Применение уравнений Эйлера-Лагранжа к решению задачи динамики системы «Мост-поезд» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ, С. П. РУСУ, В. Е. АРТЕМОВ (ДИИТ)

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ «МОСТ-ПОЕЗД»

Розглянуп питання застосування piBHaHb Ейлера-Лагранжа до ршення 3aAa4Î вимушених коливань сис-теми «мiст-поïзд». Враховуються динамчт особливостi рухомих навантажень та прогонових будов моспв.

Рассмотрены вопросы применения уравнений Эйлера-Лагранжа к решению задачи вынужденных колебаний системы «мост-поезд». Учитываются динамические особенности подвижных нагрузок и пролетных строений железнодорожных мостов.

The questions of application of the Euler-Lagrange equations to the decision of forced vibration problem of system «bridge-train» are considered. The account of dynamic features of moving loading and bridge span beams are made.

Вынужденные колебания подвижного со- необходимо учитывать динамические особен-става при высоких скоростях движения не мо- ности железнодорожных нагрузок. гут рассматриваться независимо от вызывае- Рассмотрим совместные пространственные мых ими колебаний моста. В свою очередь, при колебания системы «мост-поезд», где каждый проектировании моста под железную дорогу элемент моделируется системой связанных

твердых тел (рис. 1).

1

ér VA

о;;

■Э» к:

L L с

о;,« о; 2 £ С-1

■А

loi

к,-

Рг к

p.

w

■p. ьМ3]

Динамическая схема грузового состава на пролетном строении моста

1 - кузов вагона;

2 - тележка;

3 - колесная пара;

4 - пролетное строение.

Рис. 1. Динамическая модель системы «мост-поезд».

Так, балочная конструкция пролетного строения разделяется на участки, в пределах которых поперечные сечения элементов и из-гибные жесткости считаются постоянными. Каждый участок балки моделируется твердым телом с соответствующими геометрическими и

инерционными характеристиками и может совершать, в общем случае, пространственные поступательные и вращательные движения. Твердые тела связаны друг с другом посредством упругих связей-стержней, обладающих жесткостными характеристиками исходной

конструкции балки. Такая модель позволяет описать пространственные упругие колебания пролетного строения моста, используя конечное число степеней свободы. Также предполагается, что материал следует закону Гука, а деформации малы.

В свою очередь, каждый вагон поезда рассматривается в виде системы таких твердых тел, как колесные пары, рамы тележек, кузов, груз и другие детали вагона. В качестве связей между телами учитывается рессорное подвешивание и связи в автосцепках между вагонами [2].

Для динамической модели поезда, состоящего из четырехосных грузовых вагонов, приняты следующие допущения:

- жесткости несущих конструкций вагона, ходовых частей и рессорного подвешивания являются постоянными величинами. Комплект рессорного подвешивания заменен пружинами эквивалентной жесткости;

- жесткости кузова, рам тележек, колесных пар значительно превышают жесткость рессорного подвешивания, и моделируются твердыми телами.

Математическая модель колебаний системы «мост-поезд» сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка, основанной на законах сохранения энергии в форме уравнений Эйлера-Лагранжа с учетом различных видов упругого и неупругого сопротивлений и нелинейностей [4].

Для получения общего уравнения динамики системы «мост-поезд» будем исходить из дифференциальных уравнений движения центров масс всех её элементов в форме второго закона Ньютона [5]:

та = Ц + Я; 1 = 1,2,..., И, (1) где N - количество элементов системы; т1 -масса 1 -го элемента системы; - ускорение центра масс 1 -го элемента; - главный вектор активных сил, приложенных к центру масс 1 -го элемента; Я - главный вектор реакций связей, наложенных на 1 -й элемент системы.

Для исключения реакций связей скалярно умножим каждое из уравнений (1) на соответствующее возможное перемещение центра масс 1 -го элемента «г:

N

N

N

та - «г = ( Я+Я )-«г

(2)

Складывая полученные произведения, приходим к уравнению:

Iта-«г =1Ъ-«г +1Я-«г. (3)

1=1 1=1 1=1

Предполагая, что все связи, наложенные на систему, являются идеальными, и работа их реакций на соответствующих возможных перемещениях равна нулю, приходим к общему уравнению динамики системы:

N N

I та -«г = 1Ъ -«г. (4)

1=1 1=1

В каждый фиксированный момент времени ^ возможное перемещение «г вычисляется по формуле:

«г, = г (41 +«Чl,.,4п + «4п,{) -

дг

-г (42,.,4п,0 = 1дГ-«4' (5) з=1 д4з

где дз - перемещения центров масс элементов системы (обобщенные координаты); п - количество обобщенных координат; 5дз - вариации

обобщенных координат.

