CC BY
1422 _TECHNICAL SCIENCE / <<Ш[1ШдШУМ-ШУГМ&1>>#7ШЗ,2'
УДК: 621.376.52
Павлов И.И.
к.т.н., доцент Павлова М.С., Гусельников И.А., Тагаков С. С.
Сибирский государственный университет телекоммуникации и информатики
DOI: 10.24411/2520-6990-2019-10156 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Pavlov 1.1., Pavlova M. S., Gusel'nikov I. A., Tagakov S. S.
Siberian state University of telecommunications and Informatics
THE USE OF PROJECTIVE GROUPS OF TRANSFORMATION IN THE INVARIANT SYSTEM OF
INFORMATION TRANSMISSION
Аннотация
Описание каналов связи группами преобразований, открывает теоретические возможности безыскаженной передачи сообщений за счет использования инвариантов соответствующей каналу группы. В статье рассмотрена схема проективного преобразования, которая сравнивается со схемой аффинного преобразования. Определяется аналитическое выражение для соотношений модулей входных и выходных сигналов для каналов, характеризуемых проективной схемой преобразований. Проективная группа преобразований описывает широкий класс нелинейных каналов с основным инвариантом в форме сложного отношения четырех точек.
Abstract
The description of communication channels by transformation groups opens up theoretical possibilities of untraceable message transmission due to the use of invariants corresponding to the channel of the group. The article deals with the projective transformation scheme, which is compared with the affine transformation scheme. The analytical expression _ for the ratio of input and output signal modules _ for channels characterized by a projective transformation scheme is determined. The projective transformation group describes a wide class of nonlinear channels with a basic invariant in the form of a complex relation offour points.
Ключевые слова: проективное преобразование, аффинное преобразование, сигнал, длина вектора, коэффициент.
Keywords: projective transformation, affine transformation, the signal, vector length, coefficient.
Рассмотрим схему проективного преобразования, которая отличается от схемы аффинного преобразования Рисунок 1 тем, что центр проектирования находится не в бесконечности, а на конечном
расстоянии l от линии входных сигналов Рисунок 2. Схема проективного преобразования порождает нелинейную взаимосвязь между модулями векторов входных и выходных сигналов.
Рисунок 1 - Схема аффинного преобразования для линейного канала связи
<<шушетим~^©у©ма1>#7«,2©1]9 / TECHNICAL SCIENCE
23
Выходные сигналы Входные сигналы
О
Рисунок 2 - Схема проективного преобразования для нелинейного канала связи
Пусть АМ - отрезок на прямой векторов выходных сигналов, МК - отрезок на прямой векторов входных сигналов, С - центр проектирования
Рисунок 3.
Найдем аналитическое выражение для соотношений модулей входных и выходных сигналов для каналов, характеризуемых проективной схемой преобразований.
Рисунок 3 - Нахождение соотношения модулей входных и выходных сигналов
Треугольник AKM построим как равнобедренный (AM = MK), исходя из предположения, что канал работает без усиления, т.е. длины векторов (или амплитуды) сигналов на выходе не могут превосходить длины векторов (амплитуд) сигналов на входе канала. При этом длины его сторон будут соответствовать диапазону изменения модулей векторов входных и выходных сигналов.
В приведенной схеме длины векторов выходных сигналов всюду меньше векторов входных сигналов, кроме ситуации, когда | достигает максимума, равного длине отрезка MK
Обозначим величину отрезка KC буквой L (расстояние до центра проектирования).
Проведем A'B' параллельно AM. Тогда треугольники ABC и AB'C подобны. Коэффициент подобия K = AC/A'C.
Треугольники АКМ и А 'КБ' тоже подобны, следовательно, треугольник А 'КБ' равнобедренный. Тогда для К можно записать;
K =
AC AK+L
A C L + A 'K
o
2D sin—+ L __2
2( D - |sg) sinO + L
. (1)
Зная коэффициент подобия К, можно найти длину отрезка АБ:
AB = A'B' • K = ( D - )
o
2D sin—+ L 2
2(D - КI)sino + L
Так как
= D - AB, то получим:
s
24
TECHNICAL SCIENCE / <<ШУШетУМ-ШУ®Ма1>>#7(Ш)),2(
= D -
(D-I SJ)
o
2D sin—h L 2
2 (D - SU) s
стик нелинейного канала S
. (3)
а
I sin—ь L 2
Итак, получено важное аналитическое выражение, определяющее зависимость длин векторов одинаковой направленности на входе и выходе нелинейных каналов, характеризуемых проективной схемой, преобразований.
Как видно из этой формулы, схема проективного преобразования порождает семейство нелинейных зависимостей |s | = f s |,D,L). Это значит, что проективное преобразование возможно использовать для описания изменений длин векторов сигналов нелинейными каналами связи.
При этом в пределе, когда L схема проективного преобразования переходит в схему аффинного преобразования, при которой связь между |s |
и S I линейна. На Рисунке 4 в качестве примера
приведено несколько «амплитудных» характери-
1=г (I) для разных Ь при Б = 16. Учитывая бесконечное множество вариантов расположения центра проектирования, можно говорить о бесконечном множестве вариантов амплитудных характеристик нелинейных каналов, характеризуемых проективным преобразованием длин векторов входных сигналов в длины векторов выходных сигналов.
Проективные преобразования обладают групповыми свойствами. При этом основным инвариантом проективной группы является так называемое «ангармоническое отношение четырех точек». Для схемы Рисунка 2 оно означает
а : с = а': с' (4)
1 1 1 1 Этот инвариант может найти важное практическое применение в системах связи, использующих нелинейные каналы, для которых взаимосвязь между модулями векторов входных и выходных сигналов подчиняется проективной схеме преобразования.
Рисунок 4 - Зависимости |s | = f s \,D,L|, порождаемые схемой проективного преобразования
s
Список литературы
1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1978, 576 с., ил.
2. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 360 с.
3. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. - М.: Наука, 1983. - 280 с.
4. Лебедянцев М.В. Исследование свойств нелинейно-дисперсионного канала средствами тензорного и векторного анализа // Инфокоммуника-ционные технологии 2014. Том 12. №2. с. 35-39.
