CC BY
7ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
67
вающий входящие в выражение для е величины. Приведем следующие оценки (в размерных величинах): m ~ 1033 г, масса оболочки ß = 1032 г, r ~ 1017 см, w~ 107 см/с [2]. Тогда R ~ 1011 см, r/R ~ 106, а = ß/ (4nr2) ~ 10-3 г/см2, Q w 4п Gma/ww 4npr2w^. Отсюда получаем р w Gma/(r w^) ~ 10 25 г/см3, что примерно соответствует плотности звездного ветра в Солнечной системе. Величина Ь обычно очень мала, но может быть существенна при слабом ветре, когда w~ 108 w1/3 (в системе СГС).
5. Бутылкообразные формы. Особенностью уравнения (6) в случае общего положения (Ь = 0, е = 0) является то, что наряду с ограниченными осесимметричными оболочками (как замкнутыми, так и незамкнутыми) всегда имеются неограниченные бутылкообразные оболочки, которые соответствуют сепаратрисе, уходящей на бесконечность при в — 0 или в — п.
Здесь возможны три качественно различных случая, которые иллюстрируются приведенными на рис. 2 численными решениями уравнения (6) на плоскости (rc,z) для знака " —" (при противоположном знаке "горлышко бутылки" поворачивается в другую сторону; границы области существования решений показаны пунктирными линиями). В первом случае (рис. 2, а: Ь = 0,15, е = 0,5) на плоскости (r, в) сепаратриса продолжается на весь интервал в € (0; п) и начало координат находится внутри "бутылки"; при этом "на дне бутылки" имеется коническая впадина. Во втором случае (рис. 2, б: Ь = 0,15, е = 1,1) на плоскости (r, в) сепаратриса пересекает ось в при в < п, так что бутылкообразная оболочка выходит из начала координат. Наконец, в третьем случае (рис. 2, в: Ь = 0,03, е = 0,5) сепаратриса выходит на границу области существования решения и "бутылка" оказывается без "дна".
Работа поддержана грантами РФФИ (проекты № 05-01-00375, 05-01-00839, 08-01-00026, 08-01-00401) и грантами Президента РФ (проекты НШ-4474.2006.1, МК-9352.2006.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Golubiatnikov A.N., Doroshenko T.A. On the dynamics of the conducting envelope of a magnetic star // Gravitation and Cosmology. 2006. 12, N 2-3. 140-143.
2. http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap050924.html; http://www.astronet.ru/db/msg/1188533.
3. Поляченко В.Л., Фридман А.М. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем. М.: Наука, 1976.
4. Протозвезды и планеты: В 2 ч. / Под ред. Т. Герелса; Пер. с англ. под ред. В. И. Мороза. М.: Мир, 1982.
5. Краснобаев К.В. Неустойчивость тонкой фотоиспаряемой околозвездной оболочки // Письма в "Астрономический журнал". 2004. 30, № 7. 500-505.
Поступила в редакцию 28.03.2007
УДК 531.36
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ОДНОКОЛЕСНОГО РОБОТА
Д. А. Лебедев
В работе рассматриваются вопросы устойчивости и стабилизации неголономной механической системы, которая описывает движение одной из возможных моделей одноколесного робота.
Рассматриваемая модель робота представляет собой совокупность четырех твердых тел: диска, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания; твердого тела (маятника), соединенного с центром диска цилиндрическим шарниром; кольца — твердого тела, вращающегося относительно оси, лежащей в плоскости диска; ротора — симметричного твердого тела, вращающегося относительно оси, закрепленной в кольце. Центр масс кольца находится в плоскости диска и принадлежит прямой, которая содержит центры масс диска и тела. Ось вращения ротора находится в плоскости, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, а центр масс ротора не совпадает с центром кольца.
Для описания движения моноцикла используем неподвижную систему координат Охуг, связанную с опорной плоскостью, и полусвязную систему координат О^пС с началом в центре диска (ось О\П направлена по линии наибольшего ската диска вверх, а ось перпендикулярна плоскости диска). Пусть X и У — горизонтальные координаты центра диска; ф, в, р — углы Эйлера, задающие положение диска относительно неподвижной системы; р\ — угол между линией наибольшего ската диска и прямой, на которой
68
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
находятся центры масс диска и тела (осью тела); 0\ — угол отклонения оси ротора от плоскости диска; а — угол поворота ротора (рисунок). Таким образом, движение системы описывается восемью обобщенными координатами. Обозначим радиус диска, расстояние между центрами масс диска и тела, расстояние от центра кольца до центра диска и расстояние между центрами масс кольца и ротора соответственно через а, Ь, к. Масса диска, тела, кольца и ротора равна соответственно т\, т2, тз, т4.
