О признаках делимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Тургунбаев Р.М. О признаках делимости // Ф'!зико-математична освта : науковий журнал. - 2017. - Випуск 2(12). -С. 147-150.

Turgunbaev Riskeldi. About Tests For Divisibility // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. -Issue 2(12). - Р. 147-150.

УДК 511.2

Р.М. Тургунбаев

Ташкентский государственный педагогический университет имени Низами, Узбекистан

m usamat1@yan dex. ru

О ПРИЗНАКАХ ДЕЛИМОСТИ

Аннотация. Широко известно признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 11 в десятичной системе счисления. А также в книгах встречаются признаки делимости на другие числа, например на числа вида 10п ±1. В этих признаках делимости для каждого делителя определятся специальное число. И делимость некоторого числа на данное число связывается с этим специальным числом. Например, для числа 19 специальным числом может быть число 2. Чтобы проверить делится ли данное число N на 19, 1) отбрасывается последняя цифра у числа N; 2) прибавляется к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;3) с полученным числом проделывается операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19; 4) если останется 19 то число делится на 19, в противном случае число не делится на 19.В данной статье обобщается этот результат. А именно, если d = (10, п) и d Ф 10, то число а = asas-.... а. а0 делится на число п тогда и только тогда, когда для любого числа х, удовлетворяющего сравнению 10-х = d(modn) имеет место сравнение d • asas-.... a1 + а0х = 0(modn), т.е. число d • asas-1... a.i + а0х делится на n. Аналогичный результат верен во всех позиционных системах счисления. В статье также показано, что из этих признаков можно получить некоторые известные признаки.

Ключевые слова: признак делимости, сравнение, позиционная система счисления.

Иногда в математике приходится решать вопрос делимости или неделимости одного натурального числа на другое. Очевидно, на этот вопрос можно дать ответ, непосредственно выполняя деление. Однако если дано условие делимости на данное число или, другими словами, признак делимости на данное число, то вышесказанный вопрос легко решается. Из курса школьной математики известны признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 11 и другие числа.

В книге [1] говорится о признаке делимости на 19 (задача 4.182, стр.64): «Существует следующий способ проверить делится ли данное число N на 19:

1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;

2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;

3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19;

4) если останется 19, то 19IN, в противном случае 19 \ N».

Далее авторы дают следующую задачу (4.183, стр. 65): «Аналогичные признаки существуют и для всех чисел вида 10п ±1 и их делителей. Например, существует признак делимости на 21, из которого получается и признак делимости на 7. Как устроен признак делимости на 21?»

Естественно возникают вопросы: можно ли найти такие признаки делимости для других чисел? Верны ли аналогичные признаки для других позиционных систем счисления?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся теорией сравнения [2]. Сначала сформулируем и докажем признак делимости чисел на простое число р (р Ф 2).

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

Теорема 1. Число а = asas-.... а. а0 делится на простое число р (р Ф 2) тогда и только тогда, когда для любого х, удовлетворяющего сравнению

10х = 1(modp) (1)

верно сравнение

asas-.... а1 + а0х = 0(modp) (2)

Доказательство. Необходимость. Допустим, что число а = asas-1 . .. а.а0 делится на р. Тогда имеет место сравнение

asas-1 . . . а.а. = 0(modp)

или

l0 • asas-... a-i + а0 = 0(modp).

Отсюда имеем:

10 • asas-.... а1 = —a0(modp) (3)

Пусть теперь число х удовлетворяет сравнению (1). Умножим обе части сравнения на -а0 и получим: -10 •а0^х = —a0(modp). Отсюда, используя свойство симметричности сравнения, имеем

—а0 = -10 • а0 • x(modp) (4)

Из (3) и (4) следует

10 •ЩЩ-—.Щ =-10 • а0 • x(modp) (5)

Но обе стороны сравнения (5) можно разделить на 10, в итоге получим:

asas-.... at = —а0 • x(modp), откуда получим (2), что доказывает необходимость.

Достаточность. Допустим, что для любого х, удовлетворяющего сравнению (1), имеет место (2). Докажем, что р|а.

По условию теоремы, asas-1... at + а0х = 0(modp). Умножим обе части сравнения на 10. Тогда

10 • asas--... а- + 10 • a.gX = 0(modp). (6)

Умножая обе части сравнения (1) на а0 имеем:

10 • а0 • х = a0(modp) (7)

Из сравнений (6) и (7) следует, что 10 • asas-.... а1 + а0 = 0(modp) или asas-1... а.а0 = 0(modp). Теорема доказана.

