CC BY
19
DOI 10.25987^Ти.2019.15.6.010 УДК 621.396
ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО КОДИРОВАНИЯ В СИСТЕМАХ С РЕШАЮЩЕЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
А.В. Башкиров, И.В. Свиридова, Д.А. Пухов, А.С. Демихова
Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: описывается практически реализуемый метод стохастического кодирования, который для системы любых двоичных каналов обеспечивает достаточно малую вероятность необнаруживаемой ошибки. Целью анализа являются системы, в которых канал связи обеспечивает передачу сигналов от передающего пункта к приёмному с минимальными искажениями. Практическое искажение сигналов в реальных каналах связи неизбежно, так как каналы подвержены воздействию различного рода помех, характер которых может часто изменяться. В работе рассматривается система двоичных каналов, которая будет осуществлять переспрос кодовых блоков с обнаруженными ошибками для увеличения качества сигнала. Одним из самых важных условий передачи данных является передача высокой четкости сигнала, так как появление ошибок в коде искажает информацию и может привести к нарушению процесса работы устройства. Рассматривается установка двоичных каналов, в которой все ошибки канала аддитивные. Для преобразований, которые помогут сохранить целостность информации, рассматривают два этапа. На первом этапе метод стохастического кодирования обеспечивает выполнение сохранения сигнала только для канала с аддитивными ошибками. Вторым этапом является стохастическое преобразование, сводящее произвольный двоичный канал к каналу с аддитивным шумом. Оба эти преобразования должны быть взаимно независимыми, иначе их можно рассматривать как одно преобразование, если эти коды используются в системе с решающей обратной связью, то аддитивный канал не будет уменьшать среднюю скорость передачи информации
Ключевые слова: стохастическое кодирование, двоичный канал с шумом, система с решающей обратной свя-
Из-за большого множества дискретных каналов образуется проблема с построением универсального кода, гарантирующего в любых канальных связях обеспеченную некоторую величину рно при заданных значениях параметров к и п. Скорость передачи информации напрямую зависит от вида канала, потому что для некоторых каналов она может приблизиться почти к 0. При малых значениях величины рно пользователь будет получать не искажённую информацию, а если скорость начинает падать, то это служит сигналом того, что нужно использовать другой канал связи.
В двоичном канале с аддитивным шумом существует некий систематический код (п,к) -код, обеспечивающий выполнение выражения
Рно ^ ^ . (1)
Но все же это не является доказательством того, что есть один единственный вариант кода, в котором неравенство (1) выполнялось бы в любом двоичном канале с аддитивным шумом.
Из доказательства неравенства (1) видно, что оно верно и при выборе случайного кода, что равносильно выбору первичных матриц, которые содержат к х (п — к) двоичных элементов. Кроме этого, неравенство (1) - на слу-
зью, целостность информации, сигнал, аддитивный канал
Введение
При обработке и передаче информации, как правило, сигнал находится в не защищенном виде. В этих процессах система наиболее всего уязвима и склонна к ошибкам. Наблюдать вероятность ошибочного блока приема можно в двоичном канале с шумом.
Система с обратной решающей связью
Возьмем для примера систему, в которой обратная связь является решающей. В ней осуществляется переспрос кодовых блоков с обнаруженными ошибками и используется (п, ^)-код. Существует множество способов создания этой системы: с адресным переспросом, блокировкой и т.д. В каждой из этих систем точность передаваемой информации потребителю напрямую зависит от вероятности не обнаруживаемой ошибки данным кодом рно, а от относительной скорости к/п используемого кода и вероятности безошибочного приема кодового блока в прямом и обратном каналах рбо.
© Башкиров А.В., Свиридова И.В., Пухов Д.А., Демихова А.С., 2019
чай использования каналов с неаддитивным шумом.
Описание способа кодирования
В первом этапе можно предположить, что все ошибки канала аддитивны. Из этого следует, что вероятность приема последовательности тЭ]-, если передана , которая, в свою очередь, зависит от поразрядной суммы д^ и д^ по mod2. Из этих действий составим стохастический код, удовлетворяющий (1). Во втором этапе будет выявлено, что с помощью стохастического преобразования произвольного двоичного канала можно изменить симметричный канал с аддитивными ошибками. Соблюдая эти два важных условия, выполняется неравенство (1).
Этап 1
Каждый стохастический преобразователь, отображающий случайным образом множество двоичных последовательностей длины п в себя, полностью определяется матрицей порядка 2" X 2" условных вероятностей перехода этих последовательностей друг в друга.
