ПРИМЕНЕНИЕ СХЕМЫ МШРПС ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Информатика. Механика

Вып. 4 (39)

УДК 517.9:519.677

Применение схемы МШРПС для приближенного решения дифференциально-разностных уравнений в частных производных

И. Е. Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15 polosk@psu.ru; тел. (342) 239-65-60

В данной статье комбинация классического метода шагов и расширения пространства состояний (МШРПС), предложенная ранее для анализа стохастических структур с сосредоточенными параметрами и дискретными запаздываниями, модифицируется для исследования динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными запаздываниями. Реализация расчетного алгоритмы осуществлена в виде программы на входном языке пакета МаШетаИса. Приведены примеры анализа различных систем.

Ключевые слова: приближенное решение; системы с запаздыванием; дифференциальные уравнения в частных производных; метод шагов; расширение пространства состояний

Б01: 10.17072/1993-0550-2017-4-57-68

Введение

Многие важнейшие процессы к науке, технике, экономике и медицине моделируются системами дифференциальных уравнений с запаздыванием (ДУсЗ), которые образуют один из классов функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). В общем случае наличие запаздывания (задержки, лага, памяти, последействия, наследственности) в модели повышает ее надежность при описании соответствующих реальных явлений и прогнозировании поведения соответствующих систем. Но включение характеристик процесса в предшествующие моменты времени в закон эволюции системы

©Полосков И. Е., 2017

увеличивает ее сложность, поскольку, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), даже обыкновенные ДУсЗ (ОДУсЗ) являются объектами исследования теории бесконечномерных динамических систем, а поэтому анализ их поведения во времени и изучение их свойств (существования и единственности решений, устойчивости, периодичности, наличия бифуркаций, самоорганизации и др.) требуют гораздо больших усилий при построении соответствующего теоретического аппарата, а также более эффективных приближенных аналитических и численных методов их решения.

Не менее, а более сложные проблемы возникают при исследовании явлений, опи-

сываемых другими классами детерминированных ФДУ с различными формами запаздываний (ФДУсЗ), а именно, системами обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений (ОИДУ), дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием (ДУвЧПсЗ), интегро-дифференциальных уравнений в частных производных (ИДУвЧП) и их различных комбинациями (гибридные модели), не говоря уже о стохастических аналогах этих уравнений.

Можно заметить, что в последние десятилетия интерес к системам дифференциальных уравнений, включающих инструменты учета поведения исследуемого объекта о прошлом, неуклонно растет. Достигнутый уровень развития теоретического аппарата анализа поведения детерминированных систем, описываемых ФДУсЗ, представлен во многих хорошо известных монографиях [1-16], некоторые из которых уже стали классическими. В настоящее время также признана их важная роль в различных прикладных областях, о чем свидетельствуют многочисленные книги, посвященные приложениям и численным методам [13,17-37].

Дифференциальным уравнением в частных производных с запаздыванием, по времени (ДУвЧПсЗ) называется эволюционное уравнение, которое включает по крайней мере две независимые переменные, одна из которых - время Ь, неизвестную функцию независимых переменных, представление поведения неизвестной функции при некоторых предыдущих значенях переменной Ь, частные производные неизвестной функции по независимым переменным, одна из которых обязательно Ь, до некоторого порядка. ДУвЧПсЗ являются подклассом функционально-дифференциальных уравнений в частных производных (ФДУвЧП), так как в эти уравнения неизвестные решения входят как функциональные аргументы. Для получения частных решений ДУвЧПсЗ дополняются различными начальными и граничными условиями.

