Применение симплексного метода для оптимизации параметров режима бурения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 622.276

О.А. Авакян

к.т.н., доцент ДГТУ, г. Ростов-на-Дону, РФ E-mail: bys_ka87@mail.ru Т.В. Лавренова ассистент ДГТУ, г. Ростов-на-Дону, РФ E-mail: bys_ka87@mail.ru Н.В. Метелькова ст. преподаватель ДГТУ, г. Ростов-на-Дону, РФ

E-mail: Nadine_@mail.ru

Под общей редакцией академика Клыкова Ю.Г.

ПРИМЕНЕНИЕ СИМПЛЕКСНОГО МЕТОДА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ РЕЖИМА БУРЕНИЯ

Аннотация

В данной статье рассматривается модификация симплексного метода. На основании модернизированного алгоритма симплексного метода была составлена программа, позволяющая рассчитывать как переменные, так и постоянные за время бурения значения управляющих параметров, и включает в себя случаи роторного способа и электробурения. Применение симплексного метода оптимизации позволяет при минимальном количестве экспериментов, получать оптимальные значения параметров режима бурения.

Ключевые слова:

симплексный метод, оптимизация, бурение, нагрузки.

Процесс углубления скважин может быть описан следующими уравнениями[2]:

dh = m(P-Po)na

dt 1+b1F , ( )

dF _ Ai(gn+qn3) (2)

dt (dl-d2P)(1+b2F), ( )

- = ^ (3)

dt A

h(t) lt=0 = 0, F(t) lt=0 = 0, B(t) lt=0 = 0, (4)

где P-нагрузка на долото, кН, n - скорость его вращения, об-1; h-проходка, м, d1d2, g, q- параметры, характеризующие конструкцию долота; m, a, Af, A - коэффициенты, определяемые опытным путем; F и B —соответственно относительный износ зубьев и опор долота. При роторном способе бурения имеют место ограничения:

0 < F(t) < 1, 0 < B(t) < 1, РМин < P < Рмакс (5)

ПМин < П < Пмакс (6)

Значения пмин и пмакс диктуются характеристикой ротора. В качестве минимального значения

нагрузки на долото выбирается наименьшая из нагрузок, при которой наблюдается разрушение пород. Максимальное значение лимитируется прочностью долота, а на малых глубинах весом бурильной колонны. Функциональные ограничения обуславливаются: прочностью бурильных труб

Р < с1пс2есз п, (7)

мощностью, установленной в роторе

Р < с4 + С5п + с6п2 (8)

и выносом выбуренных частиц породы в затрубном пространстве при данном расходе промывочной жидкости Q:

Рзу°(уп-ур} +(с8-с9-^ |1(1п_1)<А (9)

РкПС7(УкП-Ур) У \Ур ) РкП

где с1 — с9 — эмпирические коэффициенты; v0 — механическая скорость проходки при t=0; F3, Fкп — площадь забоя и кольцевого пространства, мм2; уп,ур,укп — удельный вес соответственно породы, закачиваемой и выходящей промывочной жидкости, кН/м3; 1- характерный размер частиц выбуренной породы, мм; D,dтр —диаметр долота и бурильных труб, мм.

В случае электробурения скорость вращения для заданного типа электробура является постоянной величиной и поэтому не является управляющей переменной. При электробурении имеют место ограничения (5) и (9). Максимальное значение нагрузки на долото определяется из выражения:

N — N

^ном ^х.вр.э.

Рмакс = Мп

¿Чудном

Здесь ^ом — номинальная мощность электродвигателя электробура; ^.вр.э. — мощность электробура, расходуемая на вращение долота без осевой нагрузки; пном — номинальная скорость вращения; Му — удельный момент при скорости вращения.

Решение аналогичной задачи для турбинного способа бурения сводится к определению зависимости п=ДР^) и функционального ограничения на область устойчивой работы турбобура. Результаты исследований указанной задачи будут указаны в дальнейших публикациях авторов.

В качестве целевой функции используется стоимость 1 м проходки:

С = АЛ+А1, (10)

где А1 = Асп^п + Авсп^сп + Сд; где А0, Асп,Авсп— стоимость часа работы буровой установки соответственно при бурении, спускоподъемных и вспомогательных операциях, руб. ^сп — время, затрачиваемое на спускоподъемные и вспомогательные операции, ч, сд —стоимость долота, руб.; ^ — проходка на долото, м.

Задача состоит в отыскании режимных параметров (постоянных или переменных во времени), доставляющих минимум функции (10) , при дифференциальных связях (1) -(3), ограничениях (5) - (9) для роторного способа бурения, (5) и (9) при бурении электробуром и начальных условиях (4).

