CC BY
113
УДК 378.1
Л.Н. Ерофеева1, С.В. Лещева1, С.В. Менькова2 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИИ РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ В ЛЕКЦИОННОМ ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА1
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. НИ. ЛОБАЧЕВСКОГО2
В работе затрагиваются возможные пути внедрения гуманитарных технологий в практику образования в условиях его перехода на компетентностный подход. На основе анализа исследований в области социально-конструктивной и гуманистической педагогики, обобщения опыта зарубежных и отечественных университетов рассматриваются приемы обновления обучения. На конкретных примерах применения технологии критического мышления в преподавании лекционного курса математических дисциплин рассматриваются современные интерактивные методы организации учебного процесса, способы организации самоуправляемой работы студентов, рефлексивные методы оценивания.
Ключевые слова: компетентностный подход, технология развития критического мышления, интерактивные формы обучения, лекция с запланированными ошибками.
Образование, которое включает в себя обретение навыка учиться, не начинает устаревать мгновенно... Скорее оно готовит обучающихся к тому, чтобы вести продолжительную интеллектуальную беседу с миром и, тем самым, не останавливаться в своем интеллектуальном росте.
Чарльз Темпл
Педагогические практики различных уровней наглядно демонстрируют, что путь реального изменения содержания образования и технологий учебного процесса, включение системы образования в мировое пространство образования — ориентация на компетентностный подход и апробация эффективных механизмов его реализации в учебном процессе. В возникающем в связи с этим круге проблем можно выделить следующие первоочередные задачи: 1) приоритеты развития тех или иных компетенций в рамках университетского образования; 2) необходимые изменения стратегий образования в условиях необходимости формирования компетентности специалиста.
Границы программ подготовки специалистов для современного рынка труда существенно расширились за счет движения за компетенции. Ранее определялись задачи, которые по работе необходимо было выполнить, создавались профессиограммы на их основе, тесты и модели обучения для измерения навыков, необходимых для решения этих задач, пытались соотнести факторные баллы с успешностью работы. По сути, традиционная попытка создать модели специальностей начиналась с раздельного анализа человека и работы и только затем их совмещения. При прогнозировании академического исполнения работы такой подход был очень успешен, но не отвечал на вопрос, что помогает достигать успешности людям в видах деятельности, которые основываются на творчестве, неопределенности, глобальном взаимодействии с разными людьми. Подход, основанный на компетенциях, начинается с анализа «человека-в-работе», без предварительных выводов о том, какие характеристики необходи-
мы для достойного выполнения этой работы; и лишь после этого, используя интервью с целью получения поведенческих примеров, определяется, какие человеческие качества влияют на успех в данной работе. В методе компетенций делается акцент на валидности критериев: важно то, что непосредственно приводит к наилучшему выполнению работы, а не факторы, наиболее точно описывающие все характеристики человека в надежде, что какие-то из них будут относиться к исполнению работы.
Само понятие «профессиональная компетентность» (по документам различных международных организаций) означает способность, которая дает возможность активно выполнять определенные функции и достигать определенных профессиональных стандартов. Ком-петентностными индикаторами принято считать полученное знание, квалификации, оценку и образовательные результаты, отражающие производительность человека как работника. Тогда встает вопрос, — какие компетенции требуются на рынке труда для успешности выпускников вузов?
Опросы, проведенные в рамках изучения компетенций, констатируют, что работодатели современности, как правило, не могут сформулировать требования к уровню знаний выпускников вузов, которые способствуют успешности в работе, а выявляют недостатки образования, не позволяющие добиваться успеха. Этими недостатками работодатели различных организаций в странах с развитой экономикой считают неумение быстро приспосабливаться к возникшим изменениям, неспособность обобщать и внедрять имеющиеся знания в процесс принятия решения, недостаток творческой инициативы. Работодатели желают видеть выпускника высшей школы, который способен успешно работать как индивидуально, так и в группе, а также при необходимости взять руководство ею, не избегает новшеств и обладает творческим потенциалом.
К тому же модели профессионализма могут основываться на понимании эффективной профессиональной работы только в настоящее время. Представление о профессионализме может быстротечно меняться. Более длительное время неизменными смогут оставаться только способность к обучению, критичность мышления, позитивное отношение к работе и личностные качества. Именно на этих качествах акцентируют внимание работодатели, как условиях достижения успеха в работе выпускников вузов.
