CC BY
20
УДК 519.816 ВИЛКОВ Валерий Борисович
Доцент кафедры Военной академии материально-технического обеспечения им. генерала армии А.В. Хрулёва, кандидат физико-математических наук, доцент Адрес: Россия, 198000, Санкт-Петербург, наб. Макарова, д. 8
Тел.: +7 (921) 584-97-93
VILKOV Valery Borisovich
Assistant professor of Military Academy of Material Support of the general A.V. Hrulyov, the
candidate ofphysical and mathematical sciences, docent Address: Russia, 198000, Saint-Petersburg, MakarovEmb., 8
Ph.: +7 (921) 584-97-93
БОЛЬШАКОВА Людмила Валентиновна
Профессор кафедры математики и информатики Санкт-Петербургского университета МВД России,
кандидат физико-математических наук, доцент Адрес: Россия, 198206, Санкт-Петербург, ул. Лётчика Пилютова, д. 1 Тел.: +7 (812) 744-48-22; +7 (921) 984-49-05. E-mail: blv5505@mail.ru
BOLSHAKOVA Lyudmila Valentinovna Professor of Department of Mathematics and Informatics of the Saint-Petersburg University of the MIA ofRussia, Candidate ofPhysical and Mathematical Sciences, Docent Address: Russia, 198206, Saint-Petersburg, Letchika Pilyutova str., 1 Ph.: +7 (812)-744-48-22; +7 (921) 984-49-05. E-mail: blv5505@mail.ru
ЧЕРНЫХ Андрей Климентьевич
Профессор кафедры информатики и математики Санкт-Петербургского института войск национальной гвардии Российской Федерации, доктор технических наук, доцент Адрес: Россия, 198206, Санкт-Петербург, ул. Лётчика Пилютова, д. 1
Тел.: +7 (921) 773-45-67 CHERNYKH Andrey Klimentyevich Professor of Department of Informatics and Mathematics of the Saint-Petersburg Institute of Troops of National Guard of the Russian Federation, Doctor ofTechnical Sciences, Docent Address: Russia, 198206, Saint-Petersburg, Letchika Pilyutova str., 1
Ph.: +7 (921) 773-45-67
ЯКОВЛЕВА Наталья Александровна
Начальник кафедры математики и информатики Санкт-Петербургского университета МВД России, кандидат психологических наук Адрес: Россия, 198206, Санкт-Петербург, ул. Лётчика Пилютова, д. 1 Тел.: +7 (812) 744-48-22. E-mail: kumirova@mail.ru YAKOVLEVA Natalia Alexandrovna Head of the Department of Mathematics and Informatics of the Saint-Petersburg University
of the MIAofRussia, Candidate of Psychological Sciences Address: Russia, 198206, Saint-Petersburg, Letchika Pilyutova str., 1 +7 (812) 744-48-22. E-mail: kumirova@mail.ru
Применение методов оптимизации при выработке решений в обучении курсантов в образовательных организациях силовых структур
The application of optimization methods in the development of solutions in the training of cadets in educational organizations of power structures
Статья предназначена в первую очередь для курсантов, обучающихся в образовательных организациях силовых структур. В ней рассмотрен один из методов эффективного подхода к моделированию выработки решения по применению сил и средств полиции в тех случаях, когда необходимые для принятия указанного решения данные обоперативной обстановке известны лишь частично.
Ключевые слова: осложнение оперативной обстановки, выработка решения, методы оптимизации решения, нечеткие множества, нечеткая логика.
The article is intended, first of all, for cadets studying in educational organizations of power structures. It considers one of the methods of an effective approach to modeling the development of a decision on the use of police forces and facilities in those cases when the data necessary for making this decision on the operational situation are not fully known, but only partially.
Keywords: complication of the operational situation, solution development, solution optimization methods, fuzzy sets, fuzzy logic.
В образовательных организациях при изучении дис- няют практические задания, которые можно решить бо-циплин профессионального профиля по разным лее рационально и правильно с помощью математиче-направлениям и специальностям обучающиеся выпол- ских методов. В частности, для решения задач в усло-
виях неполной информации об оперативной обстановке могут быть применены методы формальной логики, позволяющие вырабатывать решения в рамках указанной неопределенности. Использование этих методов должно привести к исключению нестрогости и неоднозначности в рассуждениях. Таким образом, появилась необходимость в использовании теории, позволяющей описывать нечёткие понятия.
