Конечноэлементные модели дискретизации тонкостенных конструкций предприятий АПК

Клочков Ю.В.; Николаев А.П.; Соболевская Т.А.; Фомин С.Д.; Клочков М.Ю.

7. Drelich, J. Guidelines to measurements of reproducible contact angles using a sessile-drop technique [Tekst]/ J. Drelich // Surface Innovations. - 2013. - № 1. - P. 248-254.

8. Goebel, M.O. Quantitative analysis of liquid penetration kinetics and slaking of aggregates as related to solid-liquid interfacial properties [Tekst] / M.O. Goebel, S.K. Woche, J. Bachmann // Journal of Hydrology. - 2012. - Vol. 442. - P. 63-74.

9. Surface-wetting characterization using contact-angle measurements [Tekst] / T. Huhtamaki, X. Tian, J. Korhonen at al // Nature Protocols. - 2018. - Vol. 13. - P. 1521-1538.

10. Volpe, D. The Wilhelmy method: a critical and practical review [Tekst] / D. Volpe, S. Siboni // Surface Innovations. - 2018. - № 6. - P. 120-132.

E-mail: [email protected]

УДК 539.3:631.2 DOI: 10.32786/2071-9485-2019-01-34

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРЕДПРИЯТИЙ АПК

FINITE-ELEMENT MODELS OF DISCRETIZATION OF THIN-WALLED STRUCTURES OF ENTERPRISES OF AGRO-INDUSTRIAL COMPLEX

Ю.В. Клочков1, доктор технических наук, профессор А.П. Николаев1, доктор технических наук, профессор Т.А. Соболевская1, кандидат технических наук С.Д. Фомин1, доктор технических наук, доцент М.Ю. Клочков2

Yu.V. Klochkov1, A.P. Nikolaev1, T.A. Sobolevskaya1, S.D. Fomin1, M.Yu. Klochkov2

1 Волгоградский государственный агарный университет, г. Волгоград 2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

1Volgograd State Agrarian University, Volgograd 2Lomonosov Moscow State University

Усложнение инженерных объектов АПК требует развития и совершенствования современных численных методов расчета их напряженно-деформированного состояния под действием различных видов заданных нагрузок. Цель - разработка алгоритмов получения аппроксимирующих выражений искомых величин метода конечных элементов с различным набором узловых неизвестных. Изложены основные принципы построения актуальных конечноэлементных моделей дискретизации тонкостенных конструкций, входящих в структуру агропромышленного комплекса, таких как резервуары, оросительные, осушительные и дренажные трубопроводы, водовоздушные колпаки и другие. Геометрические соотношения между деформациями и перемещениями получены на основе гипотезы прямой нормали с использованием уравнений механики сплошной среды. Элементом дискретизации тонкостенных конструкций АПК выбран четырехугольный фрагмент срединной поверхности с узлами, расположенными в его вершинах. Предложены три варианта набора узловых варьируемых параметров. В первом варианте узловыми неизвестными выбраны компоненты вектора перемещения. Во втором варианте наряду с компонентами вектора перемещения используются их первые производные по криволинейным координатам срединной поверхности. В третьем варианте дополнительно привлекаются частные производные второго порядка. Отличительной чертой предложенных конечноэлементных моделей является использование интерполяционной процедуры компонент вектора перемещения и их производных как составляющих векторных полей. При данном способе интерполяции в качестве интерполирующего объекта выбирается непосредственно вектор перемещения, а не его отдельные компоненты. В результате реализации данного подхода в структуру интерполяционных выражений входят не только компоненты вектора перемещения, но и параметры используемой системы криволинейных координат, что позволяет автоматически учитывать в неявном виде смещения элемента дискретизации как твердого тела. С целью верификации разработанных конечноэлементных моделей дискретизации тонкостенных

конструкций АПК был выполнен расчет цилиндрического резервуара, загруженного гидростатической нагрузкой. Анализ полученных численных значений напряжений показал устойчивую сходимость вычислительного процесса при сгущении сетки дискретизации. Характер распределения меридиональных и кольцевых напряжений на внутренней и наружной поверхностях резервуара показал соответствие полученных результатов физическому смыслу решаемой задачи. Была также построена эпюра прогибов внутренней поверхности резервуара вдоль образующей цилиндра, максимальные значения прогиба сосредоточены в зоне, расположенной на расстоянии % от днища резервуара. Разработанные конечноэлементные модели реализованы в виде пакета прикладных программ на объектно-ориентированных языках программирования.

