Применение мультифрактального анализа при описании временных рядов в технике и экономике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.06

С. Г. ВАЛЕЕВ, Ю. Е. КУВАЙСКОВА, С. А. ГУБАЙДУЛЛИНА

ПРИМЕНЕНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

ПРИ ОПИСАНИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ТЕХНИКЕ И ЭКОНОМИКЕ

Представлены алгоритмы и программная реализация мулътифрактальпого анализа, базирующегося на непрерывном вейвлет-преобразоваиии. Исследуется применение данного подхода при анализе производственных и экономических временных рядов. Эффективность программного модуля иллюстрируется на примере анализа двух временных рядов (курса акций «Сбербанка» и курса валюты «Доллар США»).

Ключевые слова: вейвлет-преобразование, временной ряд, мультифрактапьный анализ, спектр сингулярностей, фрактальная размерность.

Введение

Одной из актуальных задач при описании динамических производственных и

экономических процессов является их представление в виде высокоточных моделей временных рядов с последующим использованием для прогнозирования. Однако до использования математического аппарата необходимо убедиться в наличии регулярности в динамике процесса, что может быть успешно обеспечено так называемым мульти-фрактальным анализом [1,3, 4].

На практике особенности характеристик во временной динамике могут изучаться при помощи разных подходов, начиная с классического корреляционного (или спектрального) анализа. К числу недостатков этих методов следует отнести их применимость только к стационарным данным.

Универсальность мультифрактального

подхода определяется возможностью его эффективного применения к неоднородными и нестационарными процессам различной природы.

Основные понятия мультифрактального анализа на основе вейвлет-преобразования

« V

Фрактальная размерность. Фрактальные объекты обладают самоподобными свойствами и демонстрируют наличие сингулярностей (сильной изрезанности формы). Для того чтобы количественно охарактеризовать сложность их геометрии, используется концепция фрактальной размерности [I].

С. Г. Валеев, Ю. Е. Кувайскова, С. А. Губайдуллина, 2008

Пусть L - неограниченная область в евклидовом пространстве с размерностью d. Разобьём L на кубические ячейки со стороной

5«1 и объемом sJ. Пусть N(z) - суммарное

количество занятых ячеек. Тогда фрактальная размерность изучаемого объекта вычисляется по формуле

In

D = - lim

(1)

£~>0 1п с

Мультифрактал в общем случае характеризуется некоторо й нел и ней но й функцией определяющей поведение

I

статистической суммы при ¿- -> 0 :

гкм^рКе)*?™ % (2)

/-1

где lim

п,(е)

- вероятность того, что

/У->со Д'

наугад взятая точка находится в ячейке /, а

представляет собой количество точек в /-й ячейке.

V,

Спектр обобщённых фрактальных

размерностей Д/5 характеризующих данное распределение точек в области I, определяется с помощью отношения:

где функция г(<7) имеет вид:

1п 1(д,е)

Т(ч) - Ьт —--

с-»« 1п е

Если Оч^й=соп8и т. е. не зависит от </, то данное множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал (монофрактал), который характеризуется всего лишь одной величиной - фрактальной размерностью О. Если функция Д, как-то меняется с С], то рассматриваемое множество точек является

(4)

мультифракталом. Функция Д, показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек

Информационная размерность.

Информационная размерность [ I ] о I т редел я егся (|ю р мул о й

Ще)

X |п /;<

А -• (5)

г—О 1П 8

С точностью до знака числитель в этой формуле представляет собой энтропию (мера беспорядка в системе) фрактального множества 3(е):

. (6)

Величина /)/ характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. Поэтому её называют информационной размерностью. Она показывает, как информация, необходимая для местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки ¿- к нулю.

Корреляционная размерность. Для определения корреляционной размерности [1] используется выражение

Щс) 1п1>'2

02 =-Нш—

(7)

Если ввести парный корреляционный интеграл:

2 ^

(8)

1=1

то обобщённая фрактальная размерность £>2 определяет зависимость корреляционного интеграла !{б) от с при в -> 0.

Фрактальные меры. Различные процессы на фракталах (физические, химические и т. д.) могут генерировать стационарные

распределения, называемые фрактальными мерами [1,3].

Для самоподобных множеств зависимость р1 от размера ячейки с имеет степенной характер:

рМ*еа\ (9)

где а, называется экспонентой сингулярности.

Чем меньше а,, тем более сингулярным

является распределение меры в этой точке.

