Несимметричные стационарные формы проводящих оболочек магнитных звезд Текст научной статьи по специальности «Физика»

64

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

Краткие сообщения

УДК 524.338.2+524.37

НЕСИММЕТРИЧНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ФОРМЫ ПРОВОДЯЩИХ ОБОЛОЧЕК МАГНИТНЫХ ЗВЕЗД

А. Н. Голубятников, Т. А. Дорошенко, Н. Е. Леонтьев

На основании предложенной ранее [1] модели динамики замагниченной, идеально проводящей оболочки без внутренних напряжений, поддерживаемой радиальным гиперзвуковым звездным ветром в заданных центральном гравитационном и дипольном магнитном полях, рассматривается задача о динамическом равновесии осесимметричной вращающейся оболочки при постоянных поверхностной плотности и угловой скорости. Задача сводится к аналитическому и численному интегрированию одного обыкновенного дифференциального уравнения. Найдены несимметричные относительно плоскости экватора точные решения, которые не имеют типичных для большинства симметричных оболочек ребер [1]. Численно исследованы уходящие в бесконечность несимметричные бутылкообразные формы оболочек.

1. Введение. Полученные в последнее время с помощью телескопов с высоким разрешением снимки планетарных туманностей выявили существование разнообразных слоистых структур, состоящих из окружающих звезды газопылевых оболочек. Типична туманность Кошачий Глаз (NGC 6543), на снимке которой [2] отчетливо видны две бутылкообразные формы, направленные в разные стороны, в окружении серии сферических оболочек.

В связи с исследованиями астрофизических объектов, обладающих достаточно сильным магнитным полем, помимо традиционной теории плоских плазменных дисков [3] представляет интерес изучение стационарных пространственных конфигураций тонких проводящих оболочек. Известны теоретические исследования такого рода объектов [4], эволюция которых может сопровождаться даже кумулятивными эффектами [5]. При этом следует учитывать также возможное действие звездного ветра, которое в свою очередь может быть доминирующим.

2. Уравнения движения оболочки. Уравнения движения оболочки в центральном гравитационном поле звезды массы m и внешнем магнитном поле He имеют вид

aGmr j х He

artt = kpwn w---g--1---—, (1)

где r — радиус-вектор частиц оболочки; а — ее поверхностная плотность; р и w — плотность и скорость радиального звездного ветра; wn — проекция на нормаль к оболочке; j — плотность поверхностного тока; G и c — гравитационная постоянная и скорость света; k — коэффициент поглощения потока импульса звездного ветра. Поглощение потока массы ветра будем считать отсутствующим.

Распределение стационарного звездного ветра определяется в сферических координатах r, в, р соотношениями

2 Q Í2 2Gm\l/2

rpw = —, + , (2)

где Q — мощность источника ветра. Координаты r, в связаны с цилиндрическими координатами rc, z формулами rc = r sin в, z = r cos в.

Поле внешнего магнитного диполя величины M имеет компоненты

шг 2M cos в в M sin в

Не = -~3-> е = г4 ■ (3)

Уравнение (1) необходимо также дополнить формулами для плотности массы а и поверхностного тока j, которые выражаются известным образом через компоненты метрического тензора оболочки, начальную плотность и скачок вмороженного в оболочку собственного магнитного поля [1]. Однако для задачи о стационарном вращении оболочки эти соотношения всегда могут быть выполнены в результате подбора начальных данных. Таким образом, плотность и ток можно считать независимыми величинами.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

65

3. Динамическое равновесие оболочки. При стационарном вращении оболочки ускорение г и = —ш2гС, где ш — угловая скорость и гС — цилиндрический радиус. Проектируя уравнение (1) на оси г и в с учетом формул (2), (3), после исключения поверхностного тока получим уравнения

3ш2г 2л Ю-ш(г) От

+ --= ^ (4)

Ажагл/г2 + г'2{в) г2 jp r4 sin ви2ас

r sin в 2M

(5)

Последнее соотношение представляет собой физическую компоненту плотности тока.

Отметим, что уравнение (4), записанное с использованием производной в'(г), всегда имеет решение в = const, т.е. описывает дифференциальное вращение конуса с и = u(r), в частности плоского диска [3]; при этом воздействие звездного ветра отсутствует. Ниже мы рассматриваем другие возможности.

Итак, два уравнения (4), (5) связывают четыре функции r, и, а и jv от одной угловой переменной в, которые, однако, подчиняются ряду неравенств [1]. Для того чтобы конкретизировать задачу, далее будем предполагать, что и и а постоянны. Кроме этого приведем уравнение (4), определяющее форму оболочки, к безразмерному виду.

Введем параметры

_ 2Gm / kQwpo \ 2 _ 12c¿2G2m2

w2^ ' \4irGm(j J ' w^q

и безразмерную переменную ri = r/R. Тогда, опуская в дальнейшем индекс у безразмерного радиуса, получим

(e(r2 + r) - r2(1 - 0r3 sin2 в)2)1/2

r ^ = ±-i-х з • 2л--—• (6)

1 — or3 sin2 в

Отметим, что в силу (4) знаменатель дроби (6) положителен. Кроме того, неотрицательным должно быть и подкоренное выражение.

4. Точные решения. Рассмотрим сначала предельные случаи, которые соответствуют отсутствию либо звездного ветра (е = 0), либо магнитного поля и вращения (0 = 0).

При е = 0 из уравнения (6) получим

1 = 0r3 sin2 в, или z2 = 1/(02r4) — r2,

что отвечает почти всюду гладкой (кроме оси гС = 0) двойной "бутылке", расширяющейся на экваторе. Фигура симметрична относительно плоскости г = 0.

