Применение теории длинных волн для расчета попусков воды из водохранилищ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ

УДК 532.59

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДЛИННЫХ ВОЛН ДЛЯ РАСЧЕТА ПОПУСКОВ ВОДЫ ИЗ ВОДОХРАНИЛИЩ

© 2007 г. Ю.Г. Иваненко, Н.Г. Иваненко, А.А. Ткачев

Длинными волнами называются такие волны, при которых глубины потока относительно малы, кривизна траекторий движения частиц жидкости небольшая, их вертикальные ускорения незначительны и ими можно пренебречь [1].

Процесс распространения и трансформации длинных волн описывается системой одномерных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа Сен-Венана. Эти уравнения нелинейны и в общем случае не имеют точного решения при заданных начальных и граничных условиях. Поэтому в теории длинных волн для расчета паводков чаще всего применяют численные методы с применением ЭВМ.

В работе рассматривается другой путь получения приближенных решений уравнений Сен-Венана. С этой целью эти уравнения линеаризуют. Для решения задачи о неустановившемся движении воды необходимы данные о начальном состоянии гидравлического режима в системе водотоков в заданный момент времени - начальные условия.

Обычно в качестве начального принимается состояние гидравлического режима в системе водотоков, близкое к установившемуся, в момент времени, достаточно удаленный от неустановившегося состояния.

В качестве граничных условий на внешних границах рассматриваемой системы водотоков могут применяться функции изменения расходов или уровней во времени в виде Q(t) и H^) или зависимости вида Q = f (Я). Во внутренних узлах системы применяются условия равенства уровней, баланса расходов и др.

Процесс линеаризации системы дифференциальных уравнений Сен-Венана состоит в разложении параметров неустановившегося течения воды при малых возмущениях на составляющие в виде H = H0 + ДЯ , U = U0 + ДU и отбрасывании высших степеней и произведений возмущений ДЯ , Ди и их производных. Параметры, отмеченные нулевым индексом, отвечают режиму невозмущенного установившегося течения воды.

Можно получить следующие уравнения возмущенного течения:

эле dt

+ 2U.

эле

- (U02 - С02)5,

дХ

+вле -YB 0ЛН = 0;

дЛН дХ

(1)

Б,

длн дле

dt + дХ

= 0.

(2)

где

ли = -лн + —ле,

Юл

ю 0

С о = g ^, ß = Б0

2 g' с

U о

Y = (2gi о - i о С о2 Ф). (3)

В уравнениях (1), (2) и (3) параметры ДЯ и ДQ носят название малых возмущений глубины и расхода и отвечают режиму неустановившегося течения. Они характеризуют изменение напора и расхода относительно начального положения. Параметры с индексом «0» отвечают режиму невозмущенного установившегося течения воды.

Преобразуем дифференциальное уравнение (1) к виду:

ЭДQ + дДQ (и 2 С 2) В ЭДЯ = - + 2и п—--(и 0 - С 0) В 0-

дt

дХ

дХ

= - П [л е - (U о _ С о )Б ол Н ];

П=

(Р -0SL-,)

Б 0 л Н

(4)

(5)

ее (U _ С )

Боллн ~(U 0 _ С о)

где П - осредненное значение возмущений по расходу и глубине потока на участке дифференцирования. Подстановкой вида

ПХ

Pe (U о ±С о)

ле = (U о _ с о) Б о лн - П e

+ Me ~П t +fl[x-(U0±С0) t]

П

(6)

система уравнений (4), (5) приводится к одному гиперболическому дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка относительно функции ДQ (х, t):

dAQ (U _ C ) dAQ

--(Uо _Co)-

dt

M [П + (Uо ± Co)]

dx

-n t+a[x-(Uо ±Co) t]

(7)

П

AQ = Ф [x - (U о _ C o)t] +

M [П + a(Uо ± C0)] л -n t+a[x-(U0 ±C0) t] + C

П (П ± 2aCо)

(8)

AQ( x, о) = о, AQ(o, t) = %t,

(9)

где £ - постоянный параметр.

