Применение модифицированного критерия согласия Хи-квадрат для определения вида функции распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД

№ 121

УДК 621.396.96

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО КРИТЕРИЯ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВИДА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В.В. ГЛУХОВ, Л.О. МАРАСАНОВ Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.

В статье рассматривается формирование модифицированного критерия Хи-квадрат для дискретных и непрерывных функций распределения.

Критерий Хи-квадрат является в математической статистике одним из основных для решения задачи принятия гипотезы о виде функции распределения по выборке значений исследуемой величины [1-4]. Но необходимо отметить, что начиная с 50-х годов прошлого столетия в теории критериев типа Хи-квадрат получены новые значительные результаты, которые редко используются в инженерной практике. Эти результаты и рекомендации получены Л.Н. Большевым, Д.М. Чибисовым, П. Гринвудом, М.С. Никулиным, М. Мирвалиевым и другими [5 - 12]. Следует отметить, что в некоторых публикациях содержатся устаревшие или ошибочные рекомендации, основанные на формальном представлении о применении критерия типа Хи-квадрат для решения тех или иных задач.

Например, в публикациях [1, 13-16] содержатся ошибочные рекомендации и выводы при построении критерия Хи-квадрат в задаче проверки гипотезы о пуассоновости данных, в работах [13-17] неправильно применяется критерий Хи-квадрат для проверки нормальности. Приводятся и устаревшие рекомендации [4, 13, 16] по применению поправок Иэйтса, которые могут приводить к неверным статистическим выводам, когда число наблюдений не очень большое. Оказывается, в этих работах не учитывается зависимость предельного распределения статистики Пирсона от методов оценивания неизвестных параметров. Впервые этот факт был отмечен авторами работы [5] еще в 1954 году, которые показали, что если при проверке нормальности параметры нормального закона оценивать по методу максимального правдоподобия, то предельное распределение стандартной статистики Пирсона не является распределением Хи-квадрат, и более того, оно зависит от этих неизвестных параметров, следовательно, такой критерий не может использоваться на практике.

Поэтому будем использовать для определения вида функции распределения модифицированные критерии типа Хи-квадрат, которые отражены в журнальных публикациях, но не представлены в классической учебной и монографической литературе. Так специальные критерии типа Хи-квадрат для проверки нормальности выборки исследуемых параметров опубликованы в [18-21], для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба в [18, 22, 23], для распределений экспоненциального типа в [8, 20, 23-25], произвольных одномерных непрерывных распределений в [9, 26-28, 29], когда используются оценки максимального правдоподобия, вычисленные по негруппированным данным.

В работах [10, 19-21, 24-25, 30-31] была рассмотрена задача построения критериев типа Хи-квадрат для пуассоновского, биноминального, отрицательно биноминального, Стирлинга, обобщенного отрицательно биноминального и других одномерных дискретных распределений, принадлежащих так называемому семейству распределений обобщенного степенного ряда.

Вопросы построения критериев типа Хи-квадрат для многомерных дискретных распределений рассмотрены, например, в [19, 20, 24, 30], при этом для оценивания неизвестных параметров использовались наилучшие несмещенные оценки, таблицы которых приведены в [32].

Рассмотрим основополагающие положения по формированию и применению модифицированного критерия Хи-квадрат для оценки вида функции распределения, базирующиеся на последних достижениях в математической статистике, которые были указаны выше.

Формирование модифицированных критериев Хи-квадрат для дискретных функций распределения

Критерий Хи-квадрат является одним из наиболее распространенных критериев согласия, при их построении контролируется всего лишь одна ошибка, которую экспериментатор может совершить, на-

прасно отвергая проверяемую гипотезу. В основе статистического критерия Хи-квадрат лежит следующая работа К. Пирсона [33].

Пусть имеется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может осуществляться только одно из к попарно несовместимых событий А1,А2,...,Ак с вероятностями р1,р2,...,рк соответственно (рі > 0, і = 1,2,..,к , р1 + р2 +... + рк = 1). Далее пусть п - общее количество испытаний (п > к +1), у - количество испытаний, в которых осуществлялось событие Аі (і = 1,2,..,к ), тогда у +п2 +... + ук = п, причем

П!

Р(п1 = Х1,п2 = х2,...,ук = Хк ) = ^~Г----Т РХ р22...рхкк . (1)

х1! х2І...Хк!

