Совершенствование оценок точностных характеристик автоматических режимов полета летательных аппаратов на основе критерия Никулина-Рао Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Авиационные электросистемы и авионика

№ 148

УДК 621.396.96

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОЦЕНОК ТОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ НА ОСНОВЕ КРИТЕРИЯ НИКУЛИНА-РАО

Л.О. МАРАСАНОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым С.В.

В статье рассматривается задача определения оценок точностных характеристик летательного аппарата (ЛА) автоматизированных режимов полета на основе новых достижений в теории критерия согласия Хи-квадрат.

Ключевые слова: критерий Никулина-Рао, алгоритм проверки функции распределения, оценка точностных характеристик ЛА, нулевая гипотеза, равновероятностные интервалы, гистограмма.

Под точностными характеристиками автоматических режимов полета ЛА обычно понимают дисперсию или вероятность выхода за поле допуска какого-либо оцениваемого параметра полёта. Например, согласно требованиям ICAO1 (концепция RNP2), среднеквадратическое отклонение (СКО) ЛА от линии заданного пути должно составлять не более +/-1 м.м. (морской мили) или вероятность выхода за поле допуска должна быть меньше 0,001 [1]. Эти требования к характеристикам полета ЛА проверяются по записям бортовых устройств регистрации, например, с помощью магнитной системы регистрации параметров МСРП (МСРП-96, МСРП-256 и другие).

Значимость задачи оценки точностных характеристик подтверждается тем, что в техническом задании на разработку систем автоматического полета ЛА (например, Ил-96-300, Ту-204 и т.д.) они составляют две трети требований к параметрам полёта.

Стандартный алгоритм оценки точностных характеристик содержит следующие этапы обработки параметров полета [2]:

- составление выборки значений параметров полета;

- оценка параметров распределения этого параметра;

- определение вида функции предполагаемого распределения;

- определение вероятности нахождения вектора параметров ЛА в заданной области.

На рис. 1 представлена блок-схема алгоритма.

Выборка значений Оценка параметров распределения Определение вида Определение вероятности

параметра полета , функции распределния , нахождения вектора

( *1, *2,..., ) mx » fx параметров ЛА в заданной области

Рис. 1. Блок-схема алгоритма оценки точностных характеристик

1 ICAO (ИКАО от англ. — International Civil Aviation Organization) — Международная организация гражданской авиации, устанавливающая международные нормы гражданской авиации и координирующая её развитие с целью повышения безопасности и эффективности.

2 RNP (Required Navigation Performance) — требуемые навигационные характеристики; параметры, которыми должны обладать современные ЛА для осуществления полета в данном воздушном пространстве.

Из вышеперечисленного основным является этап, в котором решается задача определения вида функции распределения исследуемого параметра полета.

Эта задача решается на основе выборки значений параметров полёта, фиксируемых МСРП, с использованием критериев согласия. К подобным критериям относятся Хи-квадрат Колмогорова, Мизеса и др.

Среди них наиболее приемлемым для оценки точностных характеристик является Хи-квадрат или критерий Пирсона как критерий, имеющий наибольшую мощность.

Р. Фишер [4] показал, что предельное распределение статистики %2 для непрерывной случайной величины зависит от способа оценивания параметра распределения в.

Рассмотрим задачу проверки гипотезы о принадлежности функции распределения независимых одинаково распределенных случайных величин х1,х2,...,хп семейству непрерывных

((х _ о ) ^

функций g ---------— , зависящих от параметров сдвига 01 и масштаба 02. Разбивая действи-

V 02 )

тельную прямую на к интервалов и производя группировку по указанным интервалам, получаем вектор частот у = (у,...ук) и вектор вероятностей р = ( р1,..., рк), где pi = g(xг.) _ g(xг_1). Ес-

2 (У _ ПРг ) 2

ли в качестве оценок принять точку минимума статистки X = У,---------------, то х имеет в

ПРг

пределе распределение Хг_£, где г - число степеней свободы, а £ - число неизвестных параметров распределения g (01,02).