The complication of engineering objects of agroindustrial complex requires the development and improvement of modern numerical methods for calculating their stress-strain state under the influence of various types of specified loads. Purposes - development of algorithms for obtaining approximating expressions of the desired values of the finite element method with a different set of nodal unknowns. The article describes the basic principles of construction of actual finite element models of sampling of thin-walled structures included in the structure of the agro-industrial complex, such as tanks, irrigation, drainage and drainage pipelines, water-air caps and others. Geometric relations between deformations and displacements are obtained on the basis of the direct normal hypothesis using equations of continuum mechanics. A quadrangular fragment of the middle surface with nodes located in its vertices is selected as a sampling element of thin-walled structures of the agroindustrial complex. Three variants of a set of nodal variable parameters are proposed. In the first case, the components of the displacement vector are selected as nodal unknowns. In the second variant, along with the components of the displacement vector, their first derivatives on the curvilinear coordinates of the middle surface are used. In the third variant, the second order partial derivatives are additionally involved. A distinctive feature of the proposed finite element models is the use of the interpolation procedure of the components of the displacement vector and their derivatives as components of vector fields. In this interpolation method, the displacement vector itself is selected as the interpolating object, rather than its individual components. As a result of the implementation of this approach, the structure of interpolation expressions includes not only the components of the displacement vector, but also the parameters of the used system of curvilinear coordinates, which allows you to automatically take into account the implicit displacement of the discretization element as a solid. In order to verify the developed finite element models of sampling of thin-walled structures of agroindustrial complex, the calculation of a cylindrical tank loaded with hydrostatic load was performed. The analysis of the obtained numerical values of stresses has shown a stable convergence of the computational process in the thickening of the discretization grid. The distribution of meridional and annular stresses on the inner and outer surfaces of the tank showed that the obtained results correspond to the physical meaning of the problem to be solved. A deflection diagram of the inner surface of the tank along the cylinder was also constructed, the maximum deflection values are concentrated in the zone located at a distance of % from the bottom of the tank. The developed finite element models are implemented as a package of application programs in object - oriented programming languages.

Ключевые слова: конечноэлементная модель, тонкостенная конструкция, наборы узловых варьируемых параметров, векторный способ интерполяционной процедуры, цилиндрический резервуар.

Key words: finite element model, thin-walled structure, sets of nodal variable parameters, vector method of interpolation procedure, cylindrical tank.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Волгоградской области в рамках научного проекта № 18-41-340007ра

Введение. Конструкции из тонких пластин и оболочек достаточно широко используются во многих объектах АПК. К такого рода конструкциям относятся трубопроводные оросительные, осушительные и дренажные системы, резервуары различного назначения, водовоздушные колпаки, водонапорные башни, бункеры и многое другое. Прочностные расчеты тонкостенных конструкций указанного вида в настоящее время

осуществляются на основе современных численных методов с использованием высокопроизводительной компьютерной техники [1-4, 6-8, 16-18, 20]. Несмотря на достаточно широкое предложение весьма дорогостоящих, как правило, зарубежных вычислительных комплексов типа ANSYS, NASTRAN, ABAQUS, актуальной остается задача разработки отечественных вычислительных алгоритмов по корректному определению параметров прочности конструкций из пластин и оболочек, являющихся неотъемлемой частью вышеперечисленных объектов АПК.

Целью настоящей работы является разработка конечноэлементных моделей дискретизации тонкостенных конструкций АПК на основе двумерных конечных элементов с реализацией векторного способа интерполяционной процедуры искомых величин [12].

Геометрические соотношения. Предполагается, что тонкостенная конструкция АПК может быть представлена в виде тонкой оболочки произвольной геометрии или её фрагмента. Срединная поверхность такой конструкции может быть задана радиус -вектором:

я° = ^(е1,92 у + Де1,92 )j + z(e1,02 )- (1)

где i, j, k - орты декартовой системы координат, 0 , 0 - криволинейные координаты поверхности тонкостенной конструкции.

Касательные векторы базиса точки срединной поверхности определяются дифференцированием (1) по 0а (а = 1, 2):

= Ra ■ (2)

Запятая в правой части (2) обозначает операцию дифференцирования по соответствующей криволинейной координате 01, 02.