Условие отсутствия проскальзывания диска накладывает на движения системы ограничения в виде неголономных связей:
XX = —а(9 соэ(9) эт(ф) + ф эт(9) соэ(ф) + фсоэ
V = а (9 соэ(9) соэ(ф) — ф эт(9) эт(ф) — ф эт
Уравнения движения рассматриваемой модели робота в форме уравнений Эйлера-Лагранжа имеют вид [1]
й дТ ^ ^
3 г=1г=1+1
Г
Ъз
дТ дщ>
Щ
дТ
дпз
= Р
(1)
здесь Т — кинетическая энергия системы, выраженная через квазискорости Wi; Рз — обобщенные силы, отнесенные к квазикоординатам пз; ¿пз = ^з а3] dqj — дифференциалы квазикоординат; а8у — матрица перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям; т[з — трехиндексные символы Больцмана.
Анализ уравнений движения позволяет сделать вывод о том, что координаты ф, ф и а являются циклическими в смысле определения [2, 3], а ф1, 9, О1 — позиционными.
Уравнения движения (1) рассматриваемой системы при отсутствии управляющих сил допускают частные решения, которые в исходных переменных имеют вид
<1 = <¿>10, ф 1 =0, 9 = 9о, 9 = 0, 91 = 910, <91 = 0, ф = ш, ф = О, а = Ог.
(2)
Эти соотношения описывают стационарные движения (с.д.) системы. Постоянные из (2) удовлетворяют пяти уравнениям стационарных движений (уравнение для а обращается в тождество). Анализ уравнений (2) показал, что с.д. возможны при условии, что ось тела совпадает с линией наибольшего ската диска, т.е. когда э1п(фю) = 0.
Выделим некоторые частные случаи стационарных движений:
1) прямолинейное качение: ш = 0, О = 0, Ог = 0, 9 = п/2, 91 = 0;
2) верчение: ш = 0, О = 0, Ог = 0, 9 = п/2, 91 = 0;
3) качение робота, при котором центр диска описывает окружность в горизонтальной плоскости; радиус окружности определяется уравнениями стационарных движений.
Для исследования устойчивости стационарных движений положим в возмущенном движении ф1 = <10 + Х1, 9 = 9о + Х2, 91 = 9ю + Хз, ф = ш + у1, ф = О + у2, а = Ог + уз. Линеаризованные в окрестности с.д. (2) уравнения возмущенного движения имеют вид
W11Х + ^12у + УпХ + К11 х + Ру = 0, ^21Х + W22У + ^21ХС + К21 х = 0,
(3)
где
Wll ^^12 (3 х 3) (3 х 3) W21 W22 (3 х 3) (3 х 3)
Щ11 0 0 Щ14 Щ15 Щ16
0 Щ22 Щ23 0 0 0 0 Щ23 Щ33 0 0 0 щ14 0 0 щ44 Щ45 0
Щ15 0 0 Щ45 Щ55 Щ56
Щ16 0 0 0 Щ56 Щ66
0 V12 V13
V11 V21 0 0
(3 х 3) V31 0 0
V21 0 V42 V43
(3 х 3) 0 V52 V53
0 V62 V63
K11
(3 х 3)
K21 (3 х 3)
kn 00
0 k22 k23
0 k32 k33
k41 00
k51 00
0 0 0
P
0 0 0
Р21 Р22 Р23 Р31 Р32 P33
Элементы матриц , У^, К^ и Р определяются линейными и массовыми характеристиками системы, а также параметрами стационарных движений.
Система (3) имеет три линейных интеграла, которым соответствуют нулевые корни характеристического уравнения. Следует отметить, что во второй группе уравнений (3), соответствующей циклическим координатам, матрица К21 в общем случае не равна нулю, в отличие от случая, рассмотренного в [2, 3]. Поэтому для получения линейных интегралов следует комбинировать уравнения из первой и второй групп системы (3). Используя эти линейные интегралы, можно исключить из системы (3) переменные у^ и свести ее к системе уравнений шестого порядка только относительно возмущений позиционных координат х^.