Для любого целочисленного вектора х = (х1,х2...хк)Т такого, что 0 < хі < п, х1 + х2 +... + хк = п . Вектор у = (п1,...,пк)Т называют вектором частот, причем из выражения (1) следует, что

Еу = прЕ(у- пр)(у- пр)'= п(Р - рр'), (2)

где р = (р1,...,рк)Т; Р - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят числа р1,р2,...,рк , а остальные элементы - нули; пр - вектор средних значений или ожидаемых значений вектора частот у .

Если вектор р = (р1,...,рк)Т неизвестен и имеются основания утверждать, что имеет место гипотеза

Но: р = р(0) = (р(0),..., рГ)Т , (3)

согласно которой вероятности рі принимают заданные значения р(0)(і = 1,2,...,к), то для проверки гипотезы согласия Н0 с наблюденным в ходе эксперимента значением вектора частот п = (у1,...,Ук)Т Пирсон предложил воспользоваться статистикой

Х 2 = f (У, - пр\^ = 1 у уі1 - п (4)

п ^ пр,(0) пу р,(0)

При фиксированной гипотезе Н0 и заданном числе испытаний п статистика X2 подчиняется некоторому дискретному вероятностному распределению. Как показали Пирсон и Холдейн [34],

I I 1 к 1

Е (Х2\ Н0) = к -1, Б(Хп2 Н0) = 2(к -1) + -СУ-0Г - к2 - 2к + 2) (5)

п ,=1 р,0)

и, следовательно, если при больших п имею место соотношения

1 ^ 1 п к п

— / —(0)—® 0 и--------® 0,

п£? р(0) п ’

то Б(Х2|Н0) = 2(к-1) + 0(1), 0(1) ® 0.

В частности, если р1(0) = р20) =,..., = р(к0) =1, то статистика Пирсона (4) имеет вид

к

к к к 2к

Х1 = - Уу - п=-(п - Ууу) - п =(к - 1)п —Ууу, (6)

п 1=1 п п ^

Откуда ясно прослеживается дискретность этой статистики, причем ее значения лежат в интервале

2к

[0; п(к -1)] и отличаются одно от другого на величины, кратные — . Очевидно, свое максимальное зна-

п

чение, равное п(к -1), статистика Х2 принимает в случае, если какая-то одна частота, например у., равна п, а остальные Уу = 0 (у = 2,3,...,к). Напротив, свое минимальное значение статистика Х2 принимает, если все частоты у равны между собой. Это, конечно, не всегда возможно, но, если п кратно к

п

и все уі = — , то, как следует из выражений (4) и (6), статистика Х^ принимает нулевое значение. Нако-

к

нец заметим, что в равновероятном случае, т.е. если р1(0) = р20) =,..., = р-0) =1, из выражения (5) следует

к

Е(Н0) = к -1, Б(Х2\Н0) = (2к -2)(1 --). (7)

1 1 п

Согласно Пирсону, процедура проверки гипотезы Н0 состоит в сравнении экспериментального значения статистики X2 с заранее выбранным специальным значением, так называемым критическим значением Са по следующему правилу, если X2 > Са, то проверяемая гипотеза Н0 отвергается, если же ХП2 <Са, то гипотеза Н0 принимается, при этом считается, что результаты наблюдений п = (У1,...,Ук)т не противоречат выдвинутой гипотезе Н0 о значениях pi = р(0) (/ = 1,...,к) вероятностей событий А1, А,,..., Ак. Критическое значение Са определяют так, чтобы вероятность отвергнуть гипотезу Н0, когда она справедлива (вероятность ошибки первого рода), не превышала заданного уровня значимости а(0 <а< 0,5), т.е.

Р(Х2 > Са \Н0) £а.

Из-за дискретности статистики X2 для заданного уровня а не всегда существует такое критическое значение Са, что

Р( ХП > Са Н0) = а. (8)

Для определенности часто полагают, что Са является наименьшим возможным значением статистики Хп2 , удовлетворяющим условию

Р(ХП > Са \Н0) £а . (9)

Обычно вместо Са берут некоторое приближенное значение Са, вычисленное в результате реше-

ния некоторого приближенного неравенства, полученного из исходного неравенства (9), заменой вероятности Р(ХП > Са \Н0) подходящим приближенным выражением. Именно так предложил поступить Пирсон, воспользовавшись тем, что при больших п

Р(ХП > х\Н0) » Р(с2-1 > х) = Р(х;к -1), (10)

где ск-1 - случайная величина, подчиняющаяся Хи-квадрат распределению с к -1 степенями свободы.

