^- ) -77?°.
С
^ие = ¿011 +
Воспользовавшись условием дополняющей нежесткости для Ьие, находим, что ПГ/Г = 0. Данное равенство имеет место, когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю. Таким образом, если /ие > 0, то с необходимостью = 0, и тогда
/ и( ■) г
С%
Если же /ие = 0, то Пие ^ 0, откуда
иие = ¿0 - пие, (10)
из этого вытекает, что шие ^ ¿0. Следовательно, можно утверждать, что шие ^ ¿0( 1 + Щ-) при /Г = 0.
Аналогичные рассуждения для Ьв° приводят к тому, что если /в° > 0, то с необходимостью пв° = 0, и тогда
/ / в и;80 = 1 +
Если же / в° = 0, то пв° ^ 0, откуда
= ¿0 - пв°, (11)
из этого вытекает, что шв° ^ ¿0. Таким образом, можно утверждать, что шв° ^ ¿0( 1 +
2Щ-) при П° = 0. Лемма доказана.
Следствие. /ие приводит транспортный поток к конкурентному равновесию (задача (6), (8), (9)) тогда и только тогда, когда существует неотрицательное иие (множитель Лагранжа) такое, что
/Г = {(*?- 1)Сг ПРИ < "Ие' V < € {1,п}, (12)
\ 0 при ¿0 > Шие, ^ '' ^ '
С
а /приводит транспортный поток к системному оптимуму (задача (7)-(9)) тогда и только тогда, когда существует неотрицательное (множитель Лагран-жа) такое, что
[ о при >
Доказательство. Для (6), (8), (9) выразим / через иие при / > 0:
и = ~ > 0,
таким образом,
иие > 10. (13)
Аналогично, для (7)-(9) выразим / через при / > 0:
следовательно,
ша° >10. (14)
Используя выражения (13) и (14), получаем правило определения номеров г маршрутов, потоки по которым должны быть положительными, а благодаря выражениям (10) и (11) - правило определения номеров г маршрутов, поток по которым должен быть нулевым в случаях конкурентного равновесия и системного оптимума соответственно.
Следствие доказано.
Без умаления общности, перенумеруем маршруты так, чтобы
г1 <4 < ...<С (15)
Тогда справедлива такая теорема:
Теорема. Конкурентное равновесие в задаче (6), (8), (9) при условии (15) достигается реализацией следующих стратегий распределения транспортного потока:
С££+Е|=1_££. _ г. ттПИ 1 <- иие
„ие I ¿0 с - Сг при I К, ,
1Г = { 4 V г € {1, п}, (16)
о при г > кие,
где кие может быть найдено из условий
I «ОН^ФОтН-
Системный оптимум в задаче (7)-(9) при условии (15) достигается реализацией следующих стратегий распределения транспортного потока:
Ci з=1 а
Тг = \ г ^ V г € {1 ,п\, (18)
о при г > к8°,
где кв° может быть найдено из условий
1 кО (г0.о \ „ 1 А0
00 ,= 1 \ ) 2 г=1 \ /
Приведем доказательство для конкурентного равновесия. Доказательство для системного оптимума строится аналогичным образом, используя ту же методику.
Введем кие е {1, п} такое, что при условии выполнения (15) г°кие < иие, а г°кие+1 ^ иие. Тогда, подставив в (8) выражение из (12), имеем
/ у ■>г \ г0
г=1 г=1 г
следовательно,
р .у, кие е
= • (20) 1
Подставив (20) в (12), с учетом (15) получаем (16).
Для нахождения значения кие рассмотрим следующую функцию:
кие / \
%к) = Ет-1
го
г=1 \ г /
которая является возрастающей. Тогда из неравенств г°кие < иие < г° 3(гк^^) < 3(иие) ^ 3(¿кие+1), что окончательно позволяет вывести условия (17).
Теорема доказана.
4. Комментарии к предложенной постановке. Полученные результаты могут представлять интерес с практической точки зрения, поскольку выражения для вычисления как конкурентного равновесия, так и системного оптимума выведены в явном виде. Напомним, что в общем случае для нахождения равновесных по Вар-дропу распределений приходится использовать трудоемкие алгоритмы [12, 13], а это может затруднять применение концепции равновесного распределения в системах навигации. В таких условиях реализация подхода, основанного на построении «распутанных» множеств маршрутов КГ8, для всех пар районов отправления-прибытия т-з, по нашему мнению, вполне приемлемая мера. Более того, данный подход представляется разумным и для конструирования оптимальной УДС города [9].