ДУвЧПсЗ используются в качестве моделей в различных областях, таких как механика, физика (нелинейная оптика, электромагнетизм), биология, медицина, теория управления и многих других, а описыва-

ют напряженно-деформированное состояние твердых тел, поведение материалов с памятью, кристаллизацию полимеров, производство клеток крови, динамику распространения популяций животных, изменение климата [16,38]. В таких моделях независимыми переменными являются время Ь и одна или более пространственных переменных, которые могут представлять относительное содержание ДНК, размер клеток или уровень их созревания, а также другие величины. Решения (зависимые переменные) ДУвЧПсЗ определяют температуру, напряжение, плотности различных частиц, например клеток, бактерий, химических веществ, животных и

Т д

Достаточно общую форму систем ДУв-ЧП с постоянным запаздыванием (дифференциально-разностных уравнений в частных производных, ДРУвЧП) и соответствующими краевыми условиями можно представить так:

д и (х Ь)

..., и(х,Ь - т), и'х(х,Ь - т),

и'Хх(х,Ь - Т),..., Ь], (0.1)

где Ь - время (Ь0 < t ^ Т < т - по-

стоянное запаздывание, х € В С Кп - вектор пространственных переменных, £ - линейная или нелинейная функция своих аргументов, и € К" - решение системы (0.1), являющееся векторной функцией переменных х и Ь. Начальное условие задается следующим образом:

и(х,Ь) = и0(х, Ь), (0.2)

Ьо - т < Ь < Ьо, х € В С Кп,

причем и0 € К" - известная векторная функция переменных Ь и х.

При анализе ДУвЧПсЗ решаются задачи расчета динамики, оценки устойчивости/неустойчивости, исследования бифуркаций состояний систем, существования, ограниченности и единственности решений и др.

Разработка теории ДУвЧПсЗ началась в середине прошлого века, а систематическое изучение таких уравнений - только в 70-х гг. прошлого века. Одними из первых в области доказательства теорем существования были

работы И.М. Гуля [39], который, в частно-стиа: а) доказал существование и единственность решения задачи Коши для системы ДУвЧПсЗ в случаях, когда ДУвЧПсЗ может быть сведено к ДУвЧП без запаздывания; б) рассматривал вопросы о возможности продолжения решений; в) доказал применимость метода характеристик для некоторого класса уравнений первого порядка.

К настоящему времени основными процедурами анализа ФДУвЧП являются качественные методы [16, 40], количественные же (аналитические, приближенные, приближенно-аналитические или численно-аналитические) развиты недостаточно. Так, для качественного исследования ДУвЧПсЗ применяют групповой анализ [41]. Но, как и в других областях науки, аналитические решения прикладных уравнений такого типа редки. Поэтому основной интерес в этой области обращен на приближенные методы поиска решений.

Как известно, для решения линейных однородных краевых задач математической физики с постоянным запаздывающим аргументом возможно применение метода разделения переменных и разложения решения в ряд по собственным функциям. Такая же процедура приложима и к ДУвЧПсЗ [7].

Наиболее часто применяемый численный метод для ДУвЧПсЗ (метод прямых) состоит из двух последовательных шагов: а) дискретизация по пространственной переменной х; б) интегрирование по Ь. На первом шаге частные производные по х заменяются некоторыми приближениями. Поскольку на этом этапе Ь является непрерывной переменной, то такие системы называются полудискретными системами, а первый шаг называется процессом полудискретизации. Конечно-разностные методы являются наиболее часто применяемыми численными схемами для процесса полудискретизации ДУвЧПсЗ. Метод конечных элементов в форме Галеркина был успешно применен в работе [42]. На втором этапе решения дифференциальных уравнений с частными производными результирующие полудискретные системы интегрируются по Ь. Эти системы состоят из жестких ОДУсЗ. Численные методы решения таких систем были глубо-

ко исследованы в монографии [23], причем дифференциальные уравнения не обязательно являются результатом полудискретизации ДУвЧПсЗ.

