УДК 519.237.5
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ДАТИРОВАНИЯ «ПУЗЫРЕЙ» НА ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ
Е.А. Гребенюк, A.B. Малинкина
Рассмотрен подход к определению и датированию «пузырей», основанный на обнаружении изменений типов случайных процессов цен и дивидендов, и предложен соответствующий алгоритм.
Ключевые слова: рациональный пузырь, разностно-стационарный процесс, взрывной процесс, тест Дики — Фуллерана на единичный корень, алгоритмы последовательной проверки гипотез.
ВВЕДЕНИЕ
Непрерывный рост цен на финансовых рынках, включая рынки ценных бумаг и рынки недвижимости, время от времени приводит к предположению о возможном появлении «пузыря» на финансовом рынке. Под «пузырем» понимается ситуация, когда разница между рыночной и реальной ценой объекта неоправданно завышена. Причем эта проблема касается не одной или нескольких стран, а широкого перечня промышленных стран, включая страны Европы, США, Японию и др. Озабоченность данным вопросом оправдана, поскольку неадекватное повышение цен на финансовых рынках напрямую влияет на различные аспекты экономики в отдельной стране, а также на мировую экономику в целом. Своевременное выявление факта наличия «пузыря», а также определение дат его возникновения и окончания поможет аналитикам финансового рынка сделать верные прогнозы относительно возникшей экономической ситуации и своевременно выработать комплекс предупредительных мер, позволяющих предотвратить экономический кризис или смягчить его последствия.
Поэтому в последнее время все большее число исследователей работают в направлении разработки эффективных эконометрических методов идентификации «пузырей» и их датирования [1, 2]. Многообразие используемых моделей и тестов приводит к отсутствию какого-либо единого подхода к задаче идентификации «пузырей».
В настоящей статье рассматривается подход к идентификации «пузырей» и их датированию, основанный на обнаружении структурных изменений свойств цен и дивидендов, предлагается соответствующий метод идентификации и датирования «пузырей», основанный на применении методов последовательного обнаружения изменений свойств случайных процессов [3], и проводится его сравнение с известными ранее методами.
1. МОДЕЛИ РАЦИОНАЛЬНЫХ «ПУЗЫРЕЙ»
Отправной точкой анализа и определения рациональных пузырей в большом числе ранних работ служит модель изменения во времени биржевой цены вида [4]:
Pt =
E( Dt + ! + P + ! )
1 + R
(1)
где Е — условное математическое ожидание относительно информации, имеющейся в момент времени ? относительно всех прошлых значений цен и дивидендов, Р, — реальная биржевая цена (без дивидендов), — реальные дивиденды, полученные в интервале (1 — 1, ?], R — ставка дисконта.
Уравнение (1) рекурсивной подстановкой ЕДЕ, + ДХ + х)] = Е(Х{ + х) приводится к виду:
P = lim
* E t( Dt+i) + E t( Pt+k) kI • i (1 + R)' (1 + R)k
(2)
В уравнении (2) в явном виде выделены две составляющие актива: первое слагаемое — сумма дисконтированных будущих дивидендов, второе — ожидаемая стоимость продажи актива в будущем на k периодов вперед. При анализе динамики цен выделяют:
р = * Et( О, + ¡)
' ГХх (1 + Щ1
(2а)
— часть цены, определяемую фундаментальными факторами, которая представляет собой ожидаемую текущую стоимость будущего потока дивидендов, полученных от актива, и
В, = Иш
к ^ а
Е,( Р,+*) (1 + Я )к
(2б)
— «пузырь»-составляющую. Рациональный «пузырь» представляет собой отклонение рыночной цены от фундаментальной:
Иш
Е,( Р,+*)
В, = — к
к(1 + Я)к
Равенство предела (2б) нулю называется условием трансверсальности: если бы у инвестора, действующего в долгосрочной перспективе, была возможность продать актив по цене, большей, чем сумма дисконтированных дивидендов, что соответствует отличию от нуля рассматриваемого предела, то инвестор использовал бы эту возможность и получил дополнительный доход. В этом случае другие инвесторы на рынке также захотели бы продать этот актив, и его цена упала бы до фундаментального уровня.
Если условие трансверсальности не выполняется, то стоимость актива в рамках рассматриваемой модели представляет собой сумму фундаментальной и «пузырь» — составляющих: Р, = Ft + В,, где Ft описывается уравнением (2а), а составляющая В, удовлетворяет уравнению
(1 + Я)В, - Е,(В, + х) = 0.
(3)
Любое решение уравнения (3), отличное от нуля при всех t, представляет собой рациональный «пузырь».
Рассмотрим теперь некоторые свойства временных рядов финансовых процессов, которые потребуются для анализа существования «пузырей».