Основоположником такой теории является американский ученый Л. Заде, опубликовавший в 1965 г. свою основополагающую статью [1].
Остановимся кратко на основных понятиях теории нечётких множеств, в первую очередь на понятии самого нечёткого множества, формализуя которое, получаем возможность синтезировать различные математические модели.
В дальнейшем под нечётким множеством будем понимать множество, элементы которого обладают общим свойством этого множества в различной степени. Это позволяет говорить о том, что элементы нечёткого множества принадлежат к данному множеству в различной степени. Поэтому в рамках создания математических моделей необходимо указывать, в какой степени конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества.
Приводимые далее понятия и результаты теории нечетких множеств и нечеткой логики заимствованы из [2-4].
Пусть имеется некоторое множество элементов U, например, множество чисел, множество каких-то знаков, множество слов, множество инструкций и т.д. Множество U будем называть универсальным.
Функция принадлежности нече при проведении one]
Нечётким множеством А на универсальном множестве и будем называть совокупность пар (РА (и), и), где РА (и) — степень принадлежности элемента и к нечеткому множеству А.
Под степенью принадлежности будем понимать число, принадлежащее отрезку [0, 1], при этом будем считать, что чем больше значение степени принадлежности, тем больше элемент универсального множества соответствует свойствам нечёткого множества. Последнее свидетельствует о большей уверенности в том, что данный элемент является элементом рассматриваемого множества.
Степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечёткому множеству будем определять с использованием функции Д4 (и), которую будем называть функцией принадлежности нечеткому множеству А.
Покажем на примере, как нечёткое множество задается в случае конечного универсального множества.
Пусть расход горючего при проведении оперативных мероприятий по ликвидации незаконного вооружённого формирования может составить от 0,15 до 0,21 заправок. Будем учитывать его с точностью до 0,01 заправки. Наши предположения о степени уверенности в том, что расход составит в заправок (функция принадлежности нечёткого множества «расход горючего при проведении оперативных мероприятий») представлены в табл. 1. Заметим, что универсальным множеством в этом примере является множество всех возможных значений расхода горючего с шагом 0,01.
Таблица 1.
гого множества «расход горючего дивных мероприятий»
Расход горючего, заправки 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21
Степень уверенности 0 0,4 0,8 1,0 1,0 0,5 0
Из этой таблицы видно, например, что степень нашей уверенности в том, что расход горючего при проведении оперативных мероприятий составит 0,17заправки, будет равна 0,8. Описанное нечёткое множество принято задавать в виде:
А = 0/0,15 + 0,4/0,16 + 0,8/0,17 + 1/0,18 + 1/0,19 + 0,5/0,2 0 + 0/0,21.
В дальнейшем нам понадобятся понятия: лингвистическая переменная; терм-множество; терм.
Под лингвистической переменной будем понимать переменную, значениями которой могут быть слова (словосочетания) естественного (искусственного) языка. Множество всех возможных значений лингвистической переменной будем называть терм-множеством.
Отметим, что любой элемент терм-множества — терм, формализуется нечётким множеством с помощью функции принадлежности.
В качестве примера лингвистической переменной можно рассмотреть «скорость автомобиля». Терм-множество для этой переменной может быть описано следующими понятиями: «низкая», «средняя», «высокая» и «очень высокая».
Если универсальным множеством значений скоростей автомобиля является множество {0, 10, 20, 30, 40, 50, 200}, то терму «средняя» может соответствовать, например, нечёткое множество 0/0, 0/10, 0,1/20, 0,3/30, 1/40, 1/50, 1/60, 0,5/70, 0,1/80, 0/90, 0/100, ..., 0/200.
0-0,15 + 0,4-0,16 + 0,8-0,17
Процедура преобразования нечёткого множества в чёткое число называется дефаззификацией.
Существуют разные способы выполнения процедуры дефаззификации: метод центра тяжести, реализуемый делением суммы произведений значений рассматриваемой величины на соответствующие значения функции принадлежности на сумму значений функции принадлежности; выбор чёткого числа, которое соответствует максимуму функции принадлежности; метод медианы.