Ограничимся далее случайным преобразованием, обладающим следующими свойствами
1. Реализация п5 каждого преобразования однозначно определяется набором у5, б = 1, 2,..., 2" — 1 вектор - параметров и является взаимно однозначным отображением множества двоичных последовательностей длины п в себя.
2. Для каждой реализации у5 преобразование п5 является дистрибутивным относительно поразрядного суммирования по mod2, т.е.
©$') = п5д © Б = 1,2,..., 2" — 1
для любых д и д .
3. Если вектор-параметры у5 и различны, то п5 д Ф п5д и п^1 $ Ф я"1 д для любых последовательностей $ Ф 0 (т. е. для д, не состоящих из всех нулей).
4. Вероятности всех 2" — 1 наборов вектор - параметров одинаковы и равны 1/(2" — 1).
Рассмотрим далее следующую систему связи: информационные символы источника преобразуются в комбинации некоторого систематического (п, ^)-кода, эти комбинации подвергаются стохастическому преобразованию п5, удовлетворяющему свойствам 1-4, и
подаются в канал связи, где они складываются с аддитивной помехой; на приемной стороне предполагается известной реализация случайных вектор - параметров у5, поэтому известно и обратное преобразование пБ-1, которому и подвергаются принимаемые блоки длины п, после чего производится обнаружение ошибок (п, ^)-кодом. Известно, что вероятность не обнаруживаемой ошибки всегда равна вероятности того, что в канале связи некоторое кодовое слово тЭI перейдет в другое кодовое слово тЭ]-. Если фиксировать кодовое слово и преобразование п5, то в канале с аддитивным шумом эта вероятность будет, очевидно, равна вероятности появления такого образца ошибки е, что © е) = д] Ф Суммируя эти
вероятности по различным д^ Ф д^ и усредняя их по всем кодовым словам и реализациям преобразований п5, получаем, с учетом свойства 4, что
Рно = ^Е^К^Е^Г^^Р^^ЧМг ©
©е)=^} , _ (2)
где р ($;) - вероятность появления ьго кодового блока.
При любых фиксированных д^ , д^ и у5 существует единственный образец ошибки е, для которого © е) = д]. Кроме того,
для различных реализаций п5 эти образцы ошибок всегда будут различными. Первое из этих утверждений следует из свойства 1. Для доказательства второго предположим противное, т.е. что существуют различные у5 и , для которых §1 © е) = п~г(п5 © е).
Но тогда по свойству 2 преобразования п5 получаем из предыдущего равенства, что = е, а так как Ф д^ и, следовательно, е Ф 0, то по свойству 3 последнее равенство невозможно.
Из доказанных утверждений немедленно следует, что при фиксированных д^ и д^
Й^Ме: щ1 (щЪ © е) = < 1 (3) а так как число различных кодовых слов д], отличных от фиксированного слова д^, равно 2к — 1, то, меняя порядок суммирования по 5 и по _/, в (2) из (3) получаем оценку рно для системы связи, использующей стохастические преобразования со свойствами 1-4.
Рно <^5т2г=1Р№) . (4)
Из (4) видно, что эта оценка не зависит от свойств используемого кода, поэтому его можно выбрать тривиальным образом, а имен-
но, к первых элементов кодового блока заполнять информационными символами, а п — к оставшихся — нулями.
Таким образом, условия 1—4 являются достаточными для справедливости оценки (1). Необходимость этих условий не утверждается, однако ниже приводится пример невыполнения оценки (1) при нарушении условия 2.
Приведем пример стохастического преобразования, обладающего свойствами 1-4. Пусть с равными вероятностями 1 / (2п — 1) генерируется каждая из 2" — 1 ненулевых двоичных последовательностей у5 длины п. Реализации последовательности у5 , так же как и реализации кодовых блоков рассматриваются как элементы конечного поля Галуа GF(2n) и для выполнения преобразования осуществляется умножение этих элементов друг на друга. Операция умножения элементов конечного поля GF(2n) эквивалентна умножению полиномов $;(х) и у5(х) с коэффициентами из поля GF(2n), соответствующих последовательностям и у5, с последующим приведением полученного произведения по модулю некоторого неприводимого над GF(2n), полинома степени п — 1. Практически такая операция легко осуществляется в регистре с обратными связями, задаваемыми последовательностью у5.
Для упрощения генерирования 2" — 1 равновероятных ненулевых последовательностей можно равновероятно и взаимно независимо генерировать нули и единицы, а при случайном образовании блока длины п из всех нулей заменять его любым заранее заданным ненулевым блоком, например блоком, которому соответствует единица в конечном поле GF(2n). Так как вероятность появления нулевой последовательности равна 1/2", то практически можно считать, что оценка (4) будет справедлива и при таком методе реализации стохастического преобразования.