Большинство финансовых и экономических показателей описывается нестационарными временными рядами. На множестве нестационарных экономических и финансовых временных рядов обычно выделяют два класса [5]: разностно-стаци-
онарные и тренд-стационарные. Тренд-стационарными называются процессы, стационарные относительно некоторого детерминированного тренда, например, линейного, квадратичного, экспоненциального и др., к этому же классу относят и стационарные процессы, детерминированный тренд которых имеет нулевой наклон. Разностно-стаци-онарными называют процессы, которые: —не являются тренд-стационарными; — приводятся к стационарным последовательным взятием разностей.
Порядок разности, необходимый для получения стационарного ряда, называется порядком интеграции процесса. Если процесс стационарный, то его называют интегрированным нулевого порядка и обозначают 1(0), если нестационарный ряд у, не является тренд-стационарным и становится стационарным после взятия разностей первого порядка, то процесс называют интегрированным первого порядка и обозначают 1(1). Ряды реальных финансовых и макроэкономических показателей редко имеют порядок интеграции больше двух. Однако, как показали исследования таких явлений как финансовые «пузыри», существуют периоды, в которые отдельные ряды не могут быть приведены к стационарным взятием разностей. Процессы в такие периоды называют «взрывными». Приведем формальные определения.
Пусть процесс у, описывается моделью авторегрессии порядка р:
У, = рхУ, - х + ... + ррУ, - р + ^
(4)
тогда тождественными преобразованиями его можно привести к виду:
р - х
ДУ, = ГУ, - х + X У/ДУ, -/ + ^ 1 = х
(4а)
где у = вх + ... + вр - 1, Ух = ~(Р2 + ... + Рр), У2 = = -(Рз + ... + Рр), ..., Ур- х = -рр, ц, — белый шум. Если процесс разностей ДУ,, — стационарный, то тип процесса У, определяется значениями коэффициента у в модели (4а): если у < 0, то процесс является стационарным, если у = 0 — разностно-ста-ционарным или интегрированным первого порядка, если у > 0, то процесс — «взрывной». Уравнение (4) является уравнением стационарного процесса, если все корни его характеристического уравнения
1 - вZ- ... - р = 0
(5)
лежат вне единичной окружности. Если в представлении (4а) у = 0, то характеристическое уравнение (5) имеет, по крайней мере, один корень на
единичной окружности. Поэтому разностно-ста-ционарный процесс называют процессом с единичным корнем.
Из уравнения (4а) следует:
— реальный взрывной процесс не может оставаться взрывным бесконечно долго, так как иначе цена его станет бесконечно большой;
— взрывной процесс не может быть приведен к стационарному последовательным взятием разностей.
Из уравнения (3) следует, что процесс В, нестационарный и «взрывной» в силу того, что коэффициент при В, больше единицы. Так как «пузырь» представляет собой взрывной процесс, то в реальности он не может существовать бесконечно долго, поэтому для описания «пузырей» были разработаны модели, описывающие окончание или схлопывание «пузыря». Наиболее известна модель пузыря, предложенная в работе [6]:
В, + 1 =
где б
_ Гп 1 (1 + R)В, + б, + 1 с вероятностью п, б, + 1 с вероятностью 1 - п,
... — последовательность одинаково
распределенных независимых случайных величин с нулевым средним, пузырь в каждый момент времени t продолжается с вероятностью п или сжимается (схлопывается) с вероятностью 1 — п.
2. МЕТОДЫ ОБНАРУЖЕНИЯ «ПУЗЫРЕЙ»
2.1. Общий подход.
Проверка изменений типов рядов цен и дивидендов
В основе одного из подходов к обнаружению и датированию «пузырей» лежит проверка типов (стационарный, разностно-стационарный, взрывной) рядов цен и дивидендов. Если процесс изменения цен становится «взрывным», а процесс изменения дивидендов остается стационарным или разностно-стационарным, то на рынке возникает пузырь.
Уравнение (1), которое описывает изменение цен в предположении о постоянной ставке дисконта, мало соответствует реальности. Если допустить, что ставка дисконта изменяется во времени времени — R, + 1, то исходное уравнение цены (1) принимает вид:
=
_ Е,( Б, + 1 + Р, + 1)
1 + R
(6)
Соотношение между ценами и дивидендами в отсутствии «пузыря» при изменяющейся во времени ставке дисконта имеет вид [7]:
Б,
= Е
^ У
I п л-+
\к = 1
Б
,+У
к\ Б,
(7)
, +1
где обозначения совпадают с обозначениями (1). Из выражения (7) следует [7], что отношение цен и дивидендов является стационарным, если на рынке отсутствует пузырь, а ставка дисконта и дивиденды дивиденды — стационарны. Если на рынке присутствует «пузырь», то процесс изменения цен в силу уравнения (3) — «взрывной», независимо от того, является ли процесс изменения дивидендов стационарным или разностно-стационар-ным. Для определения наличия «пузыря», а также дат его возникновения и «схлопывания», нужно определить участки процесса (7), на которых процесс «взрывной». Обнаруженные особенности отношения цен и дивидендов послужили причиной того, что именно оно часто используется для анализа наличия пузырей. В более ранних работах вместо отношения уровней (7) использовалась аппроксимация логарифмов цен и дивидендов, предложенная в работе [8]. В отсутствие пузыря логарифм отношения цен и дивидендов является стационарным, при возникновении пузыря, как было показано в работе [9], этот процесс становится разностно-стационарным. Алгоритм обнаружения пузырей был основан на применении теста Ди-ки-Фуллера [5], проверяющего наличие в процессе единичного корня. Для реализации теста ряд описывается уравнением вида (4а) и выполняется проверка гипотезы: Н0: у = 0 (процесс разностно-ста-ционарный) против альтернативной Н1: у < 0 (процесс стационарный).