Отметим, что аналогами метода центра тяжести и метода медианы являются, соответственно: нахождение центра тяжести плоской фигуры, которая ограничена как осями координат, так и графиком функции принадлежности нечёткого множества; нахождение точки на оси абсцисс, перпендикуляр через которую делит площадь, ограниченную осью абсцисс и графиком функции принадлежности, на равные части.
Осуществляя дефаззификацию методом центра тяжести нечёткого множества, функция принадлежности которого представлена в табл. 1, получаем чёткое значение расхода горючего (в заправках), равное: 10,18 + 10,19 + 0,5-0,2 + 0-0,21
0 + 0,4 + 0,8 + 1 + 1 + 0,5 + 0
= 0.18
Полученный результат можно трактовать как разумный запас горючего к началу оперативных мероприятий.
Введём понятие нечёткой базы знаний, которая представляет совокупность логических высказываний о влиянии факторов XI, Х2• V на значение параметра (выходной переменной) у. Совокупностьлогических высказываний имеет вид:
ЕСЛИ (объёмы подвоза большие И автомобилей немного не хватает И условия движения плохое) ИЛИ (объемы подвоза большие И автомобилей недостаточно И условия движения хорошие) ИЛИ . . . ИЛИ (объемы подвоза средние И автомобилей мало И условия движения средние) ТО немного увеличить продолжительность рабочего дня (итоговый терм).
Важную роль при решении задач управления играет задача, в которой требуется по заданным значениям
факторов XI, X 2, Хп определить значение параметра у [10;16]. Для её решения используется следующий алгоритм.
1. По заданным значениям факторов определить их степень принадлежности различным термам соответствующих лингвистических переменных.
2. Используя базу знаний и определения операций над нечёткими множествами, определить степень принадлежности возможных значений параметра его итоговому терму.
3. Используя полученное нечёткое множество, осуществить его дефаззификацию.
Приведём функции принадлежности нечётких теоретико-множественных операций: - для объединения нечётких множеств А и В (множество П) - ЕП (и) = тах {ЕА (и), ЕБ(и)} для всех и
из и (рис. 1):
Рис. 1. Объединение нечетких множеств A и B (пунктир)
- для пересечения нечётких множеств A и B (множество С) - FC (u) = min {FA (u), FB (u)} для всех
u из U (рис. 2_):
y=Fs(u)
/ 1 \с~У=Рс(и) \
i £ X \
. L = = = — 1 в в в _ V
0
Рис.2. Пересечение нечетких множеств А и В (пунктир)
Нечётким числом будем называть нечёткое множество с кусочно-непрерывной функцией принадлежности, заданное на множестве действительных чисел.
Треугольным нечётким числом А назовём (а,Ь,с) - тройку действительных чисел, для которой а не превосходит Ь, Ь не превосходит с.
Число Ь обычно называют чётким значением нечёткого треугольного числа, а числа а и с характеризуют степень нечёткости чёткого числа.
В качестве примера приведём на рисунке 3 нёчеткое треугольное число А = (3, 5, 9), которое лингвистически можно проинтерпретировать как «приблизительно 5» или «около 5».
Рис. 3. Треугольное число
Приведем порядок использования нечётких множеств при реализации методов теории принятия решения в условиях осложнения оперативной обстановки.
В первую очередь рассмотрим задачу подвоза материально-технических средств в условиях недостатка этих средств [5].
Сформулируем вербальную постановку указанной задачи.
Обеспечение материально-техническими средствами п структурных подразделений полиции (в дальнейшем потребители) осуществляется с т складов. При этом потребности этих потребителей являются нечет-
кимичислами, т.е. равныпримерно_р 1, р2, ... ,Рп и представляются треугольными нечеткими числами (Pj — Sj, pj, pj), j — 1, 2, ..., П. Запасы на складах обозначаем обычными чёткими числами: Zl, Z2 , ... , Zm. По условиям задачи со значениями функций принадлежности, равными единице, запасов материально-технических средств на поставщиках (базах и складах) недостаточно для удовлетворения потребностей потребителей в указанных объёмах, т.е. имеет место ситуация, когда суммарные потребности в материально-технических средствах превосходят суммарные запасы материально-технических средств.
