CC BY
25
УДК 539.3
УЧЕТ ЖЕСТКИХ СМЕЩЕНИЙ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В НЕЯВНОМ ВИДЕ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В работе для учета смещений конечного элемента как жесткого тела в неявном виде предлагается использовать векторную интерполяцию перемещений, основанную на выборе в качестве основных узловых неизвестных непосредственно самих векторов перемещений, а не их отдельных компонент.
Одной из наиболее сложных проблем, возникающих при конечно-элементном анализе оболочек является проблема учета смещений конечного элемента как жесткого целого. На современном этапе развития МКЭ учет жестких смещений оболочечного дискретного элемента предлагается осуществлять в явной форме путем построения соответствующих интерполяционных полиномов [1, 2], посредством разложения функций деформаций и перемещений в степенной ряд с последующим выделением членов ряда, определяющих жесткое смещение элемента [3]. Все эти вышеупомянутые приемы и подобные им [4] имеют достаточно узкий диапазон применения и не могут претендовать на общее решение проблемы.
В настоящей работе учет смещений конечного элемента как жесткого целого предлагается осуществлять в неявной форме путем использования разработанной векторной интерполяции перемещений внутренней точки дискретного элемента. При векторном способе аппроксимации перемещений в качестве основных узловых неизвестных на этапе записи интерполяционного выражения выбираются непосредственно сами векторы перемещения, а не его отдельные компоненты, как это общепринято [5].
Основная суть предлагаемого способа векторной интерполяции перемещений при нелинейном конечноэлементном анализе оболочек заключается в использовании выражения вида
являются шаговые векторы перемещений, а также их первые и вторые производные в
индексами 1, ], ... ,п обозначены узлы элемента дискретизации рассчитываемой конструкции.
настоящей статье в качестве элемента дискретизации рассматривается произвольно ориентированный на срединной поверхности четырехугольный криволинейный фрагмент непологой оболочки с узлами ь ^ к, 1.
Столбец векторных узловых неизвестных в локальной системе координат может быть представлен матричным соотношением
Ю.В. Клочков
Кафедра мелиоративного и водохозяйственного строительства Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии 400002 Волгоград, ул. Институтская, 8
(1)
где { Й' } Т = ... ™”4М?‘п... ...
. . . У\/П М?' ...И7” [— столбец векторных узловых неизвестных, элементами которого
локальной системе координат Е,,
строка интерполяционных полиномов;
Размерность столбца
зависит от типа используемого конечного элемента. В
И =[#]{*;}■ (2)
24x1 24x1 24x1
Т
где 1^1 = ... \v\w\... й‘2й'п... ^;>'22...
22^12 "^12 } _СТ0Л®еЦ вектоРных узловых НвИЗВеСТНЫХ В обобщенной
глобальной криволинейной системе координат 01,0* ,\Щ- матрица перехода.
Представляя узловые векторы шагового вектора перемещения и их производные в глобальной системе координат компонентами, отнесенными к актуальному базису оболочки [6]
Й" = у»прап + уГап; м?" = Гап + Га";
р 9 ,а а р а 7
м?п=Гмп+Гвап, О)
,ар ар р ар ’
столбец | | может быть определен матричным произведением
{V} Ав']{р;}, (4,
24x1 24x 72 72x1
где - квазидиагональная матрица, состоящая из узловых векторов актуального
базиса оболочки (п=і, ^ к, 1, а греческие индексы а, Р, р здесь и ниже
последовательно принимают значения 1, 2).
Входящий в (4) столбец скалярных величин | Ру | имеет следующую структуру
{ ш) _ ( ІІ ..і /ііі ^І2^/1 ^ (1 }
Ру] —yWWW...Wtxtltl...tltг... Ґ2Ґ„ ... и... Ґ22?и ... tn І. (5)
72^1
Выражая узловые векторы актуального базиса через базисные векторы внутренней точки конечного элемента
а" = В" а + В\а; а" = В" а + В" а, (6)
Р РУ ї Р* у 33 9 4 7
матрица Вш 1 может быть представлена суммой
в*] = [й;]5+[в;]г. (7,
Интерполяционная зависимость (1) с учетом (2), (4) и (7) примет вид где матрица [в] определяется из равенства
(9)
Выполняя дифференцирование (8) по глобальным координатам 0°
можно получить
первые и вторые производные шагового вектора перемещения
(10)
Левые части равенств (8), (10) могут быть представлены компонентами, отнесенными к актуальному базису внутренней точки конечного элемента
Принимая во внимание (11) из соотношений (8) и (10) могут быть получены искомые интерполяционные выражения компонент шагового вектора перемещения и его производных для внутренней точки четырехугольного конечного элемента
Анализируя полученные интерполяционные зависимости (12), можно отметить, что каждая компонента шагового вектора перемещения произвольной точки конечного элемента и каждая компонента производных шагового вектора перемещения по глобальным
структуру которого входят узловые значения всех трех компонент шаговых векторов перемещений узлов дискретного элемента. При общепринятой интерполяционной процедуре [5] каждая компонента шагового вектора перемещения и ее производные зависят от узловых значений этой и только этой компоненты
и не зависят от узловых значений остальных двух компонент и их производных. Если рассматривать вектор шагового перемещения и длину этого вектора как инвариантные объекты, то становится очевидным, что все три компоненты данного вектора взаимосвязаны и их независимая интерполяция является некорректной с геометрической точки зрения.