Приведенная система имеет вид ^Х+УХ+Кх = 0, где Ж(зхз) — положительно определенная матрица,
а матрицы у(зхз) и К(зхз) можно представить в виде у = О + О, К = Е + Р, где О и Р — симметрические, О и Е — кососимметрические матрицы.
Исследуем устойчивость прямолинейного качения. Для этого с.д. у = О, К = Р. Будем рассматривать конфигурацию системы, при которой центр диска находится между центром масс маятника и центром кольца. Можно показать, что если скорость качения больше определенной константы и = 0, то матрица Р имеет одно положительное и два отрицательных собственных значения, т.е. степень неустойчивости четная и возможна гироскопическая стабилизация за счет достаточно большой угловой скорости ротора [4]. При этом характеристическое уравнение приведенной системы аор6 + а1р4 + а2р2 + аз = 0 будет иметь чисто мнимые корни при выполнении неравенств
а0 > 0, а1 > 0, а2 > 0, аз > 0, 4(а1аз + а2а0) — а1а2 — 18а0а1а2аз + 27а2аз < 0.
Чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость прямолинейного качения, введем управляющие воздействия. Будем предполагать, что на систему действуют управляющие моменты £1, £2, ¿з в осях диска, кольца и ротора. В таком случае обобщенные силы, отнесенные к квазикоординатам, будут иметь вид
Р1 = ¿1 — ¿з вт(01), Р2 = —¿з >зш(^1) 008(^1) + £2 008(^1), Рз = — ¿2, Р4 = Рз 8т(6>1) — ¿1, Р5 = ¿2 8т(<£ч) + ¿з 008(^1) 008(6>1), Рз = ¿1 8т(6>1) — Рз.
Обозначим через щ, щ, из линейные части управляющих сил. Тогда для прямолинейного качения матрица коэффициентов при управлениях будет следующей:
B =
B1
B2
где
Bi =
1 0 0 -1 0 0
0е0 , B2 = 00е
0-10 0 0-1
здесь е = cos(^1o). Линейная система в этом случае примет вид
W11X + W123/ + VnX + Кпж + Py = B1U, W21X + ^22У/ + V21Ä = B2U.
(4)
Система (4) не является вполне управляемой, так как имеет линейный интеграл, не зависящий от управления. Из пятого и шестого уравнений системы (4) получим указанный интеграл
(-Ш66 + £^56) /з + (е^55 + ^65) У2 + ^52 Х2 = 0, с помощью которого исключим у/з из системы (4). Тогда редуцированная система примет вид
■ШцХ! + -Ш14У1 + ^12Х 2 + з + кцХ1 = Щ, ^22X2 + ^2зХз + ^21Х1 + ^25/2 + Й22Х2 + ^2зХз = ^2,
^з2Х2 + ^ззХз + ^Х 1 + ^з5/2 + кз2Х2 + кззХз = и2, (5)
■ш14Х1 + ад44//1 = —и1, Ч 5//2 + ^5 2Х 2 = £из.
Используем критерий управляемости [5]:
rank || WA2 + VA + K|B|| = 5 VA € Л; Л = (A : WА2 + VA + K = 0}.
Проверка критерия показала, что система (5) управляема при наличии всех трех указанных управлений. Если ui =0 либо из = 0, то система становится неуправляемой. Отсутствие управления в оси кольца (и2 = 0) не нарушает управляемости робота. Таким образом, для стабилизации прямолинейного качения моноцикла следует ввести управление в осях диска и ротора в виде линейной обратной связи по переменным состояния xi, Xi, Х2, 2, Хз, Хз, Уъ У2, которое обеспечит асимптотическую устойчивость рассматриваемого стационарного движения по отношению к этим переменным.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты № 05-08-50148, 06-01-00222) и программы "Университеты России".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.
2. Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1983.
3. Карапетян А.В. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // Прикл. матем. и механ. 1978. 42, вып. 5. 801-807.
4. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962.
5. Каленова В.И., Морозов В.М., Шевелева Е.Н. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами // Прикл. матем. и механ. 2001. 65, вып. 6. 915-924.
Поступила в редакцию 18.04.2007