Таким образом, мы частично ответили на главный вопрос, а именно, мы нашли признак делимости на простое число р (р Ф 2): чтобы проверить делится ли данное число а = asas-1... а.а0 на р:

1) отбрасываем последнюю цифру у числа а;

2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на число х удовлетворяющее сравнению (1) ;

3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, делимость или не делимость которого на р легко установить;

4) если полученное число делится на р то р|а, в противном случае р \ а. Например, если р = 17, то из (1) имеем х = —5 (или —5 + 17к, к Е Z),

Теперь, используя вышедоказанную теорему, выведем признак делимости на 11. Найдем число х, удовлетворяющее сравнению 10x^1(mod11). Легко проверить, что число 10 удовлетворяет данному сравнению. Но вместо х=10 можно взять число -1. Тогда признак делимости на 11 можно сформулировать следующим образом:

Некоторое число а = asas-1... а.а0 делится на число 11 тогда и только тогда, когда число asas-1... а1 — а0 делится на 11.

Если это утверждение применить к числу asas-1... а1 — а0, то число asas-1... а1 — а0, а следовательно, и число а = asas-1... а.а0 делится на число 11 тогда и только тогда, когда число asas-1... а. — (а1 — а0) делится на 11. Продолжая этот процесс, мы получим общеизвестный признак делимости на 11:

Для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.

Чтобы полностью ответить на первый вопрос, поставленный в начале статьи, достаточно обобщить полученный результат на составные числа. В этом случае имеет место следующая

Теорема 2. Пусть d = (10, п) и d Ф 10. Число а = asas-1... а.а0 делится на число п тогда и только тогда, когда для любого числа х, удовлетворяющего сравнению

10-х = d(modn), (8)

имеет место сравнение

d • asas-1... а1 + а0х = 0(modn) (9)

Доказательство. Необходимость. Пусть число а = asas-1... а.а0 делится на число п. Тогда имеют место сравнения asas-1... а.а0 = 0(modn), откуда 10 • asas-1... а1 + а0 = 0(modn).

Из того что d|10, din, следует dla0. Следовательно, последнее сравнение можно разделить на d. Тогда получим следующее:

10 _ а0 ( п\

— • а_а__i ... а. + —- _ 0 (mod — ),

d 1 d У d'

или

10 _ а0 ( тпА

— •а5а5-1... а1 = - — [то<1-) (10)

Сравнение (8) также разделим на <, тогда ^-х = 1(то<2^). Теперь умножим обе части этого

а0 10 _ а0 / ,п\

сравнения на — — и получим — — -х = — — (то<2 )■

Отсюда, в силу свойства симметричности сравнения имеем

-00=-Ц -х (то< - ) (11)

а а2 V а) 17

Из соотношений (10) и (11) получим

- 10а0х(___п

' а_ а_ __ ... __. _ „

d s s 1 1 d2

,, (10 n\ ,„_. 10

Но (—^) = 1, поэтому обе стороны сравнения (12) можно разделить на —:

ап • х,

(mod^) (12)

_-—-[mod-у

а. а. — 1 >> > — | — 7 1 ,

<<

Умножая обе части и модуль сравнения на получим (9). Достаточность. Пусть имеет место (9). Докажем, что <|а.

По условию теоремы, сравнение < • а5а5-. . . . а1 + а0х = 0(то<п) верно для любого х, удовлетворяющего сравнению 10-х = <(то<п).

Так как числа < • а5а5-. . . . а1, 0 и п делятся на то <1а0х. Поэтому последнее сравнение можно разделить на

_ а0^х / п\

а5а5-.... а1 +—-— = 0 (то< — ).

Умножим обе части этого сравнения на Тогда

10 - , — ^ Jn^ /1И

— •а5а5-1... а.1 + — = 0 (то^ ) (13)

Теперь обе части и модуль сравнения (8) разделим на < и умножим обе части на тогда получим

Из (13) и (14) следует

10а0 d2

10

■x_ai(™dl) (14)

_ U0 ( П\

... а1 + — _ 0 (mod — у

< -ъ-ъ-1...-1 . < -у—_

Умножая обе части и модуль на имеем 10 • а5а5-. . . . а1 + а0 = 0(то<п), или

а5а5-. . .. а.а0 = 0(то<п), что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема 2 верна и для п = 2. В этом случае можно брать х = 1. Тогда число а = а5а5-1 . . . а.а. делится на 2 тогда и только тогда, когда 2 • а5а5-1 . . . а1 + а0 делится на 2. Откуда число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2.

С помощью теоремы 2 можно сформулировать признак делимости на 9. В этом случае < = 1 и х = 1 удовлетворяет сравнению 10х = 1(то<9). Имеет место следующее утверждение:

Некоторое число а = а5а5-. . . . а.а0 делится на 9 тогда и только тогда, когда число а = а5а5-.... а1 + а0 делится на 9.

Следовательно, если дано 5 — разрядное число, то отбрасываем последнюю цифру, получим (б — 13-разрядное число. Добавим к этому числу отброшенную цифру. Если продолжим этот процесс, то получим известный признак делимости на число 9:

Чтобы некоторое число делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 9.