Спектр сингулярностей /(а) характеризует

зависимость от г числа точек ТУ, соответствующих точкам с экспонентой сингулярности, равной а{\

N(8)

(Ю)

На практике вычислить функцию /(а) на

основе формулы (10) проблематично из-за медленной сходимости при -> 0. Поэтому в теори и мул ьт и фрактал о в дл я оп редел е* I и я с г I е ктра с и и гул я р мосте й и с п ол ьзу \ сп

специальный подход, основанный на расчёте обобщённых фрактальных размерностей, определяемых по формуле (2) и скейлинговых экспонент, вычисляемых по формуле

г(^) = (с/-1)Д/. (II)

В рамках этого подхода функции /(а)

находятся с помощью преобразования Лежандра:

(12)

а -

с1Ч

Метод максимумов модулей вейвлет-преобразовапия. В начале 1990-х годов Мыози, Бакри и Арнеодо разработали новый подход к исследованию мультифрактальных свойств сигналов сложной структуры - метод максимумов модулей вейвлет-преобразования (ММВП) [4].

В общем виде вейвлет-преобразование функции распределения %(х) определяется формулой

1

00

Га

/

-00

\

х — Ь

а

\

с1х,

(13)

/

где а - параметр масштаба; Ь - пространственная координата или момент времени; <// -

солитоноподобная функция представляющий собой вторую функции Гаусса:

(вей влет), производную

^ г , *2 м

(,4)

Наличие локального сингулярного поведения $(х) в точке Хо приводит к возрастанию ¡У(а,х0)

при х->х0 и может быть описано экспонентой

Гёльдера И(хо), которая определяет вей влет-коэффициенты для малых значений масштаба а:

1У(а9х0)~а*ш. (15)

Чем быстрее коэффициенты уменьшаются при а -» 0, тем более регулярна функция в этой точке.

На втором этапе ММПВ-алгоритма проводится статистическое описание локальных сингулярностей с использованием понятий спектра сингулярности /(/?) и частичной

функции 1{с{,а). Функция 2{цло) представляет

собой сумму с/-х степеней локальных максимумов модулей вейвлет-коэффициентов, соответствующих масштабу а. Как правило.

ожидается, что при малых значениях а частичная функция демонстрирует степенную зависимость:

Z(c,,a) -ar(in . (16)

Выбирая различные степени q. можно получить линейную функцию т(с/) с

постоянным значением экспоненты Гёльдера h ~ dr(q)/ dq = const в случае монофрактальных

объектов и нелинейную функцию с большим числом локальных экспонент в случае м у л ьт и ф ра ктал о в.

Проводя мультифрактальный анализ методом ММВП по значением гёльдеровских экспонент, можно говорить об отсутствии корреляции в динамике процесса, если h = 0,5, т. е. временной ряд является случайным, и о наличии корреляций при h*0,5. Иногда говорят также о антикорреляциях (h<0,5) и корреляциях (h>0,5). В первом случае наблюдается чередование больших и малых значений случайного процесса (вслед за большим значением с большей вероятностью следует малое и наоборот), т. е. график динамики процесса является более изрезанным. Во втором случае за большим значением чаще следует большое, за малым — малое: процесс является более «гладким», т. е. наблюдается тенденция.

Модуль пакета АС ДРМ «М у л ьти ф ра ктал ь н ы й а нал из»

Модул ь « Мул ьти фрактал ьн ы й анал из» предназначен для исследования корреляционных свойств нестационарных случайных процессов.

На первом этапе анализа данных в рамках мультифрактального подхода рассчитываются:

- фрактальная размерность временного ряда;

- информационная размерность, обеспечивающая данные, необходимые для определения местоположения точки в некоторой ячейке;

- энтропия фрактального множества, характеризующая меру беспорядка в системе;

- корреляционная размерность, определяющая зависимость корреляционного интеграла !{е) от б при с -» 0 ;

- парный корреляционный интеграл, определяющий вероятность того, что две наугад взятые точки разделены расстоянием меньшим, чем размер ячейки, т. е. находятся в одной ячейке.

На втором этапе анализа данных с помощью м одул я «Мул ьти ф ра ктал ьный анализ» рассчитываются и строятся графики:

- экспонент Гёльдера, позволяющие судить о корреляциях и антикорреляциях;

- спектра сингулярностей и обобщённой фрактальной размерности временного ряда, выступающих в качестве диагностического критерия выявления неоднородности изучаемого объекта.

Модуль обеспечивает сравнение двух временных рядов, построение совместных графиков экспоненты Гёльдера, обобщённой фрактальной размерности и спектра сингулярности.

На последнем этапе анализа данных методом ММВП рассчитываются вей влет-коэффициенты и строятся графики исходных данных и коэффициентов вейвлет-преобразования, характеризующих регулярность динамики исследуемого процесса.

