CC BY
4Рахимов Хуршед Абдуллоевич, к.т.н,и.о.доцент Институт энергетики Таджикистана, Кушониёнский район, ул. Бохтариён.
Рахимов Зафар Сайдалиевич, к.э,н.и.о.доцент Институт энергетики Таджикистана, Кушониёнский район, ул. Бохтариён. About the authors:
Kobuliev Zainalobudin Valiev, d.t.s., prof. Institute of Water problem, Hydropower and ecology (IWP, HP a E)
Alimardonov Eganberdi, c.ph.m.s. Docent, State university of Bokhtar city named by Nosiri Khusrav.
Amonuloev Azizkhon Rezmonovich, researcher, Institute of Water problem, Hydropower and ecology (IWP, HP a E). e-mail: aar.9191@,mail.ru Abdulloev KHayrullo Valievich, Ph,D. Head, Energy institute of Tajikistan, Qushoniyon Dist, Bokhtariyon str.
Rahimov KHurshed Abdulloevich, Ph,D. Head, Energy institute of Tajikistan, Qushoniyon Dist, Bokhtariyon str.
Rahimov Zafar Saidalievich, Ph,D. Head, Energy institute of Tajikistan, Qushoniyon Dist, Bokhtariyon str.
УДК 51(075.3)
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Махкамов М.
Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни
Махкамов Ф.М. Российско-Таджикский (славянский) университет
Любое действительное число в десятичной системе можно записать в виде суммы единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Например, запись чисел 96 742 состоит из 2 единиц, 4 десятков, 7 сотни, 6 тысяч и 9 десятков тысяч. То есть число 96 742 в виде суммы записывается так
96742 = 9 -10 000 + 6 -1000 + 7-100 + 4 -10 + 2 или 96742 = 9 -104 + 6 -103 + 7 -102 + 4 -101 + 2 -100.
В общем случае, если в составе многозначного числа c - единиц, b - десятков, a - сотен и т. д., то пользуются записью:
abc = 100a + 10b + c.
Определение. Запись натурального числа х в виде десятичной системы счисления осуществляется следующим образом:
х = a -10" + a ,-10n—1 + a ,- 10n—2 + a ,-10n—3 +... + a-10 + a,
n "—1 n— 2 n—3 1 0 ?
где коэффициенты aB, aB-1, aB_2,..., a, a0 принимают значение 0, 1, ..., 9 и aB ^ 0 . Сумму чисел an -10" + an_x -10"—1 + an_2 -10"—2 + an_3 -10"—3 +... + a -10 + a0 можно
представить следующим образом: апап_ха„-2---аа ■
В системах счисления один и тот же числовой знак может иметь разные значения в зависимости от записи элемента. Изобретение нумерации было изобретено шумерами и индийцами и внесло неоценимый вклад в историю человеческой цивилизации. В средневековой Европе позиционная система учета возникла благодаря итальянским купцам, которые, в свою очередь, приняли ее у арабов.
Так как в общеобразовательных школах не уделяется должного внимания использованию и её системы десятичных разрядов, большинство учащихся не умеют ее писать.
Поэтому мы поставили цель систематически знакомить учащихся с десятичной позиционной системой, применять ее в процессе решения уравнений и системы уравнений в школе.
Применение десятичной позиционной системы способствует развитию воли, интеллекта, творческого потенциала, самоконтроля и развитию усидчивости, неординарности, внимания, понимания материала с новой позиции. Приведем некоторые примеры, которые укрепляет данной темы.
Задача 1. Решим уравнение: 2х + 60 = 85 .
Решение. ОДЗ: х е 0; 1; ...; 9. Так как аЬ = 10а + Ь, следовательно, запишем искомое уравнение в следующем виде и решив его, получим:
10 • 2 + х + 60 = 85 ; х = 85 - 60 - 20 ; х = 5 е 2 .
Проверка: 25 + 60 = 10• 2 + 5 + 60 = 85; 85 = 85 . Ответ: 5.
Задача 2. Решим уравнение: 5х + х5 = 77.