Приближенные методы можно разделить на два основных класса: 1) схемы прямого интегрирования ДУвЧПсЗ (явные и неявные варианты конечно-разностных методов [43], включая многосеточные [44]; метод перекрытия Шварца [45]; асимптотические методы [46]; метод ренормализации [47]; методы волновой релаксации [44], подобные итерационным процедурам Пикара и Гаусса-Зейделя; неявная сеточная схема с кусочно-постоянной интерполяцией [48]; схема на основе идеи разделения текущего состояния и функции-предыстории [49]; аналог метода переменных направлений [50], разностные схемы с нелинейной предысторией [51]; аналоги алгоритмов с весами схем; схема с сеткой, в которой шаг по времени непропорционален запаздыванию); 2) приближенные алгоритмы, сводящие задачу решения ДУвЧПсЗ к интегрированию конечной системы ОДУсЗ (спектральные [52] и псевдоспектральные [53] схемы, в том числе, на основе метода Галеркина [54]; различные процедуры метода прямых [44,48]; методы предиктор-корректор [55] и коллока-ций [56]).

Несмотря на определенные успехи, до сих пор нет общих методов получения решений для ДУвЧПсЗ или решения задач управления для них. Поэтому разработка новых схем для решения существующих и современных задач остается актуальной проблемой.

В данной работе представляется комбинация классического метода шагов и расширения пространства состояний (МШРПС), предложенная ранее для анализа стохастических структур с сосредоточенными параметрами и дискретными запаздываниями [57-59], которая модифицирована для исследования динамических систем, описываемых ДУвЧП с постоянным запаздыванием. Реализация расчетного алгоритма осуществлена в виде программы на входном языке пакета компьютерной алгебры (ПКА) МаШетаЫса [60]. Приведены примеры анализа ряда систем представляемым методом.

1. Постановка задачи

Выше был рассмотрен ряд приближенных методов решения ДУвЧПсЗ. К сожалению, как правило, указанные выше алгоритмы наряду с погрешностью дискретизации вносят дополнительную ошибку интерполяции при вычислении значений решения в точке Ь - т. Наша схема анализа ДРУвЧП, как и других форм детерминированных и стохастических систем с запаздыванием, базируется на МШРПС и позволяет рассматривать процедуры анализа различных форм ФДУ с одной точки зрения. При этом в большинстве вариантов схемы ошибка метода отсутствует. Кроме того, исчезают многие проблемы, возникающие при реализации процедур прямого численного интегрирования ДУвЧП с запаздыванием.

Рассмотрим систему ДРУвЧП вида

ди(х, ¿)

Ш

= ¥ [и(х,Ь), ит(х, ■£),■£],

х € В, Ь1 = Ьо + т<Ь < Т< (1.1) с краевыми условиями

<С?[и(х,Ь), ит(х,Ь),Ь] =0, х € дВ, (1.2)

где Ь - врем я, х = (ж1, х2 , ...,хп) € В С Кп

- вектор-строка пространственных переменных, и = (и1(х, ¿), и2(х, ¿),..., пп(х, ¿)) - векторное поле состояния, ит(х,Ь) = и(х,Ь-т), В

ченная область, индексы х обозначает производные по соответствующим (векторным) т

f (■, ■,...) = Щ-, •,...)}т, д(-, ■,...) = {5г (■, •,...) }т

- известные непрерывные векторные функции своих аргументов, Р и <£? - непрерывные операторы, действующие из пространства К" х К" ) пространство

Г[и(х,Ь), ит (х,Ь),^ = f (и(х,Ь), ит (х,Ь),

, ихх(х, Ь), итхх(х,

С[и(х,Ь), ит (х,Ь),^ = д(и(х,Ь), ит (х,Ь),

, ихх(х, Ь), итхх(х,

ь), ..., О,

у - символ транспонирования.