Новые модели обучения необходимо концентрировать вокруг критичности мышления, развития мотивации, способности обучаться новому, проводить экспертизу, принимать решения, брать на себя ответственность. Такие качества относительно стабильно требуются в любой профессии. Если же фундаментально поменять сущность задания, то необходимо выполнить новое исследование профессионализма. Новые исследования позволят создать более гибкие программы обучения. Таким образом, высшей школе требуется сегодня новая модель образования, выстроенная на принципах социального конструирования.
Введение новых образовательных стратегий всегда сопряжено со множеством трудностей, и это задача значительно более сложная, чем обновление содержания учебных программ. Стратегия обучения соединяет все компоненты образования, при этом эти компоненты всегда связаны с культурной, общественной, экономической, и политической реальностью в каждой стране и даже отражают специфику профиля университета или факультета. Сложность состоит и в том, что, несмотря на достаточно универсальный характер компетенций, они формируются через обучение в определенной тематической области образования.
Принципами учебных стратегий являются:
• активное и самоуправляемое обучение;
• опора на жизненный опыт студента и исследовательскую практику;
• ориентация на рефлексивность;
• интерактивность и кооперация в учебном процессе.
Одной из разновидностей стратегий обучения являются стратегии критического мышления. Эти стратегии в качестве цели обучения ставят не только развитие навыков критич-
ного мышления, но и развитие способности сформировать свое мнение в процессе поиска соответствующей информации, осмысленной и объективной оценки качества этой информации, изменение своих взглядов при обнаружении новой достоверной информации. Образовательные задачи можно описать выражением: «студенты будут учиться думать критически, станут пожизненными учениками, будут решать проблемы». Стратегии критического обучения достаточно разнообразны, но в основном их теоретической основой являются социальнокогнитивные теории и теории обучения в контексте социально-политического и гражданского дискурса.
Первое направление связано с концепциями «новой профессионализации» специалистов, которые должны уметь работать критически с большим потоком научных данных и информации.
Второе — с общественным образованием, когда целью являются развитие у студентов критического сознания и этически обоснованного поведения с тем, чтобы они осознали существующие трудности нашего общества и захотели их смягчить. Это направление связано с демократическими ценностями образования. Образование готовит людей к жизни и работе в демократичном обществе, в котором у них есть достаточно полномочий относительно законов и правил, по которым они живут.
В обоих направлениях критическое обучение формирует критичный взгляд на мир, в отличие от некритичного, когда люди принимают рекламу за знания, а заявления за истину (MessinaandMessina 2005). Критическое обучение не строится только на отрицании, а строится на согласии с тем, что принимается за истину.
Одной из моделей развития критического мышления до инструментального уровня является «технология развития критического мышления через чтение и письмо» (РКМЧП).
Эта технология является интегрирующей технологией в том смысле, что в ней обобщены наработки многих технологий: она обеспечивает развитие мышления, формирование коммуникативных способностей, выработку умения самостоятельной работы.
Создавая РКМЧП, Дж. Стил, К. Мередит, Д. Огл, Ч. Темпл выбрали теории, совместимые с их общим идеалом: будущие граждане должны уметь сотрудничать, работать на равных и в то же время главенствовать и руководить; им следует уважать людей разного происхождения; уметь проявлять личную инициативу; необходимо отстаивать свои принципы. Для этого учение должно быть активным [1, 2].
У студентов младших курсов, при изучении предметов естественнонаучного цикла с использованием упомянутой технологии формируются общеучебные навыки:
• умение работать в группе; умение графически оформить текстовый материал;
• умение творчески интерпретировать имеющуюся информацию;
• умение ранжировать информацию по степени новизны и значимости;
• появляется возможность интеграции отдельных учебных дисциплин;
• создаются условия для вариативности и дифференциации обучения;
• используется положительное стимулирование учения;
• формируются направленность на самореализацию, удовлетворение потребности в самоутверждении, рефлексии, в выработке индивидуальной технологии обучения.
Одно из основных положений технологии РКМЧП — следование трем фазам учебного занятия:
• вызов;
• осмысление (работа с текстом);
• рефлексия [3, с.11-14].