Однако:
— исследования, проведенные Эвансом [10], показали, что при наличии «схлопывающихся» пузырей тест на единичный корень может отвергнуть нулевую гипотезу, «пропустив» наличие пузырей;
— как показали более поздние эмпирические исследования [11, 12] свойств финансовых активов, соотношение цен и дивидендов крупных биржевых индексов в отсутствие «пузырь»-составля-ющей не является ни чисто стационарным, ни интегрированным первого порядка процессом, а меняет свои свойства от разностно-стационарного процесса до стационарного и наоборот.
Работы Филлипса и соавторов [1, 13, 14] по исследованию свойств взрывных процессов и соответствующие алгоритмы определения участков процесса взрывного типа положили начало новому направлению в разработке алгоритмов определе-
0
52
СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 5 • 2014
ния пузырей, в которых процедуры обнаружения взрывных свойств процесса и определения моментов возникновения и изменения этих свойств являются ключевыми.
Тесты на обнаружение изменений свойств случайных процессов подразделяются на два больших класса: обнаружение изменений в оценках параметров анализируемого процесса и обнаружение изменений в свойствах распределений, описывающих процессы. Первый подход был применен в работах [1, 13, 14], второй положен в основу алгоритма, предложенного в настоящей статье.
2.2. Подход Филлипса и Ву. Обнаружение изменений в параметрах модели процесса
Пусть анализируемый процесс описывается моделью авторегрессии вида (5а). Метод, предложенный в работах [1, 13, 14], основан на оценивании параметров регрессии на последовательно расширяющейся выборке с целью определения моментов изменения коэффициента у в уравнении (4а) до значимой положительной величины при возникновении «пузыря» и от положительной величины до значения у < 0 при его схлопывании.
В качестве начального интервала работы алгоритма выбирается интервал т0 минимальной длины, необходимой для получения оценок коэфици-ентов авторегрессионной модели (4а), на котором он не проявляет взрывного поведения, и выполняется оценивание модели.
После получения оценки коэффициента у оценивается ее значимость: вычисляется стандартная ^статистика, которая сравнивается с соответствующим критическим значением критерия Дики — Фуллера, и, если эта статистика в какой-то момент времени превосходит критическое значение, то процесс определяется как взрывной. Затем к анализируемой выборке добавляется следующее наблюдение, и процедура повторяется до конца выборки. В результате получают набор ^статистик AОF0, AОFх, ..., AОFк, где к + 1 — число оценок у, AОFк соответствует ^статистике коэффициента у, вычисленной для полной выборки. Дата возникновения «пузыря» определяется по результатам расчета AОF статистик:
Ге = inf{s: ADFs > G (s)},
s > 0 N
(8)
где йа (Б) — правостороннее критическое значение AОFs, соответствующее уровню значимости аж. Дата окончания «пузыря» определяется как
первая точка после момента времени г + 81п(Г), в
которой ADF статистика меньше критического значения, параметр 8 выбирается при настройке и зависит от объема выборки T:
rf = inf {s: ADFS > G (s)}. (9)
J s > re + 5 ln ( T) N
Предложенный тест получил название supADF-тест (SADF). Было проведено эмпирическое исследование предложенного теста, показавшее его эффективность в случае налиия одного «пузыря». Однако данный алгоритм не эффективен, когда процесс включает в себя не один, а несколько «пузырей». Поэтому было предложено обобщение предыдущего алгоритма [14] — обобщенный supADF-тест (Generalized supADF — GSADF). Данный метод также основывается на идее рекурсивного выполнения правостороннего теста на единичный корень. Однако GSADF-тест последовательно сдвигает начальную точку SADF-теста, и для каждого момента оценивания r2 выполняет SADF-тест в окнах с начальными точками r1, лежащими в интервале [0, r2 — r0]. Отметим, что GSADF-статистика представляет собой наибольшее значение ADF-теста для всех значений r1 и r2:
GSADF(r0) = sup(^ADFr
r1 e [0, r2 - r0] r2 e [r0, 1]
(10)
Критические значения правостоннего SADF- и GSADF-тестов были получены в работе [14] численным моделированием.Как показали проведенные авторами алгоритма многочисленные эксперименты, эффективность данного теста существенно зависит от того, насколько корректно используемая модель (4а) описывает анализируемый процесс, и выбора настроечных параметров. Критические значения определяются в результате моделирования и зависят от свойств процесса и объема выборки, что затрудняет практическое применение алгоритма и ограничивает его возможности для обнаружения пузырей в режиме реального времени.