Предположим, что каждый j-Й потребитель может допустить уменьшение своих потребностей по сравнению с величиной pj на величину sj, при этом также предполагается, что запасов достаточно для обеспечения минимальных потребностей.
Понятно, что чем больше величина дефицита материально-технических средств, тем меньшее значение принимает функция принадлежности, которую для данной задачи будем трактовать как степень уверенности в том, что потребитель получил необходимый объём материально-технических средств.
Обозначим через Fpj (х) функцию принадлежности
нечёткого числа^ , где X — выделяемый со складов j-y потребителю объём материально-технических средств.
Необходимо найти вариант снабжения, при котором степень уверенности в том, что он эффективен по уровню обеспечения потребителей материально-техническими средствами и по финансовым затратам, максимальна (см., например, [6]).
Обозначим через Сmin суммарные расходы по доставке грузов для случая, когда потребности потребителей минимальны, т.е. равны pj — Sj (j = 1, 2, ..., П), а через Cmax — суммарные расходы по доставке грузов для случая, когда потребности равны:
pj, (j = 1, 2, ..., п).
Степень уверенности в том, что предлагаемый вариант организации подвоза эффективен, будем характеризовать значением функции принадлежности получаемых затрат, равной нечёткому числу:
Сц — (Cmin, Cmin, Cmax) — «расходы почти минимальны», описывающими цель.
Порядок решения подобных задач представлен, например, в [6; 7].
Рассмотрим задачу о загрузке транспортного средства (задачу о ранце [8; 9]). Имеются штучные грузы п типов — W1, ИЪ,..., Wn. Известны вес и стоимость
(полезность) штуки каждого груза: с; — стоимость единицы груза Wi, — её вес, I = 1, 2, ..., П. Имеется транспортное средство грузоподъемностью Б. Определить, сколько штук груза каждого типа надо погрузить на это средство, чтобы стоимость (полезность) взятых грузов была бы максимальна.
Математической моделью рассматриваемой задачи является линейная задача целочисленного программирования. Обозначим неизвестные в этой
задаче как Щ, Ы2, ■ ■ ■ ип , где Ш — количество штук
груза 1-ГО вида (г, = 1, 2, ..., П.), которые грузятся на данное транспортное средство. Тогда целевая функция задачи, т.е. суммарная стоимость этих грузов, равна сумме произведений числа погружаемых штук каждого типа на стоимость штуки соответствующего груза. Мы ищем вариант погрузки, при котором эта сумма максимальна. Но не любой вариант погрузки возможен, допустимы варианты загрузки, удовлетворяющие следующим условиям:
— суммарный вес погружаемых грузов не должен превосходить грузоподъемности транспортного средства, т.е. сумма произведений числа штук каждого вида, погружаемых на транспортное средство, на вес
одной штуки не должна быть больше Б
— число погружаемых единиц груза каждого типа должно быть целым.
В литературе обычно предполагается, что «стоимость» штуки каждого груза однозначно определена. В случаях неполностью известных данных об оперативной обстановке, полезность (стоимость) штуки каждого груза часто определена нечётко, для её задания мы предлагаем использовать соответствующие понятия теории нечётких множеств.
Пусть полезности а, I — 1, 2, ... П, в рассматриваемой модели являются нечеткими числами
а = (ш, Ьц б^), т.е. будем предполагать, что полезность штуки груза Wi не может быть меньше Ш и больше е1. Обозначим через
Fi (х) = 1, 2, п,х>0)
функцию принадлежности нечёткого числа а, и через Нтах - оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи, если полезности всех грузов максимальны, т.е., если
а = в1,1 - 1, 2,..., п.
Будем предполагать, что множество всех планов и совпадает с Д-мерным евклидовым пространством.
На множестве и зададим нечёткое множество цели, используя в качестве его функции принадлежности Рц (с, и) нормированную функцию цели рассматриваемой задачи, т.е. отношение суммарной стоимости текущего варианта погрузки к максимально возможной стоимости (получаемой в случае, когда стоимость штуки груза каждого типа максимальна).
Чем больше суммарная полезность, тем больше наша уверенность в достижении цели.