Для 5 = 0 возможны следующие случаи (решения приводятся для знака " +", для знака " —" переменную в следует заменить на п — в): 1) при е > 1

2 ь л/Г+ £/{£- 1) =е_

2) при е = 1

3) при е < 1

Ve-1 + л/г0 +£/(£- I)

=0

2 í • ^ ■ \ а

1 arcsm — = — arcsm —. = = в,

^ у/е/(1 - в)

где го — радиус оболочки при в = 0.

В каждом из этих случаев можно составить фигуру, симметричную относительно плоскости г = 0, но при этом на экваторе (в = п/2) всегда будет присутствовать ребро. Кроме того, конические вершины или впадины имеются также на полюсах. Однако с использованием указанных локальных соотношений решение можно гладким образом продолжить через экватор, что с точки зрения устойчивости решения более приемлемо (имеется в виду неустойчивость ребра протосолнечного диска Лапласа, связанная с гипотезой образования планет [3, 4]). В этом случае мы получим формы, несимметричные относительно отражения г. На рис. 1 приведены графики соответствующих форм при е = 0,5 (а), е = 1 (б) и е = 2 (в).

При е < 1 все оболочки ограничены сферой г = е/(1 — е), при этом часть оболочек незамкнута; при е > 1 все оболочки замкнуты.

а б в

Рис. 2

Совершенно гладкая форма получается только в случае сферической симметрии, когда г = е/(1 — е) (при этом необходимо е < 1). Последнее равенство может также служить для оценки величины е из наблюдений. В частности, при г ^ 1 можно считать е = 1. В этом случае мы получаем степенной закон, связы-

вающий входящие в выражение для е величины. Приведем следующие оценки (в размерных величинах): m ~ 1033 г, масса оболочки ß = 1032 г, r ~ 1017 см, w~ 107 см/с [2]. Тогда R ~ 1011 см, r/R ~ 106, а = ß/ (4nr2) ~ 10-3 г/см2, Q w 4п Gma/ww 4npr2w^. Отсюда получаем р w Gma/(r w^) ~ 10 25 г/см3, что примерно соответствует плотности звездного ветра в Солнечной системе. Величина Ь обычно очень мала, но может быть существенна при слабом ветре, когда w^ ~ 108 w1/3 (в системе СГС).

5. Бутылкообразные формы. Особенностью уравнения (6) в случае общего положения (Ь = 0, е = 0) является то, что наряду с ограниченными осесимметричными оболочками (как замкнутыми, так и незамкнутыми) всегда имеются неограниченные бутылкообразные оболочки, которые соответствуют сепаратрисе, уходящей на бесконечность при в — 0 или в — п.

Здесь возможны три качественно различных случая, которые иллюстрируются приведенными на рис. 2 численными решениями уравнения (6) на плоскости (rc,z) для знака " —" (при противоположном знаке "горлышко бутылки" поворачивается в другую сторону; границы области существования решений показаны пунктирными линиями). В первом случае (рис. 2, а: Ь = 0,15, е = 0,5) на плоскости (r, в) сепаратриса продолжается на весь интервал в € (0; п) и начало координат находится внутри "бутылки"; при этом "на дне бутылки" имеется коническая впадина. Во втором случае (рис. 2, б: Ь = 0,15, е = 1,1) на плоскости (r, в) сепаратриса пересекает ось в при в < п, так что бутылкообразная оболочка выходит из начала координат. Наконец, в третьем случае (рис. 2, в: Ь = 0,03, е = 0,5) сепаратриса выходит на границу области существования решения и "бутылка" оказывается без "дна".

Работа поддержана грантами РФФИ (проекты № 05-01-00375, 05-01-00839, 08-01-00026, 08-01-00401) и грантами Президента РФ (проекты НШ-4474.2006.1, МК-9352.2006.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Golubiatnikov A.N., Doroshenko T.A. On the dynamics of the conducting envelope of a magnetic star // Gravitation and Cosmology. 2006. 12, N 2-3. 140-143.

2. http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap050924.html; http://www.astronet.ru/db/msg/1188533.

3. Поляченко В.Л., Фридман А.М. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем. М.: Наука, 1976.

4. Протозвезды и планеты: В 2 ч. / Под ред. Т. Герелса; Пер. с англ. под ред. В. И. Мороза. М.: Мир, 1982.

5. Краснобаев К.В. Неустойчивость тонкой фотоиспаряемой околозвездной оболочки // Письма в "Астрономический журнал". 2004. 30, № 7. 500-505.

Поступила в редакцию 28.03.2007

УДК 531.36

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ОДНОКОЛЕСНОГО РОБОТА

Д. А. Лебедев

В работе рассматриваются вопросы устойчивости и стабилизации неголономной механической системы, которая описывает движение одной из возможных моделей одноколесного робота.

Рассматриваемая модель робота представляет собой совокупность четырех твердых тел: диска, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания; твердого тела (маятника), соединенного с центром диска цилиндрическим шарниром; кольца — твердого тела, вращающегося относительно оси, лежащей в плоскости диска; ротора — симметричного твердого тела, вращающегося относительно оси, закрепленной в кольце. Центр масс кольца находится в плоскости диска и принадлежит прямой, которая содержит центры масс диска и тела. Ось вращения ротора находится в плоскости, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, а центр масс ротора не совпадает с центром кольца.

Для описания движения моноцикла используем неподвижную систему координат Охуг, связанную с опорной плоскостью, и полусвязную систему координат О^пС с началом в центре диска (ось О\П направлена по линии наибольшего ската диска вверх, а ось перпендикулярна плоскости диска). Пусть X и У — горизонтальные координаты центра диска; ф, в, р — углы Эйлера, задающие положение диска относительно неподвижной системы; — угол между линией наибольшего ската диска и прямой, на которой