Данная задача теории оптимального управления легко сводится к задаче, разрешаемой методом нелинейного программирования. Следует отметить, что методы нелинейного программирования необходимы также и в связи с использованием таких методов оптимизации, как динамическое программирование или принцип максимума, в которых на различных этапах приходится решать задачи нелинейного программирования.

Для решения поставленной задачи предлагается метод нахождения экстремума функции многих переменных при наличии ограничений, являющийся модификацией симплексного метода Симплексный метод [1] позволяет избежать вычисления производных для определения направления наискорейшего продвижения к оптимуму, и в то же время сохранить возможность достаточно быстрого движения к нему. Вместе с тем реализация данного метода не требует существенного увеличения объема вычислений с повышением размерности решаемой задачи, поскольку на каждом шаге рассчитывается только одно значение целевой функции независимо от числа переменных. В то же время при использовании градиентных методов поиска с возрастанием числа независимых переменных соответственно

увеличивается число вычисляемых значений целевой функции при расчете производных по всем переменным.

Суть модификации симплексного метода заключается в следующем. Начальный симплекс из N+1 точек, удовлетворяющих ограничениям, строится случайным образом, что увеличивает вероятность того, что метод обнаружит глобальный оптимум. В полученных точках вычисляются значения целевой функции (10). Пусть вершина с наибольшим значением целевой функции характеризуется вектором Xj. Согласно правилу построения нового симплекса j-ая вершина отображается относительно центра тяжести остальных вершин симплекса Хс на расстоянии, равном Хс — Xj . Для ускорения сходимости метода предлагается указанное расстояние увеличивать на множитель S. Это будет противодействовать замедлению поиска оптимума при движении вдоль ограничений.

Вектор новой вершины вычисляется по формуле:

х- = хС+(хС-х^, (11)

Где Хс = NN ^ ^ Х;

j -отображаемой вершины.

Множитель ускорения предлагается брать равным 2.

Если в процессе продвижения к оптимуму новая вершина не удовлетворяет ограничениям или же значение целевой функции в ней меньше значений в старой вершине, то вектор новой вершины вычисляется по формуле преобразования:

х^ = хс+(хс—х;)(1—М^ (12)

Здесь М -последовательно принимает значение 2d, 2d-1, 2d-2, ...,1, при этом в последнем случае множителю S присваивается значение, равное 1.

Исследования показали, что наилучшая сходимость процесса наблюдается при d=7.

Из формулы (12) видно, что изменение М приводит к последовательному продвижению новой вершины к старой по прямой, соединяющей старую вершину с центром тяжести оставшихся вершин.

Процесс останавливается при применении смешанного критерия: разность значений функции в двух последовательных точках и среднеквадратичная длина ребра симплекса не должны превышать заданные величины г1 и £2.

При формировании задачи оптимального управления в виде задачи математического программирования каждая компонента вектора управления рассматривается как особая переменная для каждого дискретного момента времени^^ = 1, к). Временной интервал^ также рассматривается как переменная задачи. Общее число переменных, рассматриваемых в задаче математического программирования, или, другими словами, каждая вершина симплекса характеризуется набором чисел в количестве N=2 к+1, где к- число переключений режимных параметров за время долбления (Р^ щ, В), где i = 1к.

Из (3) получим время работы долота на забое:

к

Y 1

¿=iri "i

Интегрирование уравнения (2) в интервале времени (¿£-1, £), получим

F(t) = f{VIT^1~77-1}, (13)

Af(gni+qn3)

где Zi = ■

d1-d2Pi

Вводим обозначения F(ti-1) = Fi-1, F(ti) = F i Подставляя выражение (13) и (1) и интегрируя на отрезке (^1Д), имеем

h

-tj

i = hi-i + J mi

4—1

dt

Ш2

(14)

Здесь

mi = m(Pi - Po)<; m2 = Делаем подстановку:

Отсюда

t =

1 m5

C2 — C1 C1 л?

-; тз = — ;m4 = (1 + C2Fi-i)2 — 2c2Ziti-i;

C2 C2

m5 = 2c2Zi

y = m2 + m3^m4Tm5t

У — m2

m3

m4

2(y — m2)

; dt =-2—dy

m5m3

Подставив полученные выражения в (14), приводим подынтегральную функцию к рациональной