В качестве обобщенных выбирают такие координаты, для которых матрицы инерционных, квазиупругих и диссипативных коэффициентов имеют простейшую форму [6].

Выражая уравнение (4) через производную по времени ^ (точкой принято обозначение производной по времени), аналогично [4], получим общее центральное уравнение: л N

—I тV-«г = «Т + «Ж +

Л*

N Г "1

+1 туг («г) -«у1 , (6) 1=1 - -где V 1 - скорость центра масс 1 -го элемента системы; Т и «Т - соответственно кинетическая энергия системы и её вариация:

1 N 1 N

Т = -1т^, «Т = -«Iту]; (7)

21=1

=1

«Ж - элементарная работа активных сил:

N

«ж = 1 ъ -«г .

(8)

=1

Для упрощения процесса составления уравнений движения, более приемлемыми будут уравнения Эйлера-Лагранжа, в которых, в отличие от уравнений Лагранжа, вместо обобщенных скоростей вводятся квазискорости

и вариации квазикоординат «п з [4]:

юз = ^д1 + . + ^¿¡п = I ^¿¡г , (9)

N

г=1

«пз = аз1«41 + ••• + азп«4п ^азг«4г . (10)

г=1

Выражая каждое слагаемое уравнения (6) через квазискорости и вариации квазикоординат, получим:

N

I - «г = I р*- «пз; (11)

1=1

з=1

«Т ^

з=1

дТ

дТ

\

д «Юз - «пз

дю„ дп„

; (12)

п N дг

«Ж = ЦЯ —-«П, =

з=1 1=1 дпз

п N дг

^«п IЯ д-; (13) 3=1 1=1 дпз

з =1

I Рз- («пз )-«4з ^ Р**- («пг )-

г=1

.=1 т=1

(14)

где р рз - обобщенные импульсы, отнесенные к квазискорости и обобщенной координате

соответственно:

дТ

Рз =д—, Рз =

дю„

дТ д4з

«юг - вариации квазискоростей:

п

«®г ^«(оА);

(15)

(16)

з=1

т - трехиндексные символы Больцмана [4]:

У . ,т

I да , да

\

зк зг

к=1 г=11 д4г д4г

Ьг.Ькт ,

е =! р- ^.

б ¿Г дпз

(19)

Полученные зависимости позволяют записать общее центральное уравнение (6) в квазикоординатах:

И п дТ п

—I—-«пз = «т+I +

дШз ^ £ з ^

п

дТ

--(«пз )-«юз

7=1 ¿4 V } з

п п п

-I I I у Г, I1ю-«V «

г=1 .=1 з=1 г

Представим левую часть уравнения (20) в виде:

И А дТ _ -1--«Пз =

— з =1 дюз

= I

з=1

«п„ -

I дТ ^

дю

V з У

дТ дю

(ч)

(21)

и после упрощений приходим к соотношению:

дТ

«п

3 =1

I дТ ^

дю

V з У

г

г=1 .=1

дю

-— - е

дп„

= 0, (22)

из которого получаем уравнение Эйлера-Лагранжа [3; 4]:

I дТ

дю

V з

п п дТ

и ,з

"Иг г

дТ

дю

О.--= бз. (23)

дп„

г=1 .=1

Для решения системы дифференциальных уравнений (23) необходимы дополнительные условия, учитывающие кинематику движения системы:

¿4 = Ь 1ю1 + ... + Ь ю =!Ь

"г г1 1 гп п / , г

ю

(24)

з,т = 1,...,п. (17) Принимается, что матрица коэффициентов А = {азг} , з,г = 1,.,п, невырожденная, т. е.

det (А)^ 0. Тогда матрица В = {Ьзг} связана с матрицей А соотношением:

В = А"1 или А-В = В-А = Е . (18) Введем обобщенную силу бз, отнесенную к квазикоординате:

з=1

Рассмотрим движение системы координат Х1, связанной с центром масс 1 -го элемента относительно неинерциальной системы координат CXi, движущейся в абсолютной (инер-

циальной) системе О . Движение системы CXi в абсолютной системе координат О будет переносным, а локальной системы Xi -относительным (рис. 2).