И нтегрирование модул я «Мультифра к-тальный анализ» в автоматизированную систему динамического регрессионного моделирования (АС ДРМ) [2], предназначенную для анализа, моделирования и прогнозирования временных рядов, позволяет эффективно анализировать мулыифрактальные свойства нестационарных процессов практически любого происхождения.

Мульт и ф ра ктал ьный а 11 ал I с з производственных и экономических

временных рядов

В качестве объекта исследования были привлечены данные курса акций «Сбербанка» с 01/01/2001 по 08/05/2008 по месяцам и курса валюты «Доллар США» с 01/01/2000 по 11/05/2008.

Фрактальная размерность для курса акций «Сбербанка» равна Д> = 1, информационная размерность составила /)/ = 0,9478462, энтропия фрактального множества равна 2,790875, корреляционная размерность - 02 - 0.8991702. парный корреляционный интеграл - 0,07082439.

Для курса валюты «Доллар США» фрактальная размерность А; = 1, информационная размерность - 0\ = 0,9162721,- энтропия фрактального множества составила 2,481311, корреляционная размерность 02 = 0,8484605, парный корреляционный интеграл равен

0,1004924.

^ Для временного ряда курса акций «Сбербанка» обобщённая фрактальная размерность Д, монотонно уменьшается с возрастанием д (рис. 1а) и спектр сингулярностей/^ (рис. 16) представляет собой сплошную кривую, следовательно, данный объект является неоднородным фракталом.

—:—:—л^ч

?> • : : i Г4*;'

'«8д : .¿Г \ ' l\

М/ v 1Й37 ----- ,f ■ .......•

131 /г • г..... : -V • ;.....; Д

• Э5/

• — ........... -..........

sx:i i ........

(.1J) .......<««• • *•

____... -;—---

.«им-.«.«-в -4 4 о t 4 с в 1613 Uli Ii г. C..-S :« и osi i vW и vi «ü

а) 6)

Рис. 1. а) Обобщённая фрактальная размерность курса акций «Сбербанка»; б) Спектр сингулярностей

курса акций «Сбербанка»

Экспоненты Гёльдера Ь(ф> 0.5 (рис. 2); следовательно, имеем коррелированную динамику, т. е. за большим значением чаще следует большое, за малым - малое: процесс является более «гладким» и сохраняет эту7 тенденцию какое-то время в будущем.

I

• 1 р*

1

5.1 • %

\

• • 4

м 4 4 : I х • « г <о *: •« ч ч

Рис. 2. Экспоненты Гёльдера курса акции «Сбербанка»

Для временного ряда курса доллара США обобщённая фрактальная размерность Д, монотонно уменьшается с возрастанием ц (рис. За). Следовательно, и второй временной ряд является неоднородным фракталом. Спектр сингулярностей/(И) (рис. 36) - сплошная кривая, т. е. подтверждается, что это неоднородный фрактал. •

....... ,. ..... N ч

. / ......... \ • • ч •

/ \ •• • ! \

/ , / § У > \ • •

• у> • • • • ...

1|->;.1».1?.к 4 < -I -2 : : * ъ ! и м «*

ог е4 з*

а)

^ Ч М 1.1 М б)

Рис. 3. а) Обобщённая фрактальная размерность курса доллара США; б) спектр сингулярностей

курса доллара США

Для курса валюты «Доллар США» экспоненты Гёльдера больше 0.5 (рис. 4), что свидетельствует о наличии коррелированной динамики, т. е. ряд имеет некоторую тенденцию.

м о и 1.1 1

г.* :./ Я

• • • 4 $ \ ' • 1 « • • • 4 ч I • <

• • .•--». в. • • . 1..•• ••» -г..« • -..»■•■ .

» • , • 4 • • . 1 • • •••«• \ • - •» Ч*Ч V * • V....... -•••Г •••-•-•4 • 44 .1 •«•«

• • . • • т - - « • • • • — • . • • • • • 4 • ' • • « « • . • - 7 • | ......• • \ • • - • : . : 1 • : : ■ • : . V • • -

»3 ч < 4 * -2 о 2 ( я ч и и й

Рис. 4. Экспоненты Гёльдера курса доллара США

Сравним эти временные ряды. Экспоненты Гёльдера (рис. 5а) и обобщённая фрактальная размерность (рис. 56) показывают, что курс доллара обладает большим свойством мультифрактальности, чем курс акций «Сбербанка».