Предположим, что на полуинтервале (Ь0,Ь1 ], неизвестное векторное поле и(х,Ь) € и С К" удовлетворяет следующей системе ДУвЧП:

ди(х, ¿) ¿й

= Го [и(х,Ь),Ь], (1.3)

Го [и(х,Ь),Ь] = = ^(и(х,Ь)их(х,Ь)ихх(х,Ь),, (1.4)

а также начальным

и(х, ¿о) = и о(х)

(1.5)

п краевым

Со [и(х,Ь),Ь] = 0, х € дВ, (1.6) Со[и(х,Ь),Ь] =

= до(и(хuХ(x, uХ/x(x, Ь) (1-7)

(в случае ограниченной области) условиям, оо

ствующие из пространства К" х К" х К" х ... х К в пространство К", ио(х) - заданное векторное поле, f о(-, ■,...) = {/ог(-, -,...)}т и до(-,',...) = ', ...)}т _ известные непре-

рывные векторные функции своих аргументов.

Пусть структура функций ио, f о, ^ д такова, что задача (1.1)—(1.7) имеет решение и при том единственное. Тогда цель исследования будет состоять в изучении поведения векторного поля и(х, ¿), описываемого уравнениями (1.1)—(1.7) на основе приближенно-аналитических процедур.

2. Решение задачи

Для того чтобы исследовать изменения поля и(х,Ь) при значениях времени Ь > ¿о посредством преобразования векторного поля, удовлетворяющего уравнениям с запаздываниями, в цепочку управляющих уравнений без запаздывания, расширим пространство состояний. Для реализации этой процедуры введем следующие переменные и обозначения:

8 € [0, т], Ьд = ¿о + Я ■ т, Я = 0,1, 2,...,Ж,Ж + 1, ^+1 ^ Т, ид (х,8)= и(х,8д), = 8 + Ьд ,

Ад = (Ьд, Ьд+1],

Ад

«° (ж, 0) = « °(ж), щ (ж, 0) = «д-1(ж,т),

а затем рассмотрим последовательность ио-луотрезков Ад.

0°. Начнем с А°. Определенная на этом полуинтервале векторная функция и°(ж,«) удовлетворяет системе (штрихом здесь и далее обозначена производная по переменной в)

ди°(ж,й) г -, -—-= [и0(аз, 5), ,

«°(ж, 0) = «°(ж), ж € В, [и°(ж, «), в°] = 0, ж € дВ.

1°. Проанализируем поведение системы

А° А1

ления векторных полей и°(ж,8) и «1(ж,з) можно представить в следующем виде:

-—- = Го [и0(х, 5), ,

«°(ж, 0) = и°(ж), ж € В, [и°(ж, 8), в°] = О, ж € дВ;

ди^= ^[г»1(аз,5),ио(а;, «),«!],

и1(ж, 0) = и°(ж,т), ж € В, (С?[и1(ж,8), и°(ж,8),8^ = 0, ж € дВ.

А° А1

А^- Построим систему уравнений для векторов «°(ж,8), и1 (ж, з), ..., «и(ж, 8) в виде

--^ = Го [и0(х, 5), ,

и°(ж, 0) = и°(ж), ж € В, [и°(ж, 8), = 0, ж € дВ; ди1 (ж 5)

-- = Р[и1(х,8),и0(х,8),81],

и1(ж, 0) = и°(ж,т), ж € В, (С?[и1(ж,8),и°(ж,8),8^ = 0, ж € дВ;

дии(ж, 8) г -

(ж, 0) = -1(ж,т), ж € В, (ж, 8), «и-1(ж, 8), = 0, ж € дВ.

Итак, исходная начально-краевая задача для ДРУвЧП сведена к серии начально-краевых задач для систем ДУвЧП без запаздывания для цепочки векторных полей состояния увеличивающейся размерности. При этом исследование поведения системы будет состоять в последовательном приближенно-аналитическом и/или численном интегрировании уравнений на отрезке [0,т] (шаги 0°-№), включая смену системы уравнений и доопределение недостающих для очередного шага начальных условий с помощью терминальных значений для предыдущего.