3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЧАСТКОВ ВЗРЫВНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОЦЕССА МЕТОДАМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
3.1 Обнаружение и датирование «пузырей» с помощью методов последовательного анализа
Рассмотрим метод обнаружения и датирования пузырей, основанный на алгоримах текущего обнаружения изменений типа процесса. Предлагае-
мый подход не требует построения регрессионной модели ряда, имеет достаточно простые алгоритмы настройки, позволяет обнаруживать множественные пузыри и определять даты их возниковения и схлопывания. Экспериментальные исследования показали, что он, по крайней мере, не менее эффективный, чем подход, рассмотренный в работах [13, 14].
Пусть процесс описывается уравнением (4а) и у = 0 или у < 0 до возникновения «пузыря», и у > 0 — после. Если пузырь отсутствует, то корреляция между Ду, и у, _ 1 равна нулю или отрицательна, если на рынке возникает пузырь, то корреляция между Ду, и у, _ 1 становится положительной.
Для обнаружения перехода процесса у, от интегрированного или стационарного к взрывному достаточно обнаружить изменение коэффициента корреляции от нулевого или отрицательного значения до его значимого положительного значения. И наоборот, для обнаружения перехода процесса у, от взрывного к интегрированному или стационарному проверяется изменение коэффициента корреляции от заданного положительного значения до нулевого или отрицательного. Моменты изменений коэффициента корреляции определяют даты возникновения и схлопывания пузыря.
Алгоритм обнаружения изменений коэффициента корреляции представляет собой последовательную процедуру проверки гипотез, проверяется гипотеза Н0: «плотность распределения последовательности г, _ к, г, _ к + 1, ..., г,, ... выборочных коэффициентов корреляции, вычисленных по выборкам объема N равна /о (г)», против альтернативной гипотезы Н1: «плотность распределения последовательности г, _ к, г, _ к + 1, ..., г,, ... равна /е (г) до момента ^ — к < ^ < t и равна /е (г) после», где 90 = (р0, 91 = (р1, момент ta неизвестен. В основе алгоритма лежит процедура, разработанная Пейджем [15] для обнаружения изменений случайной последовательности независимых переменных у1, у2, ..., у, , у, 1, ..., где у 1,
у2, ..., у, одинаково распределены с плотностью
2 'а
распределения /е (г), а у, , у, , ... — одинаково
0 а +1 а + 2
распределены с плотностью распределения /е , где 90, 91 — известные параметры распределения до и после изменения свойств. Момент изменения
свойств определяется как решение оптимизационной задачи:
т = Ш^т > 1:# где к — порог алгоритма,
= шах5к > к ¡>,
1 < к <,
т VI , /02(^
= 11п /2- ■
г = к -/е,( лг)
(11)
(12)
Алгоритм (11), (12) обладает оптимальными свойствами при точно известных параметрах 90 и 91 в смысле критерия минимизации средней задержки обнаружения при ограничении среднего времени до ложной тревоги Т = Еео ^|t < ta) < га, где га —
заданный интервал между ложными тревогами.
Обнаружение пузыря сводится к выполнению процедуры последовательной проверки гипотезы: Н0: р = р0 < 0 против альтернативной гипотезы
Н1: р = р1 > 0 при получении нового наблюдения1.
3.2. Алгоритм последовательного обнаружения изменения коэффициента корреляции
Статистика, используемая в алгоритме обнаружения изменения коэффициента корреляции, представляет собой логарифм отношения правдоподобия двух плотностей распределения выборочного коэффициента корреляции /ео (г), /е^ (г) для значений параметров 90 = (р0, .М), 91 = (р1, Как показано в Приложении, эта статистика имеет вид:
N - 1
„, = 1п/02 ( 1 - рЬ ( 1 - Р0г-)Л'- 3/2 х ч
5, - 1
/е1( г,)
= 1п-
3/2,, 2Ч (1 - р1г,) '(1 - Ро )
N - 1 ^ 2
1 + , р1 1 +
9 (Р1г, + 1 )2
4 (2 N - 1) 16 (2N - 1)(2N - 1)
+ ...
1+
Р 0 г t + 1 +_
4 (2 N - 1) 16 (2N - 1)(2N - 1)
9 (Р0 г, + 1)°
(13)
+ ...
где р0 и р1 — значения коэффициентов корреляции генеральной совокупности до и после изменения свойств, г, — выборочный коэффициент корреляции, вычисленный в момент времени t, N — объем
1 Выборочный коэффициент корреляции является оценкой
генерального коэффициента корреляции между двумя случайными величинами у и Ау _ 1 лишь в случае двумерного нормального закона распределения этих величин. Поэтому алгоритм может быть применен только к рядам, совместное распределение значений и первых разностей которых может быть аппроксимировано двумерным нормальным распределением.