Опираясь на приведенные результаты, можно давать рекомендации о требуемых характеристиках УДС города для оптимизации управления транспортными потоками. Согласно решениям (16) и (18), можно утверждать, что в случае как конкурентного равновесия, так и системного оптимума могут появиться маршруты, время движения по которым будет считаться слишком большим. В самом деле, /ие = 0 при г ^ кие и = 0 при г ^ кя°, маршруты с таким номерами считаются неэффективными и могут быть отброшены. Процедура получения такого рода информации может служить крайне важным инструментом для лиц, принимающих решения в области управления инфраструктурой УДС города. Эта информация прежде всего позволит выявить приоритетные улицы (системы улиц) для вложения средств при ремонте/реконструкции.
Согласно условию (17), выясняем, что неэффективными маршрутами являются те, время движения по которым
,о > F + Y,j=i сг /91ч
для случая конкурентного равновесия и, согласно условию (20)
Ci
ЕК-" Ci i= 1
p I V —
&.+1 > 2 tbn1 2 (22)
>¿=1 t°
для случая системного оптимума. Другими словами, как только достигаются выполнения условий (21) и (22), все маршруты, начиная с kue + 1 и kso + 1, следует исключать при использовании в процессе реструктурирования УДС концепций конкурентного равновесия или системного оптимума соответственно.
5. Заключение. В данной работе была рассмотрена задача нахождения равновесного по Вардропу распределения транспортных потоков города с помощью линейной BPR-функции задержки и особого вида множества маршрутов между районами отправления и прибытия. Решения сформулированных оптимизационных задач получены в явном виде: конкурентное равновесие и системный оптимум. На основе этих решений можно разработать быстродействующие приложения для систем навигации автомобилей в потоках большого объема, опирающихся при оценке транспортного потока автомобилей, не пользующихся навигационным оборудованием, на принципы Вардропа. Более того, полученные результаты могут быть учтены при решении инфраструктурных проблем УДС большой размерности.
Литература
1. Wardrop J. G. Some theoretical aspects of road traffic research // Proc. Institution of Civil Engineers. 1952. Vol. 2. P. 325-378.
2. Beckmann M. J., McGuire C. B., Winsten C. B. Studies in the Economics of Transportation. New Haven, CT: Yale University Press, 1956. 359 p.
3. Sheffi Y. Urban transportation networks: equilibrium analysis with mathematical programming methods. New Jersey: Prentice-Hall Inc; Englewood Cliffs, 1985. 416 p.
4. Yang H., Huang H.-J. The multi-class, multi-criteria traffic network equilibrium and systems optimum problem // Transportation Research. Pt B. 2004. Vol. 38. P. 1-15.
5. Введение в математическое моделирование транспортных потоков / под ред. В. А. Дружининой, И. А. Волковой. М.: Моск. физ.-тех. ин-т, 2010. 360 с.
6. Алиев А. С., Стрельников А. И., Швецов В. И., Шершевский Ю. З. Моделирование транспортных потоков в крупном городе с применением к Московской агломерации // Автоматика и телемеханика. 2005. № 11. С. 113-125.
7. Tong C. O, Wong S. C. A predictive dynamic traffic assignment model in congested capacity-constrained road networks // Transportation Research. Pt B. 2000. Vol. 34. P. 625-644.
8. Korilis Y. A., Lazar A. A., Orda A. Architecting noncooperative networks // IEEE Journal on selected areas in communications. 1995. Vol. 13, N 7. P. 1241-1251.
9. Захаров В. В., Крылатов А. Ю. Системное равновесие транспортных потоков в мегаполисе и стратегии навигаторов: теоретико-игровой подход // Математическая теория игр и ее приложения. 2012. № 4(4). С. 23-44.
10. Zakharov V., Krylatov A., Ivanov D. Equilibrium traffic flow assignment in case of two navigation providers // Collaborative Systems for Reindustrialization. Proc. of the 14th IFIP Conference on Virtual Enterprises PRO-VE 2013. Dresden: Springer, 2013. P. 156-163.
11. Швецов В. И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2003. № 11. С. 3-46.
12. Frank M., Wolfe P. An algorithm for quadratic programming // Naval Research Logistics Quarterly. 1956. Vol. 3. P. 95-110.
