Научная статья на тему 'Применение методов эконометрического анализа данных для идентификации и датирования «Пузырей» на финансовых рынках'

Применение методов эконометрического анализа данных для идентификации и датирования «Пузырей» на финансовых рынках Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

CC BY
326
75
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
РАЦИОНАЛЬНЫЙ ПУЗЫРЬ / РАЗНОСТНО-СТАЦИОНАРНЫЙ ПРОЦЕСС / ВЗРЫВНОЙ ПРОЦЕСС / ТЕСТ ДИКИ ФУЛЛЕРА НА ЕДИНИЧНЫЙ КОРЕНЬ / АЛГОРИТМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ / RATIONAL BUBBLE / DIFFERENCE-STATIONARY PROCESS / THE EXPLOSIVE PROCESS / DICKEY - FULLER UNIT ROOT TEST / HYPOTHESES SEQUENTIAL TESTING ALGORITHM

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Гребенюк Елена Алексеевна, Малинкина Антонина Валерьевна

Рассмотрен подход к определению и датированию «пузырей», основанный на обнаружении изменений типов случайных процессов цен и дивидендов, и предложен соответствующий алгоритм.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Гребенюк Елена Алексеевна, Малинкина Антонина Валерьевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The paper considers the new approach to identification and dating timeline of financial bubbles with use of econometric methods of time series analysis. A new approach to identification and dating of bubbles based on detection of change of price and dividend processes types is proposed. The developed algorithm is based on application of sequential analysis.

Текст научной работы на тему «Применение методов эконометрического анализа данных для идентификации и датирования «Пузырей» на финансовых рынках»

УДК 519.237.5

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ДАТИРОВАНИЯ «ПУЗЫРЕЙ» НА ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ

Е.А. Гребенюк, A.B. Малинкина

Рассмотрен подход к определению и датированию «пузырей», основанный на обнаружении изменений типов случайных процессов цен и дивидендов, и предложен соответствующий алгоритм.

Ключевые слова: рациональный пузырь, разностно-стационарный процесс, взрывной процесс, тест Дики — Фуллерана на единичный корень, алгоритмы последовательной проверки гипотез.

ВВЕДЕНИЕ

Непрерывный рост цен на финансовых рынках, включая рынки ценных бумаг и рынки недвижимости, время от времени приводит к предположению о возможном появлении «пузыря» на финансовом рынке. Под «пузырем» понимается ситуация, когда разница между рыночной и реальной ценой объекта неоправданно завышена. Причем эта проблема касается не одной или нескольких стран, а широкого перечня промышленных стран, включая страны Европы, США, Японию и др. Озабоченность данным вопросом оправдана, поскольку неадекватное повышение цен на финансовых рынках напрямую влияет на различные аспекты экономики в отдельной стране, а также на мировую экономику в целом. Своевременное выявление факта наличия «пузыря», а также определение дат его возникновения и окончания поможет аналитикам финансового рынка сделать верные прогнозы относительно возникшей экономической ситуации и своевременно выработать комплекс предупредительных мер, позволяющих предотвратить экономический кризис или смягчить его последствия.

Поэтому в последнее время все большее число исследователей работают в направлении разработки эффективных эконометрических методов идентификации «пузырей» и их датирования [1, 2]. Многообразие используемых моделей и тестов приводит к отсутствию какого-либо единого подхода к задаче идентификации «пузырей».

В настоящей статье рассматривается подход к идентификации «пузырей» и их датированию, основанный на обнаружении структурных изменений свойств цен и дивидендов, предлагается соответствующий метод идентификации и датирования «пузырей», основанный на применении методов последовательного обнаружения изменений свойств случайных процессов [3], и проводится его сравнение с известными ранее методами.

1. МОДЕЛИ РАЦИОНАЛЬНЫХ «ПУЗЫРЕЙ»

Отправной точкой анализа и определения рациональных пузырей в большом числе ранних работ служит модель изменения во времени биржевой цены вида [4]:

Pt =

E( Dt + ! + P + ! )

1 + R

(1)

где Е — условное математическое ожидание относительно информации, имеющейся в момент времени ? относительно всех прошлых значений цен и дивидендов, Р, — реальная биржевая цена (без дивидендов), — реальные дивиденды, полученные в интервале (1 — 1, ?], R — ставка дисконта.

Уравнение (1) рекурсивной подстановкой ЕДЕ, + ДХ + х)] = Е(Х{ + х) приводится к виду:

P = lim

* E t( Dt+i) + E t( Pt+k) kI • i (1 + R)' (1 + R)k

(2)

В уравнении (2) в явном виде выделены две составляющие актива: первое слагаемое — сумма дисконтированных будущих дивидендов, второе — ожидаемая стоимость продажи актива в будущем на k периодов вперед. При анализе динамики цен выделяют:

р = * Et( О, + ¡)

' ГХх (1 + Щ1

(2а)

— часть цены, определяемую фундаментальными факторами, которая представляет собой ожидаемую текущую стоимость будущего потока дивидендов, полученных от актива, и

В, = Иш

к ^ а

Е,( Р,+*) (1 + Я )к

(2б)

— «пузырь»-составляющую. Рациональный «пузырь» представляет собой отклонение рыночной цены от фундаментальной:

Иш

Е,( Р,+*)

В, = — к

к(1 + Я)к

Равенство предела (2б) нулю называется условием трансверсальности: если бы у инвестора, действующего в долгосрочной перспективе, была возможность продать актив по цене, большей, чем сумма дисконтированных дивидендов, что соответствует отличию от нуля рассматриваемого предела, то инвестор использовал бы эту возможность и получил дополнительный доход. В этом случае другие инвесторы на рынке также захотели бы продать этот актив, и его цена упала бы до фундаментального уровня.