Орт нормали к срединной поверхности определяется векторным произведением:

а0 = а0 х aO/Va0, (3)

о о -oY-о -о\ о -oV

где а = (а1 • а1 )а2 • а2 )- (а1 • а2 ) .

Выполняя операцию дифференцирования (2) и (3) по0а, можно получить производные векторов базиса точки срединной поверхности тонкостенной конструкции:

о

;о _гоу—о г о -о. -о _ гоу-о

a,ß =ХаВ аy + baßа ; а,а = -ba ау , (4)

аа,в _±ар ау + ¿ара ; а,а _ ¿а

где Г^р - символы Кристоффеля второго рода; ¿0р , ¿0 - ковариантные и смешанные компоненты тензора кривизны; греческие индексы здесь и ниже принимают значения 1, 2.

В процессе деформирования под действием заданной нагрузки точка М0 срединной поверхности тонкостенной конструкции и отстоящая от неё на расстоянии С

точка М 0С займут новые положения М и МС, определяемые соответствующими радиус-векторами:

Я = Я0 + V; ЯС = Я 0с + V, (5)

где Я °С = Я0 + са 0.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Входящие в (5) векторы перемещений точек М и М 0? определяются выраже-

ниями:

где а = Я а х Я в /

V = Vра0 + уа 0; V = V + — <5 0 )

(6)

Я а X Я в

орт нормали к срединнои поверхности тонкостенной конструкции в деформированном состоянии.

Деформации в точке М ? могут быть получены с помощью механики сплошной среды [5]:

4в = 0 , Ф а • 8в - 8а • 8р )

(7)

где 8 а Я,а; 8 а Я, а

= Я а?.

Конечноэлементная модель дискретизации тонкостенной конструкции.

Тонкостенная конструкция АПК моделируется ансамблем четырехугольных элементов

дискретизации с узлами 1 , ], к и I, расположенными в вершинах четырехугольника.

Набор узловых неизвестных в зависимости от требуемой точности расчета, конкретной геометрической формы и вида внешней нагрузки тонкостенной конструкции может быть выбран в одном из трех вариантов:

Ь Г = Г {у Г {у VIГ

1x12 I 1х4 1х4 1х4

^ ¡нкп г{у.2П Г!* VII}

1х12 1x12

1

V

1x24 1x24 к I

1x36

к у-

1x72

где

1x12

Нули НVIII Г

{ву1 Г = {д1д]дкд1}{д^п }т = {д'д]дкд'д1^ д1л }

1х24 к I

(8) (9) (10)

1х4

кЬю }т 4

1x24

1x12

111 II II II II I

Здесь под д понимается компонента вектора перемещения VР , V; римские нижние индексы I, II, III обозначают номер варианта набора узловых неизвестных, а верхний индекс указывает на локальную систему координат — 1 < П ^ 1, используемую для удобства численного интегрирования.

При реализации векторного способа интерполяционной процедуры искомых величин интерполяционное выражение записывается не для отдельных компонент вектора перемещения, а непосредственно для самого вектора перемещения:

}

V

К }т }т; N = I, II, ш)

(11)

<

>

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

где \<Pn } - матрица-строка функций формы, содержащая произведения линейных функций локальных координат П (N = i), полиномов Эрмита третьей (N = Ii) или пятой (N = Iii) степеней в зависимости от варианта набора узловых неизвестных.

Входящий в (11) столбец векторных узловых неизвестных имеет следующий

вид:

{v„ }T = {v ii k—' }

1x4

i'— L iT )— i — j — k — l — i — j — k — l — i — j — k — l l

VyH } = {vvjv v vi v£v,s vn }

1x12

vjLni Г={—

1x24

l — i — l — i — l — i — l — i — l — i — l \

(12)

(13)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(14)

Столбцы векторных узловых неизвестных (12)-(14) с учетом (6) могут быть представлены матричными произведениями, например для N = I:

Ki Мл ]ki}

4x1 4x12 12x1

(15)

где

[л, \

4x12

а 0 }т 1x3

а - г 1x3

ааok }T 1x3

аа« }T 1x3

1i 2i i 1 j 2 j j 1k 2k k 1l 2l l v v v v Jv JvJv v v v v v

к,}T = { 1x12

f— 0m F J— 0m— 0m— 0m \ ( j Л

{а } = {a1 a2 а } (m = i, j, k, l)

[Ai ]