х
>
х
54
СОЫТВОЬ БтЕМСЕБ № 5 • 2014
выборки, по которому рассчитывается выборочный коэффициент корреляции.
Теорема 1. Логарифм отношения правдоподобия выборочного коэффициента корреляциидля проверки гипотезы Н0: р = р0 < 0 против гипотезы Н1: р = р1 > 0 определяется формулой (13). Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия при условии выполнения нулевой гипотезы отрицательно, а при условии выполнения альтернативной — положительно.
Теорема 2. Логарифм отношения правдоподобия выборочного коэффициента корреляции для проверки гипотезы Н0: р = р0 > 0 против гипотезы
Н1: р = р1 < 0 определяется как ^_ 1 = —, где ^ _ 1
¿1 -1
определяется формулой (13). Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия при условии выполнения нулевой гипотезы отрицательно, а при условии выполнения альтернативной — положительно. ♦
Доказательства теорем 1 и 2 и формулы расчета математических ожиданий и значения порогов приведены в Приложении.
В силу теорем 1 и 2 будем определять моменты возникновения «пузыря» как моменты изменения t
статистики st -1 до значимой положительной величины, а моменты «схлопывания» как моменты изменения статистики st -1 до значимой отрицательной величины. Решающая функция алгоритма обнаружения изменений коэффициента корреляции, определяющая выход статистики за доверительные границы, имеет вид:
= £п = 0,
g¡ = тах{П,, g¡-1 + sut -1)}, I = 1, 2,
(14)
, г г
где п 1 — нижний порог алгоритма, sut -1 = st -1 или
г г
sut -1 = s t -1, в зависимости от того, обнаруживается ли изменение от 90 к 91 или от 91 к 90. Значения решающей функции сравниваются с порогом Нн, (определяемым по формулам, приведенным в Приложении), при превышении которого фиксируются изменение коэффициента корреляции и момент возникновения или схлопывания «пузыря»:
g+ = тах{0, g+-1 + sut -1)} > Ип.
Истинные значения коэффициентов корреляции до возникновения «пузыря», в моменты существования «пузыря» и после его схлопывания, как правило, неизвестны иизменяются во време-
ни. В отсутствие какой либо дополнительной информации о поведении процесса параметр р0 выбирается равным нижней границе доверительного интервала нулевого выборочного коэффициента корреляции, вычисляемого по выборке размера N параметр р1 — равным верхней границе этого доверительного интервала.
Алгоритм обнаружения «пузырей» алгоритмом последовательного обнаружения изменений коэффициента корреляции включает в себя следующие шаги.
Шаг 1. Задание начальных значений: положительного значения коэффициента корреляции р1, которое достигается при возникновении «пузыря», и значения коэффициента корреляции р0 до возникновения «пузыря», вычисление верхнего и нижнего порогов по формулам (П8) и (П10) — см. Приложение. Формируется признак «наличие пузыря» и полагается равным нулю.
Шаг 2. Вычисление выборочного коэффициента корреляции в скользящем окне длины N.
Шаг 3. Проверка признака «наличие пузыря», если признак равен 1 («пузырь» существует), то
вычисляется статистика -1 = 1/st -1 и ее решающая функция, значение которой сравнивается с порогом Н1г (П10), при превышении порога признак «наличие пузыря» полагают равным нулю и переходят к шагу 2. Если признак «наличие пузыря» равен 0, то переходят к шагу 4.
Шаг 4. Вычисление статистики, определяемой формулой (13), сравнение ее с верхним порогом Нк (П8),вычисление решающей функции по формуле (14). Если значение решающей функции превышает верхний порог, то признак «наличие пузыря» полагают равным 1 и переходят к шагу 2.
Заметим, что значения нижнего порога используются только для вычисления решающих функций по формуле (14), а значения верхнего порога — для определения дат возникновения и схлопыва-ния пузыря.