Если условие трансверсальности не выполняется, то стоимость актива в рамках рассматриваемой модели представляет собой сумму фундаментальной и «пузырь» — составляющих: Р, = Ft + В,, где Ft описывается уравнением (2а), а составляющая В, удовлетворяет уравнению

(1 + Я)В, - Е,(В, + х) = 0.

(3)

Любое решение уравнения (3), отличное от нуля при всех t, представляет собой рациональный «пузырь».

Рассмотрим теперь некоторые свойства временных рядов финансовых процессов, которые потребуются для анализа существования «пузырей».

Большинство финансовых и экономических показателей описывается нестационарными временными рядами. На множестве нестационарных экономических и финансовых временных рядов обычно выделяют два класса [5]: разностно-стаци-

онарные и тренд-стационарные. Тренд-стационарными называются процессы, стационарные относительно некоторого детерминированного тренда, например, линейного, квадратичного, экспоненциального и др., к этому же классу относят и стационарные процессы, детерминированный тренд которых имеет нулевой наклон. Разностно-стаци-онарными называют процессы, которые: —не являются тренд-стационарными; — приводятся к стационарным последовательным взятием разностей.

Порядок разности, необходимый для получения стационарного ряда, называется порядком интеграции процесса. Если процесс стационарный, то его называют интегрированным нулевого порядка и обозначают 1(0), если нестационарный ряд у, не является тренд-стационарным и становится стационарным после взятия разностей первого порядка, то процесс называют интегрированным первого порядка и обозначают 1(1). Ряды реальных финансовых и макроэкономических показателей редко имеют порядок интеграции больше двух. Однако, как показали исследования таких явлений как финансовые «пузыри», существуют периоды, в которые отдельные ряды не могут быть приведены к стационарным взятием разностей. Процессы в такие периоды называют «взрывными». Приведем формальные определения.

Пусть процесс у, описывается моделью авторегрессии порядка р:

У, = рхУ, - х + ... + ррУ, - р + ^

(4)

тогда тождественными преобразованиями его можно привести к виду:

р - х

ДУ, = ГУ, - х + X У/ДУ, -/ + ^ 1 = х

(4а)

где у = вх + ... + вр - 1, Ух = ~(Р2 + ... + Рр), У2 = = -(Рз + ... + Рр), ..., Ур- х = -рр, ц, — белый шум. Если процесс разностей ДУ,, — стационарный, то тип процесса У, определяется значениями коэффициента у в модели (4а): если у < 0, то процесс является стационарным, если у = 0 — разностно-ста-ционарным или интегрированным первого порядка, если у > 0, то процесс — «взрывной». Уравнение (4) является уравнением стационарного процесса, если все корни его характеристического уравнения

1 - вZ- ... - р = 0

(5)

лежат вне единичной окружности. Если в представлении (4а) у = 0, то характеристическое уравнение (5) имеет, по крайней мере, один корень на

единичной окружности. Поэтому разностно-ста-ционарный процесс называют процессом с единичным корнем.

Из уравнения (4а) следует:

— реальный взрывной процесс не может оставаться взрывным бесконечно долго, так как иначе цена его станет бесконечно большой;

— взрывной процесс не может быть приведен к стационарному последовательным взятием разностей.

Из уравнения (3) следует, что процесс В, нестационарный и «взрывной» в силу того, что коэффициент при В, больше единицы. Так как «пузырь» представляет собой взрывной процесс, то в реальности он не может существовать бесконечно долго, поэтому для описания «пузырей» были разработаны модели, описывающие окончание или схлопывание «пузыря». Наиболее известна модель пузыря, предложенная в работе [6]:

В, + 1 =

где б

_ Гп 1 (1 + R)В, + б, + 1 с вероятностью п, б, + 1 с вероятностью 1 - п,

... — последовательность одинаково

распределенных независимых случайных величин с нулевым средним, пузырь в каждый момент времени t продолжается с вероятностью п или сжимается (схлопывается) с вероятностью 1 — п.

2. МЕТОДЫ ОБНАРУЖЕНИЯ «ПУЗЫРЕЙ»

2.1. Общий подход.

Проверка изменений типов рядов цен и дивидендов

В основе одного из подходов к обнаружению и датированию «пузырей» лежит проверка типов (стационарный, разностно-стационарный, взрывной) рядов цен и дивидендов. Если процесс изменения цен становится «взрывным», а процесс изменения дивидендов остается стационарным или разностно-стационарным, то на рынке возникает пузырь.