На этапе вызова предполагается создание мотивации к получению знаний. Вызов подготавливает, настраивает на ту информацию и на тот процесс, которые будут предлагаться на следующих этапах работы. Этап осмысления предполагает ввод новой информации. Этап рефлексии — творческое развитие, осознание уже обретенной информации.
Поскольку в вузах существует лекционно-семинарская система проведения занятий, то лекции являются неотъемлемой частью учебного процесса любого высшего учебного заведения. Однако среди существующих в вузе организационных форм обучения лекцию чаще всего относят к неактивным формам. Противники лекций как основной формы учебных занятий считают, что лекция приучает к пассивному восприятию, тормозит самостоятельное мышление. Указанные недостатки в значительной мере могут быть преодолены правильной методикой и рациональным построением материала. Вызвать интерес к лекции может прежде всего форма подачи материалов (демонстрационный опыт, технические средства обучения), личность лектора (профессионализм), контакт с аудиторией, т.е. существование обратной связи студент - преподаватель. Познавательный интерес выступает стимулом активности студентов и является первоначальным звеном при переходе к эвристическому мышлению. Формирование интереса к предмету начинается путем использования различных подходов к изложению учебного материала.
Одной из разновидностей лекций, которая позволяет активизировать деятельность студентов при проведении математических занятий, является лекция с запланированными ошибками, или лекция-провокация [4].
На такой лекции особое место занимает умение слушателей оперативно анализировать информацию, ориентироваться в ней и оценивать ее. Работа с лекциями c запланированными с ошибками, как и с любыми другими, состоит из следующих этапов: подготовка к лекции; проведение лекции (обучающая деятельность преподавателя и учебная деятельность студентов); анализ (совместный анализ занятия преподавателем и студентами).
Подготовка преподавателя к лекции с запланированными ошибками состоит в том, чтобы заложить в ее содержание определенное количество ошибок. На математическом занятии ошибки могут быть не только содержательные - математические, но и методические, речевые, технические и т.д. Среднее количество ошибок на 1,5 часа лекции - 7-9. Количество запланированных ошибок и их вид зависят от специфики учебного материала, дидактических и воспитательных целей лекции, уровня подготовленности студентов.
Преподаватель обязательно должен на отдельном листе выделить ошибки, заложенные в материале лекции. Следует отметить, что проведение лекции с запланированными ошибками может потребовать самостоятельной подготовки не только со стороны преподавателя, но и со стороны студентов. Студентам может быть дано задание подготовиться к лекции, изучить самостоятельно предложенную литературу.
При проведении лекции после объявления темы преподаватель сообщает, что в ней будет сделано определённое количество ошибок различного типа. Задача студентов заключается в том, чтобы по ходу лекции отметить в конспекте замеченные ошибки и назвать их в конце лекции. На разбор ошибок отводится 10-15 минут. В ходе этого разбора даются правильные ответы на вопросы - преподавателем, студентами или совместно. Элементы интеллектуальной игры с преподавателем создают повышенный эмоциональный фон, активизируют познавательную деятельность студентов. Необходимость поиска ошибок способствует развитию критичности мышления студентов.
Лекция с запланированными ошибками выполняет не только информационную, стимулирующую и развивающую функции, но и диагностирующую и контролирующую функции. Она позволяет преподавателю оценить качество освоения предшествующего материала, уровень критического мышления, а студентам - проверить себя и продемонстрировать своё знание предмета, умение ориентироваться в нём.
Безусловно, лекции с запланированными ошибками можно проводить далеко не по любой теме. Эффективны подобные лекции будут в следующих случаях:
• в завершении темы, когда у студентов уже сформулированы основные понятия и представления, усвоены основные дидактические единицы содержания;
• на этапе обобщения и систематизации учебного материала по теме, разделу или учебной дисциплине после формирования у слушателей базовых знаний и умений;
• в рамках учебных дисциплин, по которым учебным планом не предусмотрены семинарские и практические занятия.
Заметим, что возможны следующие варианты лекций:
• лекция, с предварительным самостоятельным изучением студентами нового материала.
• лекция, без предварительного изучения нового материала. В этом случае, вряд ли целесообразно закладывать ошибки в определении ведущих понятий.