Решением задачи, следуя Р. Беллману и Л. Заде [10; 11], будем считать план и = (щ, и,2, ■■■, ип), для которого степень его принадлежности пересечению нечёткого множества цели и множества допустимых планов максимальна. Обозначим через .Рр (с, и) функцию
принадлежности нечёткого решения. Значениями этой функции являются значения истинности нечётких высказываний «план и соответствует цели и полезность штуки первого груза равна С1 и полезность штуки второго груза равна С2и ... и полезность штуки груза с номером П равна Сп», т.е. конъюнкции нечётких высказываний: «план и соответствует цели», «полезность штуки первого груза равна С1», «полезность штуки второго груза равна С2», ..., «полезность штуки груза с номером
п равна Сп». Тогда Рр (с, и) равно минимальному из значений истинности перечисленных нечётких высказываний.
Для решения рассматриваемой задачи мы должны найти такие цены (с) и объемы погрузки (и), при которых значение функции принадлежности Рр (с, и) максимально.
В статье предложен достаточно простой и эффективный алгоритм отыскания приближенных оптимальных значений цен и объёмов погрузки.
Этот алгоритм состоит в том, что мы с определенным шагом (шаг зависит от требуемой точности результата) задаем одинаковые значения функций принадлежности стоимостей единицы грузов (оказывается, что этого достаточно для решения сформулированной задачи). По этому значению функций принадлежности определяем соответствующее значение цены (большее из возможных, если их несколько). Получив значения цен, ре-
шаем классическую задачу о ранце [12], например, используя динамическое программирование. В результате получаем оптимальный план загрузки при полученных ценах. Далее находим значение функции принадлежности нечёткого множества цели (функции Рц (с, и)) и, наконец, значение функции принадлежности
нечёткого решения Рр (с, и). Значения цен и соответствующий вариант загрузки, при котором значение функции Рр (с, и) максимально, являются решением поставленной задачи.
Необходимо заметить, что аналогичную задачу можно решать для склада, в котором необходимо разместить оптимальный, в указанном выше смысле, состав материально-технических средств.
Проиллюстрируем сказанное на примере.
Требуется оснастить оптимальным образом оперативную группу полиции спецсредствами. При этом необходимо уложиться в выделенные для этой цели финансовые средства, составляющие 270000 руб. Известна стоимость единицы каждого вида спецсредств и её эффективность. Эффективность предполагается нечёткой и заданной в баллах (см. табл. 2).
Формулируя эту задачу в виде задачи о ранце, мы в качестве грузоподъёмности будем рассматривать объём выделенных финансовых средств, типами грузов будем считать виды спецсредств, стоимостью штуки груза — эффективность спецсредства.
Таблица 2.
:я к примеру:
Виды спецсредств © Параметры эффективности спецсредств, баллы Стоимость штуки спецсредства, руб. Количество необходимых спецсредств, ед.
аг ы е;
1 1 2 3 10000 4
2 2 5 8 20000 2
3 5 14 21 50000 4
4 7 23 33 80000 2
Решение. Задачу будем решать приближённо, изменяя Е — значение функций принадлежности эффективно-стей спецсредств с шагом 0,1. При этом если данному значению функции принадлежности соответствуют два разных значения эффективности (см. рис. 3), то выбираем из них большее. На предварительном этапе находим значение Нтах — максимально возможной суммарной эффективности спецсредств по наилучшей оснащенности оперативной группы спецсредствами в предположении, что эффективность каждого спецсредства максимальна.
Далее на этапе с номером ~к,к = 0, 1, ..10, выполняем следующие операции:
1. Вычисляем Епо формуле: Е = 0,1 • к.
2. Вычисляем значения эффективностей спецсредств, соответствующие этому значению Е.
3. Решаем задачу о ранце с полученными значениями эффективностей (например, методом динамического программирования), находим её оптимальный план и (Е) и оптимальное для этой задачи значение суммарной эффективности С (и (Е)).
4. Вычисляем соответствующие значения Рц (с, и) И Рр (с, и).
На завершающем этапе из полученных на предыдущих этапах значений функции Рр (с, и) выбираем наибольшее и определяем соответствующее оптимальное решение (и = (Ш, и,2, ... , и,п)) задачи о ранце. Таким образом, получен ответ на сформулированный вопрос об оптимальном оснащении оперативной группы спецсредствами. При этом степень нашей уверенности в том, что этот вариант наиболее эффективен, равна выбранному
значению ^р (с, и).