3.3. Сравнение качества алгоритмов обнаружения «пузырей» методами последовательного анализа и рекурсивной регрессии
Для проверки работоспособности предложенного алгоритма обнаружения множественных «пузырей» и сравнения его с методом, предложенным в работах [13, 14], рассмотрим результаты обнаружения и датирования «пузырей» для отношения цен и дивидендов фондового индекса S&P500, в корзину которого включено 500 избранных акционерных компаний США. Ежемесячные данные, собранные за период с января 1871 г. по декабрь
Таблица
Экспериментальная проверка и сравнение алгоритмов последовательного анализа и вЭДОР
Даты «пузырей» Алгоритм последовательного анализа Алгоритм
1878, июль — 1880, апрель 1885, декабрь — 1887, январь 1907, сентябрь — 1908, февраль 1917, август — 1918, апрель 1928, ноябрь — 1929, сентябрь 1945, октябрь — 1946, июнь 1954, сентябрь — 1956, апрель 1974, июль — декабрь 1986, март — 1987, сентябрь 1995, июль — 2001, август 2008, октябрь — 2009, апрель 1878, июль — 1880, апрель 1885, декабрь — 1887, январь 1907, сентябрь — 1908, май 1917, август — 1918, сентябрь 1928, ноябрь — 1929, октябрь 1946, апрель — май 1954, ноябрь — 1956, август 1974, июль — 1975, май 1986, март — 1987, сентябрь 1995, август — 2000, июль 2008, сентябрь — 2009, сентябрь 1879, октябрь — 1880, февраль 1886, ноябрь 1907, октябрь — 1907, ноябрь 1917, ноябрь — 1917, декабрь 1929, январь — 1929, сентябрь 1955, февраль — 1955, декабрь 1974, сентябрь 1986, март — 1987, август 1995, декабрь — 2001, февраль 2008, октябрь — 2009, март
2010 г., содержат 1680 значений и включают в себя значительное число кризисных событий, которым предшествуют рациональные «пузыри».
Проверка метода, предложенного в работах [13, 14], выполнялась с помощью комплекса программ разработанного авторами и представленного на сайте [16]. В комплекс программ входят исходные данные, программа для расчета критических значений GSADF-теста и программа для расчета значений GSADF статистики в каждой точке выборки. Начальный интервал для расчета модели был выбран равным 36-ти точкам. Рассчитанные критические значения статистики сравнивались с критическими значениями, моменты возникновения и схлопывания«пузыря» определялись по формулам (8) и (9) с использованием в них GSADF статистики (10).
Рассмотрим результаты экспериментальной проверки работы алгоритма. В первом столбце таблицы приведены даты кризисных событий, которые сопровождались возникновением «пузырей» на финансовых рынках, во втором — даты обнаружения и схлопывания финансовых «пузырей», обнаруженных алгоритмом кумулятивных сумм, в третьем — аналогичные даты для алгоритма GSADF.
Оценим точность датировки событий с помощью алгоритмов последовательного анализа. Оценка средней длительности события составляет по фактической оценке — 18,7 мес, по датированию алгоритмом последовательного анализа — 19,3, по алгоритму [13, 14] — 11,5 мес, запаздывание относительно фактической оценки составляет, соответственно, 9 и 26 мес.
Как следует из приведенных результатов сравнения, предложенный алгоритм обнаружения и датирования «пузырей» обнаруживает и датирует все события, определенные в первом столбце таблицы, причем датировка событий приближается к оценке, полученной экономистами. Алгоритм [13, 14] пропускает одно событие.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрены методы обнаружения и датирования «пузырей» рядов финансовых и макроэкономических показателей, основанные на анализе типов процессов изменения цен и дивидендов. Отношение цен и дивидендов в отсутствие пузыря представляет собой процесс, свойства которого могут меняться от стационарного к разностно-ста-ционарному и наоборот. При возникновении ценового «пузыря» отношение цен и дивидендов становится «взрывным». Поэтому для обнаружения «пузырей» такого типа достаточно диагностировать наличие у процесса «взрывных» свойств. Даты возникновения о «схлопывания» пузыря определяются как моменты возникновения и исчезновения «взрывных» свойств процесса отношения цен и дивидендов. Предложен алгоритм обнаружения и датирования взрывных участков процесса, основанный на обнаружении возникновения значимых корреляций между уровнями процесса и его первыми разностями. Сравнение алгоритма с известными методами показало его высокую эффективность. Алгоритм не требует построения модели процесса, а его настроечные параметры легко вычисляются.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Плотность распределения выборочного коэффициента корреляции г двумерного нормально распределенного процесса [17]
( 4) ( Ы- 1 )
^ 2 2Ч 2
/в1 (г) =
_(N - 2)( 1 - г2) (1 - р2) Г( N - 1)
Т2ПГ( N - 1/2) (1 - рхг)Ы- 3/2
х ^ Г1, 1 2 N - 1 гр 1 + 1
2 ' 2 - (П1)
где 91 = (рр N) — параметры распределения, г — значение выборочного коэффициента корреляции, р1 — значение коэффициента корреляции генеральной совокупности, N — объем выборки для расчета выборочного значения коэффициента корреляции,
Р |11 2N- 1 гр1 + =
2Р |2'2' 2 ' 2 J
= г у - 1/2 ) - {г1^ - - 2 Г1 - г ег_+1)-1/2 ^г, (П2) Г( 1/2)Г( N -1) 0 Г 2 ) '
— гипергеометрическая функция.
Доказательство теоремы 1: Разложение разложение гипергеометрической функции (П2) в степенной ряд имеет вид:
р Г1 1 2 N - 1 гр 1 + 1| = 2 11 2 '2 ' 2 ' 2
1 +
рг+ 1
+
9(рг + 1)2
+
4( 2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N + 1)
225 ( 1 + р г) 3_ +
384(2N - 1 ) ( 2 N + 1 ) ( 2 N + 3 ) .
