ПРИМЕНЕНИЕ ПОПРАВОЧНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В МЕТОДЕ РЭЛЕЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1:539.3 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8 (66). Вып. 4 МБС 74К25, 74Н45

Применение поправочных коэффициентов в методе Рэлея при расчете основной частоты колебаний цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением

Г. Т. Дзебисашвили

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Дзебисашвили Г. Т. Применение поправочных коэффициентов в методе Рэлея при расчете основной частоты колебаний цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 4. С. 646-652. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.410

Рассматривается применение поправочных коэффициентов в методе Рэлея при расчете основной частоты колебаний цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением. Систематизированы закономерности поведения поправочных коэффициентов. Проанализирована связь между видом поправочных коэффициентов и свойствами получаемой приближенной формулы.

Ключевые слова: колебания, цилиндрическая оболочка, метод Релея, поправочные коэффициенты.

1. Введение. Рассматриваются колебания цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением при различных вариантах закрепления. При наличии квадратного сечения можно получить приближенное аналитическое решение путем численного решения уравнения, получаемого после разделения переменных в уравнении Лагранжа — Жермен [1, 2]. Для шарнирно опертой оболочки, когда сечение мало отличается от квадратного, возможно получение решения в виде асимптотического разложения [3]. В общем случае для прямоугольного сечения, помимо асимптотических разложений и метода конечных элементов, целесообразно использование метода Рэлея, позволяющего получить приближенную формулу для низшей частоты. В работе [4] формы колебаний представлены в виде разложения в двойной ряд Фурье, при этом результаты расчетов хорошо согласуются с результатами вычислений частот методом конечных элементов. В работе [5] для решения данной задачи был предложен подход, основанный на использовании метода Рэлея с поправочными коэффициентами, которые выбираются эмпирически. При рассмотрении некоторых примеров применения данного подхода было выявлено, что несмотря на то, что в общем случае координатные функции с поправочными коэффициентами не удовлетворяют всем геометрическим граничным условиям, они могут давать меньшую погрешность, чем функции с поправочными коэффициентами, которые этим условиям удовлетворяют. Цель настоящей работы — дальнейшее изучение и обобщение закономерностей поведения поправочных коэффициентов при их применении в методе Рэлея.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2021

2. Постановка задачи. Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку с прямоугольным поперечным сечением, образованную сопряжением четырех прямоугольных пластин (рис. 1).

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка с прямоугольным поперечным сечением при разных граничных условиях (а, Ь, с — размеры).

X

X х 1

а

Рис. 2. Локальные координаты стенок оболочки (вид сверху).

Введем локальные прямоугольные координаты (х, у) в плоскости к-й пластины (рис.2). Будем предполагать, что деформации в плоскости каждой пластины пренебрежимо малы, изгибающие моменты в местах пересечения равны, а углы между сопряженными пластинами остаются прямыми при изгибах. Эти предположения равносильны следующим условиям:

-,»(к) (0, у) = -,»(к) (х, у) = 0,

^ (х,у)= (0,у), (1)

(х, у) = ™(кт+1) (0, у),

где А; = 1,4 — номер пластины, при этом к + 1 = 1 при к = 4, \ = ° ПРИ четных к (либо Ь при нечетных к), ю(к)(х,у) — прогиб к-й пластины, причем V к функция прогиба удовлетворяет уравнению Лагранжа — Жермен:

дддадсо _ рЫо^)^ =0, к = ТД (2)

и) / рЬ

Далее под частотой оболочки понимается частотный параметр / = ^ \/ ^, где А = — 4- ■

дх2 ■

д*

Б =

Ее

¿V' ^ ~ 12(1-1/2) ~ изгибная жесткость, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, р — плотность пластины, £ — толщина пластины, ш — собственная частота пластины.

3. Получение приближенных решений. Как было показано ранее в [3], пластины, образующие оболочку, совершают колебания независимо друг от друга. С учетом симметрии это позволяет рассматривать колебания пластины (квадратное сечение) или двух сопряженных пластин (прямоугольное сечение).

Частота пластины (пары пластин) по методу Рэлея определяется из отношения:

2тг V Т'

(3)

где П — потенциальная энергия деформации пластины (пары пластин) при изгибе, Т — максимальная кинетическая энергия пластины (пары пластин). П и Т зависят от координатной функции, характеризующей приближенную форму колебаний, при этом она должна удовлетворять геометрическим граничным условиям. Чем ближе вид координатной функции к истинной форме колебаний, тем точнее результат вычисления частоты.

