Применение объемных конечных элементов в прочностных расчетах инженерных объектов агропромышленного комплекса

Клочков Ю. В.; Николаев А. П.; Фомин С. Д.; Вахнина О. В.; Клочков М. Ю.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Юхин Иван Александрович, заведующий кафедрой автотракторной техники и теплоэнергетики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования Рязанский государственный агротехнологический университет им. П.А. Костычева (390044, г. Рязань, ул. Костычева, д.1), доктор технических наук, доцент. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3822-0928 E-mail: ivan.uspensckij@yandex.ru

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Conflict of interest. The authors declare no conflict of interest.

УДК 539.3:631.3 DOI: 10.32786/2071-9485-2019-04-27

ПРИМЕНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТАХ ИНЖЕНЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА

APPLICATION OF VOLUME FINAL ELEMENTS IN STRENGTH CALCULATIONS OF ENGINEERING OBJECTS OF AGRICULTURAL COMPLEX

Ю. В. Клочков1, доктор технических наук, профессор А. П. Николаев1, доктор технических наук, профессор С. Д. Фомин1,.доктор технических наук, доцент О. В. Вахнина1, кандидат технических наук, доцент М. Ю. Клочков2, студент

Yu. V. Klochkov1, A. P. Nikolaev1, S. D. Fomin1, O. V. Vakhnina1, M. Yu. Klochkov 2

1Волгоградский государственный аграрный университет 2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

1 Volgograd State Agrarian University, Volgograd 2Lomonosov Moscow State University, Moscow

Дата поступления в редакцию 17.09.2019 Дата принятия к печати 02.12.2019

Received 17.09.2019 Submitted 02.12.2019

В работе в криволинейной системе координат представлены алгоритмы формирования матриц жесткостей конечных элементов двух конфигураций для расчета конструкций инженерных объектов АПК. Первым объемным элементом принята призматическая фигура с основанием в виде треугольника, поверхность которого параллельна отсчетной поверхности оболочки, а высота призмы ориентирована по нормали к отсчетной поверхности оболочки. Узловыми неизвестными приняты перемещения и их первые производные по координатам отсчетной поверхности и по координате, нормальной к ней. Для аппроксимации перемещений использованы функции формы, элементами которых были произведения полных полиномов третьей степени. Во второй конфигурации рассмотрен объемный конечный элемент в виде призматической фигуры с четырехугольным основанием, параллельным отсчетной поверхности оболочки. В качестве узловых неизвестных также приняты перемещения и их первые производные по криволинейным координатам отсчетной поверхности и по координате в направлении нормали к ней. Для аппроксимации перемещений использованы функции формы, элементами которых были триадные произведения полиномов Эрмита третьей степени. Для улучшения совместности призматических конечных элементов по производным нормальных компонент векторов перемещений использованы множители Лагранжа в серединах оснований, которые введены как дополнительные узловые неизвестные. Для получения матриц жесткости рассматриваемого призматического элемента использован модифицированный функционал потенциальной энергии, зависящий от основных неизвестных и множителей Лагранжа. На примере расчета участка напорного трубопровода показана эффективность разработанных конечных элементов.

In the work in a curvilinear coordinate system, algorithms for the formation of stiffness matrices of finite elements of two configurations for calculating the structures of engineering objects of the agricultural sector are presented. The first volume element is a prismatic figure with a base in the form of a triangle, the

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

surface of which is parallel to the reference surface of the shell, and the height of the prism is oriented normal to the reference surface of the shell. Nodal unknowns accepted displacements and their first derivatives with respect to the coordinates of the reference surface and the coordinate normal to it. To approximate the displacements, form functions were used, the elements of which were products of complete polynomials of the third degree. In the second configuration, a volumetric finite element in the form of a prismatic figure with a quadrangular base parallel to the reference surface of the shell is considered. Displacements and their first derivatives with respect to the curvilinear coordinates of the reference surface and along the coordinate in the direction normal to it are also taken as nodal unknowns. To approximate the displacements, form functions were used, the elements of which were the triad products of Hermite polynomials of the third degree. To improve the compatibility of prismatic finite elements with respect to the derivatives of the normal components of the displacement vectors, Lagrange multipliers in the midpoints of the bases, which were introduced as additional nodal unknowns, were used. To obtain the stiffness matrices of the prismatic element under consideration, a modified potential energy functional was used, depending on the main unknowns and Lagrange multipliers. On the example of calculating the pressure pipeline section, the efficiency of the developed finite elements is shown.