Для п = 12 имеем < = (10,12) = 2, и сравнение 10 • х = 2(то<12) равносильно сравнению 5х = 1(то<6). Одним из решений последнего сравнения является число х = —1. Поэтому признак делимости на число 12 можно сформулировать следующим образом:

Некоторое число а = а5а5-. . . . а.а0 делится на 12 тогда и только тогда, когда число 2 • а5а5-.... а1 — а0 делится на 12.

Например, 1608 делится на 12, так как 2 • 160 — 8 = 312; 2^ 31 — 2 = 62 —2 = 60; 12160 а число 3246 не делится на 12, так как 2^324— 6 = 642; 2^64 — 2 = 126; 2 • 12 — 6 = 18; 12 \ 18.

Для п = 21 ([1], задача №4.183) имеем < = (10,21) = 1, и одним из решений сравнения 10 •х = 1(то<21) есть число х = —2. Поэтому признак делимости на число 21 можно сформулировать следующим образом:

0

Некоторое число a = asas-.... a. a0 делится на 21 тогда и только тогда, когда число asas-.... а1 — 2 • а0 делится на 21.

Далее обобщим аналогичные признаки делимости чисел для других позиционных систем счисления. Пусть число А = (asas-. . . . а.а0)q дано в q-ичной системе счисления, и дано число р, причем верны условия (q,p) = d Ф q.

Замечание. Все операции выполняются в q-ичной системе счисления.

Теорема 3. Число А делится на р тогда и только тогда, когда для любого числа х, удовлетворяющего сравнению

qx = d(modp)

выполняется сравнение

d • asas-.... at + а0х = 0(modp) Доказательство этой теоремы почти не отличается от доказательства теоремы 2 [4]. Используя последнюю теорему, выведем признак делимости на число 9 в д=20-ичной системе счисления:

Чтобы число (asas-. . .. а.а0)20 делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы число asas-. . . . at + 5а0 делилось на 9.

Из доказанных теорем следует, что в любой позиционной системе счисление существует признак делимости на любое число.

Список использованных источников

1. Алфутова Н.Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ / Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. - М.: МЦНМО, 2002. - 264 с.

2. Бухштаб А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. - М.: Просвещение, 1966. - 384с.

3. Дусумбетов А. Признаки делимости (на узбекском языке) / А. Дусумбетов, Р.М. Тургунбаев // Физика, математика и информатика. - 2003. - №4. - С. 25-33.

4. Дусумбетов А. Признаки делимости в позиционных системах счисления (на узбекском языке) / А. Дусумбетов, Р.М. Тургунбаев // Физика, математика и информатика. - 2004. - №6. - С. 22-25.

References

1. 1. Alfutova N.B., Ustinov A.V. Algebra i teoriya chisel. Sbornik zadach dlya matematicheskih shkol. - M.: MTsNMO, 2002. - 264 s.

2. 2. Buhshtab A.A. Teoriya chisel. - M.: Prosveschenie, 1966. - 384 s.

3. 3. Dusumbetov A., Turgunbaev R.M. Priznaki delimosti (na uzbekskom yazyike) // Fizika, matematika va informatika. - 2003. - #4. - S.25-33.

4. 4. Dusumbetov A., Turgunbaev R.M. Priznaki delimosti v pozitsionnyih sistemah schisleniya (na uzbekskom yazyike) // Fizika, matematika va informatika. - 2004. - #6. - S.22-25.

ABOUT TESTS FOR DIVISIBILITY Riskeldi Turgunbaev

Tashkent State Pedagogical University named after Nizami, Uzbekistan Abstract. The features of divisibility by 2, 3, 5, 9, 10, 11 in the decimal calculation system are known very widely. And, also in some books there are the signs of divisibility by other numbers, for example, the numbers in the form 10n ± 1. In these divisibility tests, a special number is determined for each divisor. And, the divisibility of a number by a given number is associated with this special number. For example, for number 19, number 2 can be a special number. In order to check whether the given number N is divided by 19, 1) the last digit of the number N is discarded; 2) the product of the discarded digit and 2 is added to the resulted number, 3) with the resulting number, operations 1) and 2) are performed until a number less than or equal to 19 remains; 4) if 19 remains, that number is divided by 19, otherwise the number is not divisible by 19. In this article this result is generalized. Namely, if d = (10, n) and d Ф 10, then a number a = asas-. . . . a. a0 is divided by a number n if and only if for any number x, satisfying the comparison 10-x = d(modn) there is a comparison d • asas-.... a1 + a0x = = 0(modn), 1.е. the number d • asas-.... at + a0x is divided by number n. A similar result is true in all positional number systems. In this article it is also shown that some of these famous signs can be obtained from these signs. Key words: а test for divisibility, comparison, positional system of number.