}

1x3

Входящие в 1^1 ] базисные векторы узлов , , а0т четырехугольного

элемента могут быть представлены через базисные векторы точки внутренней области конечного элемента матричными соотношениями:

{а0m }=[d0m ]{а0}

3x3 3x1

где

{а0 }T = {/« а20 а0}

1x3

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

С учетом (16) выражение (11) может быть представлено в следующем виде:

а0 г и }=а0 г и к г / г ^ / № г ^ / I1 к }

1x3 3x1 I 3x3 3x3 3x3 3x3 )

(17)

где {и}

1x3

т

{Л 2 у}

В результате сопоставления левой и правой частей равенства (17) можно записать интерполяционные зависимости для компонент вектора перемещения при реализации векторного способа интерполяции искомых величин:

1 = и М Ь к/« Ь 2°к < Ц {/и к 2°(к 3" }

' {#<« К {«24 Лк } (18)

V2 =

1 {/12 к22к32 }р2 к22 к32

Анализируя (18), можно отметить, что каждая компонента вектора перемещения находится в зависимости от столбца {пу }, элементами которого являются узловые значения всех трех компонент вектора перемещения. В этом заключается принципиальное отличие от общепринятого способа интерполяционной процедуры, когда компонента вектора перемещения интерполируется через узловые значения своей же компоненты и не зависит от узловых значений других компонент [9-11, 13-15, 19]:

»т.

Ч

мт к}

(19)

Пример расчета. В качестве примера была решена задача по определению НДС стального цилиндрического резервуара (рисунок 1), загруженного гидростатическим

давлением интенсивности Ч = У ж ' I ( У ж = 1° КН / м - удельный вес воды, I -расстояние от поверхности воды до рассматриваемой точки).

Рисунок 1 - Цилиндрический резервуар 260

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Были приняты следующие исходные данные: длина образующей цилиндра Н = 1,0 м; радиус цилиндра Я = 1,0 м; толщина стенки резервуара И = 0,02 м; модуль упругости Е = 2105 Мпа; коэффициент Пуассона V = 0,3. При реализации конечноэлемент-ной процедуры был выбран первый вариант набора узловых варьируемых параметров (8). Результаты конечноэлементных решений представлены в таблице, в которой приведены численные значения меридиональных охх и кольцевых овв напряжений на внутренней 0п и наружной ооШ образующих цилиндра в зависимости от числа элементов дискретизации вдоль образующей цилиндрического резервуара пэ.

аблица - Напряжения в вертикальной стенке резервуара

Координата X, м Напряжения, МПа Число элементов дискретизации пэ

72 80 88 100 108

0,00 /и ° хх 65,70 67,60 69,12 70,90 71,84

оШ ° 00 -74,48 -77,47 -80,13 -83,67 -85,79

т ° 00 20,27 20,94 21,48 22,13 22,48

оШ °00 -30,64 -32,32 -33,89 -36,07 -37,44

1,00 т ° хх -0,133 -0,120 -0,110 -0,097 -0,090

.,.001 ° хх -0,132 -0,120 -0,109 -0,097 -0,090

/и ° 00 -0,022 -0,019 -0,015 -0,012 -0,010

О0( °00 -0,022 -0,019 -0,016 -0,012 -0,010

Анализ данных, представленных в таблице, показывает, что с увеличением числа элементов дискретизации наблюдается удовлетворительная сходимость вычислительного процесса. Значения напряжений достигают своих максимальных значений при х = 0,0 м, то есть в точке соединения стенки резервуара с днищем. На верхней кромке резервуара меридиональные и кольцевые напряжения монотонно стремятся к нулю, так как в точках х =1,0 м нагрузка q равна нулю. Внутренняя поверхность резервуара у днища (х = 0,0 м) растянута, так как о1П > 0, а наружная сжата, так как ооШ < 0, что соответствует физическому смыслу решаемой задачи.

На рисунке 2 представлена эпюра прогиба внутренней стенки резервуара вдоль образующей цилиндра.

Рисунок 2 - График величины суммы радиуса цилиндра и величины смещения точек

внутренней образующей цилиндра 261

Анализ эпюры прогибов показывает, что величина прогиба возрастает от нулевого значения у днища (так как днище сварено со стенкой) до максимальных значений в зоне, расположенной вблизи У длины образующей, а затем плавно убывает до нулевых значений в крайних верхних точках резервуара.