По Пирсону в качестве Са выбирают корень С- 1-а уравнения Р(х; к -1) = а, где

1 ¥ - 2 Р(х; к -1) = Р(%1-1 > х) = -£1——— х | /-2е 2 , х > 0 ,

2 2 г (—) х

2

т.е. полагают Са = х\-\\-а ■ Число х'1к-\1-а называют квантилем уровня (1 -а) распределения Хи-квадрат.

Из выражений (5) и (7) следует, что при заданном к при всех п статистика Х п2 имеет минимальную

дисперсию, равную (2к-1)(1 --1), при р1(0) = р20) =,...,рк0 =1, что является существенным доводом в

п к

пользу построения критериев типа Хи-квадрат по равновероятным интервалам группировки данных. Нако-

1 к 1

нец, из выражения (5) следует, что при умеренных п, когда величина — ^—— является достаточно боль-

п 7=1 р-

шой, дисперсия статистики Х п2 может оказаться существенно больше дисперсии аппроксимирующего распределения, что, в свою очередь, может сказаться на статистических выводах относительно Н 0 (гипотеза будет чаще отвергаться, чем следовало бы при заданном уровне значимости а ).

В статистической литературе рассмотренный критерий, основанный на статистике ХП, называют критерием Пирсона или критерием Хи-квадрат.

Формирование модифицированного критерия Хи-квадрат для непрерывных функций распределения

В 1928 г. Р. Фишер предложил использовать статистику Х2 для проверки гипотезы Н0 о принадлежности функции распределения независимых, одинаково распределенных случайных величин Х1,...,Хп семейству непрерывных функций распределения (х,6)}, 6 = (61,...,6Х)т е0с В . Разобьем

действительную прямую точками

х0 < х1 < ... < хк-1 < хк (х0 = -¥ хк = +¥) (11)

на к класс-интервалов (х0; х1], (х1; х2 ],...,(хк-1; хк) и определим вектор вероятностей

Р = (Р16),...,Рк(6))т, где

а

р,(6) = Р(Х1 е (а--1;а-]|Н0} = | с№(х,6), (12)

а-1

такой, что р1 (6) > 0, , = 1,2,...,к , при всех 6е 0. Очевидно, что р1(6) +... + рк(6) ° 1. Далее пусть п = (п,...,пк)т - вектор частот, получившихся в результате группировки п случайных величин Х1,...,Хп по интервалам (11). Рассмотрим случайную величину

Х;(6) = £Ы?* . (13)

,=1 прг (6)

Пусть 6п - точка минимума квадратичной формы (13), т.е.

Х2(6) = пип Х2(6). (14)

6е0

Как принято говорить, 6п - оценка параметра 6, вычисленная по методу минимума Хи-квадрат. В этих условиях Фишер показал [1], что при достаточно слабых ограничениях и при справедливости гипотезы Н0 статистика Х2 (6п) имеет в пределе при п ® ¥ Хи-квадрат распределение с к - s -1 степенями свободы.

Хотя Фишер получил предельное распределение только для статистики Х2(6?п), до 1954 г. считалось, что предельное распределение квадратичной формы Х^(0п) не изменится, если оценку минимума Хи-квадрат дп неизвестного параметра 6 заменить оценкой максимального правдоподобия дп, вычисленной по негруппированным данным Х1,Х2,...,Хп.

Однако Л. Леманом и Г. Черновым [5] было показано, что предельное распределение статистики

Х2 (вп) не является распределением Хи-квадрат и в общем зависит от 6, а следовательно, его в такой

ситуации невозможно табулировать. Итак, использование критерия Хи-квадрат с помощью стандартной статистики Пирсона при применении оценок максимального правдоподобия, хотя они и являются асимптотически эффективными, оказывается практически невозможным.

В 1973г. была опубликована основополагающая работа М.С. Никулина [35], где он предложил статистику (6), которая представлена в следующей вычислительной форме

У2 (6) = Х2 + п-1ат (6)Л(6)а(6),

2 -1 т^2 ^ (пу - npj ) .

где Х = -----]—, Л(6) =

}-=1 пр

]

у ПЦ]Ю]и

]=1 р]

и а(6) = (а1,...,а5) , причем аи = и1 1 +... + -

А рк

- информационная матрица, соответствующая одному наблюдению X.

Если в У2 (6) заменить 6 любой состоятельной оценкой 6 (в частности, можно в качестве 6 выбрать наиболее правдоподобную оценку 0, о которой говорилось выше), то предельное распределение статистики критерия не изменятся, т.е. Уп2(6 ) имеет в пределе при п ®¥ распределение Хи-квадрат с (к -1) степенями свободы.

