CC BY
43
УДК 534.1 А. С. Амосов
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№ 1)
КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ОБОЛОЧКИ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Введение. В работе [2] исследовались колебания тонкой оболочки с квадратным поперечным сечением. При наличии у оболочки свободного края колебания локализуются вблизи этого края. В случае шарнирного опирания краев форма колебаний охватывает всю срединную поверхность и задача имеет простое аналитическое решение. В данной работе это решение используется в качестве нулевого приближения.
1. Постановка задачи. Рассматриваются малые свободные колебания оболочки, четыре стороны которой представляют собой жестко соединенные прямоугольные пластины (рис. 1). Уравнения колебаний пластин имеют вид [1]
ПДДтк (х, у) — іриі2тк (х,у) = 0, к = 1, 2,
(1)
где
Дт = юхх + Юуу, Б
ЕІ
3
уу’ 12(1 -г/2)'
Здесь ш — собственная частота, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона материала трубы, Ь — толщина пластины и р — ее плотность. Верхний индекс 1 относим к пластине шириной а + 2е, а индекс 2 — к пластине, ширина которой равна а. Функцию прогиба для всех пластин будем искать в виде
! \ ! \ ' ппу 0
ги(х, у) = IV(X) эш ——, п =1,2,...
После подстановки в уравнение (1) получаем
(4) 2п2п2 .. п4п4
1------------IV +
Ъ2
Ъ4
= Лт, Л =
Ьрш2
~В~
(2)
Не умаляя общности, можно считать длину оболочки Ь = п. С учетом этого уравнение (2) примет вид
т(4) — 2и2т" + п4т = Лт. (3)
а + 2е
Рис. 1. Оболочка с прямоугольным поперечным сечением.
© А.С.Амосов, 2004
В силу симметрии задачи рассмотрим четверть оболочки, соответствующую х € [0,а/2 + е] для первой пластины и х € [0,а/2] для второй пластины (рис. 2). Из по-
становки задачи имеем следующие граничные условия на стыке:
т1(0) = т2(0) = 0, (т1) (0) = (т2) (0),
(т1 )"(0) = —(т2)" (0).
Граничные условия для середины пластин имеют вид
+ е) = («,1)"'(§ +е)=0,
(№2)/(|) = (№2),,,(|)=0
для форм колебаний симметричных относительно середины пластины и
п.-Х( а
(4)
(5)
(| + е) — {го )"(§ + е) — 0,
0
(6)
для асимметричных форм.
2. Асимптотический метод. Параметр частоты Л является собственным числом дифференциального оператора Н: Нт = т(4) —2п?т"+п4т. Пусть е — малый параметр. Приближенное решение будем искать в виде
Л — Ло + еЛі + ..., т — + ет-^ + ..., к — 1, 2.
(7)
Подставляя (7) в уравнение (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем уравнения нулевого
Лотк (8)
и первого
Нтк =Л0тк +Л1тк, к = 1, 2 (9)
приближений. Решение краевой задачи нулевого приближения имеет вид [2]
(а2п2 + п2т2)2
/ ^ • /Пт
ги о(х) = виц---------х), Ло =
а
(10)
4
а
Граничные условия этой задачи совпадают с условиями (4), (5), (6), если считать в них параметр е = 0. Используя (4), (5) и выражения для прогибов (7), получаем граничные условия для первого приближения колебаний, симметричных относительно середины пластины
(П)
У}(0) = ^(0) = 0, Ю'(§) = Ю"'(|) = о.
Домножив уравнение (9) поочередно на т°, и проинтегрировав на интервале [0, а/2], получим
получим (12)
(Нть,ть) = Ло(тк,ть) + Лі(т§,ть), к =1, 2.
г а/2
Здесь (у,т) = утвх. Интегрирование по частям в уравнении (12) дает равенства
о
(т\ ,Нт%) + І2 т ,т$) = Ло(ть ,и$) +Лі(т§ ,т^).
Из (8) и (13) следует, что
Л (т\,т0^) = Лі(т§ ,т0^),
(13)
(14)
где
Л (т\,т%) =
,,к & Чд
і/2
дшк
дх2 дх
г/2
+
дх дх2
і/2
1 дх3
і/2
-2 п2[ ^«;§
х/2
,.к ] Л
1 дх
і/2
С учетом (11) формулы (15) для Іі и J2 принимают вид
(15)
Іі(ті,то) І2(т\ ,т’^)
д ш, і
~д^Ш0
г/2
+
д-ші
дх2 дх
+
дгиі д2
дх дх2
г/2
г. 2 дші і
- 2пА
г/2
дх2 дх
дгш\ д2ги1 дх дх2
(16)
Сложив уравнения системы (14), получим
2Л і /о (то)2
а/2
. дш\ д2ги\ дх дх2
а/2
2п
2 ди>\ і
~д^<
а/2
(17)
Найдем значения адхз и в точке Для этого продифференцируем выражение для ті необходимое число раз и разложим получившиеся слагаемые в ряд по степеням малого параметра е:
д_Шд _
дх ' 2 >
,д Ц'о (а ' дх2 У 2
Следовательно, ^р(§) = — °д™2 (§)• Аналогичным образом находим (§) =
—д^г(§)- Подставив полученные выражения в формулу (17), с учетом (10) получаем
4т3п3(а2п2 + п2т2)
д2
д
Л
1 —
а4(т7г — аэт —) ’
^ а >
т = 1, 3,...