На лекции по математическим дисциплинам в числе запланированных ошибок могут быть ошибки содержательные (в определениях, формулировках и доказательствах теорем, решении задач), вычислительные, графические, технические, а также речевые, грамматические, методические, поведенческие.
При определении понятий могут быть запланированы такие ошибки как:
• неверно указано родовое понятие по отношению к определяемому;
• пропущены существенные признаки понятия;
• указаны лишние признаки в определении понятия;
• ошибочно использованы кванторы общности и существования.
Следует заметить, что ошибки в определении понятий более уместны в случаях, если студенты предварительно знакомились с материалом, или же при формулировке ранее изученных определений понятий, например, при обобщении и систематизации материала, при формулировании определения в ходе доказательства теоремы или решения задачи.
При изучении теоремы ошибки могут быть заложены: в тезис (формулировку теоремы), в доказательство теоремы, в частности, в аргументы и логическую структуру доказательства.
Преднамеренные ошибки, заложенные в формулировке теоремы:
• не указаны все ограничения, не указаны существенные свойства объектов, для которых выполняется утверждение (например, что функция является непрерывной, дифференцируемой);
• неверно определен вид теоремы (например, является теорема признаком или свойством);
• неверно указано авторство теоремы в случае с «именными» теоремами, такими как теорема Вейерштрасса, Эйлера, Больцано-Коши и др. (эти ошибки уместны, если студенты предварительно знакомились с материалом или же приводятся фамилии ученых, которые явно не занимались соответствующей проблематикой).
В качестве преднамеренных ошибок, заложенных в доказательстве теоремы, можно предложить следующие:
• использование в качестве аргументов положений, которые нуждаются в доказательстве, но ранее доказаны не были;
• использование аргументов верных, но не являющихся достаточными;
• использование утверждений, справедливость которых ограничена некоторыми условиями, в качестве аргументов положений, где учет ограничений существенен;
• использование в качестве аргумента ложного утверждения;
• отсутствие обоснования у утверждения;
• доказательство проводится только для частного случая;
• неверное использование символики;
• неточная формулировка теоремы или определения понятия, которые используются в ходе доказательства;
• при использовании некоторого положения неверно указано, чем оно является - теоремой, определением, аксиомой;
• тезис А доказывается при помощи аргумента В, тогда как само суждение В было ранее выведено из суждения А;
• необоснованное расширение объема используемых понятий;
• недопустимая аналогия;
• неполнота индукции, т.е. рассмотрены не все возможные случаи.
Приведем пример. Преподаватель формулирует теорему: «Если = 0, то векто-
ры а и Ь взаимно перпендикулярны», но ни в условии, ни при доказательстве не упоминает случай, когда векторы нулевые.
При рассмотрении образцов решения задач на применение изученной теории могут быть запланированы следующие преднамеренные ошибки:
• неверно сформулировано определение понятия или теорема (например, пропущено важное слово, неверно использованы или упущены кванторы общности и существования (и
др);
• ошибочно использовано свойство;
• не учтены все ограничения;
• вычислительные ошибки;
• ошибки в использовании символики.
Следует заметить, что целесообразно в качестве преднамеренных ошибок использовать типичные ошибки студентов. Приведем несколько примеров.
При решении логарифмических уравнений и неравенств, при преобразовании выражений студенты нередко допускают ошибку, выполняя преобразование, сужающее область
допустимых значений переменной, например: logx2 = 21с^ х (вместо 1о§X2 = 21о§|.х| ).
Очень часты ошибки студентов в формулах решения тригонометрических уравнений, например, при решении уравнения вида 8тд: = й,дают неверные ответы: X = агСБШй? + 7Ш или х = (-1)^ агсвт а + пп .
Нередко студенты забывают находить область определения функции. Так выполняя задание: «Выяснить, при каких значениях х производная функции положительна», находят производную функции, решают неравенство, но не обращают внимания на область определения функции.
К типичным ошибкам в использовании символики можно отнести некорректное употребление знаков равносильности и следования, знаков системы (пересечения) “{и совокупности (объединения) [ и др.
Среди преднамеренных могут быть как ошибки скрытые, так и ошибки, наличие которых выявляет полученный результат.
