CC BY
52
УДК 621.396.96
ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО КРИТЕРИЯ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ (КРИТЕРИЙ НИКУЛИНА-РАО) ДЛЯ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ РЕЖИМОВ ПОЛЕТА
Л.О. МАРАСАНОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым С.В.
В статье рассматривается задача определения оценок точностных характеристик ЛА автоматизированных режимов полета на основе новых достижений в теории критерия согласия Хи-квадрат.
Ключевые слова: критерий Никулина-Рао, алгоритм проверки функции распределения, оценка точностных характеристик ЛА, нулевая гипотеза, равновероятностные интервалы, гистограмма.
Как показала практика статистической обработки параметров полёта, многие из них имеют функции распределения, не обладающие симметрией. Поэтому гипотеза о нормальном виде функции распределения часто отвергается. Особенно такими свойствами часто обладают параметры ВС режимов захода на посадку и посадки, случайные изменения которых определяются спецификой влияния многочисленных внешних факторов. Более общими методами описания эмпирических данных являются применение логнормальных распределений, которые подробно описаны в монографии [1]. В ней предложено находить эмпирические распределения путем преобразования нормированной нормально распределенной случайной величины. Преимущество такого преобразования заключается в том, что оценки процентилей эмпирических распределений можно получить, используя таблицу площадей под кривой нормированного нормального распределения, с учетом несимметричности самого распределения.
Реализация алгоритма оценки законов распределений семейств логнормальных законов и их параметров на основе критерия согласия Пирсона не отличается от алгоритма оценки нормального закона.
Однако у критерия согласия Пирсона имеется существенный недостаток - необходимость группирования наблюдений, что приводит к потере информации и снижению мощности критерия. Предложенная Л.Н. Большевым и М.С. Никулиным модификация этого критерия существенно повышает его мощность, но не устраняет необходимость проведения громоздкой вычислительной процедуры.
Для устранения последнего недостатка М. С. Никулиным предложена таблица значений параметров алгоритма критерия, но только для нормального закона распределения.
В представленной работе этот модифицированный критерий разработан для логнормального закона распределения и приведена таблица параметров модифицированного критерия Никулина-Рао, что значительно упрощает вычислительную процедуру его использования.
Последовательность же действий для реализации алгоритма определения функции плотности вероятности на основе критерия Никулина-Рао с исходной выборкой параметров полета ВС такая же. Рассмотрим более подробно этот алгоритм.
Предположим, что проверяется гипотеза Н0, согласно которой независимые случайные величины Х1,Х2,...,Хп подчиняются логарифмическому нормальному закону N(т,а2) . Таким образом, если гипотеза Н0 верна, то Х1,Х2,...,Хп - взаимно независимые логнормальные случайные величины, причём
ЕХ1 = т, БХ{ = а2, / = 1,2,...,п, \т\ <¥, а2 > 0.
Положим
Л, =
1 п
— (X, — да), если т и а известны; а
(X, — Хп), если т неизвестно, а известно; а\ п — 1
— (X, — да), если т известно, а неизвестно;
Хп
— (X, — Хп), если т и а неизвестно,
где
— 1 п ~ 1 1 п —
Хп = - X Х, ~ = - (Х— т)2, х; = - £ ( х, — Хп )2
п „1 п п
Пусть р = (р1,..., рк ) - вектор положительных вероятностей таких, что р1 + р2 +... + рк = 1 (2 < к < п ) и пусть х, есть (р1 +... + pj) - квантиль стандартного логнормального распределения
Ф(X, ) =
1
(1п х— т)2
2а2
ахл/2Р
х > 0
х < 0
] = и.к,
где хк = +¥ .
Далее пусть п = (п1,...,пк)т - вектор частот, возникающих в результате группировки случайных величин л, . ,Лп по полуинтервалам (0,х1], (х1,х2], ...., (хк—1,+¥), причём очевидно, что п +... + Ук = п . В основе статистического критерия, предлагаемого для проверки гипотезы, лежит теорема [1; 3].
Из теоремы вытекает следующее следствие: если гипотеза Н0 справедлива, то при п ® ¥ случайная величина У2 асимптотически подчиняется распределению Хи-квадрат с к — 1 степенями свободы, т.е.
1®¥< х|Н0} = Р(Жы < х) .
1 2
Пусть р1 =... = рк = — . В этих условиях статистика У имеет вид к
У2 =
X , если т и а известны;
У
. г=1
X2 +
п I “1
, если т неизвестно, а известно;
, если т известно, а неизвестно;
. г=1
У 1 [ к
X2 + -\Х£У, +-\ЪаУ, п У г=1 ) п У ,.1 ;
, если т и а неизвестно,
0
2
2
т^2 к ^ 2 г \т г \т ка,
где X2 = -— п, е = (е1,...,‘е) , Щ = (Щ-Щ) , е = -?=,
п ,=1 д/ 11
кЪ к к
Щг = ~Г= , 1 = 1 — к2 а2 , 1 = 2 — к2 Ъ^аг =Ф(Уг ) —j{Уi—1),
V 1 ,=1 ,=1
Ъг = Ф(Уг ) — ¥(У^—1), Уг = Ф_1[£| ’ г = ^.^ к — 1, У0 =—¥ , Ук =+¥ .