Решение. ОДЗ: х е 0; 1; ...; 9. Запишем уравнение в виде суммы чисел и решим полученное уравнение:
50 + х +10х + 5 = 77 ; 11 х + 55 = 77 ; 11 х = 22; х = 2. Ответ: 2.
Задача 3. Решим уравнение: 7х + 1х51 = 2030.
Решение. ОДЗ: х е 0; 1; ...; 9. Запишем данные уравнение в виде суммы чисел и решим полученное уравнение:
70 + х +1000 +100х + 5-10 +1 = 2030 ;
101 х = 909 ; х = 909 : 101 ; х = 9 е х. Ответ: 9.
Задача 4. Решим квадратное уравнение: 2 •(хз)2 + 7 • х3 -1219 = 0.
Решение. ОДЗ: х е 0; 1; ...; 9. Запишем данные уравнение в виде суммы чисел и возведя в квадрат получим:
2(10х + 3)2 + 7 -(10х + 3)-1219 = 0 ; 200х2 + 190х -1180 = 0; 20х2 + 19х -118 = 0. Решим полученное уравнение:
В = 192 -4• 20 •(-118) = 361 + 9440 = 9801 = 992;
-19 ± л/992 -19 ± 99
V =___ = _
х12 2 • 20 40 .
~ -19 + 99 80 0 -19 - 99 -118 . 19 ^ ~ 0
Отсюда, х = 40 = ^ = 2е х и х2 = 40 =-40- = -12о £ х . Ответ: 2.
Задача 5. Решим квадратное уравнение: (7х) - х5 - 5854 = 0 . Решение. ОДЗ: х е 0; 1; ...; 9. Запишем данные числа в виде суммы чисел:
(70 + х)2 - (10 х + 5) - 5854 = 0. Раскрывая скобки, упростим полученного выражения: 4900 +140х + х2 -(10х + 5)-5854 = 0; х2 + 130х-959 = 0. Решим квадратное уравнение:
В = 652 - (- 959) = 4225 + 959 = 5184 = 722, значит, х12 = -65 ± л/722 = -65 ± 72.
Отсюда х = -65 + 72 = 7 е х и х2 = -65 - 72 = -137 £ х . Ответ: 7.
Задача 6. Решим квадратное уравнение: хххх- ххх+ хх- х + х2 = 2024. Решение. ОДЗ: х е 0; 1; ...; 9. Запишем данное уравнение в виде суммы чисел:
1000х + ххх- ххх+ 10х + х - х + х2 = 2024. Преобразуем полученное уравнение в стандартном виде
x + 1010x - 2024 = 0 .
Решим полученное уравнение:
D = ^ 1010j - (- 2024) = 5052 + 2024 = 257049 = 5072 ;
x12 = -505 ±л/5072 = -505 ± 507.
Следовательно, x = -505 + 507 = 2 и x2 =-505 - 507 = -1012^ х. Ответ: 2.
Задача 7. Решим квадратное уравнение: ax2 + bx + c = abc (1)
Решение. ОДЗ: a, b, c e1; ...; 9. Выражение abc = 100a + 10b + c переносим в левую часть уравнения:
ax2 + bx + c - (100 a +10 b + c) = 0 или
ax2 + bx + c -100a -10b - c = 0.
Переставляем члены многочлена так, чтобы подобные члены стояли рядом, и заключив подобные члены в скобки, получим:
(ax2 -100a)+ (bx -10b)+ (c - c) = 0 ; a(x2 -100)+ b(x -10) + 0 = 0; a(x - 10)(x +10) + b(x -10) = 0 ; (x - 10)(a(x +10)+b) = 0 ;
(x - 10)(ax + 10a + b) = 0 или (x -10)(ax + ab)= 0.
Отсюда x -10 = 0 или ax + ab = 0 . Отсюда найдем, x = 10 и x9 = - — . Так как x = -—
1 2 a 2 a
не входить в ОДЗ уравнения, поэтому он не является решением данного уравнения.
Следовательно, уравнение (1) имеет только один корень из множества целых чисел. Процесс решения уравнения (1) учащимся позволяет вспомнить структуру десятичной позиционной системы счисления и обратную теорему Виета.