Фишер доказал, что если математическое ожидание исследуемого параметра вп является оценкой, минимизирующей зависимость:

- (у1 _ пР1 (в))2

2(в) = Ь^РрвГ (1)

для сгруппированных данных, то эта статистика будет иметь при п ® ¥ распределение 2_*_1, где - число оцениваемых параметров распределения рассматриваемой сложной гипотезы, то есть оценка вп - точка минимума статистики Х (в) = шт 2 (в) .

г'бв

Но на практике при применении критерия Хи-квадрат для оценки параметров распределения, в основном, применяют метод максимума правдоподобия.

Л. Леманом и Г. Черновым [5] было показано, что предельное распределение статистики

х1(в) , где 0п - оценка максимального правдоподобия для в, определенная на несгруппирован-ных данных, не является распределением Хи-квадрат. Следовательно, это распределение нельзя табулировать с помощью стандартного закона 22 и решение задачи определения вида функции распределения на основе приведенной выше зависимости (1) оказывается неверным. Этот факт подробно рассмотрен в монографии М.Дж. Кендалла и А. Стьюарта [6].

В работе М. С. Никулина [7] было доказано, что для случая использования оценки максимума правдоподобия необходимо использовать следующий критерий:

и 2Й)=хЖ)+рЖ ),

(2)

где Р2(вп) - квадратичная форма, которая позволяет соотношению У \(вп) иметь в пределе распределение %2 с г -1 степенью свободы, не зависящее от метода оценки параметров распределения и способа группировки выборки наблюдений.

Рао К.С. опубликовал подобную работу [8], где рассмотрел применение этого критерия к экспоненциальному распределению.

В общем виде для любого распределения х, объемом п Никулин предложил пользоваться следующей статистикой (критерий Никулина-Рао):

где

Y2 = С +-

n

(lA -A)) - 2A3a(y)b(y) + 12«2(n)], (3)

a( x) = £ ^,

¿=i Рг

ai = g(X) - g(X-i),

b(X) = ,

i=1 Рг

Ьг = g XX ) - g '(X-1)-

A = i

"g '(X) ^ g ( X)

k, a2

g(x)dx - 2 -L , A2 =-1 + J

i=1 Рг J

X

"gl( x) ^ g(x)

g(x)dx - t—,

i=1 Рг

A = J

x

g'(x)

. g(x) .

g (x)dx -1 —

г=1 Рг

g (х) - функция плотности вероятности.

Для проверки гипотезы соответствия выборки нормальному распределению критерий Никулина-Рао упрощается и выглядит следующим образом:

где

Y2 =

С , если m и s известны

1

С2 + — І 2єУі I , если m неизвестно, s известно

n і г=

1

, если т известно, о неизвестно

+ -1 П \ г =1

С 11 Т єуі 1 ^ соуі 1 , если т и о неизвестно

n

Є =

=1

к—

n

=1

kb

a

г=1

i=1

(4)

- =Ф(Уг )-Ф(Уг-l), Ьг = Ф'(Уг ) - Ф'(У г-1) , Уг = Ф I к I , г= 1,••, к - ^ Уо =-¥ , Ук =+¥

Тогда алгоритм проверки вида функции распределения на основе критерия Никулина-Рао сводится к следующим шагам:

1) из генеральной совокупности формируем выборку объемом 50;

2

2

2

2

2) весь диапазон полученных значений разбиваем на к равновероятностных интервалов (их количество рассчитывается согласно формуле Старджеса к = 3,31о§(Ы) +1) [9];

3) группируем (вариационный) статистический ряд;

4) нормируем полученный вариационный статистический ряд;

5) на основании гипотетической функции распределения Б(х) вычисляем вероятности попадания случайной величины в рассчитанные интервалы;

6) умножая полученные вероятности на объем выборки, получаем теоретические частоты, которые следует ожидать, если нулевая гипотеза справедлива;

7) определяем параметры е и щ;

8) по заданному уровню значимости и числу степеней находим критическое значение статистики Игрек-квадрат ( У2 -квадрат);

9) сравнивая полученное значение статистики У 2 - квадрат с его критическим значением, принимаем или отвергаем гипотезу о виде функции распределения;

10) если полученное значение статистики больше критического, то нулевую гипотезу отвергаем в пользу альтернативной, т.е. считаем, что гипотетическая функция распределения не согласуется с опытными данными;

11) если полученное значение статистики меньше критического, то для отклонения нулевой гипотезы нет оснований, т.е. гипотетическая функция распределения не противоречит опытным данным.