Ключевые слова: призматические конечные элементы, модифицированный функционал Лагранжа, корректирующие множители Лагранжа.

Key words: prismatic finite elements, modified Lagrange functional, Lagrange correction factors.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Волгоградской области в рамках научного проекта № 19-41-340005 р_ а

Цитирование. Клочков Ю. В., Николаев А. П., Фомин С. Д., Вахнина О. В., Клочков М. Ю.. Применение объемных конечных элементов в прочностных расчетах инженерных объектов агропромышленного комплекса. Известия НВ АУК. 2019. 4(56). 227-237. DOI: 10.32786/20719485-2019-04-27.

Citation. Klochkov Yu. V., Nikolaev A. P., Fomin S. D., Vakhnina O. V., Klochkov M. Yu. Application of volume final elements in strength calcula-tions of engineering objects of agricultural complex. Proc. of the Lower Volga Agro-University Comp. 2019. 4(56). 227-237 (in Russian). DOI: 10.32786/2071-9485-2019-04-27.

Введение. В настоящее время аграрное производство является одним из приоритетных направлений развития экономики России. Курс на интенсификацию сельскохозяйственного производства требует увеличения объемов строительства новых объектов агропромышленного комплекса (АПК) и реконструкции уже существующих. В этой связи достаточно актуальной становится задача анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) сложных систем и объектов АПК, таких как зернохранилища, силосные бункеры, напорные и безнапорные трубопроводы, резервуары, строительные конструкции ферм, элеваторов и прочее. В настоящее время для расчетов прочности, устойчивости, долговечности систем и объектов АПК используют, в основном, численные методы расчета, основанные на современных компьютерных технологиях [4-9, 12, 13, 17, 21, 22]. Наиболее распространенным из численных методов на данный момент является метод конечных элементов (МКЭ) [1-3, 10, 11, 14, 18-20, 23, 25]. Несмотря на широкий спектр имеющихся вычислительных конечно-элементных комплексов, таких как ЛИРА, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS и других, актуальной задачей остается разработка и совершенствование конечно-элементных алгоритмов по определению прочностных параметров НДС систем и объектов АПК.

Материалы и методы. В работе применяется численный метод - МКЭ с использованием современной вычислительной техники. На примере расчета напорного трубопровода излагаются алгоритмы формирования матриц жесткостей объемных конечных элементов и сравнительный анализ их эффективности при сопоставлении с результатами, полученными на основе использования двумерных элементов дискретизации.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Геометрические и физические соотношения. Подразумевается, что отсчетная поверхность конструкции АПК задается радиус-вектором:

R0 = х(а1 ,а 2 )i + у(ах ,а 2 )j+z(a1 ,а 2 )k, (1)

где а15 а2 - криволинейные координаты, X, y, z - декартовые координаты, i,j, k - орты декартовой системы координат.

Ковариантные векторы базиса и орт нормали в точке N0 отсчетной поверхности конструкции АПК определяются по формулам:

«О = Дар = Да2; = «О X «О A/ä\ (2)

где запятая обозначает операцию дифференцирования по соответствующей криволинейной координате а1, а2 ; a0 = (a° • )(я° • )— • )2- детерминант метрического тензора, отнесенного к отсчетной поверхности.

Радиус-вектор точки N0t, отстоящей от отсчетной поверхности на расстоянии t, в исходном состоянии может быть задан формулой:

R0t = R° + a0t. (3)

В результате нагружения конструкции точка N01 займет новое положение N1, которое будет характеризоваться радиус-вектором:

R=R0t+V. (4)

Входящий в (4) вектор перемещения точки N0t и его производные могут быть определены компонентами в локальном базисе точки отсчетной поверхности N0 :

V = va + va + va0; V,а1 = + m2a20 + m a0;

— — — — — — — — (5)

V ,а2 = ma + m2a0 + m> a0; V,t = m^af + mt2a0 + mta0.

Векторы базиса точек N0t и N1 могут быть получены дифференцированием (3) и (4) по а1, а2 и t :

g? = R^; &=ДД,а2; &0=R!i=a0; g = R^; &=Да2; & = R. (6)

Ковариантные компоненты метрического тензора в точках N0t и N t могут быть определены скалярными произведениями:

gpy gp gy; gpy §p §y. (7)

где нижние индексы p, y последовательно принимают значения а1, а2 и t.