3. Примеры

Для реализации рассмотренной процедуры в рамках одного шага, исходя из конкретной задачи (вида уравнений, области и заданных начально-краевых условий) можно применить наиболее пригодный или удобный метод. Далее в примерах для решения соответствующих ДУвЧП в среде ПКА Матнематюа использовалась функция NDSolve с опцией "MethodOfLines", определяющая применение метода прямых с пространственной дискретизацией.

В качестве первого примера рассмотрим обобщенное уравнение Бюргерса с запаздыванием [61]:

du(x,t) d2u(x,t)

- = OL--

dt dx2

1 , . du(x,t) n , .

—-u(x,t — T)—---b pu(x,t), (3.1)

2 dx

0 <x< 2n, 0 <t < 1,5;

u(x, t) = sin x — sin 2 x + ^ sin 4 x,

-T < t < 0; u(0,t) = u(2n,t), t ^ -t.

ЗО-график функции u(x,t), рассчитанной при а = 0,25, в = 0,2 и т = 0,25, приведен на рис. 1, а соответствующие линии уровня - на рис. 2.

Следующий пример посвящен анализу поведения решения уравнения реакции-диффузии (или логистического уравнения)

с запаздыванием [62]:

du(x,t) d2u(x,t)

dt

dx2

+e u(x, t) [1 - u(x, t - T)] , (3.2)

0 < x < 1, 0 < t < 3,5;

u(x, t)

(3.3)

1, 0 < x < 0,5, 0, 0, 5 <x < 1,

-T < t < 0;

u(0,t) = 1, u(1,t) = 0, t ^ -t,

описывающего, кроме всего прочего, и распространение волн в жидкости, насекомых в биологии, благоприятных генов в генетике и

др.

ЗБ-визуализация поведения функции u(x,t), которая вычислялась при а — 0,125, в = 4 и т = 0,5, приведена на рис. 3, а соответствующие линии уровня - на рис. 4.

Обратим теперь внимание на процессы, описываемые системой двух дифференциальных уравнений в частных производных с постоянным запаздыванием следующего вида:

du(x,t) d2 u(x,t)

= а 1 —--Ь

+Yu(x,t) [1 - u(x,t) - в vT(x,t)] , (3.4)

dv (x,t) д2 v (x,t) dt a2 dx2 —в2 u(x, t) v(x, t), (3.5)

0 < x < 1, t > 0; u(x, t) = 1 + 0,5 sin 2 n x — 0,25 sin 5 nx, v(x, t) = 2 — 0,5 sin 4 n x + 0,25 sin 7 n x,

—т < t < 0; u(0,t) = u(1,t) = 1, v (0, t) = v (1,t) = 2, t ^ —т.

Как известно [62], уравнения подобного вида возникают при исследовании реакции-диффузии двух компонент. Особый интерес они представляют при изучении автоколебаний в пространственной модели реакции Белоусова-Жаботинского. Результаты расчетов при а1 = 1/30, а2 = 1/40, y = в1 = в2 т

(ЗБ-поверхностей и линий уровня в перемен-xt

dt

dx2

Рис. 2

Рис. 3

Заключение

Как и в случае применения сочетания метода шагов с расширением пространства состояний для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, реализация данной схемы для исследования ДУвЧПсЗ потребовала минимальных усилий, причем время расчетов для систем, описываемых уравнениями (3.1)—(3.5), было

порядка 1..4 мин на ноутбуке с процессором, имеющим тактовую частоту 2 ГГц.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматул-лина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных урав-

Рис. 4

нений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., Л.: ГИТТЛ, 1951. 256 с.

4. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. 354 с.

5. Пинии Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

7. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

8. АгЬе1еу И.У., Маквтоу У.Р., КаЫгтаЫШпа

Phc. 7

L.F. Introduction to the theory of functional differential equations: Methods and applications. New York: Hindawi Publishing Corporation, 2007. IX, 314 p.

9. Azbelev N.V., Simonov P.M. Stability of differential equations with aftereffect. New York, London: Taylor & Francis, 2003. XVII, 222 p.