Пример расчета. В качестве примера был рассчитан цилиндр радиусом 11=0,3 м; толщиной 11=0,003 м; длиной 1=1,0 м, загруженный в середине пролета сосредоточенной силой Р=10 Н и первоначально опирающийся по торцам на шарнирные опоры. Модуль упругости материала был принят равным Е=2х10п Н/м2, коэффициент Пуассона у=0,3. Расчеты были выполнены в двух вариантах: в первом варианте была реализована разработанная интерполяция полей векторов перемещений; во втором варианте при формировании матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента использовалась традиционная независимая интерполяционная процедура [5].
координатам 0“ зависят от полного набора узловых варьируемых параметров
(13)
Результаты расчетов представлены в таблице № 1, в которой приведены величины нормального перемещения в точке приложения сосредоточенной силы в зависимости от густоты сетки дискретных элементов. Как видно из таблицы № 1 значения расчетных величин в первом и во втором вариантах расчета практически совпадают. То же самое можно сказать и о напряжениях в рассматриваемой точке.
Таблица № 1
Густота сетки конечных элементов Вариант расчета
I II
3x3 -0,80x10“* -0,82x10"
4x4 -0,83x10-4 -0,83x10-“
5x5 -0,84x10-4 -0,84x10-4
Если шарнирные опоры, расположенные по торцам цилиндра, заменить на пружинные -то оболочка получит возможность перемещаться вертикально вниз как абсолютно жесткое тело. Результаты расчетов цилиндра с измененными условиями опирания представлены в таблице № 2, в которой приведены величины кольцевого напряжения во внешних волокнах оболочки в точке приложения сосредоточенной силы в зависимости от величины вертикального смещения цилиндра как абсолютно твердого тела.
Как видно из таблицы № 2 результаты расчетов значительно отличаются друг от друга по вариантам. Так в первом варианте значения расчетных величин остаются стабильными, во втором варианте с увеличением смещения оболочки как абсолютно жесткого тела погрешность вычислений резко возрастает до совершенно неприемлемых величин.
Таблица № 2
Величина смещения цилиндра как абсолютно твердого тела, м Вариант расчета
I II
0 -84,3x10“ -85,7x10“
0,01 -84,3x104 -106,0x10“
0,02 -84,3x104 -126,2x10“
0,05 -84,3x104 -186,7x10“
0,10 -84,3x104 -286,7x10“
0,50 -84,3x10“ -1054,4x10“
Таким образом, основываясь на анализе табличного материала можно сделать вывод о том, что разработанная векторная интерполяция полей перемещений высокоточного четырехугольного дискретного элемента с матрицей жесткости 72x72 позволяет в полной мере учесть смещения конечного элемента как жесткого целого и корректно решить тем самым указанную общеизвестную проблему МКЭ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Железное Л.П., Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочки вращения как твердых тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1990г., №1, с. 131-136.
2. Скопинский В.Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов // Изв.вузов. Сер.: Машиностроение. - 1983. -№5. - с.16-21.
3. Сахаров А. С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений: Респ. межвед. научно-техн. сборник. - Киев: Будивельник, 1974,- Вып.24.-с. 147-156.
4. Кантин (G. Cantin) Смещение криволинейных элементов как жесткого целого // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - №7. - с.84-88.
5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 542 с. (пер. с англ.).
6. Клочков Ю.В., Николаев А.П. Сравнительный анализ способов аппроксимации МКЭ при расчете оболочки вращения в геометрически нелинейной постановке // Изв.вузов. Сер.: Машиностроение. - 2000. - №5-6 - с.27-32.
THE ACCOUNT OF RIGID DISPLACEMENTS OF A FINITE ELEMENT IN AN IMPLICIT KIND ON THE BASIS OF USE OF VECTOR INTERPOLATION OF DISPLACEMENTS
Yu.V. Klochkov
Departament of Reclamation and water supply building Volgograd state agricultural academy Institutskay st., 8, 400002, Volgograd, Russia
In work for the account of displacement of finite element as a rigid body in an implicit kind it is offered to use vector interpolation of displacements based on a choice as the basic node unknown directly vectors of displacements, instead of their separate components.
Юрий Васильевич Клочков родился в 1962 г., окончил в 1986 г. Волгоградский Сельскохозяйственный институт. Кандидат техн. наук, доцент. Автор 44 научных работ.
Yu.V. Klochkov (b. 1962) graduated from Volgograd agricultural institute in 1986. Author of 44 publications.