Для большего удобства Никулиным [7] было предложено: параметры формулы (4) предварительно вычислить и свести в таблицу (табл.1). В таблице приведены значения границ интервалов разбиения у { и значения параметров е и щ в зависимости от числа выбранных интервалов к .

Рассмотрим пример расчета. Для исследования воспользуемся выборкой параметра полета (отклонение вертикальной скорости на высоте 15 метров при заходе на посадку), заданной в виде файла и состоящей из 120 элементов [10].

Сформируем вариационный ряд, расположив элементы выборки по возрастанию. Затем

выборки, используя формулу Старджеса: к = 3,31о§( Ы) +1 = 8.

Вначале определим вид функции распределения по классической трактовке, представленной во многих работах [11].

Для проведения теста по критерию Хи-квадрат выберем интервалы равной длины. Полученная гистограмма приведена на рис.2. Количество элементов выборки, попавшие в соответствующие интервалы, равны (6, 21, 3 ,54, 18, 4, 9, 4, 1).

Определим теоретические частоты попадания в соответствующие интервалы по формуле

Задавшим уровнем значимости а = 0,05, определим число степеней свободы ё = к — 1 - г = 8 -1 - 2 = 5. По таблицам [13] определяем критическое значение статистики Хи-квадрат, которое равно %2кр = 11,07 .

Теперь подсчитаем статистику Хи-квадрат для исследуемой выборки по формуле:

х - т

. Определим количество интервалов разбиения исследуемой

проведем нормирование у =

о

[12]:

Получим соответственно значения (0,063; 0,114; 0,197; 0,238; 0,201; 0,12; 0,05; 0,015; 0,003).

Г = £= 0,49.

1=1 Р

Так как с2 <с2 , т0 делаем заключение, что гипотеза о соответствии исследуемой выборки

нормальному закону распределения может быть принята.

Теперь проведем аналогичную процедуру с тем же примером, но уже используя критерий Никулина-Рао, представленный формулой (4).

Для проведения теста по критерию Никулина-Рао разобьем исследуемую выборку на 8 равновероятностных интервалов (гистограмма на рис.3). Количество элементов выборки, попавшие в соответствующие интервалы, равны (16, 14, 0, 47, 7, 15, 7, 14).

Вероятность попадания в каждый интервал в этом случае одинакова: (0,125; 0,125; 0,125; 0,125; 0,125; 0,125; 0,125; 0,125;).

Определим значения параметров критерия У2 - квадрат по табл. 1 для значения к = 8:

е = (7,024; 3,819; 2,096; 0,674; - 0,674; - 2,096; - 3,819; - 7,024) о = (2,231; -0,212; -0,881; -1,138; -1,138; - 0,881; - 0,212; 2,231)

Значение статистик У2 - квадрат определяем по формуле:

к+1 (п - Р )2 1 к+1 , 1 к+1 ,

у 2=£ +N ё (еп)2+N ё (оп)2.

I=1 ^ I=1 ^ I=1

Вычисленное значение У2 = 12,987 .

Критическое значение статистики У 2 определяется аналогично критическому значению статистики Хи-квадрат.

Сравнивая полученные значения статистик, заключаем, что гипотеза о соответствии исследуемой выборки нормальному закону распределения критерием Никулина-Рао отвергается.

Рис. 1. Г истограмма теста по Рис. 2. Г истограмма теста по критерию

критерию Хи-квадрат Никулина-Рао

Правильность принятия альтернативной гипотезы подтверждается и оценками мощности критериев [14].

