14ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ФЛУКТУАЦИОННОГО АНАЛИЗА К НЕСТАЦИОНАРНЫМ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИМ ВРЕМЕННЫМ
РЯДАМ
А.А. Короновский (мл.) Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского E-mail: alexander.koronovskiy@gmail.com
Аннотация: Многие процессы в динамике природных систем демонстрируют дальние корреляции, описываемые степенной зависимостью. Исследование таких корреляций часто используется для понимания особенностей динамики систем, вызванных переменными внешними условиями или переходами между различными типами сложной динамики. Настоящая работа посвящена рассмотрению методов флуктуационного анализа, которые представляют собой эффективные инструменты анализа динамики физиологических систем по регистрируемым экспериментальным данным.
Ключевые слова: флуктуационный анализ, дальние корреляции, мультифрактальный спектр, физиологические системы
Метод флуктуационного анализа (detrended fluctuation analysis, DFA), первоначально предложенный в работах [1, 2], широко используется для анализа сигналов с меняющимися во времени характеристиками в условиях, когда привлечение стандартного корреляционного анализа не может быть осуществлено. Метод DFA базируется на идеологии обобщенной модели одномерных случайных блужданий.
На первом шаге алгоритма временной ряд приводится к нулевому среднему уровню, и осуществляется построение профиля (случайного блуждания)
где X - среднее значение X
Следующий шаг состоит в том, чтобы разделить профиль на неперекрывающиеся сегменты одинакового размера Ь и осуществить линейную аппроксимацию профиля методом наименьших квадратов, определив уравнение прямой 2, описывающей локальный тренд в пределах одного сегмента. Далее тренд устраняется в каждом сегменте путем перехода к разности Ук — , и проводится анализ среднеквадратического отклонения от локального тренда, то есть вычисляется функция:
Такие вычисления повторяются для разных масштабов (различных размеров сегментов), чтобы получить зависимость в широком
диапазоне значений параметра Ь. Обычно с ростом Ь функция также возрастает, и линейная зависимость ^Р(Ь) a от lg Ь свидетельствует о
(1)
(2)
наличии свойства масштабной инвариантности (скейлинга), которое проявляется в степенной зависимости
F(L) - 1а. (3)
В этом случае флуктуации можно охарактеризовать показателем скейлинга а, представляющим собой наклон соответствующего линейного участка при представлении зависимости (3) в двойном логарифмическом масштабе - линии регрессии.
В рамках метода DFA отличия локальных значений стандартных отклонений, вычисленных для разных сегментов, не учитываются, хотя они могут оказывать существенное влияние на величину функции (3). Поэтому в работах [3, 4] было предложено ввести в рассмотрение дополнительную меру, которая характеризует эффекты нестационарности,
йР(Ь) = тах[Р1ос(£)] - тт[Р1ос(V)], 4)
где (Ь) - локальные среднеквадратичные отклонения профиля сигнала от аппроксимации тренда, вычисленные в пределах одного сегмента.
В качестве первого временного ряда для исследования была выбрана последовательность ЯЯ-интервалов электрокардиограммы здорового человека. ЯЯ-интервал - это показатель продолжительности сердечного цикла.
Для проверки результатов работы алгоритма было проведено сравнение с результатами, полученными ранее в работе [2].
-1.5
1.
-2.0
-3.0
о
Рис. 1. Результат применения метода ББЛ к экспериментальным данным, который соответствует ранее полученным результатам, опубликованным в статье [2].
Полученный результат подтверждает наличие самоподобия в широком диапазоне масштабов. Показатель скейлинга на временных окнах длины 10-100 точек, близкий к значению 1.5, свидетельствует о динамике сердечного ритма, находящейся в пределах нормы, что соответствует ожидаемым результатам [2].
Применённый таким образом метод DFA для диагностики патологии сердечно-сосудистой системы позволяет с хорошей точностью сопоставить полученные результаты с более сложными методами количественного анализа временных рядов.