»1 м ! 1 1

3* »5

57

. ч • Г 4

1 » V.' \\ % • » • »

• \ V М « с? • С I V • \ • I Ш \ 1 а.« ! - _ , •

... с: 9 1 Л

ч ...—■—■» .*.... < С £ •

15

<1

15

• 1*

-10 С 5 #0

.V

а)

б)

Рис. 5. а) Экспоненты Гёльдера; б) обобщённая

фрактальная размерность

Из приведённых на рис. 5 графиков следует, что значения экспонент Гёльдера И((]) для курса акций «Сбербанка» меньше, чем для курса доллара США. Это свидетельствует о различной корреляции: первый временной ряд более «гладкий», чем второй. Помимо корреляционных свойств наблюдаемые значения величины дл (А,,, =0,5715; А,12 =0,8502)

свидетельствуют о том, что спектр сингулярности первого временного ряда более узкий, чем второго.

Рис. 6. Спектр сингулярностей

Рассмотрим временной ряд курса акций «Сбербанка». На малых масштабах (¿1=0,1, ¿7=0,01) коэффициенты ¡¥(а,Хо) (рис. 7) близки к нулю в окрестности точки 40500,0 К следовательно, функция g регулярна в этой точке. Аналогичные действия выполняем для каждой точки временного ряда.

• • • ♦ • •

• * • I

т

■■II

2 !С М Я » Я Ь « Я Я С1 70 П К С6

С • ■ — - -

1 13 '6 г. ь л а о ** Ь5 <5 :: к к

а)

б)

Рис. 7. а) Коэффициенты вейвлет-преобразования в окрестности точки 40500,01, при масштабе 0,1;

б) коэффициенты вейвлет-преобразования в окрестности точки 40500,01 при масштабе 0,01

При рассмотрении временного ряда курса валюты «Доллар США» обнаруживается, что на малых масштабах (¿7=0,1) коэффициенты Ща,х()) близки к нулю в окрестности точки 28,1946; на меньшем масштабе (я=0,01) происходит то же самое: следовательно, функция g регулярна в этой точке.

* ГГИ —• • • ••» ■ ■ ■ - ■ ]

• « i 1 1

•

1 •

1 г:

«

■ j ; • < a)

ШЛ â» ч ч • • f* V J.

1 't il S. 2' * Ni Л V * .г * «•

б)

Рис. 8. а) Коэффициенты вейвлет-преобразования в окрестности точки 28,1946, при масштабе О, I; б) коэффициенты вейвлет-преобразования в окрестности точки 28,1946, при масштабе 0,0

Курс валюты «Доллар США» при гораздо меньших масштабах, чем курс акций «Сбербанка», и в большем количестве точек является регулярным.

Таким образом, на предварительном этапе исследования временных рядов с помощью м у;I ь г и ф ра ктал ь н о го а н ал и за в ы я вл е на достаточно заметная регулярность двух рассматриваемых временных рядов. Причём степень регулярности ряда курса валюты «Доллар США» выше, чем у ряда курса акций «Сбербанка».

Мультифрактальный анализ не может выявить: какого рода тенденциями обременены эти ряды (тренды, гармоники и т. д.). Такого рода задачи в АС ДРМ решаются другими методами.

Заключение

Мультифрактальный подход изначально был предложен для статистического анализа особенностей сингулярных мер и с успехом применяется в разных областях науки. Самые разные объекты природы могут быть отнесены к классу «мультифракталов», и довольно сложно найти такую область, где бы нельзя было встретиться с представителями этого класса.

Добавление в АС ДРМ модуля мультифрактального анализа данных при описании производственных и экономических временных рядов даёт возможность эффективного исследования корреляционных свойств неоднородных и нестационарных

свойств неоднородных и нестационарных случайных процессов, наиболее часто встречающихся в технике и экономике.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Божокин, С. В. Фракталы и мульти-фракталы/ С. В, Божокин, Д. А. Паршин. -Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 128 с.

2. Валеев, С. Г. Программная реализация ДРМ-подхода для обработки и анализа временных рядов/ С. Г. Валеев, С. В. Куркина// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. - 2006. -№5.-С, 10-21.

3. Павлов, А. П. Мультифрактальный анализ сложных сигналов / А. Н. Павлов, В. С. Анищенко// Успехи физических наук. - 2007. -Т. 177. - №. 8.-С. 859-876.

4. Muzy, J. F., Е. Bacry, A. Arneodo, Wavelets and multifractal formalism for singular signals: application to turbulence data.// Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67, P. 3515; J.F.Muzy, E. Bacry, A.

Arneodo, The multifractal formalism revisited with wavelets// Int. J. Bifurcation Chaos. 1994. Vol. 4, P. 245.

Валеев Султан ГшишзяновиЧу доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области астрометрии и небесной механ ики9 математическо й стат ист ики и разработки информационных технологий. Кувайскова Юлия Евгеньевна, * окончила экономико-математический факультет

Ульяновского государственного технического университета, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Губайдуллипа Светлана Анваровна, студентка экономико-математического факультета

Ульяновского государственного технического университета.