13. Швецов В. И. Алгоритмы распределения транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2009. № 10. С. 148-157.
14. Do,go,nzo C. F. The cell transmission model: A dynamic representation of highway traffic consistent with the hydrodynamic theory // Transpn. Res. B. 1994. Vol. 28. P. 269-287.
15. Korilis Y. A., Lozor A. A., Orda A. Avoiding the Braess paradox in non-cooperative networks // J. Appl. Prob. 1999. Vol. 36. P. 211-222.
16. Horowitz A. J. Delay/Volume Relations for Travel Forecasting Based upon the 1985 Highway Capacity Manual. Milwaukee: Department of Civil Engineering and Mechanics University of Wisconsin — Milwaukee, 1991. 87 p.
References
1. Wardrop J. G. Some theoretical aspects of road traffic research. Proc. Institution of Civil Engineers, 1952, vol. 2, pp. 325-378.
2. Beckmann M. J., McGuire C. B., Winsten C. B. Studies in the Economics of Transportation. New Haven, CT: Yale University Press, 1956, 359 p.
3. Sheffi Y. Urban transportation networks: equilibrium analysis with mathematical programming methods. New Jersey: Prentice-Hall Inc.; Englewood Cliffs, 1985, 416 p.
4. Yang H., Huang H.-J. The multi-class, multi-criteria traffic network equilibrium and systems optimum problem. Transportation Research. Pt B., 2004, vol. 38, pp. 1-15.
5. Vvedenie v matematicheskoe modelirovanie transportnyh potokov (Introduction to mathematical modeling of traffic flows). Pod red. V. A. Drujinina, I. A. Volkova. Moscow: Moscow Institute of Physics and Technology, 2010, 360 p.
6. Aliev A. S., Strelnikov A. I., Shvetsov V. I., Shershevskii Yu. Z. Modelirovanie transportnyh potokov v krupnom gorode s primeneniem k Moskovskoj aglomeracii (Modeling of the city transport flows as applied to the Moscow agglomeration). Avtomatika i telemehanika, 2005, no. 11, pp. 113-125.
7. Tong C. O., Wong S. C. A predictive dynamic traffic assignment model in congested capacity-constrained road networks. Transportation Research. Pt B., 2000, vol. 34, pp. 625-644.
8. Korilis Y. A., Lazar A. A., Orda A. Architecting noncooperative networks. IEEE Journal on selected areas in communications, 1995, vol. 13, no. 7, pp. 1241-1251.
9. Zakharov V. V., Krilatov А. Yu. Sistemnoe ravnovesie transportnyh potokov v megapolise i strategii navigatorov: teoretiko-igrovoj podhod (System optimum of traffic flows in megapolis and strategies of navigation providers: theoretic game approach). Matematicheskaya teoriya igr i eyo prilozheniya, 2012, no. 4(4), pp. 23-44.
10. Zakharov V., Krylatov A., Ivanov D. Equilibrium traffic flow assignment in case of two navigation providers. Collaborative Systems for Reindustrialization. Proc. of the 14th IFIP Conference on Virtual Enterprises PRO-VE 2013. Dresden: Springer, 2013, pp. 156-163.
11. Shvetsov V. I. Matematicheskoe modelirovanie transportnyh potokov (Mathematical modeling of traffic flows). Avtomatika i telemehanika, 2003, no. 11, pp. 3-46.
12. Frank M., Wolfe P. An algorithm for quadratic programming. Naval Research Logistics Quarterly, 1956, vol. 3, pp. 95-110.
13. Shvetsov V. I. Algoritmy raspredelenija transportnyh potokov (Algorithms for distributing traffic flows). Avtomatika i telemehanika, 2009, no. 10, pp. 148-157.
14. Daganzo C. F. The cell transmission model: A dynamic representation of highway traffic consistent with the hydrodynamic theory. Transpn. Res. B., 1994, vol. 28, pp. 269-287.
15. Korilis Y. A., Lazar A. A., Orda A. Avoiding the Braess paradox in non-cooperative networks. J. Appl. Prob., 1999, vol. 36, pp. 211-222.
16. Horowitz A. J. Delay/Volume Relations for Travel Forecasting Based upon the 1985 Highway Capacity Manual. Milwaukee: Department of Civil Engineering and Mechanics University of Wisconsin -Milwaukee, 1991, 87 p.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 19 декабря 2013 г.