2т1

hl = +

/

t

2

m5m3

— (i—m2

y

dy =

= hi-i +

m(Pi — Po)na

ci — C2

ln

1 + CiFi

1 + CiFi-i

C2

Ci i

где

AFi = Fi —Fi-i ;At=ti —ti-i =

AB KPißni

На основании модернизированного алгоритма симплексного метода была составлена программа, позволяющая рассчитывать как переменные, так и постоянные за время бурения значения управляющих параметров, и включает в себя случаи роторного способа и электробурения. Так как в роторном способе бурения в основном реализуется согласно характеристике ротора фиксированные значения скорости вращения, то программ приспособлена для отыскания минимума целевой функции при указанных условиях. При этом программа работает следующим образом: отыскиваются оптимальные нагрузки на долото и скорости вращения ротора, полученные скорости вращения заменяются на ближайшие фиксированные значения скорости вращения и для них вновь отыскиваются оптимальные нагрузки на долото. Таким образом, применение симплексного метода оптимизации позволяет при минимальном количестве экспериментов, получать оптимальные значения параметров режима бурения.

В качестве примера рассчитываем оптимальный, постоянный во времени и переменный (4 переключения) режим бурения роторным способом, т.е. для переменного режима 4 переключениями ищется экстремум функции (10) с девятью переменными при связях(1) -(9).

Исходные данные для расчета.

m=0,035; Ai = 745,8 руб.; C4=90;

P0 = 19.6 кН; ß=1,5; C5=-0,67;

а=0,5; A=3161000; C6 =0,00032;

bi = 7; Пмин = 50 об-1; C7 =1,26;

Af = 0,00064; Пмакс=120 об-1; Cs=72,5;

g=i; Рмин = 39.2 кН; C9 = 39,9;

q=0,00045; Рмакс = 313.8 кН; уп=2,6гс/см3;

di = 4,5; D=7; укп=1,58 гс/см3

d2 = 0,1; Ci=550000; Yp = 1,5 гс/см3;

b2 = 4; C2=-2,28; D=269mm;

A0 =68,13 руб./ч; C3=0,00158; dxp=140 мм;

1=5мм

2

2

z

C

i

1

Результаты расчета.

Постоянный режим: P=266,7 кН; n=50 об-1;проходка=19,3 м; время бурения=4.45 ч; время счета=20 с. Переменный режим: осевая нагрузка (kH)-Pi=253; P2=264.7; Рз=277,5; P4=313.8; скорость вращения ротора (об-1)-П1=П2=пз=П4=50, проходка -18,98 м, время бурения-4,28 ч, моменты переключения режимных параметров (ч) -1.2; 2,3; 3,2, стоимость -54,68 руб./м.

Список использованной литературы:

1. Воздвиженский Б. И. , Мельничук И. П. , Пешалов Ю. А. . Физико-механические свойства горных пород и влияние их на эффективность бурения. 2008 г.

2. Бояринов А. И. , Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. 2005.

3. Shum Y.M., Konopniki D. T. ,Application of the complex method for constrained optimization to oilfield problems. « Soc/ Petrol. Eng. » 2010.

© Авакян О.А., Лавренова Т.В., Метелькова Н.В., 2018

УДК 303.732.4 _004.021_ 69.051

И.С. Бондаренко

к.т.н., доц., НИТУ «МИСиС» г. Москва, РФ

ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ В ОЦЕНКЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ВАРИАНТОВ ПРОЕКТОВ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ

Аннотация

В статье рассмотрены недостатки существующих моделей проектоподготовки. Дано краткое описание параметрического состава технологии сооружений городских подземных комплексов. Проведен анализ вариантов проектирования подземных сооружений с использованием вероятностных моделей. Представлены результаты решения экспериментальной задачи.

Ключевые слова:

сложные системы, модель оптимизации, системный анализ, оценка риска, тендерная оценка

Одним из главных направлений совершенствования методов выбора оптимального проекта строительства подземного сооружения является учет на стадии разработки проекта стохастической природы некоторых параметров строительной площадки.

Наиболее чувствительным к воздействию случайных факторов является разработка альтернативных вариантов сооружений для условий конкретной стройплощадки на уровне проектных организаций. Здесь, прежде всего, сказывается непосредственная оценка рисков по данным горно-геологических изысканий, а также «жесткость» в требованиях технического задания (ТЗ) заказчика или условий тендера.

Разработка проектной организацией оптимального проекта начинается с подготовки альтернативных вариантов сооружения для условий заданной ТЗ стройплощадки, предусматривающих использование разных технологий ведения работ (открытые, закрытые работы, механизированные комплексы, микротоннелирование и т.д.). Из полученного множества вариантов с помощью оптимизационной модели отбираются такие, совокупность которых обеспечивает наилучшее значение критерия оптимизации и удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым в ТЗ.

При составлении модели оптимизации были приняты ограничения по применяемым конструкциям подземных сооружений, срокам строительства, капитальным вложениям. Кроме того, в модель могут быть