Среди ошибок, наличие которых выявляет полученный результат, можно различать два уровня:
1) нелепость утверждения заметна практически любому человеку;
2) ошибочность полученного результата понятна только человеку, имеющему определенные знания по изучаемому материалу.
Большая часть работ, где затрагивается проблема обучения опровержению доказательств, в основном содержат задания с преднамеренными ошибками первого уровня - софизмы. Софизм - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Среди распространенных ошибок, заложенных в математические софизмы, можно выделить:
• неправильные выводы из равенства дробей;
• неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
• деление на 0;
• нарушения правил действия с именованными величинами;
• путаница с понятиями «равенства» и «эквивалентность» в отношении множеств;
• проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
• неравносильный переход от одного неравенства к другому;
• выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
• ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.
Приведем несколько примеров.
1. При применении свойств показательной и логарифмической функций можно предложить следующий софизм.
ч2у
>
■10Е £
а[ ^1>31°ё
V2/
2
V2/
=>2 > 3
2. При изучении комплексных чисел:
л/— I = л/— I
л/Т л/Т = V-1 л/— 1
1 = -1
3. При знакомстве с методом математической индукции.
Утверждение «Все лошади в мире белые» - верно.
Доказательство. Достоверно известно, что лошадь Александра Македонского была белой. Пусть к лошадей всегда белые. Возьмем табун из к белых лошадей. Пригоним еще одну лошадь, выведем одну из табуна и поставим вновь прибывшую на ее место. Но к лошадей всегда белые. Значит и новая лошадь белая. Если учесть еще ту, которую вывели, то к+1 лошадь белая. По методу математической индукции утверждение доказано.
В ходе решения многих математических задач требуются вычисления, порой достаточно длительные. Если на лекции преподаватель показывает пример применения изученного материала, демонстрирует образец решения задач, чаще всего, использует свернутые решения (пропуская длительные вычисления). Спрятанные при этом вычислительные ошибки можно, чаще всего, найти, только проведя подробные вычисления. Однако возможны случаи, когда студент, обладающий определенными математическими знаниями, замечает наличие ошибки в вычислениях по полученному результату.
Так, например, при вычислении определителя
1 2 0 3
-1 0 2 4
-1 3 1 -3
2 4 0 6
, на доске получен ответ «1».
Ґ 1 V
1
а
Студент, знающий свойство определителя: «Если все элементы некоторой строки пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен 0», замечает наличие ошибки по полученному результату.
Еще один пример, при нахождении площади фигуры, ограниченной осью ОХ и графиком функции^ = х2 — 2х ,получив отрицательное число, большинство студентов понимает, что в решении допущена ошибка.
Планируя ошибки, преподаватель продумывает степень фиксированности этих ошибок, при этом возможны следующие варианты:
• ошибка содержится в предложении, которое не предполагало дословную запись, не фиксирована в виде записи на доске (к таким ошибкам сложнее возвращаться в ходе проверки, хотя при желании можно воспользоваться диктофоном);
• ошибка в утверждении не зафиксирована на доске или слайде, но утверждение дословно записано под диктовку преподавателя;
• ошибка и в устном высказывании зафиксирована на доске (слайде) (т.е. сопровождается ошибкой в математической записи);
• ошибка только в записи сопровождается верным устным высказыванием (т.е. преподаватель, проговаривая верное утверждение, делает преднамеренную ошибку в записи на доске. Например, произносит: «Скалярное произведение векторов равно 0», а на доске записывает: {(, Ь = 0 )
Кроме математических ошибок в речи (устной и письменной) преподаватель может предусмотреть и ошибки нематематические, например, речевые, методические, поведенческие и предложить студентам фиксировать и их. А может, наоборот, поставить перед студентами задачу фиксировать только математические ошибки.
Характер ошибок, их виды зависят от темы, содержания лекции, от целей, которые ставятся преподавателем, от контингента обучаемых.
При выявлении студентами ошибок возможны следующие ситуации:
1) найдены и аргументированы все ошибки (что свидетельствует о высоком уровне усвоении материала и хорошей математической подготовке студентов);
2) ошибок найдено больше, чем запланировано. Это свидетельствует о том, что или не все студенты однозначно поняли материал, или сам лектор сделал больше ошибок, чем запланировал. В этом случае он должен это признать;
3) студенты не сумели найти все запланированные ошибки и предложить правильные варианты ответов. Это свидетельствует об отсутствии у студентов умений ориентироваться в информации и оценивать, недостаточности математической подготовки. (В этом случае может быть целесообразно предложить студентам дома самостоятельно проработать материал лекции и найти ошибки, вернуться к проверке на следующей лекции.)