Интересно заметить, что если вместо операции перемножения последовательностей д^ и у5 осуществлять операцию щ сложения этих последовательностей по mod2, то из (2) получаем:
Рно = ^2;/=1Р(е = Аг), (5)
т.е. такое преобразование никак не влияет на величину рно. Это объясняется тем, что преобразование щ не удовлетворяет свойству дистрибутивности 2. Действительно,
Ф Ц) Ъ ф у5, но тГ5д{ ф тЗД =
= Ъ Ф Ъ Ф Ц = Ц.
Пусть случайное преобразование обладает свойствами 1-4, но шум в дискретном канале не является аддитивным и определяется матрицей переходных вероятностей р(д | $), где д и д - двоичные последовательности длины п. Тогда, видоизменяя (2), получим
Рно = ^^Р^^Ь^Р^М;). (6)
Покажем, что всегда существует такой двоичный канал, что рно, рассчитанное по (6), не удовлетворяет неравенству (1), если хотя бы одна ненулевая кодовая комбинация имеет вероятность р ($г) > 1/(2к— 1).
Для доказательства изменим порядок внутреннего суммирования в (6), тогда
Рно >
¿х^^Г^М/М), (7)
где и д] — любые кодовые комбинации, причем р(д{) > 1/ (2к—1). Так как п5 Ф по условию 3, накладываемому на преобразование п5, то вероятности перехода р(п3 при фиксированных , д] и раз-
личных 5 будут всегда находиться в различных строках матрицы переходных вероятностей р(д |$), описывающей данный канал. Поэтому существует такой двоичный канал, для которого эти вероятности сколь угодно близки к единице, а тогда из неравенства (7) следует, что
Рно = (8)
Из неравенства (8) видно, что если к<п—к, то оценка (1) для такой системы связи и выбранного канала оказывается несправедливой. Заметим, что при доказательстве (8) не использовалась дистрибутивность п5, поэтому полученный вывод будет справедлив для любого взаимно-однозначного стохастического равновероятного преобразования. Таким образом, построенный на этом этапе метод стохастического кодирования обеспечивает выполнение (1) только для канала с аддитивными ошибками.
Этап 2
Переходим ко второму этапу стохастического преобразования, сводящего произвольный двоичный канал к каналу с аддитивным шумом.
Применим для этого преобразование поразрядного суммирования двоичных последовательностей по mod2 с последовательностя-
ми равновероятных и взаимно независимых двоичных символов.
Для такой системы связи вероятность перехода входного блока д^ в выходной блок д^ будет, очевидно, равна
Р№) = Рф © © Ъ) . (9)
Введем по определению «образец ошибки» е = © -д] и пусть Ф , а = © е. Тогда, очевидно, Ф и
р№) = Р(Ъ © © к,) (10)
рО^М") = © е © © кя). (11)
Сравнивая слагаемые (10) и (11), можно убедиться, что они являются лишь перестановкой друг друга. Действительно, возьмем любую пару выходных и входных последовательностей из (10), например © е © уз1; ^г © Уб1, тогда с ней в точности совпадает одна и только одна пара (11), а но, (^ © е © у52; ^ © уя2), где у52 = ^ © © /51. Отсюда непосредственно следует, что (10) и (11) равны между собой, следовательно, канал, после указанного выше преобразования, будет иметь аддитивный шум, так как вероятности переходов р | д^ ) зависят только от образцов ошибки е = д^ © д^.
Вероятности появления любых образцов ошибок е в таком канале можно рассчитать по формуле:
р(е)=^£^1Р(е©к,1кД (12)
где у3 пробегает 2" различных наборов двоичных последовательностей, а р (• | •) матрица переходов - блоков в исходном канале. В частном случае вероятность образца ошибки е = 0, т. е. безошибочного приема любого блока в таком канале будет равна
Рбо(п) ^Й^РСКПКД (13)
Заключение
Из полученных выше результатов становится ясно, как необходимо строить стохастические преобразователи, для того чтобы в любом двоичном канале получить для вероятности не обнаруживаемой ошибки оценку (1): достаточно последовательно осуществить на передающей стороне два стохастических преобразования — сначала преобразование, удовлетворяющее условиям 1- 4 (например, умножение на случайный полином), а затем сложение по mod2 со случайной последовательностью; на приемной стороне необходимо осуществить эти преобразования в обратном порядке. Заметим, что оба эти преобразования должны быть взаимно независимыми, иначе их можно рассматривать как одно преобразование, для которого будет справедливо неравенство (8).