Следующий пример физиологических временных рядов, рассмотренный в данной работе, представляет собой динамику давления жидкости в проксимальных канальцах нефронов, полученную в результате экспериментов на крысах, проводимых в институте Панума (университет Копенгагена, Дания). Изучаемые колебания являются почти периодическими в норме, но при почечной гипертонии они становятся сильно нерегулярными, демонстрируя типичные характеристики динамического хаоса.
В результате сравнительного анализа динамики нефронов нормотензивных и гипертензивных крыс были получены различные значения показателя скейлинга, свидетельствующие о возможности диагностики процесса развития почечной гипертонии (рис. 2). Показатель скейлинга, при котором возможно диагностировать почечную гипертонию, приближенно равен значению 0.8.
scaling exponent: 0.757
scaling exponent: 0.804
- F(L] — Fittine
D.D 0.5
L5 2.D 2.5 3.0
IgL
scaling exponent: 0.841
- F(U
00 0.5
1.5 2.0
IgL
Рис. 2. Примеры применения метода ББЛ к экспериментальным данным давления жидкости в проксимальных канальцах нефронов.
В качестве следующего примера были проанализированы данные экспериментов на крысах по фармакологически индуцированной гипертензии. Были рассмотрены две группы животных: в контрольном состоянии и при резком повышении периферического артериального давления, вызванном введением мезатона. Наличие защитных механизмов препятствует выраженной реакции кровеносных сосудов головного мозга, и относительная скорость церебрального кровотока сравнительно слабо
27
меняется как в венах (увеличение составляет в среднем 2-3%), так и в сети капилляров (9-11%).
Результаты расчеты показателя скейлинга а расширенного метода ЭБЛ [3, 4], представленные на рисунке 3, демонстрируют относительно слабые реакции, которые сопоставимы со статистическими погрешностями при анализе небольшой выборки (десять лабораторных животных).
Вычисление показателя скейлинга в расширенного метода ЭБЛ позволило диагностировать более выраженные изменения, которые различаются для вен и капилляров по сравнению с контрольным состоянием.
— alpha: 0.44
— alpha: 0.55
betta: 0.47
0. 8 L0 L 4 1 1 8 0 2 2 2.4
а) б)
Рис. 3. Результаты расчета показателей скейлинга а и в для контрольного состояния (а) и при резком повышении артериального давления (б)
Полученные результаты свидетельствуют о том, что привлечение дополнительной характеристики в рамках расширенного метода DFA позволяет улучшить возможности диагностики структурных изменений динамики при изменении условий функционирования организма. Рассмотрена модификация метода DFA, основанная на расчете разности локальных значений стандартных отклонений, вычисленных для разных сегментов.
Вычисление показателя скейлинга расширенного метода DFA позволило диагностировать более выраженные изменения, которые различаются для вен и капилляров по сравнению с контрольным состоянием. Проведенное исследование динамики церебральных кровеносных сосудов демонстрирует преимущества расширенного метода DFA. Этот подход может применяться для исследования структуры нестационарных процессов в различных областях науки и техники.
Библиографический список
1. Peng C.-K., Buldyrev S.V., Havlin S. et al. Mosaic organization of DNA nucleotides // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. N. 2. P. 1685-1689.
2. Peng C.-K., Havlin S., Stanley H.E. et al. Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstionary heartbeat time series // Chaos. 1995. V. 5. N. 1. P. 82-87.
3. Pavlov A.N., Abdurashitov A.S., Koronovskii Jr. A.A. et al. Detrended fluctuation analysis of cerebrovascular responses to abrupt changes in peripheral arterial pressure in rats // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2020. V. 85. P. 105232.
4. Pavlov A.N., Dubrovsky A.I., Koronovskii Jr. A.A. et al. Extended detrended fluctuation analysis of electroencephalograms signals during sleep and the opening of the blood-brain barrier // Chaos. 2020. V. 30. P. 073138.