Уравнение (1), которое описывает изменение цен в предположении о постоянной ставке дисконта, мало соответствует реальности. Если допустить, что ставка дисконта изменяется во времени времени — R, + 1, то исходное уравнение цены (1) принимает вид:

=

_ Е,( Б, + 1 + Р, + 1)

1 + R

(6)

Соотношение между ценами и дивидендами в отсутствии «пузыря» при изменяющейся во времени ставке дисконта имеет вид [7]:

Б,

= Е

^ У

I п л-+

\к = 1

Б

,+У

к\ Б,

(7)

, +1

где обозначения совпадают с обозначениями (1). Из выражения (7) следует [7], что отношение цен и дивидендов является стационарным, если на рынке отсутствует пузырь, а ставка дисконта и дивиденды дивиденды — стационарны. Если на рынке присутствует «пузырь», то процесс изменения цен в силу уравнения (3) — «взрывной», независимо от того, является ли процесс изменения дивидендов стационарным или разностно-стационар-ным. Для определения наличия «пузыря», а также дат его возникновения и «схлопывания», нужно определить участки процесса (7), на которых процесс «взрывной». Обнаруженные особенности отношения цен и дивидендов послужили причиной того, что именно оно часто используется для анализа наличия пузырей. В более ранних работах вместо отношения уровней (7) использовалась аппроксимация логарифмов цен и дивидендов, предложенная в работе [8]. В отсутствие пузыря логарифм отношения цен и дивидендов является стационарным, при возникновении пузыря, как было показано в работе [9], этот процесс становится разностно-стационарным. Алгоритм обнаружения пузырей был основан на применении теста Ди-ки-Фуллера [5], проверяющего наличие в процессе единичного корня. Для реализации теста ряд описывается уравнением вида (4а) и выполняется проверка гипотезы: Н0: у = 0 (процесс разностно-ста-ционарный) против альтернативной Н1: у < 0 (процесс стационарный).

Однако:

— исследования, проведенные Эвансом [10], показали, что при наличии «схлопывающихся» пузырей тест на единичный корень может отвергнуть нулевую гипотезу, «пропустив» наличие пузырей;

— как показали более поздние эмпирические исследования [11, 12] свойств финансовых активов, соотношение цен и дивидендов крупных биржевых индексов в отсутствие «пузырь»-составля-ющей не является ни чисто стационарным, ни интегрированным первого порядка процессом, а меняет свои свойства от разностно-стационарного процесса до стационарного и наоборот.

Работы Филлипса и соавторов [1, 13, 14] по исследованию свойств взрывных процессов и соответствующие алгоритмы определения участков процесса взрывного типа положили начало новому направлению в разработке алгоритмов определе-

0

52

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 5 • 2014

ния пузырей, в которых процедуры обнаружения взрывных свойств процесса и определения моментов возникновения и изменения этих свойств являются ключевыми.

Тесты на обнаружение изменений свойств случайных процессов подразделяются на два больших класса: обнаружение изменений в оценках параметров анализируемого процесса и обнаружение изменений в свойствах распределений, описывающих процессы. Первый подход был применен в работах [1, 13, 14], второй положен в основу алгоритма, предложенного в настоящей статье.

2.2. Подход Филлипса и Ву. Обнаружение изменений в параметрах модели процесса

Пусть анализируемый процесс описывается моделью авторегрессии вида (5а). Метод, предложенный в работах [1, 13, 14], основан на оценивании параметров регрессии на последовательно расширяющейся выборке с целью определения моментов изменения коэффициента у в уравнении (4а) до значимой положительной величины при возникновении «пузыря» и от положительной величины до значения у < 0 при его схлопывании.

В качестве начального интервала работы алгоритма выбирается интервал т0 минимальной длины, необходимой для получения оценок коэфици-ентов авторегрессионной модели (4а), на котором он не проявляет взрывного поведения, и выполняется оценивание модели.

После получения оценки коэффициента у оценивается ее значимость: вычисляется стандартная ^статистика, которая сравнивается с соответствующим критическим значением критерия Дики — Фуллера, и, если эта статистика в какой-то момент времени превосходит критическое значение, то процесс определяется как взрывной. Затем к анализируемой выборке добавляется следующее наблюдение, и процедура повторяется до конца выборки. В результате получают набор ^статистик AОF0, AОFх, ..., AОFк, где к + 1 — число оценок у, AОFк соответствует ^статистике коэффициента у, вычисленной для полной выборки. Дата возникновения «пузыря» определяется по результатам расчета AОF статистик:

Ге = inf{s: ADFs > G (s)},

s > 0 N

(8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где йа (Б) — правостороннее критическое значение AОFs, соответствующее уровню значимости аж. Дата окончания «пузыря» определяется как

первая точка после момента времени г + 81п(Г), в

которой ADF статистика меньше критического значения, параметр 8 выбирается при настройке и зависит от объема выборки T:

rf = inf {s: ADFS > G (s)}. (9)