Проверка нормальности непрерывной функции распределения с помощью модифицированного критерия Хи-квадрат

Предположим, что проверяется гипотеза Н0, согласно которой независимые случайные величины Х1,Х2,...,Хп подчиняются нормальному закону N(т,а2). Таким образом, если гипотеза Н0 верна, то Х1,Х2,...,Хп - взаимно независимые нормальные случайные величины, причем

EX1 = m , DXt =s2, i = 1,2,...,n, |m| <■ Положим hi:

1

s2 > 0.

s n -1

—X - m),a^e m e s e$aanoi U; si

(X; - Xn ),a^e m і ae^aanoi ї , s e$aanoi ї ;

—(X,. - т),апёе т е$аапо11, а 1 ае$аапо11;

$п

— (X, -Хп),апёе т е а 1 ае$аапо11,

8п

_ 1 п 1 1 п _

где Хп = - У Х,, ^ = -(Х, - т)2, ^ = - У (Х, - Хп )2.

п ,=1 п п ,=1

Пусть р = (р1,...,рк) - вектор положительных вероятностей таких, что р1 + р2 +... + рк = 1 (2 < к < п)

и пусть х есть (р1 +... + ру) - квантиль стандартного нормального распределения

Ф( xj) 'Ж і

xL -t

2 ,

= p- + ... + p, , j = k ,

где xk = +¥ , кроме того, положим x0 = -¥ .

Далее пусть v = (v—,...,vk)T - вектор частот, возникающих в результате группировки случайных величин h1, . ,hn по полуинтервалам (-<»,x(], (x—,x2], ...., (xk-1, +»), причем очевидно, что v( +... + vk = n . В основе статистического критерия, предлагаемого для проверки гипотезы о нормальности, лежит следующая теорема [14, 15].

Теорема. Если n , k = const > 2, то вектор v распределен асимптотически нормально с параметрами

Ev = np + Q(1) и E(v - np)(v - np)T = nB + Q(1), где Q(1) означает величину порядка константы,

D -pp ,arae m e s e$aanoi u;

TT

D - pp - aa ,arae m і ae$aanoi і, s e$aanoi і;

T 1 T ;

D - pp -—bb ,anёe m e$aanoi і, s і ae$aanoi і >

7-* T T 1 7 7T0'''"' ' лол ло/^ллл

D - pp - aa -—bb ,aree m e s lae^anoii,

где D - диагональная матрица порядка k с элементами p(,...,pk на главной диагонали, a = (a—,...,ak)T , b = (b-,..., bk )T , a =j(y,) - j( У,-i), b =-y,j(y,) + y,-i j( y,-i), j = 1,.., k, j(...) - плотность стандартного

B=

нормального распределения. Положим

j=1

* (v, - np, )2

npj

a = Y—, b = Y—

j=1 pj j=1 pj

1

n

* а2 * Ь2 ^^:Ь:

1 - I - , 1 - 2 - , і = х—,

.и Л- і-—Л і-і Рі

_ _ I п I п _

в - (X, 5п;)г, Хп - - Х X,, «2 - -1 (X, - Хп )2.

п 1-і пі-—

Тогда, согласно [17, 23], статистика У2 = Уп2($п) имеет вид

У2 -

п

Хп,апёе т е а е$аапоі и;

х2 +—«2,апёе т і ае$аапоі ї , а е$аапоі ї ;

пі

Х2 . 1 72 О^.. Л ' ЛО^ЛЛЛ _ ЛОЛ ЛО^ЛЛЛ

п +-Ь ,апёе т е$аапоі ї , а і ае$аапоі ї ;

п\

2 + 1а2 -21ар + 1р2 .......................

Хп +—---------3-г—1—,апёе т е а 1 аесаапет 1.

п пц -12) ^

Очевидно, что если вероятности р1 выбраны таким образом, что р1 = рк, р2 = рк-1, р3 = рк-2 и т.д.,

то 1 = 0 . В частности это верно, если р1 = р2 =,..., = рк =1.

к

Из только что рассмотренной теоремы [18] вытекает следующее следствие: если гипотеза Н0 справедлива, то при п ® ¥ случайная величина У2 асимптотически подчиняется распределению Хи-квадрат с к -1 степенями свободы, т.е.

НтР{Уп2 < х|Н0} - РС2, < х).