Мощность критерия представляет собой значение 1 - в, где в - вероятность ошибки 2-го рода. Очевидно, что чем выше мощность используемого критерия при заданном значении а, тем лучше он различает нулевую (Н0) и альтернативную (Н1) гипотезы. Особенно важно, чтобы используемый критерий хорошо различал близкие гипотезы. Графически требование максимальной мощности критерия означает, что на рис. 3 плотности ^(в|Н0) и ^(в|Н1) должны быть максимально «раздвинуты».

8а - порог принятия решения, определяемый по уровню значимости а

Таблица 1

Значения параметров критерия У2 -квадрат

к 1 2 3 4 5 6 7 8

Уг -0,4307

3 е 3,0000 0

Щ 0,3764 -0,7527

Уг -0,6745 0

4 е 3,4040 0,8694

w 0,7623 -0,7623

Уг -0,8416 -0,2533

5 е 4,3607 1,6570 0

w 1,1424 -0,6678 -0,9491

Уг -0,9674 -0,4307 0

6 е 5,2793 2,4035 0,7468

w 1,5139 -0,5330 -0,9809

Уг -1,0676 -0,5659 0,1800

7 е 6,1636 3,1211 1,4375 0

w 1,8766 0,3780 -0,9481 -1,1009

Уг -1,1503 -0,6745 -0,3186 0

8 е 7,0243 3,8191 2,0958 0,6738

w 2,2307 -0,2116 -0,8809 -1,1382

Уг -1,2206 -0,7647 -0,4307 -0,1397

9 е 7,8590 4,4983 2,7303 1,3058 0

w 2,5769 -0,0385 -0,7927 -1,1305 -1,2377

Уг -1,2816 -0,8416 -0,5244 -0,2523 0

10 е 8,6722 5,1620 3,3469 1,9099 0,6226

w 2,9158 0,1389 -0,6909 -1,0949 -1,2689

Уг -1,3352 -0,9085 -0,6046 -0,3488 -0,1142

Тогда, если функция распределения нулевой гипотезы Хи-квадрат (Н0) имеет вид согласно [13]:

£ С?) = 1

22 Г\

г

-Л 2.

где г - число степеней свободы; Г(...) - гамма-функция; а смещение альтернативной гипотезы Н1 задается формулой:

* (Р1 (61)-р (в1 ))2

$ш = NТУ 1 ' ’ ,

£ р (6)

то путем вычисления интеграла от функции распределения альтернативной гипотезы Н1 в пределах от 8а до (+¥), получим искомое значение мощности критерия:

Для исследуемой нами выборки мощность получилась равной В = 0,654 для критерия Хи-квадрат и В = 0,976 для критерия Никулина.

Из приведенного примера можно сделать следующие выводы:

- при любой сложной нулевой гипотезе Н0 и при определении оценок параметров распределения методом максимума правдоподобия статистика Игрек-квадрат при справедливой гипотезе Н0 имеет в качестве предельного точное распределение Сч;

- мощность критерия Никулина выше мощности критерия Хи-квадрат практически в два раза, что исключает в ряде случаев принятие неправильных гипотез о виде гипотетической функции распределения.

Таким образом, при использовании критерия Никулина-Рао устраняются основные ошибки алгоритма оценки точностных характеристик ЛА, а именно - определение вида функции распределения исследуемого параметра полета.

На основе предлагаемого критерия была разработана программа для расчёта значения усовершенствованной статистики Хи-квадрат по методу Никулина-Рао в среде программы МаШСАО. В разработанной программе были также обработаны данные летных и сертификационных испытаний самолета Ил-96-300. Результаты для большей наглядности сведены в результирующую таблицу (табл.2). Как видно из результатов анализа приблизительно 10% исследуемых выборок были приняты и обработаны с ошибками.