J s > re + 5 ln ( T) N

Предложенный тест получил название supADF-тест (SADF). Было проведено эмпирическое исследование предложенного теста, показавшее его эффективность в случае налиия одного «пузыря». Однако данный алгоритм не эффективен, когда процесс включает в себя не один, а несколько «пузырей». Поэтому было предложено обобщение предыдущего алгоритма [14] — обобщенный supADF-тест (Generalized supADF — GSADF). Данный метод также основывается на идее рекурсивного выполнения правостороннего теста на единичный корень. Однако GSADF-тест последовательно сдвигает начальную точку SADF-теста, и для каждого момента оценивания r2 выполняет SADF-тест в окнах с начальными точками r1, лежащими в интервале [0, r2 — r0]. Отметим, что GSADF-статистика представляет собой наибольшее значение ADF-теста для всех значений r1 и r2:

GSADF(r0) = sup(^ADFr

r1 e [0, r2 - r0] r2 e [r0, 1]

(10)

Критические значения правостоннего SADF- и GSADF-тестов были получены в работе [14] численным моделированием.Как показали проведенные авторами алгоритма многочисленные эксперименты, эффективность данного теста существенно зависит от того, насколько корректно используемая модель (4а) описывает анализируемый процесс, и выбора настроечных параметров. Критические значения определяются в результате моделирования и зависят от свойств процесса и объема выборки, что затрудняет практическое применение алгоритма и ограничивает его возможности для обнаружения пузырей в режиме реального времени.

3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЧАСТКОВ ВЗРЫВНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОЦЕССА МЕТОДАМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ

3.1 Обнаружение и датирование «пузырей» с помощью методов последовательного анализа

Рассмотрим метод обнаружения и датирования пузырей, основанный на алгоримах текущего обнаружения изменений типа процесса. Предлагае-

мый подход не требует построения регрессионной модели ряда, имеет достаточно простые алгоритмы настройки, позволяет обнаруживать множественные пузыри и определять даты их возниковения и схлопывания. Экспериментальные исследования показали, что он, по крайней мере, не менее эффективный, чем подход, рассмотренный в работах [13, 14].

Пусть процесс описывается уравнением (4а) и у = 0 или у < 0 до возникновения «пузыря», и у > 0 — после. Если пузырь отсутствует, то корреляция между Ду, и у, _ 1 равна нулю или отрицательна, если на рынке возникает пузырь, то корреляция между Ду, и у, _ 1 становится положительной.

Для обнаружения перехода процесса у, от интегрированного или стационарного к взрывному достаточно обнаружить изменение коэффициента корреляции от нулевого или отрицательного значения до его значимого положительного значения. И наоборот, для обнаружения перехода процесса у, от взрывного к интегрированному или стационарному проверяется изменение коэффициента корреляции от заданного положительного значения до нулевого или отрицательного. Моменты изменений коэффициента корреляции определяют даты возникновения и схлопывания пузыря.

Алгоритм обнаружения изменений коэффициента корреляции представляет собой последовательную процедуру проверки гипотез, проверяется гипотеза Н0: «плотность распределения последовательности г, _ к, г, _ к + 1, ..., г,, ... выборочных коэффициентов корреляции, вычисленных по выборкам объема N равна /о (г)», против альтернативной гипотезы Н1: «плотность распределения последовательности г, _ к, г, _ к + 1, ..., г,, ... равна /е (г) до момента ^ — к < ^ < t и равна /е (г) после», где 90 = (р0, 91 = (р1, момент ta неизвестен. В основе алгоритма лежит процедура, разработанная Пейджем [15] для обнаружения изменений случайной последовательности независимых переменных у1, у2, ..., у, , у, 1, ..., где у 1,

у2, ..., у, одинаково распределены с плотностью

2 'а

распределения /е (г), а у, , у, , ... — одинаково

0 а +1 а + 2

распределены с плотностью распределения /е , где 90, 91 — известные параметры распределения до и после изменения свойств. Момент изменения

свойств определяется как решение оптимизационной задачи:

т = Ш^т > 1:# где к — порог алгоритма,

= шах5к > к ¡>,

1 < к <,

т VI , /02(^

= 11п /2- ■

г = к -/е,( лг)

(11)

(12)

Алгоритм (11), (12) обладает оптимальными свойствами при точно известных параметрах 90 и 91 в смысле критерия минимизации средней задержки обнаружения при ограничении среднего времени до ложной тревоги Т = Еео ^|t < ta) < га, где га —

заданный интервал между ложными тревогами.

Обнаружение пузыря сводится к выполнению процедуры последовательной проверки гипотезы: Н0: р = р0 < 0 против альтернативной гипотезы

Н1: р = р1 > 0 при получении нового наблюдения1.