Заключение. На основании анализа табличного и графического материалов можно сделать вывод о корректности разработанного алгоритма, о достаточной для инженерных расчетов точности вычислений и о соответствии качественной картине распределения напряжений и прогибов физическому смыслу решаемой задачи.

Библиографический список

1. Игнатьев, А. В. Расчет тонких пластин по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода с исключением перемещений конечных элементов как жесткого целого [Текст]/ А. В. Игнатьев, В. А. Игнатьев, Е. А. Гамзатова // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2018. - № 3 (711). - С. 5-13.

2. Каюмов, Р. А. Моделирование процесса деформирования и оценка несущей способности системы грунт - тонкостенная конструкция [Текст]/ Р. А. Каюмов, Ф. Р. Шакирзянов, С. С. Гаврю-шин // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2014. - № 6. - С. 20-24.

3. Ким, А. Ю. Итерационный метод приращений параметров для расчета нелинейных мембранно-пневматических систем с учетом упругой работы воздуха[Текст]/ А. Ю.Ким // Вестник Саратовского госагроуниверситета им. Н.И. Вавилова. - 2005. - № 1. - С. 39-42.

4. Пятикрестовский, К. П. О программировании нелинейного метода расчета деревянных конструкций [Текст]/ К. П. Пятикрестовский, В. И. Травуш // Academia. Архитектура и строительство. - 2015. - № 2. - С. 115-119.

5. Седов, Л. И. Механика сплошной среды. [Текст]/ Л. И. Седов. -М.: Наука, 1976. - 576 с.

6. Хайруллин, Ф. С. Расчет тонких оболочек с использованием аппроксимирующих функций различного порядка [Текст]/ Ф. С. Хайруллин, Д. Д. Мингалиев // Вестник Технологического университета. - 2017. - Т. 20. - № 14. - С. 102-104.

7. Chepurnenko A., Yazyev B., Saibel A. Calculation of orthotopic plates for creep taking into account shear deformations [Текст]// В сборнике: MATEC Web of Conferences 27. Сер. «27th R-S-P Seminar, Theoretical Foundation of Civil Engineering (27RSP), TFoCE 2018». - 2018. - P. 01002.

8. Galishnikova, V. V. Constrained construction of planar delaunay triangulations without flipping [Текст]/ V. V. Galishnikova, P. Ja. Pahl // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2018. - Т. 14. - № 2. - С. 154-174.

9. Hanslo, P. Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem [Текст]/ P. Hanslo, Mats G. Larson, F. Larson// Comput. Mech. -2015. - Vol. 56. - № 1. - P. 87-95.

10. He Xiaocong. Finite element analysis of torsional free vibration of adhesively bonded single-lap joints [Текст]/Н Xiaocong// Int. J. Adhes. and Adnes. - 2014. - №. 48. - P. 59-66.

11. Nguyen Nhung, Waas Anthonym. Nonlinear, finite deformation, finite element analysise, ZAMP[Текст]/ Nhung Nguyen, Anthonym Waas // Z. Angew. math. and Phys. - 2016. - Vol. 67. №9. - P. 35/1-35/24.

12. Klochkov, Y.V. Finite-element calculations of thin-walled structures of concatenated shells with different material stress-strain properties [Текст]/ Y. V. Klochkov, A. P. Nikolaev, T. A. Kiseleva // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. - 2017. - Т. 46. - № 3. - P. 246-252.

13. Levyakov, S. V. Application of triangular element invariants for geometrically nonlinear analysis of functionally graded shells [Текст]/ S. V. Levyakov, V. V. Kuznetsov //Computational Mechanics. - 2011. - Vol. 48. - №. 4. - P. 499-513.

14. Finite element simulatio of metallic cylindrical sandwich shells with graded aluminum tabular cores subjected to internal blast loading [Текст]/ Li Shiqiang, Lu Guoxing, Wang Zhihua, Zhao Longmao, Wu Guiying// Int. J. Mech. Sci. - 2015. -№. 96-97. - P. 1-12.

15. Sartorato, Murilo. A finite element formulation for smart piezollectric composite shells: Mathematical formulation, computational analysis and experimental evaluation [Текст]/ Murilo Sartorato, Ricardo de Medeiros, Volnei Tita // Comros. Struct. - 2015. - № 127. - P. 185-198.