Используя известное соотношение механики сплошной среды [23], с учетом (7) можно получить ковариантные компоненты тензора деформаций в точке N0t :

£py=(gpy— gPy)/2. (8)

Соотношения (8) могут быть представлены в виде матричного произведения:

КЛ=№ * (9)

6x1 6x3 3x1

229

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

.1 „2

где к } = ^<4 «1 2еч «2 2ечг ва2 «2 2е<*2г вп } р} = К у2 4 М - матрица алгебраиче-

1x6 1x3

ских и дифференциальных операторов.

Предполагая, что деформирование инженерной конструкции ограничивается упругой стадией работы материала, контравариантные компоненты тензора напряжений могут быть выражены через ковариантные компоненты тензора деформаций следующими зависимостями (Седов Л. И., 1976):

ару = Щв^ру + 2^ рР g у58р5, (10)

где /1(е)= gру8ру - первый инвариант тензора деформаций; gрр - контравариантные компоненты метрического тензора; А, Ц - параметры Ляме (Седов Л. И., 1976).

Физические соотношения (10) также могут быть представлены в матричной форме:

И=Ш (11)

I ру т { а1 а1 ш а 2 а1 г а 2 а 2 а 21 гг } Г/^1

где р 11 а 12 а 1 а 22 а 2 а к [С] - матрица упругости.

1x6 ^ ^ 6x6

Объемные конечные элементы. Предполагается, что инженерная конструкция АПК моделируется совокупностью объемных конечных элементов в виде призматических элементов с треугольным и четырехугольным основаниями. Искомыми неизвестными в узлах призматических конечных элементов выступают компоненты вектора перемещения точки №', а также их частные производные первого порядка.

Столбцы узловых неизвестных призматических конечных элементов в локальной С и глобальной а1, а2, г системах координат выбираются в следующем виде:

РлТ={кл ТклТ кТ}; (12)

1x72 [ 1x24 1x24 1x24 ]

РлТ={клТ клТ к Т}; (13)

1x96 [ 1x32 1x32 1x32 ]

Р г Т={к Т кГ Т к Т}; (14)

1x72 [ 1x24 1x24 1x24 ]

Рг Т={кг Т кг Т к Т}, (15)

1x96 [ 1x32 1x32 1x32 ]

где нижние индексы Д и 0 указывают на призматический конечный элемент с треугольным или четырехугольным основанием соответственно.

Входящие в (12) - (15) подматрицы-строки имеют следующую структуру: к } = Ч Ч' Чк Ч' Чп Ч1 Чк... Чк Чк... Чк Чк... чк}

1x24

(чД} = 4 4 чк ч' чп ч1 ч<1 ... ча 1 ч,а2... ч,а 2 чк... ч,1}

1x24 (16)

(ЧоЛ } = Ч Ч Чк Ч' Чп Ч1 Чр Ч" Чк... Ч," Чк... Чщ Чк... ч,"}

1x32

Ч} = Ч Ч чк ч' чп ч1 чр ч" ч,<1 ... ч,< ч,а2.. ч,а2 чк... ч,"}

1x32

где верхние индексы I,к,', П, 1 и I,к,', п, 1, р," указывают на узлы, расположенные в вершинах призматического конечного элемента с треугольным и четырехугольным основаниями соответственно, а под Ч понимается компонента вектора перемещения V1, V2 или V.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Компонента вектора перемещения точки, расположенной во внутренней области призматических конечных элементов, определяется через свои узловые значения с помощью интерполяционных выражений следующего вида:

{фГ Ы Ь qo = vr fc },

я

(17)

1x24 24x1

1x32 32x1

где {ф} — {ф ф2 ... ф24} - матрица-строка, состоящая из произведений полных полиномов

1x24

третьей степени и полиномов Эрмита третьей степени; {ц} — {ц V2".Ц32}- матрица-

1x32

строка, содержащая триадные произведения полиномов Эрмита третьей степени.

Производные компонент вектора перемещения точки внутренней области призматического элемента по глобальным криволинейным координатам определяются дифференцированием (17) по а!, а2 и t, например:

Ял,«1 = ({ф5 } ■ 5«1 +{фч } ■ Л,.1 +К } ■ «1 )Ы} Яо,, = í{y,5}T ■Ъ,tJ ■Л,t}T t}

(18)

Результаты и обсуждение. Для улучшения совместности призматического конечного элемента по производным нормальных компонент векторов перемещений вдоль внешних нормалей в серединах сторон оснований используются множители Ла-гранжа, которые рассматриваются как дополнительные узловые неизвестные [16].