Промежуточные результаты решения задачи представлены в табл. 3.
Таблица 3.
Расчет функции принадлежности нечеткого решения
Значения функций принадлежности нечётких эффективностей (К) Эффективности спецс эедств Максимальная суммарная эффективность а (и (Е)) Функция принадлежности нечёткой цели (с, и)) Функция принадлежности нечёткого решения № (с, и))
1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8
1,0 2,0 5,0 14,0 23,0 76,0 0,679 0,679
0,9 2,1 5,3 14,7 24,0 79,5 0,710 0,710
0,8 2,2 5,6 15,4 25,0 83,0 0,741 0,741*
0,7 2,3 5,9 16,1 26,0 86,5 0,772 0,700
0,6 2,4 6,2 16,8 27,0 90,0 0,804 0,600
0,5 2,5 6,5 17,5 28,0 93,5 0,835 0,500
0,4 2,6 6,8 18,2 29,0 97,2 0,868 0,400
0,3 2,7 7,1 18,9 30,0 100,9 0,901 0,300
0,2 2,8 7,4 19,6 31,0 104,6 0,934 0,200
0,1 2,9 7,7 20.3 32,0 108,3 0,967 0,100
0,0 3,0 8,0 21,0 33,0 112,0 1,00 0,000
Поясним порядок заполнения таблицы 3:
— в первом столбце с шагом 0,1 указаны значения функций принадлежности нечётких значений эффектив-ностей спецсредств;
— в столбцах со второго по пятый указаны значения эффективностей спецсредств, соответствующие значениям функций принадлежности из первого столбца
Для расчётов используется формула:
(х) = (е^ - х)/ (ег - Ы),
откуда
х = ег- ^ (х) б - Ы).
Отметим, что каждому значению функции принадлежности, не равному единице, соответствуют два значения эффективности — х. Поскольку нас интересует максимальная эффективность, то мы в расчётах из этих двух значений используем большее;
— шестой столбец заполняется в результате решения задачи о ранце с полезностями, равными эффективно-стям из соответствующей строки 2 — 5 столбцов; указывается максимальное значение суммарной эффективности при соответствующих эффективностях спецсредств;
— данные седьмого столбца равны отношению соответствующего числа из шестого столбца к максимальной суммарной эффективности, полученной при максимальных значениях эффективности (см. число в нижней строке шестого столбца);
— в клетках восьмого столбца указывается минимальное из чисел рассматриваемой строки, стоящих в первом и седьмом столбцах.
Максимальное значение функции принадлежности нечёткого решения равно 0,741 (отмечено звездочкой), оно получается при значениях эффективности должностей, равных соответственно 2,2, 5,6, 15,4, 25,0.
В табл. 4 указаны оптимальные планы задач по оснащению оперативной группы спецсредствами при соответствующих значениях эффективностей спецсредств. Из неё видно, что при полученных оптимальных эффективностях необходимо приобрести одно спецсредство первого вида, два третьего и два четвертого. При этом суммарная эффективность спецсредств равна 83 усл. ед.
Сформулированные задачи позволяют представить подход к выработке решений в условиях осложнения оперативной обстановки на основе теории нечётких множеств и нечёткой логики в случае, когда варианты
решений характеризуются оперативным и экономическим показателями эффективности.
В процессе принятия решения часто приходится решать задачу по выбору наилучшего способа действий из всех возможных [15]. Если эффективность варианта применения сил и средств полиции оценивается с помощью одного количественного показателя — критерия эффективности, то решение указанной задачи хоть и может оказаться аналитически весьма сложным (даже неразрешимым), но в принципе ход ее решения понятен — надо выбрать вариант, для которого значение используемого показателя эффективности максимально (минимально). В случае же нескольких критериев эффективности становится неопределённым само понятие оптимальности, неясно, какой вариант считать самым хорошим. Необходимо отметить, что иногда перед принятием того или иного решения бывает полезно провести многомерный математико-статистический анализ исходных данных задачи [16]. Одним из подходов для решения этой задачи [9; 13] основан на том, что с помощью некоторой функции к переменных осуществляется свертка векторного критерия и переход к задаче с одним критерием. Существуют разные способы построения свёрток, мы в статье хотим предложить метод, основанной на теории нечётких множеств и нечёткой логике. Для простоты ограничимся случаем двух частных критериев. Заметим, что эта ситуация очень важна для принятия решений, связанных с ведением оперативных действий полиции, их подготовкой и планированием. Здесь должностное лицо, вырабатывающее решение, стремится к максимизации оперативного критерия, стремясь при этом уменьшить значение экономического критерия. Понятно, что эти требования противоречивы, что создает трудности в процессе принятия решения.