3.2. Алгоритм последовательного обнаружения изменения коэффициента корреляции

Статистика, используемая в алгоритме обнаружения изменения коэффициента корреляции, представляет собой логарифм отношения правдоподобия двух плотностей распределения выборочного коэффициента корреляции /ео (г), /е^ (г) для значений параметров 90 = (р0, .М), 91 = (р1, Как показано в Приложении, эта статистика имеет вид:

N - 1

„, = 1п/02 ( 1 - рЬ ( 1 - Р0г-)Л'- 3/2 х ч

5, - 1

/е1( г,)

= 1п-

3/2,, 2Ч (1 - р1г,) '(1 - Ро )

N - 1 ^ 2

1 + , р1 1 +

9 (Р1г, + 1 )2

4 (2 N - 1) 16 (2N - 1)(2N - 1)

+ ...

1+

Р 0 г t + 1 +_

4 (2 N - 1) 16 (2N - 1)(2N - 1)

9 (Р0 г, + 1)°

(13)

+ ...

где р0 и р1 — значения коэффициентов корреляции генеральной совокупности до и после изменения свойств, г, — выборочный коэффициент корреляции, вычисленный в момент времени t, N — объем

1 Выборочный коэффициент корреляции является оценкой

генерального коэффициента корреляции между двумя случайными величинами у и Ау _ 1 лишь в случае двумерного нормального закона распределения этих величин. Поэтому алгоритм может быть применен только к рядам, совместное распределение значений и первых разностей которых может быть аппроксимировано двумерным нормальным распределением.

х

>

х

54

СОЫТВОЬ БтЕМСЕБ № 5 • 2014

выборки, по которому рассчитывается выборочный коэффициент корреляции.

Теорема 1. Логарифм отношения правдоподобия выборочного коэффициента корреляциидля проверки гипотезы Н0: р = р0 < 0 против гипотезы Н1: р = р1 > 0 определяется формулой (13). Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия при условии выполнения нулевой гипотезы отрицательно, а при условии выполнения альтернативной — положительно.

Теорема 2. Логарифм отношения правдоподобия выборочного коэффициента корреляции для проверки гипотезы Н0: р = р0 > 0 против гипотезы

Н1: р = р1 < 0 определяется как ^_ 1 = —, где ^ _ 1

¿1 -1

определяется формулой (13). Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия при условии выполнения нулевой гипотезы отрицательно, а при условии выполнения альтернативной — положительно. ♦

Доказательства теорем 1 и 2 и формулы расчета математических ожиданий и значения порогов приведены в Приложении.

В силу теорем 1 и 2 будем определять моменты возникновения «пузыря» как моменты изменения t

статистики st -1 до значимой положительной величины, а моменты «схлопывания» как моменты изменения статистики st -1 до значимой отрицательной величины. Решающая функция алгоритма обнаружения изменений коэффициента корреляции, определяющая выход статистики за доверительные границы, имеет вид:

= £п = 0,

g¡ = тах{П,, g¡-1 + sut -1)}, I = 1, 2,

(14)

, г г

где п 1 — нижний порог алгоритма, sut -1 = st -1 или

г г

sut -1 = s t -1, в зависимости от того, обнаруживается ли изменение от 90 к 91 или от 91 к 90. Значения решающей функции сравниваются с порогом Нн, (определяемым по формулам, приведенным в Приложении), при превышении которого фиксируются изменение коэффициента корреляции и момент возникновения или схлопывания «пузыря»:

g+ = тах{0, g+-1 + sut -1)} > Ип.

Истинные значения коэффициентов корреляции до возникновения «пузыря», в моменты существования «пузыря» и после его схлопывания, как правило, неизвестны иизменяются во време-

ни. В отсутствие какой либо дополнительной информации о поведении процесса параметр р0 выбирается равным нижней границе доверительного интервала нулевого выборочного коэффициента корреляции, вычисляемого по выборке размера N параметр р1 — равным верхней границе этого доверительного интервала.

Алгоритм обнаружения «пузырей» алгоритмом последовательного обнаружения изменений коэффициента корреляции включает в себя следующие шаги.

Шаг 1. Задание начальных значений: положительного значения коэффициента корреляции р1, которое достигается при возникновении «пузыря», и значения коэффициента корреляции р0 до возникновения «пузыря», вычисление верхнего и нижнего порогов по формулам (П8) и (П10) — см. Приложение. Формируется признак «наличие пузыря» и полагается равным нулю.

Шаг 2. Вычисление выборочного коэффициента корреляции в скользящем окне длины N.

Шаг 3. Проверка признака «наличие пузыря», если признак равен 1 («пузырь» существует), то

вычисляется статистика -1 = 1/st -1 и ее решающая функция, значение которой сравнивается с порогом Н1г (П10), при превышении порога признак «наличие пузыря» полагают равным нулю и переходят к шагу 2. Если признак «наличие пузыря» равен 0, то переходят к шагу 4.

Шаг 4. Вычисление статистики, определяемой формулой (13), сравнение ее с верхним порогом Нк (П8),вычисление решающей функции по формуле (14). Если значение решающей функции превышает верхний порог, то признак «наличие пузыря» полагают равным 1 и переходят к шагу 2.

Заметим, что значения нижнего порога используются только для вычисления решающих функций по формуле (14), а значения верхнего порога — для определения дат возникновения и схлопыва-ния пузыря.