Внимательно анализируя приведенное решение, полезно установить возможность обобщения данной задачи, выявлять ее особенности, сопоставлять решение данной задачи с ранее решенными и т.д.
В качестве примера школьникам можно предложить составить соответствующее кубическое уравнение, сопоставить с квадратным уравнением такого же типа и выявить особенности получаемых решений. Приведем подробные рассуждения для кубического уравнения:
Задача 8. Решим кубическое уравнение: a0x3 + ax2 + a2x + a3 = aaaa . (2)
Решение. ОДЗ: a0,a,a2,a G {1; .••; 9} Левую часть уравнения записываем в следующем виде:
a0x3 + ax2 + a2x+a = 1000 a0 +100 a +10 a2 + a.
Переставляем члены многочлена так, чтобы подобные члены стояли рядом, и заключим подобные члены в скобок:
a0x3 -1000 a + ax2 -100a + a2x -10a + a - a = 0 ;
(a0x3 -103a0)+(ax2 -102a)+(a2x -10a2)= 0 ;
a (x3 -103 )+a (x2 -102 )+a (x -10) = 0 ; a (x -10 )(x2 +10 x +100 )+a (x -10 )(x+10 )+a (x -10 ) = 0 : (x -10 )(a0 (x2 +10 x +100 )+ a (x +10 )+ a )= 0 ; (x -10 )(a0x2 +10 a0x +100 a0 + ax+10 a + a )= 0 (x -10 )(a0x2 +(10 a0x+ax)+(100 a0 +10 a + a ))= 0 ;
59
(х -10 )(а0х2 + (10 а + а )х + (100 а +10 а + а))= о; (х - ю)(а0х2+аах+ааа)=0 ■
Отсюда х -10 = 0 или ах2 + %ахх + а0аха2 = 0. Из первого уравнения получаем хг = 10 ■
Решая уравнение ах2 + а0ах + = 0, найдем, что оно не имеет корней. Ответ: 10.
Теперь по аналогии приведем уравнения (1) и (2) к общему виду и применим десятичную систему позиций в уравнении п -ой степени. Задача 9. Решим уравнение п -ой степени:
а0хп+ах"- + ах"- + ■ ■■ап_1х+а = ааа ■ ■ а-1 ■ (3)
Решение. ОДЗ: а0,а,а,■■■,а е {1; ■••; 9}- Запишем число в правой части уравнения как сумму чисел:
ас,хп + ах"-1 + ах"-2 + -а ,х + а = 10"ап +10"-1 а +10"-2а + ■ •• + 10а ,+ а .
0 1 2 п-1 п 0 1 2 п-1 п
Решим полученное уравнение, сгруппировав его следующим образом:
(а0хп -10пай)+ (аххп-1 -10п-1 ах)+ (а2хп-2 -10п-2а2) + ■ + (а„_^х -10ап_х) = 0;
а(хп -10п)+ а (хп-1 -10п-1)+ а(хп-2 -10п-2)+ ■ .. + ап_¿х -10) = 0; (х - ю)(а0хп-1+аахп-2+ааахп-3 + ■+ааа ■ ■ - а- 1)=0 ■ Откуда х -10=0 или а0хп-1+аахп-2+а0а1а2хп-3+■ • •+ааа ■ ■ -а-1 = 0 ■
Отсюда найдем, что уравнение имеет один корень х = 10 ■
Из решения уравнений 1, 2 и 3 можно сделать вывод, что они всегда имеют корни. Следует отметить, что если коэффициенты и неизвестный принадлежат какой-либо позиционной системе, то основой этой системы будет решение уравнения. Также после нахождения решения уравнения степень второго уравнения становится на единицу меньше, чем первого уравнения, а коэффициенты расставляются в определенном виде.
Десятичная позиционная система счисления также может применяться для решения систем уравнений.
г. * Л ™ ~ I ху + ух = 88,
Задача 10. Решим систему уравнений: I — —
[2 • ху - ух = 71.