Рис. 2. Расчетная схема грузового вагона и пролетного строения моста.

Радиус-вектор гс определяет переносное а также проекции вектора угловой скорости движение системы координат СХ1, а радиус- координатной системы Х. на те же оси: вектор г/с) - относительное движение локальной системы Х{. Тогда радиус-вектор абсолютного движения г. равен:

®4 =гас, х; га =гас, у;

= га„ ,.

(29)

г = г + г

(с)

(25)

Составим дифференциальные уравнения

Абсолютная скорость системы координат движения .-го элемента системы. В координатной форме выражение кинетической энергии примет вид:

Т =1 т ( х + V2, у + V2, г)+

Х1 состоит из поступательной скорости vc и

вращательной скорости гас х г

г (с)

(с) .

V. = V + га х г;

(26)

Формула для выражения кинетической энергии движения этого элемента примет вид:

Т. = 1 [т?С + 2т, (с хгас ) • г,(с) +

+ ®с -0,- -®с] , (27) где га -е, -га = т(гахг/с))-(®схг/с))' е» -

тензор инерции элемента в системе CXi.

Примем в качестве квазикоординат проекции вектора линейной скорости координатной системы Х1 на оси системы координат СХ1:

+т

. (V га • Гс) - V га • Ас)) +

. \ с,у с,я ,,х с,я с,у ,,х )

+т. (V га • г^с) - V га • г1-^) +

, у с,я с,х ,,у с,х с,я ,,у у

+т. (V га • г^с) - V га • г^с)) +

.у с,х с,у ,,я с,у с,х ,,я у

+1 (е. га2 +е. га2 +е. га2 ). (30)

2 \ х с,х у с,у я с,я) у '

Найдем поочередно частные дифференциалы кинетической энергии . -го элемента системы по указанным квазискоростям га^ .

Так, производная по квазискорости гах:

га1 = vc, х;

га2 = vc, у;

дТ дТ 1 ду2

■ = — т..

(28)

дга, 2 1 дv„

дVc,х (с)

-т гас, у • гу =

= с,х + тгас,у • г?- (31)

Производные по квазискоростям ю2 и ю3

имеют аналогичный вид с соответствующей циклической перестановкой индексов х, у, г .

Производная по квазискорости ю4 (а также по квазискоростям ю5 и ю6 с соответствующими индексами):

дТ дТ 1 дюс

сх - г(с) -

— =- = _ mivc г

дю. дю„2 ' дю

1 дюс,х (с) 1 дю

—mv

2 1 с'у дю

-г(с> +-е1

2

с, х

дюс

=1 т. (V -г(с) - V -г(с) ) + е. ю . (32)

2 1\ с,г 1,у с,у 1,г ) 1,х с,х у '

Проведем дифференцирование по времени полученных частных производных кинетической энергии. Уравнения разделяются на две группы: отвечающие поступательному (33) и вращательному (34) движению, соответственно.

И дТ

--= mV + т■ ю -г(с);

ь ^ 1 с,х 1 с, у 1, г '

— дю1 7

— дТ . . (с) --- = ту + тю -г ';

1, ^ 1 с, у 1 с, г 1,х '

И. дю2 7

И дТ

(33)

= тл> + тю -г.( с);

ь ^ 1 с, г 1 с,х 1, у '

а. дю, 7

^ = 1 т. ( -г(с) -V -г(с))-

гх 1\ с,г 1,у с,у 1,г )

И _ат_ _ 1

И. дю4 2

+е1, хю с, х;

И^ =1 т ( -г(с) - V т(с)) + И. дю5 2 1V с'х 1'г с'2 ^ '

(34)

+е1, ую с, у;

И дТ 1

= — т. ( ,. -г>~' - V,

И. дю6 2

*

(с)

с,у ' /,х

•г(с))-

,х 1, у )

+е . ю .