3.3. Сравнение качества алгоритмов обнаружения «пузырей» методами последовательного анализа и рекурсивной регрессии

Для проверки работоспособности предложенного алгоритма обнаружения множественных «пузырей» и сравнения его с методом, предложенным в работах [13, 14], рассмотрим результаты обнаружения и датирования «пузырей» для отношения цен и дивидендов фондового индекса S&P500, в корзину которого включено 500 избранных акционерных компаний США. Ежемесячные данные, собранные за период с января 1871 г. по декабрь

Таблица

Экспериментальная проверка и сравнение алгоритмов последовательного анализа и вЭДОР

Даты «пузырей» Алгоритм последовательного анализа Алгоритм

1878, июль — 1880, апрель 1885, декабрь — 1887, январь 1907, сентябрь — 1908, февраль 1917, август — 1918, апрель 1928, ноябрь — 1929, сентябрь 1945, октябрь — 1946, июнь 1954, сентябрь — 1956, апрель 1974, июль — декабрь 1986, март — 1987, сентябрь 1995, июль — 2001, август 2008, октябрь — 2009, апрель 1878, июль — 1880, апрель 1885, декабрь — 1887, январь 1907, сентябрь — 1908, май 1917, август — 1918, сентябрь 1928, ноябрь — 1929, октябрь 1946, апрель — май 1954, ноябрь — 1956, август 1974, июль — 1975, май 1986, март — 1987, сентябрь 1995, август — 2000, июль 2008, сентябрь — 2009, сентябрь 1879, октябрь — 1880, февраль 1886, ноябрь 1907, октябрь — 1907, ноябрь 1917, ноябрь — 1917, декабрь 1929, январь — 1929, сентябрь 1955, февраль — 1955, декабрь 1974, сентябрь 1986, март — 1987, август 1995, декабрь — 2001, февраль 2008, октябрь — 2009, март

2010 г., содержат 1680 значений и включают в себя значительное число кризисных событий, которым предшествуют рациональные «пузыри».

Проверка метода, предложенного в работах [13, 14], выполнялась с помощью комплекса программ разработанного авторами и представленного на сайте [16]. В комплекс программ входят исходные данные, программа для расчета критических значений GSADF-теста и программа для расчета значений GSADF статистики в каждой точке выборки. Начальный интервал для расчета модели был выбран равным 36-ти точкам. Рассчитанные критические значения статистики сравнивались с критическими значениями, моменты возникновения и схлопывания«пузыря» определялись по формулам (8) и (9) с использованием в них GSADF статистики (10).

Рассмотрим результаты экспериментальной проверки работы алгоритма. В первом столбце таблицы приведены даты кризисных событий, которые сопровождались возникновением «пузырей» на финансовых рынках, во втором — даты обнаружения и схлопывания финансовых «пузырей», обнаруженных алгоритмом кумулятивных сумм, в третьем — аналогичные даты для алгоритма GSADF.

Оценим точность датировки событий с помощью алгоритмов последовательного анализа. Оценка средней длительности события составляет по фактической оценке — 18,7 мес, по датированию алгоритмом последовательного анализа — 19,3, по алгоритму [13, 14] — 11,5 мес, запаздывание относительно фактической оценки составляет, соответственно, 9 и 26 мес.

Как следует из приведенных результатов сравнения, предложенный алгоритм обнаружения и датирования «пузырей» обнаруживает и датирует все события, определенные в первом столбце таблицы, причем датировка событий приближается к оценке, полученной экономистами. Алгоритм [13, 14] пропускает одно событие.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рассмотрены методы обнаружения и датирования «пузырей» рядов финансовых и макроэкономических показателей, основанные на анализе типов процессов изменения цен и дивидендов. Отношение цен и дивидендов в отсутствие пузыря представляет собой процесс, свойства которого могут меняться от стационарного к разностно-ста-ционарному и наоборот. При возникновении ценового «пузыря» отношение цен и дивидендов становится «взрывным». Поэтому для обнаружения «пузырей» такого типа достаточно диагностировать наличие у процесса «взрывных» свойств. Даты возникновения о «схлопывания» пузыря определяются как моменты возникновения и исчезновения «взрывных» свойств процесса отношения цен и дивидендов. Предложен алгоритм обнаружения и датирования взрывных участков процесса, основанный на обнаружении возникновения значимых корреляций между уровнями процесса и его первыми разностями. Сравнение алгоритма с известными методами показало его высокую эффективность. Алгоритм не требует построения модели процесса, а его настроечные параметры легко вычисляются.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Плотность распределения выборочного коэффициента корреляции г двумерного нормально распределенного процесса [17]

( 4) ( Ы- 1 )

^ 2 2Ч 2

/в1 (г) =

_(N - 2)( 1 - г2) (1 - р2) Г( N - 1)

Т2ПГ( N - 1/2) (1 - рхг)Ы- 3/2

х ^ Г1, 1 2 N - 1 гр 1 + 1

2 ' 2 - (П1)

где 91 = (рр N) — параметры распределения, г — значение выборочного коэффициента корреляции, р1 — значение коэффициента корреляции генеральной совокупности, N — объем выборки для расчета выборочного значения коэффициента корреляции,

Р |11 2N- 1 гр1 + =

2Р |2'2' 2 ' 2 J

= г у - 1/2 ) - {г1^ - - 2 Г1 - г ег_+1)-1/2 ^г, (П2) Г( 1/2)Г( N -1) 0 Г 2 ) '

— гипергеометрическая функция.