Таким образом, полученные результаты в известной мере закрывают проблему выбора кодов при работе по различным каналам с неизвестной или изменяющейся структурой. Если эти коды используются в системе с решающей обратной связью, то сведение канала к аддитивному, как видно из (13), не уменьшает среднюю скорость передачи.
Литература
1. Коржик В.И. Границы по вероятностям обнаруживаемых ошибок и оптимальные групповые коды в каналах с обратной связью. М.: Радиотехника, 1965. Ч. 1. С. 27-33.
2. Финк Л.М., Коржик В.И. Выбор кодов для обнаружения ошибок в системах с решающей обратной связью// Труды 3-го Междунар. симпозиума по теории информации. Москва-Таллин, 1973. Ч. 1. С. 138-142.
3. Питерсон У. Коды, исправляющие ошибки. М.: «Мир», 1964.
4. Хорошайлова М.В. Архитектура канального кодирования на основе ПЛИС для 5G беспроводной сети с использованием высокоуровневого синтеза // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2018. Т. 14. № 2. С. 99-105.
5. Башкиров А.В., Хорошайлова М.В. Использование вынужденной конвергенции для снижения сложности LDPC-декодирования // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2017. Т. 13. № 1. С. 69-73.
Поступила 30.09.2019; принята к публикации 09.12.2019 Информация об авторах
Башкиров Алексей Викторович - д-р техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: fabi7@mail.ru, ORCID: http://orcid.org/0000-0003-0939-722X Свиридова Ирина Владимировна - старший преподаватель, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: ri-ss-ka@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/ 0000-0001-52790807
Пухов Дмитрий Анатольевич - студент, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: voronarez@gmail.com, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6818-2715 Демихова Алеся Сергеевна - магистр, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: kipr@vorstu.ru
APPLICATION OF STOCHASTIC CODING IN SOLUTION FEEDBACK SYSTEMS A.V. Bashkirov, I.V. Sviridova, D.A. Pukhov, A.S. Demikhova Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: this article describes a practical method of stochastic coding, which provides a sufficiently small probability of undetectable errors for a system of any binary channels. The purpose of the analysis are systems in which the communication channel provides the transmission of signals from the transmitting point to the receiving point with minimal distortion. Practical distortion of signals in real communication channels is inevitable, since the channels are exposed to various kinds of interference, the nature of which can often change. In this paper we consider a system of binary channels, which will carry out a replay of code blocks with detected errors to increase the quality of the signal. One of the most important conditions for data transmission is the transmission of high-definition signal, as errors in the code distorts the information and can lead to disruption of the device. This article discusses a binary channel setup in which all channel errors are additive. For transformations that will help to preserve the integrity of information, consider two stages. At the first stage, the stochastic coding method ensures that the signal is stored only for the channel with additive errors. The second step is a stochastic transformation that reduces an arbitrary binary channel to a channel with additive noise. Both of these transformations have to be mutually independent, otherwise they can be considered as one transformation, if these codes are used in a system with decisive feedback, then the additive channel will not reduce the average rate of information transfer
Key words: stochastic coding, binary channel with noise, system with decisive feedback, information integrity, signal, additive channel
References
1. Korzhik V.I. "Bounds on probabilities of detectable errors and optimal group codes in feedback channels", Radio Engineering (Radiotekhnika), 1965, part 1, pp. 27-33.
2. Fink L.M., Korzhik V.I. "Choice of codes for error detection in systems with decisive feedback", Proc. of the 3rd Intern. Symposium on Information Theory (Trudy 3-go Mezhdunar. simpoziuma po teorii informatsii), Moscow-Tallinn, 1973, part 1, pp. 138-142.
3. Peterson W. "Error-correcting codes", Moscow, Mir, 1964.
4. Khoroshaylova M.V. "Architecture of FPGA based channel coding for 5G wireless network using high-level synthesis", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta), 2018, vol.14, no. 2, pp. 99-105
5. Bashkirov A. V. "Use forced convergence to reduce the complexity LDPC decoding", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta), 2017, vol. 13, no. 1, pp. 69-73
Submitted 30.09.2019; revised 09.12.2019
Information about the authors
Aleksey V. Bashkirov, Dr. Sc. (Technical), AssosiateProfessor, Voronezh State Technical University (14, Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: fabi7@mail.ru, ORCID: http://orcid.org/0000-0003-0939-722X
Irina V. Sviridova, Assistant Professor, Voronezh State Technical University, (14, Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: ri-ss-ka@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/ 0000-0001-5279-0807
Dmitry A. Pukhov, Student, Voronezh State Technical University (14, Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: voronarez@gmail.com, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6818-2715
Alesya S. Demikhova, MA, Voronezh State Technical University, (14, Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: kipr@vorstu.ru