Подставив (9) в уравнение полного интеграла (8), найдем

[ + Ф(Uо _Cо)] =

= M [П + a(Uо ± Cо)] g _[n+a(Uо±Cо)] t

П (П ± 2aC о)

+ C.

(1о)

^(Uо _Cо) = M[П + a(Uо ± Cо)] -[П + a(Uо±Co)] t

П (П ± 2аС 0) Введем в (11) новые обозначения

(11)

M [П + a(Uо ± Cо)]2

= N,

П (П ± 2аС0) [П + а(Ц0 ± Со)] = Г . Соотношения (10) и (11) преобразуются к виду

[[ + Ф(Ц0 + С0)] = -Гe~Г' + С :

[[ + Ф(Ц0 + С0)] = ^"Г' . Из (13) найдем выражение для t в виде

[ + Ф(Ц 0 + С 0)]

t =--ln

Г

N

(12)

(13)

(14)

Исключив из двух соотношений (12) и (14) переменную t, найдем

C = [+Ф(Цо _Cо)]in

Г

[Ф^ о _ C о)]

N

Общим решением дифференциального уравнения (7) является соотношение в виде полного интеграла

[+Ф(Цо _Cо)] Г '

(15)

где функция Ф и постоянный параметр С определяются из граничных условий.

Применив теорию полного интеграла, будем искать решение, описывающее процесс трансформации волны одного направления, движущейся в бесконечно длинном призматическом канале с начальным равномерным режимом течения воды.

Пусть начальное и граничное условия в створе возмущения задаются в виде:

Из соотношения (15) определяется значение постоянного параметра С.

Подставив (15) в уравнение (8), получим

ДQ = Ф [ - (и 0 + С 0У)] + N e'

[Ф^о _Cо)]

Г

ln

[Ф^о _Cо)]

N

[ + Ф(Цо _Cо)] Г '

(16)

Продифференцируем (16) по параметру Ф и полученное выражение приравняем нулю

d

dФ

■ = [x- (Uо _Cо) t]-

(Uо _ Cо) Г

ln

[Ф^о _Cо)]

N

= о.

(17)

Из (17) определим параметр Ф:

Г [ x-(и 0 +С 0^ ]

Ф=

N

(Uо _Cо)

(U о_Cо)

(Uо _Cо)

.(18)

Уравнение (10) продифференцируем по независимой переменной £

Подставив (18) в (16), получим искомое решение в виде

Г [ x-Ц 0 +С 0)г ]

AQ =

I

-[x-(Uо _Cо) t].

1ТТ _ П \ I- V 0 ■ 0' Л' (19)

(и 0 + С 0)

Глубина воды определяется из соотношения (6) в

виде

BоAH = =-P-/ (Uо±Cо)

П(Uо _Cо)

M

П t+a[x-(U о ±Cо) t]

П(Uо _Cо)

-M [П + a(Uо ±Cо)] П (П±2aCo)(Uо _Cо)

[" П+a(U о ±Co)] [ x-(U о _C o)t] _ г п

/ о о ] (Uо_Cо) -е -П t+a[x-(Uо±Со) t]

I

(Uо _Cо)'

-[x-(Uо _Co)t].

(2о)

+

+

Связь между постоянными параметрами Р и М находится из граничных условий:

ДQ = 0, ДН = 0 при t = 0, х = 0. (21)

Подставляя (21) в (19) и (20), найдем:

Р = М.

Соотношения (19) и (20) можно преобразовать к виду:

[П + a(U о ±C о)]

AQ = ± 2^Cо" х

(Uо _Cо)

[x-(Uо_Cо) t] _

(Uо_Cо) - e -nt+ a [x-(Uо±Cо) t]

±[П + a (U о ±C о)]

2C oT

e (Uо_Cо) - e -ПТ

AQ = -

[ П + a(U о ± Co)]

M [П + a(Uо ± Co)] П (П ± 2aCo)

[ x-(U о _ с о) t] _

(Uо _Cо) - e -П t+ a[x-(Uо±Co) t]

(Uо _ Co)

[x- (Uо _Co) t]; (26)

B oAH =

2\CoT (П ± 2aCo)

[П + a(Uо ±Co)](Uо _Co)2

l

(Uо _ Co)