Рассмотрим две смежные стенки оболочки. Выберем для стенки шириной х координатную функцию Кх. Геометрические граничные условия на стыках стенок будут иметь вид

Тогда

где

К

а |х=0

= КаХ=а =0, К |х=0 = Wb|x=Ь = 0,

дШа дх

П

д\¥ь дх

д\¥ь дх

дШа дх

Т=

Г0 ГХ*+1 \

/ Пх* ¿х + / ПХ*+1 ¿х^у,

Г0 ГХ*+1 \

/ Тх* ¿х + ТХ*+1 ¿х^у,

У ¿х2

¿у2

+ 2(1 .л ( х,

I у ¿x¿y

2 ¿2ШХъ ¿2

¿х2 ¿у2

(4)

(5)

(6)

(7)

Тх* = (¿К*, (8)

Х1 = а, Х2 = Ь. (9)

Координатная функция для стенки шириной х может быть записана в виде

Кх(х, с, х, у) = ^0(х)*1(х,х)*2 (с, у), (10)

где ^0 — поправочный коэффициент, и — координатные функции, характеризующие колебания вдоль х и у соответственно. В качестве удобно брать тригонометрические функции или многочлены.

|х

|х

|х

Ь

х=а

с

0

с

0

2

Будем рассматривать граничные условия «заделка — заделка»:

dWx _ dW-

Wx|y=o = W-X|tf=c = 0, = ^\у=с = 0, (11)

и условия «заделка — шарнир»:

dWv, д 2W

^х!У=о = ^х1у=с=0, Г_Х|у=0 = __Х|!/=с=о. (12)

Далее рассмотрим случай «заделка — заделка», считая, что и — тригонометрические функции. Рассуждения для других вариантов функций и граничных условий могут быть проведены аналогично.

Будем оценивать точность решений, используя относительную погрешность . = , где /д — частота, полученная методом Рэлея, /дг — частота, полученная методом конечных элементов. Вычисления проводились при следующих размерах (шаг изменения 1): а = 1,4, Ь = 2,4, с = 2, 4.

4. Сравнение и анализ решений. Возьмем координатные функции

пх

2пу\ :--

Wx = ах sin — — cos-j , (13)

где ах = A (х = a), ах = B (х = b) — некоторые поправочные коэффициенты.

Проводя вычисления по формулам (3), (5)—(8), получим, что

л/Зтг 116 А2 а^Ъ3 + 8А2а2Ъ3с2 + ЗА263с4 + 16Б2а364 + 8В2а3Ъ2с2 + 3 Б2^4"

а3Ъ3с^А2а + ВЧ) ' { '

При A ^ B (B ^ A) частота по формуле (14) будет стремиться к частоте оболочки квадратного сечения со стороной a (b). Это также верно, если положить A = 0 или B = 0.

В случае прямоугольного сечения при А = 1, В = ^ функции (13) удовлетворяют всем геометрическим граничным условиям. Погрешность такого решения изменяется в пределах от 2.1 до 14.9%, достигая минимума при a = b. Однако и при другом выборе A и B также возможно получение более точного решения. Для уточнения возможных вариантов выбора следует ввести дополнительные предположения. Будем предполагать, что в случае прямоугольного сечения значения производной прогиба в углу при подходе с разных сторон не равны друг другу, т. е. угол между стенками перестает быть прямым.

Исходя из этого, потребуем от координатных функций, чтобы они удовлетворяли всем геометрическим граничным условиям на нижнем и верхнем краях, а на боковых краях оболочки — только условиям отсутствия прогиба на линии пересечения стенок. Как будет показано далее, функции, удовлетворяющие таким ослабленным условиям, позволяют в данной задаче получить приближенные формулы, не уступающие по точности формулам с использованием координатных функций, удовлетворяющих всем геометрическим граничным условиям.

В частности, поправочные коэффициенты вида х", где а > 1, обеспечивают выполнение вышесказанных предположений. При подстановке их в формулу (14)

Рис. 3. Изменение средней погрешности приближенной формулы в зависимости от а при граничных условиях «заделка — заделка» (синяя линия) и «заделка — шарнир» (красная линия).

получим, что

_ уДт: ¡16а2а+4Ъ3 + 8а2"+2Ь3с2 + 3а2аЬ3с4 + 16а3Ь2а+4 + 8а3Ь2а+2с2 + 3а3Ь2ас4 /= "б" у а3Ь3с4(а2«+1 + Ь2«+1) •

(15)

С ростом а вычисляемое по (15) значение частоты убывает. При а ^ 1 оно стремится к частоте оболочки с квадратным сечением, сторона которого равна максимуму из а и Ь. Погрешность такого решения минимальна при а = Ь. При фиксированных а и с погрешность формул с увеличением Ь убывает при а <Ь и возрастает при а > Ь. При фиксированных а и Ь с увеличением с погрешность в случае прямоугольного сечения растет. Для квадратного сечения погрешность при варьировании а возрастает при а < с и убывает при а > с.

Исходя из поведения погрешности, для любой наперед заданной точности могут быть подобраны поправочные коэффициенты, обеспечивающие эту точность в приближенной формуле. В зависимости от а получаемая формула может быть как относительно простой, так и достаточно громоздкой, что было показано в работе [5].