Для призматического конечного элемента с треугольным основанием могут быть записаны следующие равенства:

\\dvl 5N1 J+Х2 [dv/ 5N2 J+Х3 [dv/ dN3 J = 0;

í Ы cN J+Х (dv¡ dN, J+Х (dv/dNK J = 0,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(19)

где первое равенство (19) относится к нижнему, а второе равенство - к верхнему основаниям; Х1,Х2,...,Х6 - множители Лагранжа в узлах, расположенных в серединах оснований;

Ыъ Ы2,..., Ы6 - векторы внешних нормалей в серединах сторон оснований (рисунок 1).

Рисунок 1 - Призматический элемент с треугольным основанием Figure 1 - Prismatic element with triangular base 231

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Равенство (19) для призматического конечного элемента с четырехугольным основанием (рисунок 2) записывается в следующем виде:

У dv/dN, I+(dv/dN21+У dv/ dN31+(dv/dN4I = 0;

f dv/dN51+f dv/dN61+f dv/dN71+f dv/dN81 = 0.

(20)

Рисунок 2 - Призматический элемент с четырехугольным основанием Figure 2 - Prismatic element with a quadrangular base Соотношения (19), (20) могут быть представлены в матричном виде:

lT№ 1= 0; iTMUi }= 0;

(21) (22)

}= 0; }= 0,

где ^ ДТ =^4^5А6} = } А''Т =

Матричные соотношения (21) и (22) используются в качестве дополнительных слагаемых в функционале Лагранжа, минимизацией которого по {(Д } и {(^ } формируются матрица жесткости и столбец узловых усилий призматических конечных элементов, например, для конечного элемента с четырехугольным основанием:

Фь№г Ш !р "(я} (23)

V V

где (РТ - столбец внешней нагрузки.

Функционал (23) с учетом (9), (11), (17) может быть преобразован к виду:

Фь=Ur Г Г Г М [с Wv Г Ur }-Ur Г Г Г М HiV+

V V

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

где Л]

3x96

ы от от

[В]—[о]Л][ матрица [Г]представляет собой матрицу перехода

получим следующую систему мат-

(25)

№ ы № № № ы

от столбца (13) к столбцу (15).

Минимизируя (24) по р<Г} , ^и ,

ричных уравнений:

эф£/ а{и г } — [Г Г |[ВГ [с [Г р }-

-[Г Г |ЛГ р^ф 'Г {^ ;}+[а ^ {^<'}— о;

V

дФь/ <}Г — 'РГ}— 0; дФь1 д{^ ;}Г — 'р<Т}— 0.

Дальнейшее формирование матрицы жесткости и столбца узловых усилий призматического конечного элемента осуществляется в соответствии с общепринятыми в МКЭ процедурами [1-3, 10, 11, 14, 18-20, 23, 25].

Пример расчета. В качестве примера было исследовано НДС участка напорного трубопровода, поперечное сечение которого представляло собой эллипс, так как в реальной действительности идеальную форму кругового цилиндра сохранить сложно под действием внешней нагрузки, природных, коррозионных и других факторов. При такой постановке задачи рассматриваемый трубопровод не является оболочкой вращения, что приводит к необходимости адекватной параметризации отсчетной поверхности. Данная проблема была решена с использованием разработанных ранее авторами формул параметризации оболочек эллипсоидального типа [15]. Трубопровод был нагружен внутренним давлением интенсивности q . По торцам участка трубопровод был жестко защемлен. Вследствие наличия плоскостей симметрии рассматривалась 1/8 часть участка трубопровода. Расчеты выполнялись в двух вариантах. В первом варианте использовался призматический конечный элемент с треугольным основанием. Во втором варианте применялся призматический элемент с четырехугольным основанием.

Результаты расчетов показали, что в обоих вариантах наблюдается быстрая сходимость вычислительного процесса. Значения напряжений, вычисленные по первому и второму вариантам, различаются между собой незначительно.

Далее, при фиксированной сетке дискретизации поверхности трубопровода, варьировалось число элементов дискретизации по толщине от одного до трех. Анализ результатов расчетов показал, что с увеличением числа элементов дискретизации, на которое разбивалась стенка трубопровода, значения напряжений в жесткой заделке возрастают и приближаются по величине к значениям напряжений, вычисленных с применением двумерных конечных элементов с корректирующими множителями Лагранжа [24].