Кроме рефлексии аудитории, немаловажным аспектом является рефлексия преподавателя, проводившего лекцию с запланированными ошибками. Для выявления затруднений, возникших при проведении занятия, преподавателю следует учесть возникшие проблемы и при необходимости корректировать план лекции или любого этапа ее составления и проведения.
Еще одним примером проведения лекционного занятия по математике с применением описанной выше технологии развития критического мышления является лекция «Бортовой журнал».
Структура данной лекции подкреплена конкретными методическими приемами, связанными с технологией развития критического мышления:
1) преподаватель объясняет, каким образом необходимо работать с «бортовым журналом»;
2) в течение 10-15 минут преподаватель читает лекцию для всей аудитории;
3) студенты в течение 5 минут заполняют свои «бортовые журналы» (ключевые слова, рисунки, связь с опытом и т.д.);
4) студенты в парах, а затем — в группе обсуждают содержание своих журналов, отвечают на вопросы друг друга, а в некоторых случаях — обращаются за консультациями к преподавателю (5-8 минут);
5) преподаватель обсуждает «бортовые журналы» со всей аудиторией, проясняет непонятные моменты, отвечает на общие вопросы, обсуждает со студентами связь информационного сообщения с «реальной» жизнью (5-10 минут);
6) преподаватель читает следующий отрывок лекции и цикл повторяется. В заключении студенты выполняют задания «бортового журнала» и оценивают свое участие в работе [4].
Рассмотрим в качестве примера схему заполнения журнала по теме «Элементы векторной алгебры» (см. табл. 1)
После 15-минутной части лекции студент заполняет журнал по принципу деления материала «уже знал» — «узнал новое».
Таблица 1
Бортовой журнал по теме «Элементы векторной алгебры»
Знал
Понятие (материал школьного курса или __________________смежного предмета)__________
Узнал (новый материал)
р
о
т
к
е
РР
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало, и конец которого совпадают. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между нача-
лом и концом вектора. АА = а
л
т
с
о
н
р
а
е
н
и
л
л
о
К
Разностью двух векторов а и Ь будем называть сумму векторов а +(-Ь).
Векторы называются коллине-арными, если они расположены на одной или параллельных прямых.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули_____________________
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору
л
н
о
в
&
£
С
О
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны (речь о трех и более векторах)
Продолжение табл. 1
ей
ср
о
ё
и
и
«
ей
«
К
Я
ей
р
и
С
О
ей
И
н
о
«
о
и
о
1) а + Ь = Ь + а - коммутативность.
2) а + (Ь + с) = (а + Ь )+ с
3) а + 0 = а
4) а +(-1)5 = О
5) (а-Р)а = а(Ра) - ассоциативность
6) (а+Р)а = а а + р а - дистрибутивность
7) а(а + Ъ ) = а а + а Ъ
8)1-а = а
ь
т
с
о
м
и
с
и
в
а
СО
§
н
«
и
н
и
Ч
Векторы ах называются линейно
зависимыми, если существуют а;£ Л не равные нулю одновременно, такие, что аД + а2а2 +... + апап — О Если же только при а; = 0 выполняется а1а1 + а2а2 +...+апап — 0, то векторы называются линейно независимыми. Свойство 1. Если среди векторов а есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Свойство 4.Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые два линейно зависимые векторы кол-линеарны.
Свойство 5. Любые три компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые три линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.