(П3)
С учетом разложения (П3) распределение выборочного коэффициента корреляции параметрами 91 = (р1, N) может быть представлено в виде:
/в, (г) =
( 4) ( Ы- 1 )
_ 2)( 1 - г2) 2 (1 - р1) 2 Г( N - 1)
1 +
Р1г + 1
Т2Пг( N - 1/2)( 1 - р1г)Ы- 3/2 2
+
9(Р1г+ 1 У
4 (2 N - 1) 16 (2N - 1)(2N + 1) '
Логарифм отношения двух плотностей распределения /в (г), /в (г) до и после изменения свойств равен:
N - 1 2
/^ = 1п ( 1 - р1) 2 ( 1 - р0 г/- 3/2 X
/в0(г,) ^
0 /1 чЫ - 3/2,, 2. 2
(1 - Р1гг) ( 1 - Ро) X
1 + , Р1 гл+ 1 +
9(Р1 г, + 1 )2
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)
1 + , Ро '' + 1 +
9(Ро г, + 1 )2
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)
откуда статистика правдоподобия логарифма отношения двух плотностей распределения /во (г), /е (г) в каждый момент времени г определяется формулой (13).
Покажем, что математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия в случае 90 = (р0, р0 < 0, 91 = (р1, р1 > 0 при условии 9 = 90 положительно, а при условии 9 = 91 — отрицательно. По свойству логарифмической функции имеем:
-1 = 2N- 3
^ [1п(1 - р2) - 1п(1
Р0)] +
2
1п(1 - р0г,) - 1п(1 - рхгг) +
+ 1п
- 1п
1 +
р1г,
г, + 1
1 +
4 (2 N - 1) рог, + 1
+
2
9 (Р^ + 1)2
+
16( 2N - 1)(2N - 1) 9(рог, + 1 )2
+ ...
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)
+ ...
Разложим члены в приведенной формуле, включающие в себя г, в ряд:
-1
М- 1 [1п(1 - р2) - 1п(1
+
"р0гг ■
-р1г/ ■
(-рог)
( - р 1 г) 2
+
2
2 N - 3 2
- 2 N - 3
- 2
р 1 г, + 1 4( 2 N - 1)
р о г, + 1 _
4 ( 2 N - 1 ) ' 16(2N- 1)(2N- 1)
ро )] +
+
9 (Р^ + 1 )2
16( 2N - 1)(2N - 1) 9(ро г, + 1 )2
(П4)
Возьмем математическое ожидание, при условии 9 = 90 = (р0, N, от обеих частей выражения (П4), затем выполним обратное преобразование полученных рядов к логарифмам:
_ N - 1
Евп 0( -1) =
+ 1п(1
[1п(1 - р1 ) - 1п(1 2N- 3
ро )] +
2 ро )
2
1п(1 - р1р0)
+
+ 1п| 1 + р 1ро + 1 +
9(р1ро+1)2
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)
+
- 1п| 1 +
2
ро + 1
+
9(ро + 1 )2
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)
+ ... I =
N - 2 2Ч , N - 1 2Ч
-^г— 1п(1 - ро ) + —~—1п(1 - р1 ) -
- 2 N - 3
- 2
+ 1п| 1 + р 1ро + 1 +
2
1п(1 - р0р1) + 9(р1ро+1)2
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)
+ ... I -
- 1п| 1 +
2
ро + 1
9(ро + 1 )2
4 (2N - 1) 16( 2N - 1)(2 N - 1)
(П5)
х
х
2
X
X
>
X
Математическое ожидание приращения логарифма правдоподобия, при условии 9 = 91 = (р1, №), равно:
£01 (^-1) = ^ [1п(1 - Р2) - 1п(1 - р0)] + , 2N - 3,п ч 2N - 3,п 2ч,
+ —2~1п(1 - РоР1) - —2~1п(1 - Р1) +
+ lnl 1 +
Р2 + 1 + 9 ( Р 2 + 1 ) 2 + 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 )
2
- ln I 1 + Р о Р 1 + 1 + 9 ( Р о Р 1 + 1 )
+ ... I =
4( 2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1)
N - 2W1 2Ч N - 1 W1 2Ч , ■—ln(1 - Р1) - ——ln(1 - Ро) +
+ 2N-3 W1 )
+ —2~ln(1 - Р°Р!) -
- lnl 1 + Р 1 Ро + 1 + 9 ( Р 1 Ро + 1 )_ + ... | +
^ 4( 2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1)
+ lnl 1 +
р2 + 1 + . - . 9 ( Р2 + 1 )2, . + ... |. (П6)
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)( 2N - 1)
В правой части соотношения (П5) первые три члена отрицательные, сумма последних двух — отрицательна, так как р0, р1 имеют разные знаки, в правой части соотношения (П6) первые три члена положительные, сумма последних двух — положительна, откуда следует заключение теоремы и формулы (13):
Ев0 (^-1) = ^ 1п(1 - Ро) +
-и N - 1,п 2. 2N - 3,п + ——1п(1 - Р1) - —2~1п(1 - Р1Ро) +
Г1 + Р 1 Р О + 1 + 9 ( Р 1 Р о + 1 )2 +
I 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 ) + 1п- < 0,
Г1 + рО + 1 + 9 ( Р 2 + 1 ) 2 +
^ 4 ( 2 N - 1 ) 1 6 ( 2 N - 1 ) ( 2 N - 1 ) ""
E01 (st-1) = - ln(1 - р1 ) -
N-1 ln(1 - Ро) + 2NT ln(1 - Р1Р°) +
\ + Р2 + 1 + 9 ( р 2 + 1 )2 + ...