Заключение. На основании выполненных исследований можно сделать вывод об эффективности разработанных призматических конечных элементов и о приемлемой точности значений напряжений, вычисленных с использованием этих элементов дискретизации при анализе НДС инженерных объектов АПК.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Библиографический список

1. Агапов В. П., Айдемиров К. Р. Расчет ферм методом конечных элементов с учетом геометрической нелинейности // Промышленное и гражданское строительство. 2016. № 11. С. 4-7.

2. Железнов Л. П., Кабанов В. В., Бойко Д. В. Нелинейное деформирование и устойчивость дискретно подкрепленных эллиптических цилиндрических композитных оболочек при кручении и внутреннем давлении // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2018. № 2. С. 27-34.

3. Игнатьев А. В., Игнатьев В. А., Гамзатова Е. А. Расчет тонких пластин по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода с исключением перемещений конечных элементов как жесткого целого // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2018. № 3 (711). С. 5-13.

4. Каюмов Р. А., Мухамедова И. З., Хазиева Г. Ф. Потеря устойчивости листовых косоугольных консолей // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2018. № 3 (45). С. 129-135.

5. Ким А. Ю., Плотников С. В. Сравнение экспериментального и численного исследования большепролетного пневматического линзообразного сооружения // Научное обозрение. 2016. № 15. С. 36-41.

6. Козлов В. А. Напряженно-деформированное состояние многосвязных призматических конструкций, закрепленных по скошенному сечению // Научный журнал строительства и архитектуры. 2015. № 4 (40). С. 11-17.

7. Пятикрестовский К. П., Травуш В. И. О программировании нелинейного метода расчета деревянных конструкций // Academia. Архитектура и строительство. 2015. № 2. С. 115-119.

8. Хайруллин Ф. С., Мингалиев Д. Д. Расчет тонких оболочек с использованием аппроксимирующих функций различного порядка // Вестник Технологического университета. 2017. Т. 20. № 14. С. 102-104.

9. Хайруллин Ф. С., Сахбиев О. М. Метод определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций сложной формы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 1. С. 36-42.

10. Чепурненко А. С., Языев Б.М., Турко М. С. Расчет цилиндрических гофрированных конструкций при помощи полуаналитического метода конечных элементов // Строительство и техногенная безопасность. 2018. № 12 (64). С. 49-56.

11. Adaptive finite-element models in structural health monitoring systems / А. M. Belostot-sky, P. A. Akimov, O. A. Negrozov, N. O. Petryashev, S. O. Petryashev, S. V. Sherbina, D. K. Kalichava, T. B. Kaytukov // Инженерно-строительный журнал. 2018. № 2. P. 169-178.

12. Badriev I. B., Paimushin V. N. Refined Models of Contact Interaction of a Thin Plate with Positioned on Both Sides Deformable Foundations // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2017. №38(5), Р. 779-793.

13. Galishnikova V. V., Pahl P. Ja. Analysis of frame buckling without sidesway classification // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Vol. 14. № 4. С. 299-312.

14. Hanslo Peter, Larson Mats G., Larson Fredrik. Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem // Comput. Mech. 2015. V. 56, № 1. P. 87-95.

15. Klochkov Y. V., Nikolaev A. P., Kiselyova T. A. To the question on continuous parameterization of spatial figures having an ellipse in a section // Russian Mathematics. 2017. Vol. 61. № 9. P. 27-31.

16. Klochkov Y. V., Nikolaev A. P., Vakhnina O. V. Calculation of rotation shells using finite triangular elements with Lagrange multipliers in variative approximation of displacements // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2016. Vol. 45. № 1. P. 51-58.

17. Krivoshapko S. N., Gbaguidi-Aisse G. L. Geometry, static, vibration and bucking analysis and applications to thin elliptic paraboloid shells // The Open Construction and Building Technology Journal. 2016. Vol. 10. P. 3-28.

18. Lalin V., Rybakov V., Sergey A. The finite elements for design of frame of thin-walled beams // Applied Mechanics and Materials. 2014. Vol. 578-579. P. 858-863.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

19. Lei Zhen, Gillot Frederic, Jezeguel. Developments of the mixed grid isogeometric Reiss-ner-Mindlin shell: serendipity basis and modified reduced quadrature // Int. J. Mech. 2015. Vol. 54. P. 105-119.