Приводится таблица значений векторов у = (у1,...,ук—1)т , е = (е1,...,ек)т , Щ = (щ,...,щ)т для к = 3, (1)10. Эта таблица используется для определения соответствующих коэффициентов при известном числе интервалов группирования к .
Таблица
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 У є а 0.65 -2.592І -0.993 1.538 1.497І 0 1.095І 0.993
2 У є а 0.509 -2.392І -1.191 1 0.862І -0.304 1.963 0.909І 0.304 0.621І 1.191
3 У є а 0.431 -2.525І -1.333 0.776 0.59І -0.506 1.288 0.769І 0 2.32 0.697І 0.506 0.469І 1.333
4 У 0.38 0.65 1 1.538 2.631
є -2.698І 0.402І 0.658І 0.667І 0.58І 0.39І
а -1.442 -0.657 -0.204 0.204 0.657 1.442
5 У 0.344 0.568 0.835 1.197 1.761 2.908
є -2.872І 0.252І 0.563І 0.622І 0.59І 0.505І 0.34І
а -1.53 -0.775 -0.357 0 0.357 0.775 1.53
6 У 0.317 0.509 0.727 1 1.375 1.963 3.159
є -3.041І 0.124І 0.478І 0.573І 0.576І 0.532І 0.452І 0.305І
а -1.603 -0.872 -0.478 -0.154 0.154 0.478 0.872 1.603
7 У 0.295 0.465 0.65 0.87 1.15 1.538 2.148 3.389
є -3.202І 0.011І 0.401І 0.524І 0.552І 0.535І 0.487І 0.413І 0.279І
а -1.666 -0.953 -0.579 -0.277 0 0.277 0.579 0.953 1.666
8 У 0.278 0.431 0.592 0.776 1 1.288 1.689 2.32 3.602
є -3.355І -0.092І 0.33І 0.476І 0.524І 0.526І 0.499І 0.452І 0.382І 0.259І
а -1.72 -1.024 -0.664 -0.379 -0.123 0.123 0.379 0.664 1.024 1.72
Для реализации алгоритма оценки вида семейств логнормальных законов распределения и их параметров была разработана его структурная схема (рис. 1) и программа в среде МаШСЛБ.
Вставка
выборки
~~г~
Определение количества элементов, расчет математического ожидания и дисперсии
Выбор $1. распределения
Да
X
Нахождение & И
Выбор $ и распределения
Выбор$В распределения
Нижний предел известен
Оценка параметров семейства распределения БЬ при известном нижнем пределе случайной величины
Нет
Оценка параметров семейства распределения $1. при неизвестном нижнем пределе случайной величины
ООа предела известны
I
пределы
ООа предела неизвестны
Оценка параметров семейства распределения $В при известных пределах случайной величины
Ні
Верхний предел
Оценка параметров семейства распределения ЭВ при известном нижнем пределе случайной величины
Оценка параметров семейства распределения $В при неизвестных пределах случ айной величи ны
Оценка
параметров
семейства
распределения
5 и
Графическое представление результатов расчета и визуальный анализ
Использование критерия ХИ-кздрзт
Сравнение вероятностей соотв экспериментал етствия закона распределения ьным данным.
Принятие решения о виде закона из семейства законов распределения
Рис. 1. Алгоритм оценки параметров семейств логнормального распределения
И.О.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гаиммии В.Н., Русол В.А., Липин А.В. Применение методов математической статистики в авиационной практике. - М.:Транспорт, 1993.
2. Никулин М.С. О критерии Хи-квадрат для непрерывных распределений // Теория вероятностей и её применение. - 1973. - Т. 18. - № 3. - С. 675-676.
3. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке // Методы планирования эксперимента. - М.: Мир, 1981.
APPLICATION OF THE MODIFIED CHI-SQUARE TEST CRITERION (NIKULIN CRITERION) TO ESTIMATE THE ACCURACY CHARACTERISTICS OF AIRCRAFT
Marasanov L.O.
The problem of the performance evaluations of the aircrafts on the new achievements in the chi-squared test theory is considered.
Key words: Nikulin-Rao criterion, algorithm of checks of the distribution function, assessment of the accuracy characteristics of the aircraft, the null hypothesis, Equiprobable intervals, the histogram.
Сведения об авторе
Марасанов Леонид Олегович, 1981 г.р., окончил Московский государственный технический университет гражданской авиации (2004), старший преподаватель МГТУ ГА, автор 10 научных работ, область научных интересов - техническая эксплуатация авиационного оборудования.