Продолжение табл. 1
Й
£
к
к
ч
а
о
о
и
ей
а
о
ё
и
и
ч
ей
X
к
к
я
ей
Л
и
С
о
2
3
х
к
к
X
<и
а
о
X
ё
о
X
X
ей
Ч
ей
со
И
И
О
И
со
Л
Н
О
и
к
X
<и
ч
и
ч
ей~
Л
О
Ё
ей
X
К
ч
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве
Л (X/, уЬ 7.0, В(х2, у2, 12), то
АВ =4{х2 ~хх)2 + (у2-у,)2 +(г2-гг)
.Пусть заданы векторы в прямоугольной системе коорди-= ~ л
ната ■■
,ау,аг -,Лъ= 4ЛА •
Линейные операции над ними в координатах имеют вид:
а + Ь = с= с{+Ьх;ау+Ьу;а2+Ь2 ;] а-а - о[ах;аау;аа2 ^
Если точка М(х, у, г) делит отрезок АВ в соотношении АУц., считая от А, то координаты этой точки определяются так:
X =
^ + Ъс2 + Ху2 \\гх + Хг
У =
|л, + X
ц + X
О
К
£3
рр
Если , е2, е3 - базис в пространстве
и а- ае1 + /3 е2 + у е3 , то числа а, (3
и у - называются компонентами или
координатами вектора а в этом базисе.
Декартовой системой координат в
пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении векторов называются осями координат.
1-я ось - ось абсцисс
2-я ось - ось ординат
3-я ось - ось аппликат
1) Базисом в пространстве являются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
2) Базисом на плоскости являются любые 2 неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке.
3)Базисом на прямой является любой ненулевой вектор.
2
Продолжение табл. 1
и
о
£р
О
И
и
к
X
<и
и
и
СО
к
О
£р
С
и
О
X
£р
«
Ч
ей
И
О
Скалярным произведением векторов а и Ь называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
(а-Ь ) = \ а\ \ Ь \ совф Свойства скалярного произведения:
—* —* I -♦ I 2
1) (а-а) = I а I ;
2) (а -Ь ) = 0, если а1.Ь илиа=0 или Ь = 0.
3) (а-Ь )=( Ъ -а);
4) (а;Ь +с) = (а-Ь )+(а-с);
5)(та ;Ь )=(а ;тЬ ) = т(а-Ь ); m=const
Если векторы а = с{,,ау,а2 '^Ь= 1%.,Ь Ь2 , то (а-Ъ)= ахЪх + ауЪу + а2Ъ2 а А-Ь о(а-Ь ) = 0,
Формула для вычисления угла между векторами:
с 08 ср =
СО_
ахЪх +ауЬу +аА
а
-\1а1 +С{2у +аг ‘^х +Ьу + Ъ]
Формула для нахождения проекции вектора на вектор:
4г,Ь
пр,а
ахЪх +ауЬу + «А
в
о
р
о
т
к
е
в
е
и
н
е
д
е
в
взи
о
р
п
е
о
н
р
о
т
к
е
РР
Векторным произведением векторов а и Ь называетсявектор с , удовлетворяющий условиям:
1)вектор с ортогонален векторам а и Ь
2) а, Ь и с образуют правую тройку
3) |с| = |а|
зтф, где ф - угол между векто-
рами а и 6 , біп > 0; 0 <д)<ж
Обозначается: с = [а,Ъ~\ или с =ахЬ . Свойства векторного произведения;
1) \а=-\ь ;
2) \ь = 0 , если а І | Ъ или а= 0 или Ъ = 0;
3)[ (mа )Ь ]=[ а (mЬ )] = m[а Ь ];
4) [а (Ь + с)] = [а Ь ]+ [а с ];
5)Если заданы векторы:
^ Ь= і{,Ь Ь2 в декартовой
прямоугольной системе координат с единичными векторами і, ], к , то
[ аЬ ]=
6) Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь равна модулю векторного произведения этих векторов.
і і к
а а а
X У 2
Ьх ЬУ Ь2
ь
ь
Окончание табл. 1
и
о
а
о
ё
и
и
и
к
X
<и
и
и
СО
к
о
а
с
и
о
X
X
ей
а
и
2
о
Смешанным произведением векторов а.
Ь и с называется число, равное скалярному произведению вектора а на вектор, равный векторному произведению векторов Ъ и с .
Обозначается (а, Ъ , с )= ^ с . Смешанное произведение 1/-Ь - с по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с .