(18)
д2ш?
дшк д2шк
о
о
о
о
о
д2ш}
о
о
д ш, дш
о
Выражение Л для колебаний асимметричной формы находим аналогично, используя граничные условия (6). Оно имеет тот же вид (18), но т = 2, 4,... Из (7), (10) и (18) вытекает приближенная формула для параметра частоты
(а2п2 + п2т2)2 4т3п3(а2п2 + п2т2)
Л=^------—I------е—^---------------- т7Г/, п,т = 1,2,... 19
а4 а4 (тэт — а зт )
^ а 1
3. Точное решение. Перейдем к новым локальным системам координат, в которых оси х будут иметь своим началом середины соответствующих сторон. Будем искать функцию прогиба т в виде е1Х. После подстановки в уравнение (3) получим
74 — 2п27 2 + п4 — Л = 0. (20)
Корни уравнения (20) имеют вид 71,2 = и 72,3 = ±*в, где
7 = \! %/Л + п2, /3 = %/Л — п2.
Общее решение уравнения (3) имеет вид
тк = Ак сИ(7х) + Вк 8И(7х) + Ск сов(вх) + £к вт(вх).
Ипользуя граничные условия в нуле для симметричных форм (тк')' = 0, (тк)'" = 0,
получаем, что Вк = Вк = 0. Поэтому,
тк = Ак сИ(7х) + Ск сов(рх), к = 1, 2. (21)
Подстановка решения (21) в граничные условия на стыке пластин
и>1(| + е) = 0 «;2(§)=0
(«;1)/(| + е) = («;2)'(§) («;1)"(| + е) = -(^2)"(|)
дает систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных Ак, Ск. Для того, чтобы эта система имела нетривиальное решение, необходимо потребовать равенство нулю ее определителя.
сЬ(^) сов(^) 0 0
о О сЬ(7(§+е)) С08(/3(§+е))
7вЬ(^) —/3 в т(^) -7вЬ(7(|+е)) /3вт(/3(§ + е))
72сЬ(^) сов() 72сЬ(7(|+е)) -01 со8(/?(§ + е))
Подставляя в это уравнение выражения для 7 и в, получаем уравнение относительно частотного параметра Л. Оно не имеет аналитического решения. Его корни могут быть найдены численным методом для конкретных значений е. Аналогично, приравнивая к нулю определитель системы, порожденной граничными условиями для асимметричных форм, находим частотный параметр для колебаний этих форм.
4. Сравнение численных и приближенных результатов. Вышеописанными методами для оболочки шириной а =1 были получены следующие значения наименьшего (п = т = 1) частотного параметра Л при разных значениях е:
= 0.
е Лчисл. Аасимпт. е Лчисл. Аасимпт.
0 118.148 118.148 0.05 97.7505 96.6926
0.005 116.011 116.003 0.055 95.8484 94.547
0.01 113.893 113.857 0.06 93.9748 92.4014
0.015 111.794 111.712 0.065 92.13 90.2558
0.02 109.716 109.566 0.07 90.3148 88.1103
0.025 107.661 107.42 0.075 88.5294 85.9647
0.03 105.628 105.275 0.08 86.7741 83.8191
0.035 103.62 103.129 0.085 85.0494 81.6735
0.04 101.637 100.984 0.09 83.3554 79.528
0.045 99.6802 98.8381 0.095 81.6921 77.3824
В качестве примера определения области применимости приближенного метода было найдено значение е, соответствующее относительной погрешности в 5%. Для первого значения Л(п, т) = Л(1,1)
екрит. - 0.0937
и для второго Л(2,1)
екрит. - 0.1247.
Качественное различие численного и приближенного результатов для достаточно больших е проиллюстрированно на рисунках 3 и 4. Результаты, полученные для любых значений е < екрит. будут иметь погрешность меньше 5%. Таким же образом, задавшись любой фиксированной погрешностью, можно найти границы использования данного метода с ошибкой, не превосходящей допустимую.
Рис. 3. Зависимость точного и приближенного значений Л(1, 1) от параметра е.
Рис. 4. Зависимость точного и приближенного значений Л(2, 1) от параметра е.
Summary
Amosov A. S. Free vibrations of a thin rectangular elastic tube.
Free vibrations of a rectangular thin elastic tube with freely supported ends are investigated. The natural frequency is found both numerically from the solution of the nonlinear characteristic equation and approximately by an asymptotic method. The difference of exact and asymptotic results is analyzed.
Литература
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1966.
2. Filippov S. B., Haseganu E. M. and Smirnov A. L. Vibrations of a Square Elastic Tubs with a Free Edge // Mechanics Research Communications. 2000. Vol. 27. N 4. P. 457-464.
Статья поступила в редакцию 22 апреля 2003 г.