Доказательство теоремы 1: Разложение разложение гипергеометрической функции (П2) в степенной ряд имеет вид:

р Г1 1 2 N - 1 гр 1 + 1| = 2 11 2 '2 ' 2 ' 2

1 +

рг+ 1

+

9(рг + 1)2

+

4( 2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N + 1)

225 ( 1 + р г) 3_ +

384(2N - 1 ) ( 2 N + 1 ) ( 2 N + 3 ) .

(П3)

С учетом разложения (П3) распределение выборочного коэффициента корреляции параметрами 91 = (р1, N) может быть представлено в виде:

/в, (г) =

( 4) ( Ы- 1 )

_ 2)( 1 - г2) 2 (1 - р1) 2 Г( N - 1)

1 +

Р1г + 1

Т2Пг( N - 1/2)( 1 - р1г)Ы- 3/2 2

+

9(Р1г+ 1 У

4 (2 N - 1) 16 (2N - 1)(2N + 1) '

Логарифм отношения двух плотностей распределения /в (г), /в (г) до и после изменения свойств равен:

N - 1 2

/^ = 1п ( 1 - р1) 2 ( 1 - р0 г/- 3/2 X

/в0(г,) ^

0 /1 чЫ - 3/2,, 2. 2

(1 - Р1гг) ( 1 - Ро) X

1 + , Р1 гл+ 1 +

9(Р1 г, + 1 )2

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)

1 + , Ро '' + 1 +

9(Ро г, + 1 )2

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)

откуда статистика правдоподобия логарифма отношения двух плотностей распределения /во (г), /е (г) в каждый момент времени г определяется формулой (13).

Покажем, что математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия в случае 90 = (р0, р0 < 0, 91 = (р1, р1 > 0 при условии 9 = 90 положительно, а при условии 9 = 91 — отрицательно. По свойству логарифмической функции имеем:

-1 = 2N- 3

^ [1п(1 - р2) - 1п(1

Р0)] +

2

1п(1 - р0г,) - 1п(1 - рхгг) +

+ 1п

- 1п

1 +

р1г,

г, + 1

1 +

4 (2 N - 1) рог, + 1

+

2

9 (Р^ + 1)2

+

16( 2N - 1)(2N - 1) 9(рог, + 1 )2

+ ...

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)

+ ...

Разложим члены в приведенной формуле, включающие в себя г, в ряд:

-1

М- 1 [1п(1 - р2) - 1п(1

+

"р0гг ■

-р1г/ ■

(-рог)

( - р 1 г) 2

+

2

2 N - 3 2

- 2 N - 3

- 2

р 1 г, + 1 4( 2 N - 1)

р о г, + 1 _

4 ( 2 N - 1 ) ' 16(2N- 1)(2N- 1)

ро )] +

+

9 (Р^ + 1 )2

16( 2N - 1)(2N - 1) 9(ро г, + 1 )2

(П4)

Возьмем математическое ожидание, при условии 9 = 90 = (р0, N, от обеих частей выражения (П4), затем выполним обратное преобразование полученных рядов к логарифмам:

_ N - 1

Евп 0( -1) =

+ 1п(1

[1п(1 - р1 ) - 1п(1 2N- 3

ро )] +

2 ро )

2

1п(1 - р1р0)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+

+ 1п| 1 + р 1ро + 1 +

9(р1ро+1)2

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)

+

- 1п| 1 +

2

ро + 1

+

9(ро + 1 )2

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)

+ ... I =

N - 2 2Ч , N - 1 2Ч

-^г— 1п(1 - ро ) + —~—1п(1 - р1 ) -

- 2 N - 3

- 2

+ 1п| 1 + р 1ро + 1 +

2

1п(1 - р0р1) + 9(р1ро+1)2

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)

+ ... I -

- 1п| 1 +

2

ро + 1

9(ро + 1 )2

4 (2N - 1) 16( 2N - 1)(2 N - 1)

(П5)

х

х

2

X

X

>

X

Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия, при условии 9 = 91 = (р1, №), равно:

£01 (^-1) = ^ [1п(1 - Р2) - 1п(1 - р0)] + , 2N - 3,п ч 2N - 3,п 2ч,

+ —2~1п(1 - РоР1) - —2~1п(1 - Р1) +

+ lnl 1 +

Р2 + 1 + 9 ( Р 2 + 1 ) 2 + 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 )

2

- ln I 1 + Р о Р 1 + 1 + 9 ( Р о Р 1 + 1 )

+ ... I =

4( 2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1)

N - 2W1 2Ч N - 1 W1 2Ч , ■—ln(1 - Р1) - ——ln(1 - Ро) +

+ 2N-3 W1 )

+ —2~ln(1 - Р°Р!) -

- lnl 1 + Р 1 Ро + 1 + 9 ( Р 1 Ро + 1 )_ + ... | +

^ 4( 2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1)