Для граничных условий «заделка — шарнир» результаты аналогичны. При А = В = 1 погрешность изменяется в пределах от 0.1 до 15.7%. При этом погрешность с ростом а уменьшается быстрее, чем при условиях «заделка — заделка» (рис. 3).

Из определения метода Рэлея следует, что он всегда дает оценку для частоты сверху. Поэтому решение будем называть корректным, если для него ¡я > ¡^. Из полученных результатов следует, что У а Эа,0,Ь0,с0, такие что У а < а0,Ь < Ь0,с < с0 : ¡я < , что свидетельствует о наличии зависимости между а и размерами оболочки. По мере роста а это свойство сначала проявляется при выраженно прямоугольном сечении >3), затем отклонение сечения от квадратного, при котором решение перестает быть корректным, уменьшается. В рассматриваемом диапазоне размеров решение всюду корректно при а < 1.37 («заделка — заделка») и а < 1.29 («заделка — шарнир»).

Также можно заметить, что погрешность в формуле отчасти обусловлена присутствием высоких степеней а, Ь, с в знаменателе, и она наиболее быстро растет при

стремлении одной из сторон сечения к нулю. С увеличением а вклад этой погрешности в формулу уменьшается.

5. Заключение. Из полученных результатов можно заключить, что применение поправочных коэффициентов ха в методе Рэлея способно приводить к более точному решению, несмотря на то, что координатные функции с такими поправочными коэффициентами в общем случае не удовлетворяют условию равенства углов. Точность решения связана с размерами оболочками, причем роль играет близость сечения к квадратному. При больших а приближенные значения частот могут быть меньше, чем их значения, найденные методом конечных элементов, в большей части рассматриваемого диапазона размеров. В то же время при малых а обеспечивается достаточный уровень точности для приложений.

Литература

1. Filippov S. B., Haseganu E. M., Smirnov A. L. Free vibrations of square elastic tubes with a free end. Mechanics Research Communications 27, iss.4, 457—464 (2000).

2. Дзебисашвили Г. Т. Колебания цилиндрических оболочек с квадратным поперечным сечением. В: Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2017-2018 г., 13—29. Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (2019).

3. Амосов А. С. Колебания тонкой цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия, вып. 1, 67-72 (2004).

4. Chen Yue Hua, Jin Guo Yong, Liu Zhi Gang. Free Vibration of a Thin Shell Structure of Rectangular Cross-section. Key Engineering Materials 486, 107-110 (2011). https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/KEM.486.107

5. Dzebisashvili G.T., Filippov S. B. Vibrations of cylindrical shells with rectangular cross-section. Journal of Physics: Conference Series 1479, 012129 (2020). Доступно на: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1479/1/012129/pdf (дата обращения: 26.08.2021).

Статья поступила в редакцию 14 апреля 2021 г.;

после доработки 13 июня 2021 г.; рекомендована в печать 17 июня 2021 г.

Контактная информация:

Дзебисашвили Георгий Тамазович — аспирант; d-g-t@bk.ru

Applying adjustment factors in Rayleigh method to calculate vibrations principal frequency of a shell with rectangular cross-section

G. T. Dzebisashvili

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Dzebisashvili G. T. Applying adjustment factors in Rayleigh method to calculate vibrations principal frequency of a shell with rectangular cross-section. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2021, vol. 8(66), issue 4, pp. 646-652. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.410 (In Russian)

The applying of adjustment factors in Rayleigh method to calculate vibrations principal frequency of a shell with rectangular cross-section is considered in the paper. Behavior patterns of the adjustment factors are generalized. Relationship between the adjustment factors and properties of the approximate formulae is analyzed. Keywords: vibrations, cylindrical shell, Rayleigh method, adjustment factor.

References

1. Filippov S. B., Haseganu E. M., Smirnov A. L. Free vibrations of square elastic tubes with a free end. Mechanics Research Communications 27, iss.4, 457—464 (2000).

2. Dzebisashvili G.T. Free vibrations of cylindrical shells with the square cross-section. Trudy seminara "Compyuternye metody v mechanike sploshnoy sredy" 2017-2018, 13—29. St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Press (2019). (In Russian)

3. Amosov A. S. Free vibrations of a thin rectangular elastic tube. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, iss. 1, 67—72 (2004). (In Russian)

4. Chen Yue Hua, Jin Guo Yong, Liu Zhi Gang. Free Vibration of a Thin Shell Structure of Rectangular Cross-section. Key Engineering Materials 486, 107—110 (2011). https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/KEM.486.107

5. Dzebisashvili G.T., Filippov S. B. Vibrations of cylindrical shells with rectangular cross-section. Journal of Physics: Conference Series 1479, 012129 (2020). Available at: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1479/1 /012129/pdf (accessed: August 26, 2021).

Received: April 14, 2021 Revised: June 13, 2021 Accepted: June 17, 2021

Author's information:

Georgii T. Dzebisashvili — d-g-t@bk.ru