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1) + ln------------- > 0. (П7)
f 1 + Р 1 Р о + 1 + 9 ( Р 1 Р о + 1 ) +
4 (2 N - 1) 16( 2N - 1)(2N - 1)
Из формул (П7) следует, что верхний Нк и к1 нижний пороги алгоритма могут быть определены по формулам:
hi = Ee0 (s't-1 )> hh = Ee1 (st-1).
(П8)
Доказательство теоремы 2. Из определения
~t
статистики st -1 следует, что
Ee0 (s't-1) = - \ (st-1 X
Ee1 (st-1) = -Ee0 (st-1).
(П9)
Из формул (П9) следует, что верхний Нк и к1 нижний пороги алгоритма могут быть определены соотношениями:
hh = -Ee0 (st-1), h, = -Ee1 (t-1).
(П10)
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Теорема доказана.
1. Phillips C.B., Wu Y., Yu J. Explosive behavior in the 1990s NASDAQ: When did exuberance escalate asset values? // International economic review. — 2011. — Vol. 52, N 1.
2. Дробышевский С. Анализ возможности возникновения «пузыря» на российском рынке недвижимости // Институт экономики переходного периода. — М., 2008. — C. 99.
3. Basseville M. and Nikiforov I.V. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application. Prent. Hall. — URL: www.irisa.fr/ sigma2/kniga, 1993 (дата обращения 28.08.2014).
4. Gurkaynak R.S. Econometric tests of asset price bubbles: Taking stock // Jounal of Economic Surveys. — 2008. — Vol. 22. — Р. 166—186.
5. Hamilton J.D. Time Series Analysis. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.
6. Blanchard OJ, and Watson M.W. Bubbles, Rational Expectations, and Financial Markets / In P. Wachtel (ed.), Crisis in the Economic and Financial Structure. — 1982. — P. 295—315.
7. Cochrain G.H. Explaining the variance of price-dividend ratios // Review of Financial Studies. — 1992.—Vol. 5, N 2.— P. 243—280.
8. Campbell J.Y., Shiller R.J. Stock Prices, Earnings and Expected Dividends // The Journal of Finance. — 1988. — Vol. 43, N 3. — P. 661—676.
9. Craine R. Rational Bubbles: A Test // Journal of Economic Dynamics and Control. — 1993. — Vol. 17. — P. 829—846.
10. Evans G.W. Pitfalls in Testing for Explosive Bubbles in Asset Prices // American Economic Review. — 1991. — Vol. 81. — P. 922—930.
11. Park C. When does the dividend — price ratio predict stock returns? // Journal of Empirical Finance. — 2010. — Vol. 17. — P. 81—101.
12. Leybourne S., Kim T.-H, Smith V., and Newbold P. Tests for a change in persistence against the null of difference-stationarity // Econometrics Journal. — 2003. — N 6. — P. 291—311.
13. Phillips P.C.B., Yu J. Dating the timeline of financial bubbles during the subprime crisis // Quantitative Economics, Econometric Society. — 2011. — Vol. 2 (3). — P. 455—491.
14. Phillips P^.B., Shi S., and Yu J. Specification sensitivity in right-tailed unit root testing for explosive behavior // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. — 2013. — Vol. 76, iss. 3.
15. Page E.S. Continuous insrection schemes // Biometrika. — 1954. — Vol. 41. — P. 100—115.
16. URL:https://sites.google.com/site/shupingshi/PrgGSADF.zip? attredirects=0\&d=1 (дата обращения 28. 08. 2004).
17. Kenney J.F., and Keeping E.S. Mathematics of Statistics. Pt. 2. — 2nd ed. — Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
Р.М. Нижегородцевым.
Гребенюк Елена Алексеевна — д-р техн. наук, вед. науч. сотрудник,
И lngrebenuk@rambler.ru, ® (495) 334-46-40,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,
г. Москва,
Малинкина Антонина Валерьевна — гл. специалист,
ОАО «Банк Москвы», И malinkinaav@gmail.com.