[x - (U о _ Co) t]; (22)

e (Uо ±Cо) - e -П t+ a[x-(Uо±Co) t] 2lC T х-rrr^-±-o-rX

±[П+a(Uо ±Co)]

(U о _ C o) - e - П T

(Uо _ CоГ

- ш

B AH = _ M |e_ (Uo±Co) - e -П t+a[x-(Uо±Co)t]

o П^о _Cо)

[ +a(U o±Co)]

M [П + a(Uo ± Co)] ^ П (П± 2aCo)(Uо _Co)'

[x-Uо_Co) t]

(U o_C о) - e - П t+a[x-(U о -Co) t]

-(U _C ) 2 [x-(Uо _Co) t].

(Uо _Co)

(23)

[П + a(Uо ±Co)]

]x-(U о _ C o) t ] _

(U о _C o) - -m + a[x-(U о ±Co) t]

±[П + a(Uо ±Co)]

2C oT _

(U о _ C o) - e - П T

l

(Uо _ Co)

-[x- (Uо _Co) t], (27)

где Т - время распространения начального возмущения до расчетного створа х, определяемое по формуле

T=

(Uо ±Cо)

(28)

Постоянный параметр М определяется из граничных условий:

ДQ = 0 , ДН = 0 при t = Т , х = (Ц0 ± С0)Т , (24) Подставив (24) в (22) и (23), найдем

М [П + а(Ц0 ± С0)] = П (П ± 2аС0) =

2^С 0Т

Параметр П определяется из трансцендентного уравнения

t(Uо _ Co) -T(Uо ± Cо) ± 2CoTe-n(t-T)

(Uо _Co)

±2C oT

(1 - e

2U

(U о _Co)

^^-[(U о ± C о)T - ( _ C oX]

(1 - e

(U о _Co)

(t - T)

=_

(Uо _ Co)

(25)

(Uо ± Сo)T-(Uо _Cо)± 2CoT

±[П + a(U о ± C o)]

2C oT _

(U о _C o) - e -П T

(1 - e -П) ' (1 - e " П)

Введем (25) в (22) и (23). Получим аналитические решения для водотока полуограниченной протяженности (0 < х < го), которые имеют вид:

Знаки (+) и (-) соответствуют направлению движения волны, совпадающему с направлением течения воды, и противоположному.

Расчетный шаг по времени задается формулой

t <

T - ¿in

П

U о _ C о

2C о m

(29)

х

Получены аналитические решения линейных дифференциальных уравнений одномерного неустановившегося течения воды для открытых водотоков полуограниченной протяженности для расчета паводков на реках.

Соотношения (26) и (27) являются точными решениями уравнений (6), (7), удовлетворяющими также краевому условию на границе (9). Одновременно они являются точными решениями дифференциальных уравнений (2) и (4). Сетка координат для полученных решений является прямоугольной.

Выполним расчет по приведенным зависимостям для следующих условий. При сбросе воды из водохранилища изменение расхода в начальном створе (х = 0) нижнего бьефа гидроузла подчиняется закону: Q = 340 + 0,05 Г, 0 < t < 3600 с.

Вычислим изменения расхода воды и глубины потока в фиксированных створах X = 5000 м и X = 10000 м если в начальный момент в призматическом русле реки на расчетном участке наблюдался режим тече-

ния, близкий к равномерному. Морфометрические характеристики и гидравлические параметры на расчетном участке реки, соответствующие равномерному режиму течения, заданы: Q0 = 340 м3/с; и0 = 0,858 м/с; Я0 = 4,129 м; т = 0; Ь = 96,0 м; п = 0,022; /0 = 0,00006; У = 1/6. _

1. Рассчитаем параметры С 0, в, у, П, Ф :

С0 =7 9,81 х4,129 = 6,364 м/с;

2х9>81х0,00006 = 0,00137 ;

0,858

Y = (2 х 9,81х 0,00006 + 0,00006 х 40,5 х 0,297) = 0,00189;

П = 0,000000588 ; a = -0,00002 ;

Ф = (1 + 2-)

6

96

(96 + 2 х 4,129) 96 х 4,129

= -0,297.