Таблица 4.
Оптимальные планы
Функция принадлежности Число ирис спецс бретаемых редств Суммарная максимальная эффективность
1 2 3 4
1,0 1 0 2 2 76,0
0,9 1 0 2 2 79,5
0,8 1 0 2 2 83,0
0,7 1 0 2 2 86,5
0,6 1 0 2 2 90,0
0,5 0 2 3 1 93,5
0,4 0 2 3 1 97,2
0,3 0 2 3 1 100,9
0,3 0 2 3 1 104,6
0,1 0 2 3 1 108,3
0,0 0 2 3 1 112,0
Остановимся на получении, в рамках указанных выше проблемных ситуаций, оценки качества вырабатываемого решения. Если такие оценки получены для всех возможных вариантов, то для выбора наилучшего из них надо решить задачу с одним критерием.
При решении задач по созданию временных формирований, ведущих оперативную работу (в дальнейшем — формирований), естественно возникает вопрос о дополнительных финансовых затратах, например, на спецоборудование. Результатом деятельности указанного формирования является число выполненных оперативных задач, но оно зависит от размеров финансирования, которое является ограниченным, т. к. у финансовой службы существует и другие статьи расходов. Поэтому, по нашему мнению, разработка методов решения задачи по определению качества действий указанных формирований при заданном уровне финансирования является актуальной.
В качестве входных лингвистических переменных рассмотрим:
- «служебную эффективность» с термами — слабая, приемлемая, высокая;
- «экономическая эффективность» с термами — дешево, не очень дорого, дорого, очень дорого.
Пусть в зависимости от состава формирований финансирование может изменяться от минимального значения А до максимального значения В. Переменную «экономическая эффективность» будем характеризовать значением отношения разности между планируемыми и минимальными затратами (А) к разности
В-А.
Служебную эффективность будем характеризовать
процентом выполненных оперативных задач. Универсальным множеством для переменной «служебная эффективность» является отрезок [0, 100], для переменной «экономическая эффективность» — отрезок [А, В].
Пусть, например, входными лингвистическими переменными являются [14]:
- «оперативная эффективность» с термами — низкая, средняя, высокая;
- «экономическая эффективность» с термами — дёшево, не очень дорого, дорого, очень дорого.
Пусть в зависимости от принимаемых решений расходы могут изменяться от минимального значения А до
максимального значения В. Тогда расходы, связанные
с конкретным решением, будут равны (1-4) А + 5В,
где 8— некоторое число от нуля до единицы. Это Сбудем использовать в качестве критерия «экономическая эффективность».
Оперативную эффективность будем характеризовать вероятностью выполнения задачи Р. Будем предполагать, что эта вероятность лежит в пределах от 0,5 до 0,98.
Для экономической эффективности универсальным множеством является отрезок [0; 1], для оперативной — отрезок [0,5; 0,98].
Выходная лингвистическая переменная «качество решения» с термами — неудовлетворительное, удовлетворительное, хорошее, отличное. Для количественной оценки будем использовать четырёхбалльную систему: два, три, четыре, пять.
Пусть графики функций принадлежности термов указанных лингвистических переменных имеют вид, представленный на рис. 4 - 6.
0.25 0.5 0.6 0.75 1 «
Рис. 4. Лингвистическая переменная «экономическая эффективность»
0,74 0,8В 0,0 0,98 1,0 Р
Рис. 5. Лингвистическая переменная «оперативная эффективность»
— 171 —
3 4 5
Рис. 6. Выходная лингвистическая переменная
Для использования нечёткого логического вывода надо задать базу знаний — таблицу нечётких правил вывода (табл. 5):
Таблица 5.