10. Diekmann 0., van Gils S.A., Lunel S.M.V. et al. Delay equations; functional-, complex-, and nonlinear analysis. New York: Springer, 1995. XI, 534 p.

11. Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York, Heidelberg, Berlin: Springer, 1977. IX, 501 p.

12. Hale J. Theory of functional differential equations. New York: Springer, 1977. X, 366 p.

13. Hale J.K, Lunel S.M. V. Introduction to functional differential equations. New York: Springer, 1993. X, 447 p.

14. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. London: Academic Press, 1986. XIV, 217 p.

15. Kolmanovskii VMyshkis A. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht: Springer, 1999. XVI, 648 p.

16. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer, 1996. X, 432 p.

17. Андреева E.A., Колмановский В.Б., Шай-хет JI.E. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336 с.

18. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения. Методы, алгоритмы, программы: справ, пособие. Киев: Наукова думка, 1986. 544 с.

19. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

20. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.

Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Мн.: Изд-во "Университетское", 1985. 143 с. Солодов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука, 1980. 384 с.

23. Bellen A., Zennaro М. Numerical methods for delay differential equations. Oxford: Oxford University Press, 2003. XIV, 395 p.

24. Breda D., Maset S., Vermiglio R. Stability of linear delay differential equations: A numerical

21

22

approach with MATLAB. New York: Springer, 2015. XI, 158 p.

25. Cushing J.M. Integrodifferential equations and delay models in population dynamics. Berlin, Heidelberg: Springer, 1977. VI, 198 p.

26. Drozdov A.D, Kolmanovskii V.B. Stability in viscoelasticity. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1994. IX, 600 p.

27. Erneux T. Applied delay differential equations. New York: Springer, 2009. XII, 204 p.

28. Fridman E. Introduction to time-delay systems: Analysis and control. Basel: Birkhauser, 2014. XVIII, 362 p.

29. Insperger T., Stepan G. Semi-discretization for time-delay systems: Stability and engineering applications. New York: Springer, 2011. X, 174 p.

30. Kim A. V., Ivanov A.V. Systems with delays: Analysis, control, and computations. Hoboken: John Wiley, 2015. 184 p.

31. Kolmanovskii VMyshkis A. Applied theory of functional differential equations. Mathematics and its Applications. Dordrecht: Springer, 1992. XVI, 234 p.

32

Kuang Y. Delay differential equations: With applications in population dynamics. Boston: Academic Press, 1993. XII, 398 p.

Kuang J., Cong Y. Stability of numerical methods for delay differential equations. Beijing: Science Press, 2005. 295 p.

34. Lakshmanan М., Senthilkumar D.V. Dynamics of nonlinear time-delay systems. Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. XVII, 313 p.

35. Michiels W., Niculescu S.I. Stability and stabilization of time-delay systems: An eigenvalue based approach. Philadelphia: SIAM, 2007. XXI, 378 p.

36. Smith H. An introduction to delay differential equations with sciences applications to the life. New York: Springer, 2011. XI, 172 p.

37. Stipan G. Retarded dynamical systems: Stability and characteristic functions. Harlow, Essex: Longman Scientific & Technical; New York: Wiley, 1989. 151 p.

38. Reyes E., Rodriguez F., Martin J. A. Analytic-numerical solutions of diffusion mathematical models with delays // Computers and Mathematics with Applications. 2008. Vol. 56, № 3. P. 743-753.

39. Эльегольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГИТТЛ, 1955. 300 с.

40. Gourley S.A., So J.W.-H., Wu J.H. Nonloca-lity of reaction-diffusion equations induced by-delay: biological modeling and nonlinear dynamics // Journal of Mathematical Sciences.

2004. Vol. 124, № 4. P. 5119-5153.

41. Tanthanuch J., Meleshko S.V. On definition of an admitted Lie group for functional differential equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2004. Vol.9. P. 117-125.