I

Пусть р1 =... = рк = — . В этих условиях 1 = 0 и статистика У2 имеет представление к

Х ,апёе т е а есаапет и;

У2 -

х2+—I Хеп 1 ,апёе т і ае$аапоі ї , а е$аапоі ї ;

п І, -— )

— I * 12

х2 +—І Хап, І ,апёе т е^аапої ї , а і ае^аапої ї ;

п І,-— )

— I * 12 — I * 12

х2 +—І Хеп І +~І Хап І ,апёе т е а іае$аапоії,

где

* к

х2 - * Х п2 - п,

£- (е—,...,£к)Т

*а,

Ж’

а -

*Ь,

1 - 2 - *ХЬ,а - <р(У,) - <р(У,-—) ’ Ь, - ^(У,) - ^(У,-—) ’ У, - Ф-— (*) ’ ,- —’..’ * - — ’ Уо -

1 -—-* Х а2 ’

У* - +¥.

Например, если к = 2, то р1 = р2 = 0,5, у + у2 = п , а1 = -а2 =

—

У2 -

(п -у)2

(п— -^2)2

2

п І I

42Р

, если т, а известны;

, во всех остальных случаях;

в этом случае У2 есть статистика для проверки гипотезы и симметричности распределения.

2

г-1

г-1

сю

п

Ниже приводится таблица значений векторов У = Су^...Ук-1)Г , е = е)Т, 0 = (Щ,.,°к)Т для

к = 3, (1)25 . При составлении таблицы было учтено, что у, = -ук-,, е, = -ек_м , (01 = (Ок_1+1. Поэтому при четном к = 21 в таблице даны значения у,, е,, и о, лишь для г = 1,2,..,I; при нечетном к = 21 +1 значения у1 указаны только для , = 1,2,..,I, а значения е1 и о - для , = 1,2,..,I +1.

Эта таблица используется для определения оптимального числа интервалов группирования к .

Таблица

к 1 2 3 4 5 6 7 8

3 -0,4307 3,0000 0,3764 0 -0,7527

4 -0,6745 3,4040 0,7623 0 0,8694 -0,7623

5 -0,8416 4,3607 1,1424 -0,2533 1,6570 -0,6678 0 -0,9491

6 -0,9674 5,2793 1,5139 -0,4307 2,4035 -0,5330 0 0,7468 -0,9809

7 -1,0676 6,1636 1,8766 -0,5659 3,1211 0,3780 0,1800 1,4375 -0,9481 0 -1,1009

8 -1,1503 7,0243 2,2307 -0,6745 3,8191 -0,2116 -0,3186 2,0958 -0,8809 0 0,6738 -1,1382

9 -1,2206 7,8590 2,5769 -0,7647 4,4983 -0,0385 -0,4307 2,7303 -0,7927 -0,1397 1,3058 -1,1305 0 -1,2377

10 -1,2816 8,6722 2,9158 -0,8416 5,1620 0,1389 -0,5244 3,3469 -0,6909 -0,2523 1,9099 -1,0949 0 0,6226 -1,2689

11 -1,3352 9,4660 3,2479 -0,9085 5,8119 0,3188 -0,6046 3,9487 -0,5795 -0,3488 2,4936 -1,0405 -0,1142 1,2119 -1,2737 0 -1,3458

12 -1,3830 10,2424 3,5737 -0,9674 6,4494 0,5002 -0,6745 4,5379 -0,4614 -0,4307 3,0613 -0,9729 -0,2104 1,7775 -1,2557 0 0,5836 -1,3839

13 -1,4261 11,0026 3,8936 -1,0201 7,0755 0,6825 -0,7363 5,1160 -0,3382 -0,5024 3,6159 -0,8955 -0,2934 2,3251 -1,2213 -0,0966 1,1398 -1,3957 0 -1,4508

14 -1,4652 11,7481 4,2080 -1,0676 7,6911 0,8651 -0,7916 5,6842 -0,2112 -0,5659 4,1593 -0,8107 -0,3661 2,8582 -1,1747 -0,1800 1,6754 -1,3884 0 0,5524 -1,4881

15 -1,5011 12,4800 4,5173 -1,1108 8,2971 1,0477 -0,8416 6,2434 -0,0814 -0,6229 4,6929 -0,7200 -0,4307 3,3793 -1,1188 -0,2533 2,1950 -1,3669 -0,0837 1,0816 -1,5040 0 -1,5479

ЛИТЕРАТУРА

1. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975.

2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: ВЦ АН СССР, 1968.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1984.

