CC BY
29
АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ
УДК 539.3
ПРИМЕНЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ НОВОЖИЛОВА В.В.
К РАСЧЕТУ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ АПК
Ю.В. Клочков, доктор технических наук, профессор Т.Р. Ищанов, ассистент
Волгоградский государственный аграрный университет
Изложен алгоритм конечно-элементного расчета эллиптического цилиндра при использовании теории тонких оболочек Новожилова В.В. [2]. В качестве элемента дискретизации применяется четырехугольный криволинейный конечный элемент с восемнадцатью степенями свободы в узле, варьируемыми параметрами которого выбраны компоненты вектора перемещения, их первые и вторые производные. Реализован скалярный вариант интерполяционной процедуры, при котором каждая компонента вектора перемещения внутренней точки конечного элемента интерполируется через свои узловые значения.
Ключевые слова: конечный элемент, цилиндрическая оболочка, полиномы Эр-мита, матрица жесткости.
Сочетая в себе повышенную прочность, экономичность, относительную легкость и долговечность, оболочки нашли широкое применение во всех отраслях техники, в том числе и в агропромышленном комплексе. Сельскохозяйственные конструкции представляют собой оболочки различной геометрии: цилиндрические и конические. Наиболее широкое применение получили цилиндрические оболочки, примерами которых являются цистерны, оросительные трубопроводы, колонны (рис. 1, 2) и т.д.
Рисунок 1 - Полуприцеп-цистерна Рисунок 2 - Трубопровод
Геометрические соотношения
Зависимости между деформациями срединной поверхности цилиндрической
оболочки и перемещениями, а также их производными могут быть записаны в виде [2]
ди 1 ду .
£п = гг', = — ^--лVI/;
11 дх' // а2 дг
_ д2\у _ ^ ^ -у ^ ,
1
Х22_ Т2' дt
г 1 ди Л2 д1 ду дх'
1 -—к-
А2 дхд С дх
1 ду . — к — дг 1 к
Л2 д1
где £ 11 ,£2 2 ,£ 1 2 - относительные удлинения и сдвиг срединнои поверхности; к 1 ,к 2 ,К 2 - искривления и кручение срединной поверхности оболочки в процессе деформирования; х- осевая координата; А2 = . 1 =; t - параметр эллипса, заданного уравнени-
к<ю+(1)
ем в параметрическом виде; <р = а ■ с о 0, 1 = Ъ ■ б 1 п( а - большая полуось, Ъ- малая полуось эллипса; - тангенциальные и нормальные компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности; к - кривизна дуги поперечного сечения эллиптического цилиндра.
Физические соотношения тонких оболочек
Основные соотношения, которые выражают линейную (закон Гука) зависимость между напряжениями и деформациями в произвольной точке, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии ъ, могут быть представлены в следующем виде [2]:
О = — ( £(2) + V £(2)) О = — ( £(2) + V £(2Л 1 = 1 2 ( £1 1 + У£2 2 ), а2 2 = 12 ( £2 2 + У£1 1
О"! 2=^2 1 2), (2)
-11 )
Е „(Ю 2 ( 1 +у)
где - нормальные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках эле-
мента, выделенного из оболочки; - касательные напряжения на тех же площад-
ках; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; £(_2]), ^^ £(2) - деформации в произвольном слое оболочки, отстоящем на расстоянии ъ от срединной поверхности.
Входящие в (2) £( могут быть выражены через деформации средин-
ной поверхности
£11 = £11 гя11> £22 = е22 + 2Х22> £12
= £ 1 2 + 2 г к 1 2- (3)
Матрица жесткости и столбец внешней нагрузки конечного элемента
Узловыми варьируемыми параметрами четырехугольного конечного элемента выбираются компоненты вектора перемещения их первые и вторые производные. Столбец узловых варьируемых параметров четырехугольного конечного элемента в локальной и глобальной системах координат выбран в виде [ 1]
* "У + 1 1X72 = I 1У> 1 1 К + ( , * ^ + 1 1X72 = I У 1 Гу+ 1 К + 1 }, (4)
I 1X24 1X24 1X24 ) I 1X24 1x24 1x24 )
где
* <)т ={ ч1 ч]чк ч1 ^ 4 ч,к ч\^ ■ ■ ■ - - ч,^ ч\щ ■ ■ ■ ч\щч^- - ч,У;
* ч г}'г = { ч 1 ч7ч к ч ' ч 1 ч7 чкч 'ч 1 ■ ■ -ч ' ч 1 --ч ' ч 1 ■ ■ -ч ' ч 1 --ч ' } -
Под понимается компонента вектора перемещения в узловой точке элемента дискретизации (ш = /,_/', к, / ).
При реализации конечно-элементной процедуры возможно использование двух вариантов интерполяции перемещений: общепринятой скалярной интерполяции [3, 4, 5] и векторной интерполяции перемещений [6].
В настоящей статье реализован скалярный вариант интерполяционной процедуры. При таком подходе каждая компонента вектора перемещения внутренней точки четырехугольного конечного элемента интерполируется через свои узловые значения следующими зависимостями
[А] =
3X72
7 = Н^Оад)?' + ^(ОЯх^)?7 + Я2(ОЯ207)^ + Я^^От ) ( г + +Я3(ОЯ1(т7)4 + Я4(0Я1(т?)^ + Я4(ОЯ2(77)7,| + Яз(ОЯ2(т)^ + +Я1(ОЯз(77)д,1„ + Я2(ОЯз(т)й + Я2(0Я4(т)7,^ + Я^^О?)^ + +Я5(ОЯ1(т/)4? + Яб(0Я1(т/)^ + Яб(ОЯ2(?7)^ + Я5(ОЯ2(т + (5) +Я1(ОЯ5(77)Й„ + Я2(ОЯ5(77)Й? + Я2(0Яб(т)й„ + Я1(0Яб(т)й„ + +Яз(ОЯЗ(77)<4 + Я4(ОЯ3(77)^ч + Я4(ОЯ4(77)^„ + Я3(0Я4(т где Я ¿( ЯД?7 ) полиномы Эрмита пятой степени [7].