Возможные сочетания выборов принимающего решение
Очень дорого Дорого Не очень дорого Дешево
Ai A2 As A4
Высокая Bj 2 3 4 5
Средняя B2 2 2 2 4
Низкая Вз 2 2 2 2
Если, например, принимается решение с экономической эффективностью «дорого», а оперативной — «высокая», то по табл. 5 находим, что качество этого решения имеет оценку 3.
Используя подход Мамдани [14] при значениях оперативной и экономической эффективности для рассматриваемого варианта, равных соответственно 0,9 и 0,6 (рис. 4 и 5), и используя метод центра тяжести, получаем оценку принимаемого решения, равную трём.
Список литературы:
1. Zadeh, L. Fuzzy sets II Information and Control. — 1965. — Vol. 8. — 353 p.
2. Кофман, A. Введение в теорию нечетких множеств. — M.: Радио и связь, 1982. — 429 с.
3. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / под ред. Д.А. Поспелова. — М.: Наука, Гл. ред.физ.-мат. лит., 1986. —312 с. — (Проблемы искусственного интеллекта).
4. Яхъяева, Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети. — М.: Бином, 2006. — 315 с.
5. Черных, А.К., Козлова, И.В. Подход к моделированию системы управления материально-техническим обеспечением сил и средств МЧС России в условиях чрезвычайных ситуаций регионального характера II Вестник Санкт-Петербургского университета Государственной противопожарной службы МЧС России. 2015. № 2. С. 65-70.
6. Черных, А.К., Козлова, И.В., Вилков, ВБ. Вопросы прогнозирования материально-технического обеспечения с использованием нечётких математических моделей II Проблемы управления рисками в техносфере. — 2015. — № 4 (36). - С. 107-117.
7. Вилков, В.Б., Козлова, И.В. Прогнозирование оптимальных вариантов подвоза материально-технических средств в условиях чрезвычайных ситуаций регионального характера на основе теории нечётких множеств II Природные и техногенные риски. — 2015. — №3. — С. 10-17.
8. Кунтурова, Н.Б., Яковлева, Н.А. Создание и педагогические условия использования электронных средств обучения математическим дисциплинам в образовательных организациях силовых структур II Вестник Санкт-Петербургского университета МВД России. — 2016. — № 4 (72). — С. 163—168.
9. Вилков, В.Б. и др. Основы математического моделирования. — СПб.: ВАТТ, 1996. — 272 с.
10. Примакин, А.И., Черных, А.К., Яковлева, Н.А. Применение методов математического моделирования для оптимизации распределения сил и средств полиции при осложнении оперативной обстановки II Вестник Санкт-Петербургского университета МВД России. — 2015. — № 2 (66). — С. 148—152.
11. Zadeh, L.H., Bellman, R.E. Decition-making in a fuzzy environment II Managem.Sci. — 1970. — Vol. 17. — P. 141— 164.
12. Современное состояние теории исследования операций / под ред. Н.Н. Моисеева. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979, — 464 с.
13. Кини, Р., Райфа, X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. — М: Радио и связь, 1981. — 560 с.
14. Вилков, В.Б., Черных, А.К., Гарькушев, А.Ю., Сазыкин, А.М. Оценка качества решений на применение внутренних войск на основе многокритериальной оптимизации II Вопросы оборонной техники. — Сер. 16: Технические средства противодействия терроризму. 2016. № 1-2 (91-92). С. 43-50.
15. Большакова, Л.В., Примакин, А.И., Яковлева, Н. А. Теория принятия решений в задачах обеспечения информационной безопасности: материалы IX Санкт-Петербургской межрегиональной конференции «ИБРР» 28-30 октября 2015 г. — СПб.: СПОИСУ, 2015.
16. Большакова, Л.В., Яковлева, Н.А. Современные математико-статистические методы обработки информации в научной и практической работе II Проблемы современной науки и образования. 2016. № 7 (49). С. 49-52.
17. Большакова, Л.В., Яковлева, Н.А. Многомерный математико-статистический анализ в научно-практических исследованиях II Современные тенденции развития науки и технологий. 2016. № 3-1. С. 8-11.
© Вилков В.Б., Большакова Л.В., Черных А.К., Яковлева Н.А., 2017