Таблица 2

Таблица результатов обработки полетных данных

Параметр Г ипотеза принимается по критерию Хи-квадрат Гипотеза принимается по критерию Игрек-квадрат

1 2 3

Крен на высоте 30 метров Да Да

Отклонение от глиссады на высоте 30 метров Да Да

Скорость вертикальная на высоте 30 метров Да Да

Отклонение М курса на высоте 30 метров Да Да

Отклонение курсовой зоны на высоте 30 метров Да Да

Л’

а

Продолжение табл. 2

1 2 3

Курс на высоте 30 метров Да Да

Курс на высоте 15 метров Да Да

Тангаж на высоте 15 метров Да Да

Отклонение от заданной скорости на высоте 15 метров Да Да

Отклонение курсовой зоны на высоте 15 метров Да Да

Скорость вертикальная на высоте 15 метров Да Нет

Отклонение от глиссады на высоте 15 метров Да Да

Удаление от глиссады на высоте 15 метров Да Да

Отклонение М курса на высоте 15 метров Да Да

Отклонение курсовой зоны на высоте 6 метров Да Да

Отклонение курса на высоте 6 метров Да Да

Отклонение курсовой зоны в точке касания Да Да

Нормальное ускорение в точке приземления Да Да

Вертикальная скорость в точке касания Нет Нет

Отклонение М курса на высоте 0 метров Да Да

Отклонение курса в точке касания Да Да

Тангаж в точке касания Да Да

Крен в точке касания Да Нет

Отклонение от заданной скорости на высоте 0 метров Да Да

Продольная точка приземления Да Да

В результате проведенной работы можно заключить, что использование критерия Никули-на-Рао позволит повысить точность проводимых исследований, а разработанное программное обеспечение может реализовать представленный алгоритм оценки функции распределения для целей летных и сертификационных испытаний ЛА.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рекомендуемые технические требования к воздушным судам для полетов в системе точной зональной навигации (P-RNAV) в европейском регионе при действии нормативов RNP-1.

2. Харин Е.Г. Справочная библиотека авиационного инженера-испытателя. Лётные испытания систем пилотажно-навигационного оборудования. - М.: Машиностроение,1986.

3. Пирсон К. (Pearson K.) On the theory of contingency and its relation to association and normal correlation, Drapper’s Co Memoirs, Biometric Series, №1, London, 1904.

4. Фишер Р.А. (Fisher R.A.) The conditions under which Chi-square measures the discrepancy between observation and hypothesis., J.Roy Statist.Soc., 87, 442., 1924.

2

5. Chernoff H., Lehmann F.L. The use of the maximum likelihood estimates in С tests for goodness of fit, Ann. Math. Statist., 25, 3(1954), 579-586.

6. М. Кендал и А.Стюарт Статистические выводы и связи. - М.:Наука, 1973.

7. Никулин М.С. Критерий Хи-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба. Теория вероятностей и ее применение. - 1973. т.18, №3. - С. 583-591.

8. Rao K.C., Robson D.S. Commun. In Statist. 1974. V3. p.1139-1153.

9. Sturgess H.A. The choice of classic intervals. J.Am.Statist.Assoc. - March 1926. 47p.

10. Отчёт о НИР. Основные характеристики бортовых систем автоматического управления. Программа определения основных вероятностных характеристик параметров посадки самолёта Ту-154 (III кат. ИКАО). - М.: МИИГА, 1983.

11. Фадеева Л.Н., Жуков Ю.В., Лебедев А.В. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения. - М.: Эксмо, 2006.

12. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Издательство физико-математической литературы, 1962.

13. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983.

14. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Критерии типа Хи-квадрат. ГОСТ 50.1.033-2001.

THE IMPROVEMENT OF THE PERFORMANCE EVALUATIONS OF THE AUTOMATIC REGIMES AIRCRAFTS ON THE BASE OF RAO-NIKULIN CRITERIA

Marasanov L.O.

The problem of the performance evaluations of the aircrafts on the new achievements in the chi-squared test theory is considered.

Сведения об авторе

Марасанов Леонид Олегович, 1981 г.р., окончил МГТУ ГА (2004), старший преподаватель МГТУ ГА, автор 5 научных работ, область научных интересов - техническая эксплуатация авиационного оборудования.