4. Флейс Дж. Статистические методы для изучения таблиц долей и пропорций. - М.: Финансы и статистика, 1989.

5. Chernoff G, Lehmann E.L. Ann. Math. Statist. 1954. V.25, №3 P.579-586.

6. Никулин М.С. Критерий Хи-квадрат для проверки нормальности. В кн.: Тезисы докладов Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс: 1973. Т.2. С.119-122.

7. Воинов В.Г., Никулин М.С. В кн.: Исследования по математической статистике. Вып. 9. - Л.: Наука, 1990. С.62-79.

8. Воинов В.Г., Никулин М.С. LOMI Preprint. Е-8-87. - Leningrad, 1987. 29p.

9. Никулин М.С. Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т18. №3. С. 675-676.

10. Большев Л.Н., Мирвалиев М. Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т23. №3. С. 481-494.

11. Гринвуд П., Никулин М.С. В кн.: Проблемы теории вероятностных распределений. Л.: Наука, 1987. С. 49-71.

12. Watson G.S. Biometrika, 1957. V.44. P.336-348.

13. Справочник по прикладной статистике. - М.: Финансы и статистика. 1989. Т.1.

14. Ветцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988.

15. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.2. - М.: Высшая школа, 1986.

16. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. - М.: Мир, 1986 - 272с.

17. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Основы моделирования и первичная обработка данных. - М.: Финансы и статистика. 1983.

18. Никулин М.С. В кн.: Теория вероятностей и ее инженерные приложения. 1973. Т18. №3. С.583-591.

19. Nikulin M.S. Technical report of the Department of Math & Stat. Queen’s University at Kingston, Ontario, Canada. 1991 -

74p.

20. Greenwood P., Nikulin M.S. Guide to Chi-square Testing. Technical report 94. Department of Statistics, the University of British Columbia, Vancouver, Canada. 1990 - 199p.

21. Nikulin M.S. Statistique des processus en milieu medical. Seminar 89-90, Paris 5, 1990 p.176 - 198p.

22. Никулин М.С. В кн.: Теория вероятностей и ее инженерные приложения. 1974. Т19. №2. С.431-434.

23. Rao K., Robson D. S. Comm. in Statistics. 1974. V.3. P.1139-1153.

24. Voinov V.G., Nikulin M.S. Lecture notes in Mathematics. Stability problems for Stochastic Models. 1989. P. 248-267.

25. Воинов В.Г., Никулин М.С. В кн.: Исследования по математической статистике. - Л.: Наука, 1990. С. 62-79.

26. Dudly R. M. In: Banach Center Publications. Probability theory. 1979. P.75-88.

27. Drost F. Asymptotics for generalized chi-squared goodness-of-fit test. CWI Tract 48. - Amsterdam, 1988. 104p.

28. Pollard D. Z. fur Wahrecheinlichkeits - theorie. 1979. Bd.50. S.317-331.

29. Drost F. Ann. Statist. 1989. V.17. №3. P.1285-1300.

30. Воинов В.Г., Никулин М.С. Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. - Пермь: 1990. Т.1. С.22-23.

31. Гринвуд П., Никулин М.С. В кн.: Проблемы теории вероятностных распределений. - Л.: Наука. 1987. С. 49-71.

32. Воинов В.Г., Никулин М. С. Несмещенные оценки и их применения. - М.: Наука. 1989.

33. Pearson K. Biometrica. 1932. V.24. P.351-381.

34. Pearson K., Haldane J.B.S. Biometrica. 1937. V.29. P.133-143.

35. Мирвалиев М. Никулин М.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. 1991. Т. 36. № 2.С.52-58.

36. Ветцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Академия, 2003.

APPLICATION OF THE MODIFIED CHI SQUARE TEST FOR GOODNESS OF FIT FOR THE DISTRIBUTION FUNCTION IDENTIFICATION.

Gluhov V.V., Marasanov L.O.

Forming the modified chi square test for goodness of fit for discrete and continuous function of distributions is considered.

Сведения об авторах

Глухов Вячеслав Васильевич, 1936 г.р., окончил МВТУ им. Баумана (1959), кандидат технических наук, профессор кафедры технической эксплуатации авиационных электросистем и пилотажнонавигационных комплексов МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов -техническая диагностика и оценка параметров полётной информации.

Марасанов Леонид Олегович, 1981 г.р., окончил МГУТ ГА (2004), старший преподаватель кафедры ТЭАЭС и ПНК МГТУ ГА, область научных интересов - техническая эксплуатация авиационного оборудования.