е= / со

е, м3/с

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

T, с

-в- Расчет по методу характеристик, Х = 0 м -♦-то же, при Х = 5000 м -□-тоже, при Х = 10000 м

- Расчет по аналитическим формулам Х = 0 м

- то же, при X = 5000 м -тоже, при Х= 10000 м

Рис. 1. Функциональные зависимости изменения расходов воды от времени в фиксированных створах

Н, м

Н = f(T)

4.7

4.6

4.5

4.4 4,3 4,2 4,1

4 3,9

3.8

3.7

3.6

3.5

0

500

1000 1500 2000 2500 3000 3500

4T0,0 с0

Рис. 2. Функциональные зависимости изменения глубин воды от времени в фиксированных створах

(обозначения те же, что и на рис. 1)

2. По формулам (28) и (29) определяем время распространения начального возмущения до расчетного створа Т и максимальный расчетный шаг по времени £

T — -

5000

0,858 + 6,364

• = 692 с,

t — 692 + -

0,1

0,000113

-ln

0,858 - 6,364

(-2 х 6,364 х 0,000113 х 692

= 1899 с.

3. Изменения расходов воды и глубин потока во времени в фиксированных створах будем рассчитывать по формулам (26) и (27). Результаты расчетов приведены на рис. 1 и 2.

Расчеты выполнены по выведенным в работе аналитическим формулам и методу характеристик, который рассматривается как аналоговый. Сравнение результатов расчетов по двум методам позволило определить максимальную относительную погрешность, которая для расхода воды и для глубины не превышает 3,5 %.

Литература

1. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л., 1974.

2. Иваненко Ю.Г., Ткачев А.А. Теоретические принципы и решения специальных задач гидравлики открытых водотоков / НГМА. Новочеркасск, 2001.

Новочеркасская государственная мелиоративная академия

25 декабря 2006 г.

УДК 532.59

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРА ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ ВОДЫ В МАГИСТРАЛЬНЫХ КАНАЛАХ ОС С ЦЕЛЬЮ ВОДОИЗМЕРЕНИЯ И ВОДОУЧЕТА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ

СХЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ

© 2007 г. А.А. Ткачев

Для выявления особенностей, соответствующих рабочим режимам и условиям эксплуатации открытых каналов ОС, и изучения характера взаимосвязей между параметрами неустановившегося течения воды для целей водоизмерения в процессе активного управления водораспределением на математической модели Азовского магистрального канала с головной насосной станцией выполнены имитационные исследования переходных гидравлических процессов.

Оценка степени адекватности параметров переходных гидравлических процессов, полученных на математической модели, фактическим их значениям проведена на основе их сопоставления с данными специальных натурных исследований на АзМК.

В рамках натурных и имитационных экспериментов сформулированы задачи, представляющие интерес как для проектировщиков, так и для работников службы эксплуатации оросительных систем:

1. Исследование взаимосвязи качественных характеристик переходного гидравлического процесса в зависимости от структуры заданных начальных и граничных условий, длины бьефов, сопротивления русла и др.;

2. Анализ количественных характеристик переходного гидравлического процесса. Определение значений расходов воды в контрольных створах бьефов канала по данным расчетных значений уровней воды в этих створах;

3. Выявление значений расходов воды, соответствующих одним и тем же уровням (глубинам) для периодов гидравлических переходных процессов на подъеме и спаде уровней (петля гистерезиса).

Для расчета переходных процессов в бьефах Азовского магистрального канала для целей водоиз-мерения разработан программный комплекс, основанный на методе характеристик. Система обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик рассматривается в виде

[ (л/Ик ± 1)(УПк ± 25) Н1 [ 2(1 - ] >Пк) ( +

(л/Пк ± 1)(7Пк ±25)

+H Í^ ± Р rf ) - ,

ср

(1 - j Пк)

2(1 - j 'Пк)

— si 0 rfx .

(1)

rf {^ЩкИ н h ф

(1 - j >Пк) 1 V СР

где H ср — ±(Hk + Hf),

d (л/Пк)

- d

(УПк ±2s) (1 - j)

ср 2

значения глубин между створами k

(1-j 'Пк)

Jgsdt, (2)

—+H) - сРедние

f расчетного