16. Storozhuk, E. A. Exact solutions of boundary-value problems for noncircular cylindrical shells [Текст]/ E. A. Storozhuk, A. V. Yatsura // International Applied Mechanics. - 2016. - Vol. 54. -№. 4. - P. 386-397.

17. Storozhuk, E. A. Analytical-numerical solution of static problems for noncircular cylindrical shells of variable thickness [Текст]/ E. A. Storozhuk, A. V. Yatsura // International Applied Mechanics. - 2017. - Vol. 53. - № 3. - P. 313-325.

18. Solodovnikov, A. S. Numerical study of strength properties for a composite material with short reinforcing fibers [Текст]/ A. S. Solodovnikov, S. V. Sheshenin // Moscow University Mechanics Bulletin. - 2017. - Т. 72. - № 4. - P. 94-100.

19. Continuum mechanics based bilinear shear deformable shell element using absolute nodal coordinate formulation, Trans. ASME [Текст]/ H.Yamashita, Antti I. Valkeapaa, P. Jayakumar, H.Syqiyama// Comput. and Nonlinear Dyn. - 2015. - Vol. 10. - № 5. - P. 051012/1-051012/9.

20. Zheleznov, L. P. Nonlinear deformation and stability of discretely reinforced elliptical cylindrical shells under transverse bending and internal pressure [Текст]/ L. P. Zheleznov, V. V. Kabanov, D.V. Boiko // Russian Aeronautics. - 2014. - Т. 57. - № 2. - P. 118-126.

Reference

1. Ignat'ev, A. V. Raschet tonkih plastin po metodu konechnyh jelementov v forme klas-sicheskogo smeshannogo metoda s isklyucheniem peremeschenij konechnyh ]lementov kak zhestkogo celogo [Tekst]/ A. V. Ignat'ev, V. A. Ignat'ev, E. A. Gamzatova // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Stroitel'stvo. - 2018. - № 3 (711). - S. 5-13.

2. Kayumov, R. A. Modelirovanie processa deformirovaniya i ocenka nesuschej sposobnosti sistemy grunt - tonkostennaya konstrukciya [Tekst]/ R. A. Kayumov, F. R. Shakirzyanov, S. S. Gavryushin // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Mashinostroenie. - 2014. - № 6. - S. 20-24.

3. Kim, A. Yu. Iteracionnyj metod priraschenij parametrov dlya rascheta nelinejnyh mem-branno-pnevmaticheskih sistem s uchetom uprugoj raboty vozduha[Tekst]/ A. Yu. Kim // Vestnik Sa-ratovskogo gosagrouniversiteta im. N. I. Vavilova. - 2005. - № 1. - S. 39-42.

4. Pyatikrestovskij, K. P. O programmirovanii nelinejnogo metoda rascheta derevyannyh kon-strukcij [Tekst]/ K. P. Pyatikrestovskij, V. I. Travush // Academia. Arhitektura i stroitel'stvo. - 2015. -№ 2.-S. 115-119.

5. Sedov, L. I. Mehanika sploshnoj sredy. [Tekst]/ L. I. Sedov. -M.: Nauka, 1976. - 576 s.

6. Hajrullin, F. S. Raschet tonkih obolochek s ispol'zovaniem approksimiruyuschih funkcij razlichnogo poryadka [Tekst]/ F. S. Hajrullin, D. D. Mingaliev // Vestnik Tehnologicheskogo univer-siteta. - 2017. - T. 20. - № 14. - S. 102-104.

7. Chepurnenko A., Yazyev B., Saibel A. Calculation of orthotopic plates for creep taking into account shear deformations [Текст]// В сборнике: MATEC Web of Conferences 27. Сер. «27th R-S-P Seminar, Theoretical Foundation of Civil Engineering (27RSP), TFoCE 2018». - 2018. - P. 01002.

8. Galishnikova, V. V. Constrained construction of planar delaunay triangulations without flipping [Текст]/ V. V. Galishnikova, P. Ja. Pahl // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2018. - Т. 14. - № 2. - С. 154-174.

9. Hanslo, P. Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem [Текст]/ P. Hanslo, Mats G. Larson, F. Larson// Comput. Mech. -2015. - Vol. 56. - № 1. - P. 87-95.

10. He Xiaocong. Finite element analysis of torsional free vibration of adhesively bonded single-lap joints [Текст]/№ Xiaocong// Int. J. Adhes. and Adnes. - 2014. - №. 48. - P. 59-66.