в
о
р
о
т
к
е
в
е
и
н
е
д
е
в
з
и
о
р
п
е
о
н
н
а
•а
е
ем
о
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хотя бы один из векторов нулевой;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2)(ахЬ - с) = (а -Ь х с)
3)(а,Ь,с) = (Ь,с,а) - (с,а,Ь) = ~(Ь,а,с) - ~(с,Ь,а)
4) (Аа1 + ,Ь,с) = Х(ах ,Ь,с) + //(а2, Ь, с)
5) Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах а, Ь и с , равен
0?, Ь, <
' „ 1 ;треугольной призмы —
а, Ь,
четырехугольной пирамиды
6)Если
а =
а?, Ь, <
аг ; }= 4аа
", ау аг
К Ьу Ьг
Сх су Сг
у’ г
(а,Ь,с) -
7)Если (а, Ь, с) >0, то векторы образуют правую тройку, если (а, Ь, с) <0 , то левую.
Основой инновационного развития образовательного процесса в вузе является широкое использование интерактивных форм и методов обучения. Поэтому хотелось бы особо подчеркнуть интерактивность приведенных выше технологий проведения лекционных занятий.
Слово «интерактив» пришло к нам из английского от слова interact (inter - взаимный, act - действовать). Интерактивный означает способность взаимодействовать или находиться в режиме беседы, диалога с чем-либо. Следовательно, интерактивное обучение - это, прежде всего, диалоговое обучение, в ходе которого осуществляется взаимодействие, это обучение, погруженное в общение. Интерактивное обучение сохраняет конечную цель и основное содержание образовательного процесса. Оно видоизменяет формы с транслирующих на диалоговые, т.е. включающие в себя обмен информацией, основанной на взаимопонимании и взаимодействии.
Правила организации интерактивного обучения включают следующие пункты:
1) в процесс обсуждения проблем должны быть вовлечены, в той или иной мере, все участники;
2) психологическая подготовка участников;
3) обучающихся не должно быть более 25-30 человек. При этом условии возможна продуктивная работа в малых группах;
4) вопросы процедуры и регламента надо обсудить в самом начале занятия и постараться не нарушать их;
5) важно договориться о том, что все участники будут терпимы к любой высказываемой точке зрения, будут уважать право каждого на свободу слова и т. д.;
6) деление участников на группы лучше построить на основе добровольности.
Затем можно воспользоваться принципом случайного выбора. По окончании работы в группах необходима организация межгруппового общения с целью выяснения общей картины, построения системы, обобщения, обеспечение возможности для рефлексии и взаимо-оценки. Это - дополнительная возможность организовать обучение общению.
Рассмотренные выше технологии «Бортовой журнал» и лекция с заранее запланированными ошибками отвечают всем указанным правилам. Их использование дает
1) обучающемуся:
• развитие личностной рефлексии;
• осознание включенности в общую работу;
• становление активной субъектной позиции в учебной деятельности;
• развитие навыков общения;
• принятие нравственности норм и правил совместной деятельности; повышение познавательной активности
2) группе:
• формированию как групповой общности;
• повышение познавательного интереса;
• развитие навыков анализа и самоанализа в процессе групповой рефлексии;
3) преподавателю:
• нестандартное отношение к организации образовательного процесса;
• формирование мотивационной готовности к межличностному взаимодействию не только в учебных, но и иных ситуациях.
Библиографический список
1. Стил, Дж.Л. Основы критического мышления: междисциплинарная программа. Пос. 1. [Текст] / Дж. Л. Стил, К.С. Мередит, Ч. Темпл, С. Уолтер. - М.: изд-во ин-та «Открытое общество», 1997. -88 с.
2. Заир-Бек, С.И. Развитие критического мышления на уроке [Текст] / С.И. Заир-Бек, И.В. Мушта-винская - М.: Просвещение, 2004. - 175 с.
3. Загашев И. О., Заир-Бек С.И. Критическое мышление: технология развития [Текст] / И.О. Загашев, С.И. Заир-Бек. - СПб.: Альянс «Дельта», 2003. - 284 с.
4. Жебровская, О.О. Кластерная стратегия в системе образования [Текст] / О.О. Жебровская, Т.В. Щербова. - СПб. : Экспресс, 2011. - 80 с.
5. Образовательные стратегии и технологии обучения при реализации компетентностного подхода в педагогическом образовании с учетом гуманитарных технологий: методические рекомендации [Текст] / Б.В. Авво и др. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. — 108 с.