1, г с, г

( дТ ^

дv

V сх У

дТ

-ю„,,--ю

с у

дv

«г^=■ (35)

с,г с,у

а также с учетом (34) и использованием квазискорости ю4 =юсх, отражающей угловую скорость:

дТ

дюс

ю

с у

с,х у

дТ

дюс „

дТ

--ю„

дюс

с у

+v„

с у

дТ

oV„ _

дТ

ду„

= Мх, (36)

с у

где М - главный момент системы сил относительно осей, связанных с 1 -м элементом; Я -главный вектор сил в проекциях на эти оси.

По аналогии, используя циклическую перестановку индексов, из уравнений (35)-(36) получим выражения, соответствующие остальным квазикоординатам.

Рассмотрим связи, действующие на элементы системы: упругие стержни, пружины и демпферы.

Так, для стержня зависимости упругих сил от координат задаются линейными соотношениями:

Ъ(с) =-! сз,к ,

(37)

к=1

где С =

С = {сз,к }

симметричная матрица жестко-

сти. Потенциальная энергия деформированного стержня в этом случае будет равна:

П = 21¿сз,к4з4к = 24'-С - 4, (38)

2 з=1 к=1 2

где д ,4 - столбец и строка обобщенных координат, соответственно.

Для линейной пружины упругость аналогична приведенной для стержня, с матрицей жесткости, содержащей только диагональные элементы к1, к2, к3 (рис. 1).

Для демпфера (диссипативная связь), сила сопротивления движению направлена противоположно скорости движения:

Ъ(И} =-р

vj - vj

; ] = 1,., п, (39)

Представим уравнение Эйлера-Лагранжа (23) в координатной форме с учетом (33) и использованием квазискорости ю1 = vc х, отражающей линейную скорость:

где V - геометрическая разность векторов переносной и абсолютной скорости; V - квазискорость; в - коэффициент вязкости.

Уравнения (35)-(36) представляют возможность эффективно использовать особенность составных систем, учитывать повторяющуюся структуру и рассматривать их отдельные блоки (подсистемы).

В общем случае, для рассматриваемой системы (рис. 2) количество уравнений будет 12N : по 3Ы - для поступательного (35) и вращательного (36) движения, и 6N - для кинематических связей (24).

Решение уравнений можно проводить одним из численных методов с желаемой точностью для различных случаев, в том числе, и с учетом нелинейностей, влияние которых на динамические характеристики системы «мост-поезд» будет весьма существенным. Такие нелинейности обусловлены, в частности, криволинейностью профиля поверхности катания колеса, зазорами в соединениях несущих узлов ходовых частей, действием сил сухого трения в опорах кузова на тележки, в опорных частях пролетных строений и другими факторами [1; 7]. Следует также отметить, что полную характеристику поведения моста, особенно гибких систем, в резонансной зоне можно получить только с помощью методов нелинейной механики.

Предлагаемый подход позволяет найти линейные и угловые перемещения, скорости, силы и моменты реакций в связях, и приводит к простым алгоритмам, удобным для программирования на ЭВМ. Расчеты могут проводиться также для ускоренного и замедленного движений, т. е. для случая торможения или разгона поезда на пролете моста.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бондарь Н. Г. Взаимодействие железнодорожных мостов с подвижным составом / Н. Г. Бондарь, Ю. Г. Козьмин, З. Г. Ройтбурд и др. - М.: Транспорт, 1984 - 272 с.

2. Гарг В. К., Дуккипати Р. В. Динамика подвижного состава. / Под ред. Н. А. Панькина. - М.: Транспорт, 1988 - 391 с.

3. Кравец В. В. Математическая модель пространственных колебаний сталежеле-зобетонного пролетного строения / В. В. Кравец, С. Е. Блохин // Динамические характеристики механических систем - К.: Наукова думка, 1984, - С. 48-53.

4. Лурье А. И. Аналитическая механика. -М.: Физмат, 1961 - 820 с.

5. Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. - М.: Наука, 1987 - 320 с.

6. Ушкалов В. Ф. Математическое моделирование динамики рельсовых транспортных средств / В. Ф. Ушкалов, Л. М. Резников, В. С. Иккол и др. - К.: Наукова думка, 1989 - 240 с.

7. Fryba L. Dynamics Of Railway Bridges -Academia Praha, 1996 - 331 p.

Поступила в редколлегию: 30.03.2007.