+ lnl 1 +

р2 + 1 + . - . 9 ( Р2 + 1 )2, . + ... |. (П6)

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)

В правой части соотношения (П5) первые три члена отрицательные, сумма последних двух — отрицательна, так как р0, р1 имеют разные знаки, в правой части соотношения (П6) первые три члена положительные, сумма последних двух — положительна, откуда следует заключение теоремы и формулы (13):

Ев0 (^-1) = ^ 1п(1 - Ро) +

-и N - 1,п 2. 2N - 3,п + ——1п(1 - Р1) - —2~1п(1 - Р1Ро) +

Г1 + Р 1 Р О + 1 + 9 ( Р 1 Р о + 1 )2 +

I 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 ) + 1п- < 0,

Г1 + рО + 1 + 9 ( Р 2 + 1 ) 2 +

^ 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 ) ""

E01 (st-1) = - ln(1 - р1 ) -

N-1 ln(1 - Ро) + 2NT ln(1 - Р1Р°) +

\ + Р2 + 1 + 9 ( р 2 + 1 )2 + ...

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1) + ln------------- > 0. (П7)

f 1 + Р 1 Р о + 1 + 9 ( Р 1 Р о + 1 ) +

4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1)

Из формул (П7) следует, что верхний Нк и к1 нижний пороги алгоритма могут быть определены по формулам:

hi = Ee0 (s't-1 )> hh = Ee1 (st-1).

(П8)

Доказательство теоремы 2. Из определения

~t

статистики st -1 следует, что

Ee0 (s't-1) = - \ (st-1 X

Ee1 (st-1) = -Ee0 (st-1).

(П9)

Из формул (П9) следует, что верхний Нк и к1 нижний пороги алгоритма могут быть определены соотношениями:

hh = -Ee0 (st-1), h, = -Ee1 (t-1).

(П10)

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

Теорема доказана.

1. Phillips C.B., Wu Y., Yu J. Explosive behavior in the 1990s NASDAQ: When did exuberance escalate asset values? // International economic review. — 2011. — Vol. 52, N 1.

2. Дробышевский С. Анализ возможности возникновения «пузыря» на российском рынке недвижимости // Институт экономики переходного периода. — М., 2008. — C. 99.

3. Basseville M. and Nikiforov I.V. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application. Prent. Hall. — URL: www.irisa.fr/ sigma2/kniga, 1993 (дата обращения 28.08.2014).

4. Gurkaynak R.S. Econometric tests of asset price bubbles: Taking stock // Jounal of Economic Surveys. — 2008. — Vol. 22. — Р. 166—186.

5. Hamilton J.D. Time Series Analysis. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.

6. Blanchard OJ, and Watson M.W. Bubbles, Rational Expectations, and Financial Markets / In P. Wachtel (ed.), Crisis in the Economic and Financial Structure. — 1982. — P. 295—315.

7. Cochrain G.H. Explaining the variance of price-dividend ratios // Review of Financial Studies. — 1992.—Vol. 5, N 2.— P. 243—280.

8. Campbell J.Y., Shiller R.J. Stock Prices, Earnings and Expected Dividends // The Journal of Finance. — 1988. — Vol. 43, N 3. — P. 661—676.

9. Craine R. Rational Bubbles: A Test // Journal of Economic Dynamics and Control. — 1993. — Vol. 17. — P. 829—846.

10. Evans G.W. Pitfalls in Testing for Explosive Bubbles in Asset Prices // American Economic Review. — 1991. — Vol. 81. — P. 922—930.

11. Park C. When does the dividend — price ratio predict stock returns? // Journal of Empirical Finance. — 2010. — Vol. 17. — P. 81—101.

12. Leybourne S., Kim T.-H, Smith V., and Newbold P. Tests for a change in persistence against the null of difference-stationarity // Econometrics Journal. — 2003. — N 6. — P. 291—311.

13. Phillips P.C.B., Yu J. Dating the timeline of financial bubbles during the subprime crisis // Quantitative Economics, Econometric Society. — 2011. — Vol. 2 (3). — P. 455—491.

14. Phillips P^.B., Shi S., and Yu J. Specification sensitivity in right-tailed unit root testing for explosive behavior // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. — 2013. — Vol. 76, iss. 3.

15. Page E.S. Continuous insrection schemes // Biometrika. — 1954. — Vol. 41. — P. 100—115.

16. URL:https://sites.google.com/site/shupingshi/PrgGSADF.zip? attredirects=0\&d=1 (дата обращения 28. 08. 2004).

17. Kenney J.F., and Keeping E.S. Mathematics of Statistics. Pt. 2. — 2nd ed. — Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Р.М. Нижегородцевым.

Гребенюк Елена Алексеевна — д-р техн. наук, вед. науч. сотрудник,

И lngrebenuk@rambler.ru, ® (495) 334-46-40,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,

г. Москва,

Малинкина Антонина Валерьевна — гл. специалист,

ОАО «Банк Москвы», И malinkinaav@gmail.com.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.