Интерполяционное соотношение (5) может быть записано в матричном виде
7 = ДО }7{ 7у}- (6)
Используя зависимости (1) и (2), можно скомпоновать матричные соотношения
Ы=№Л}; &}=№„}; Ы=№Л; }, (7)
т
где {г^} = {^11^22^12} и (о«?/} = (°"1 1°2 2°"12 } - столбцы деформаций и напряжений в
произвольном слое оболочки; матрица [Л ] имеет вид
{ } { } { }
{0} {0} КО} {0} {До7"]
(г«//} = { г 1 1г2 2г1 2 х ^2Х 2}; { = {^1 м2 ^ - столбцы деформаций и перемещений произвольной точки срединной поверхности оболочки.
Из условия равенства работы внешних и внутренних сил на возможном перемещении можно получить матрицу жесткости и столбец внешней нагрузки конечного элемента [3]
К}т К} ^= К}Т , (8)
к ^
где { } - столбец внешней поверхностной нагрузки.
Функционал (8) с учетом (7) можно преобразовать к виду
¿КГ [4 [Г]тС[Г[^К}dv=IК}г[4т №. (9)
Обозначим [ЛТЛ] = ^ [5 ]7[ Г]Т[С][Г][5 ]йК ; {/л} = ^ [Л ]7{Р } йР- матрица жесткости и столбец внешней нагрузки конечного элемента в локальной системе координат [3]. Соотношение (9) можно преобразовать к матричному виду
[*Г]{ ^ = {/а (10)
где ^КГ ] = [Т] ^КЛ ][Т ]; {/Г } = [Т] {/Л } - матрица жесткости и столбец узловых усилий в глобальной системе координат; [Т] - матрица перехода, формируемая на основании зависимости между локальными и глобальными координатами.
Пример расчета
В качестве примера была решена задача по определению напряженно-деформированного состояния открытого с торцов бесконечно длинного эллиптического цилиндра, находящегося под воздействием внутреннего давления интенсивности д.
Рисунок 3
Были выбраны следующие исходные данные: параметры поперечного сечения цилиндра а = 0, 1 м, Ъ = 0 , 0 7 ; осевая координата х изменялась в пределах 0 < х < О, 0 1 м , толщина оболочки t = 0, 0 0 1 м , модуль упругости материала Е = 2 ■ 1 0 5 М П , коэффициент Пуассона V = 0; ц = 5 ■ 1 0 _ 2 М Па .
Результаты расчетов представлены в таблице 1, в которой приведены численные значения нормальных напряжений <2 2 на срединной, внутренней и наружной поверхностях цилиндра в зависимости от густоты сетки дискретизации.
Используя условие равновесия, можно вычислить напряжения на срединной по-
т^ с ф
верхности эллиптического цилиндра в точках С и О соответственно <22 = ~ =
0,005-0,7 глтглл-г г <7а 0,005-1 _ г Л „
--- = 0, 3 5 МПа, <7 2 = — = --= 0, 5 МПа.
0,01 ' // С 0,01
Таблица 1
Координаты Параметры НДС, МПа Сетка дискретизации
узловых точек 17 X 2 21 х 2 25 х 2 33 х 2
точка С, 0,345 0,345 0,345 0,345
(x=0,00 м <¡22 -39,640 -39,640 -39,640 -39,640
II <¡22 40,330 40,330 40,330 40,330
точка D, °22 0,528 0,529 0,529 0,529
(x=0,00 м <¡22 40,820 40,820 40,820 40,820
t = 0, 0 0 ) -39,763 -39,763 -39,763 -39,763
Анализ результатов, представленных в таблице 1, показал, что наблюдается сходимость вычислительного процесса к аналитическому решению, полученному из условия равновесия. Погрешность вычислений напряжений в точке D не превышает 5,7 %, а точке С - 0,057 %. Таким образом, реализованный алгоритм может быть рекомендован к использованию в практике инженерных расчетов.
Библиографический список
1. Векторная интерполяция полей перемещений в конечно-элементных расчетах оболочек [Текст]/ А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, А.П. Киселев, Н.А. Гуреева. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ «Нива», 2012. - 264 с.
2. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек [Текст]/ В.В. Новожилов. - Л.: Судостроение, 1962. - 431 с.
3. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых сооружений [Текст]/ В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.
4. Бате, К.Ю. Методы конечных элементов [Текст]/ К.Ю. Бате, В.П. Шидлов-ский (пер. с англ.); Л.И. Турчак (ред.). - М.: Физматлит, 2010. - 1022 с.
92
5. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций [Текст] / А.И. Голованов, О.Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутдинов. - М.: Физматлит, 2006. - 391 с.
6. Николаев, А.П. Применение конечных элементов с векторной интерполяцией перемещений к расчету осесимметричных оболочек вращения [Текст]/ А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, Ю.В. Клочков // Прикл. механика. - 1990. - Т.26. - № 11. - С. 110-114.
7. Клочков, Ю.В. Использование криволинейного четырехугольного конечного элемента к расчету сочлененных оболочек вращения [Текст]/ Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, О.А. Проскурнова // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2007. -№11. - С. 16-24.
E-mail: [email protected]