42. Rey A.D., Mackey M. C. Multistability and boundary layer development in a transport equation with delayed arguments // Canadian Applied Mathematics Quarterly. 1993. Vol. 1, № 1. P. 61-81.

43. Agarwal S., Bahuguna D. Exact and approximate solutions of delay differential equations with nonlocal history conditions // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis.

2005. Vol. 2005, № 2. P. 181-194.

44. Van Lent J. Multigrid methods for time-dependent partial differential equations. PhD thesis. Leuven: Katholieke Universiteit, 2006. 204 p.

45. Vandewalle S., Gander M.J. Optimized overlapping Schwarz methods for parabolic PDEs with time-delay // Domain Decomposition Methods in Science and Engineering / T.J. Barth, M. Griebel, D.E. Keyes et al. (eds.). Berlin, Heidelberg: Springer, 2005. P. 291-298.

46.Fowler A.C. Asymptotic methods for delay-equations // Journal of Engineering Mathematics. 2005. Vol. 53, № 3-4. P. 271-290.

47. Goto S. Renormalization reductions for systems with delay // Progress of Theoretical Physics. 2007. Vol. 118, № 2. P. 211-227.

48. Пименов В.Г. Численные методы решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Вестн. Удмурт, ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. № 2. С.113-116.

49. Пименов В.Г., Ложников А.Б. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием // Тр. ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. С. 178-189.

50. Ложников А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 102-118.

51. Пименов В. Г. Разностные схемы в моделировании эволюционных управляемых систем с последействием // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 151-158.

52. Wiener J. Boundary value problems for partial differential equations with piecewise constant delay // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 1991. Vol. 14, № 2. P. 363-380.

53. Breda D., Vermiglio S.M.R. Pseudospectral differencing methods for characteristic roots of delay differential equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2005. Vol. 27, № 2. P. 482-495.

54. Smaoui N., Mekkaoui M. The generalized Burgers equation with and without a time delay // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2004. Vol. 2004, № 1. P. 73-96.

55. Van der Houwen P. J., Sommeijer B.P., Baker G. Т.Н. On the stability of predictor-corrector methods for parabolic equations with delay // IMA Journal of Numerical Analysis. 1986. Vol.6, № 1. P. 1-23.

56. Jackiewicz Z., Zubik-Kowal B. Spectral collocation and waveform relaxation methods for nonlinear delay partial differential equations // Applied Numerical Mathematics. 2006. Vol. 56, № 3-4. P. 433-443.

57. Полоеков П.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С. 58-73.

58. Полосков П.Е. Компьютерное моделирование динамики загрязнения бассейна реки с учетом запаздывания и случайных факторов // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10, № 1. С. 103-115.

59. Полосков П.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем

с учетом запаздывания // Математическое моделирование. 2005. Т. 17, № 3. С. 3-14.

60. Mangano S. Mathematica cookbook. Cambridge: O'Reilly, 2010. XXIV, 800 p.

61. Oliva S.M. Reaction-diffusion equations with nonlinear boundary delay // Journal of Dyna-

mics and Differential Equations. 1999. Vol. 11, jV« 2. P. 279-296.

62. Wu J., Zou X. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2001. Vol. 131, № 3. P. 651-687.

Application of the MSESS scheme for an approximate solution of partial differential-difference equations

I. E. Poloskov

Perm State University; 15, Bukirev St., Perm, 614990, Russia polosk@psu.ru; (342) 239 65 60

In this paper, the combination of the classical step method and an extension of the state space (MSESS), previously proposed for an analysis of stochastic structures with lumped parameters and discrete delays, is modified to study dynamical systems described by partial differential equations with constant delays. Implementation of the computational algorithms is performed as a program in the source language of the package Mathematica. Examples of analysis for various systems are presented.

Keywords: approximate solution; system,s with delay; partial differential equations; method of steps; extension of the state space.