Решение. ОДЗ: х, у е {0; 1; -..; 9} В этой системе коэффициенты при неизвестном ух равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. являются числами противоположными. Поэтому достаточно сложить левые и правые части уравнений. Сложив левые и правые части уравнений систем, получим:
I ху + ух + 2 • ху - ух = 88 + 71, [2 • ху - ух = 71;
Г3 • ху = 159, Г ху ^159^3,
[2 • ху - ух = 71; [2 • ху - ух = 71;
| ху = 53, Г ху = 53,
[2 • ху - ух = 71; [2 • 53 - ух = 71;
\хУ = 53, Г ху = 53, (4)
[ух = 106 - 71; [ух = 35;
[10х + у = 53, Г у = 53 - 10х, [10у + х = 35; [10(53 - 10х) + х = 35; [у = 53 - 10х, Г у = 53 - 10х,
530 - 100х + х = 35; [99х = 495;
[у = 53 - 10х, Гу = 53 - 10 • 5 Гу = 3,
х = 495 : 99; I х = 5; I х = 5
Следует отметить, что путем подбора значений х и у также можно было найти решения системы уравнений (4). Это связано с тем, что уравнения системы (4) принимают только значения х = 5 и у = 3. Ответ: (5; 3).
Таким образом, использование позиционной системы десятичных счислений в процессе решения уравнений и систем уравнений развивает математическую культуру обучающихся и расширяет круг решения различных задач.
Следовательно, такие задачи должны быть включены в учебниках средних общеобразовательных школ для дальнейшего углубленного изучения соответствующих разделов. В частности, целесообразно часто показать ход решения таких задач в математических кружков и факультативных занятий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Махкамов М. Различные способы преобразования алгебраических выражений. / М.Махкамов - Душанбе: Просвещение, 2020. - 216 с. (на тадж. языке)
2. Махкамов М. 36 способов решения квадратных уравнений: руководство для студентов и преподавателей. / М.Махкамов - Душанбе: Просвещение, 2021. - 180 с. (на тадж. языке)
3. Махкамов М. Методы решения систем уравнений. Руководство для школьников, студентов, преподавателей. / М.Махкамов - Душанбе: Просвещение, 2020. - 232 с. (на тадж. языке)
4. Махкамов М. Формирование обобщенных приёмов решения уравнений и неравенств в курсе алгебры неполной средней школы. / М.Махкамов // Дис... канд. пед.наук: 13.00.02. -М.: 1993. -160 с.
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В средних общеобразовательных школах, практически не изучается десятичная система счисления и их применения при решении уравнений и системы уравнений. В этой статье рассматривается применение позиционной десятичной системы счисления при решении уравнений и системы уравнений.
Ключевые слова: десятичная система счисления, область допустимых значений, уравнения, система уравнений, сумма чисел, коэффициенты, переменные.
APPLICATION OF THE POSITIONAL DECIMAL NUMBER SYSTEM IN SOLVING EQUATIONS AND SYSTEMS OF EQUATIONS
In secondary schools, the decimal number system and their application in solving equations and systems of equations are practically not studied. This article discusses the use of a positional decimal number system in solving equations and a system of equations.
Key words: decimal number system, range of admissible values, equations, system of equations, sum of numbers, coefficients, variables.
Сведения об авторах:
Махкамов Мамаджон — кандидат педагогических наук, доцент кафедры методика преподавания математики Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни, г. Душанбе, E-mail: mahkamov_m51@,mail.ru, Тел: (+992) 935851055;
Махкамов Фарзонжон Мамаджонович - старший преподаватель кафедры информатики и информационных технологий Российско-Таджикский (славянский) университет;
About the authors:
Makhkamov Mamadjon — Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Methods of Teaching Mathematics Tajik State Pedagogical University named after S.Aini, PhD, Dushanbe, E-mail: mahkamov_m51@,mail.ru Phone: (+992) 935851055;
Makhkamov Farzonjon Mamadzhonovich - Senior Lecturer of the Department of Informatics and Information Technologies of the Russian-Tajik (Slavic) University;