20. Nguyen Nhung, Waas Anthonym. Nonlinear, finite deformation, finite element analysis // ZAMP. Z. Angew. math.and Phys. 2016. Vol. 67, № 9. P. 35/1-35/24.

21. Solodovnikov A. S., Sheshenin S.V. Numerical study of strength properties for a composite material with short reinforcing fibers // Moscow University Mechanics Bulletin. 2017. Vol. 72. № 4. P. 94-100.

22. Storozhuk E. A., Komarchuk S. M. Stress Distribution Near a Circular Hole in a Flexible Orthotropic Cylindrical Shell of Elliptical Cross-Section // International Applied Mechanics. 2018. №54(6). P. 687-694.

23. Tyukalov Yu. Ya. Finite element models in stresses for bending plates // Инженерно-строительный журнал. 2018. № 6 (82). P. 170-190.

24. Using Lagrange multipliers in the triangular element of a nonshallow shell under variable interpolation of displacements / Y. V. Klochkov, A. P. Nikolaev, O. V. Vakhnina, T. A. Kiselyova // Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2017. Vol. 11. № 4. P. 535-544.

25. Yamashita Hirok, Valkeapaa Antti I., Jayakumar Paramsothy, Syqiyama Hiroyuki. Continuum mechanics based bilinear shear deformable shell element using absolute nodal coordinate formulation // Trans. ASME. J. Comput. and Nonlinear Dyn. 2015. Vol. 10, № 5. P. 051012/1-051012/9.

References

1. Agapov V. P., Ajdemirov K. R. Raschet ferm metodom konechnyh jelementov s uchetom geometricheskoj nelinejnosti // Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2016. № 11. P. 4-7.

2. Zheleznov L. P., Kabanov V. V., Bojko D. V. Nelinejnoe deformirovanie i ustojchivost' diskretno podkreplennyh jellipticheskih cilindricheskih kompozitnyh obolochek pri kruchenii i vnu-trennem davlenii // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Aviacionnaya tehnika. 2018. № 2. P. 27-34.

3. Ignat'ev A. V., Ignat'ev V. A., Gamzatova E. A. Raschet tonkih plastin po metodu konechnyh jelementov v forme klassicheskogo smeshannogo metoda s isklyucheniem peremeschenij konechnyh jelementov kak zhestkogo celogo // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Stroitel'stvo. 2018. № 3 (711). P. 5-13.

4. Kayumov R. A., Muhamedova I. Z., Hazieva G. F. Poterya ustojchivosti listovyh kosou-gol'nyh konsolej // Izvestiya Kazanskogo gosudarstvennogo arhitekturno-stroitel'nogo universiteta. 2018. № 3 (45). S. 129-135.

5. Kim A. Yu., Plotnikov S. V. Sravnenie jeksperimental'nogo i chislennogo issledovaniya bol'sheproletnogo pnevmaticheskogo linzoobraznogo sooruzheniya // Nauchnoe obozrenie. 2016. № 15. P. 36-41.

6. Kozlov V. A. Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie mnogosvyaznyh prizmaticheskih konstrukcij, zakreplennyh po skoshennomu secheniyu // Nauchnyj zhurnal stroitel'stva i arhitektury. 2015. № 4 (40). P. 11-17.

7. Pyatikrestovskij K. P., Travush V. I. O programmirovanii nelinejnogo metoda rascheta derevyannyh konstrukcij // Academia. Arhitektura i stroitel'stvo. 2015. № 2. P. 115-119.

8. Hajrullin F. S., Mingaliev D. D. Raschet tonkih obolochek s ispol'zovaniem ap-proksimiruyuschih funkcij razlichnogo poryadka // Vestnik Tehnologicheskogo universiteta. 2017. Vol. 20. № 14. P. 102-104.

9. Hajrullin F. S., Sahbiev O. M. Metod opredeleniya napryazhenno-deformirovannogo sos-toyaniya trehmernyh konstrukcij slozhnoj formy // Stroitel'naya mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. 2016. № 1. P. 36-42.

10. Chepurnenko A. S., Yazyev B. M., Turko M. S. Raschet cilindricheskih gofrirovan-nyh konstrukcij pri pomoschi poluanaliticheskogo metoda konechnyh jelementov // Stroitel'stvo i tehnogennaya bezopasnost'. 2018. № 12 (64). P. 49-56.