CC BY
13
Пентегов И. В. Pentegov I. V.
доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела электротермии Института электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины, г. Киев, Украина
Рымар С. В. Rymar S. V.
доктор технических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник отдела электротермии Института электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины, г. Киев, Украина
УДК 536.12:621.78.01
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ ПРИ УЧЕТЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
Цель. Разработка алгоритма применения модернизированного метода тепловых источников с учетом распределения источников тепла при индукционном нагреве.
Методология. Метод основывается на научных положениях теоретической теплофизики — теории распространения тепла в сплошных средах для определения распределения тепловых потоков в массивных телах, математических методах и способах интегрирования.
Результаты. Использование модернизированного метода тепловых источников, базирующегося на новом методе суммирования радиус-векторов, при расчете тепловых процессов при индукционном нагреве позволяет получать как точные решения, требующие большого времени счета, так и приближенные решения с малым временем счета. Проведено сравнение точности расчетов тепловых процессов при индукционном нагреве при различных модификациях метода тепловых источников. На примере пакета MathCAD даны рекомендации по использованию встроенных в программные продукты функций «erf», позволяющих отказаться от явных функций интегрирования и резко сократить время счета. Рассчитаны относительные погрешности, получаемые при приближенном решении с использованием модели с равномерным распределением источников тепла по всему объему, ограниченному глубиной проникновения, и при приближенном решении с использованием модели чисто поверхностного нагрева с равномерным распределением поверхностных источников тепла по поверхности тела под индуктором, по сравнению с точным решением при различных рабочих частотах индуктора. Даны рекомендации по уменьшению погрешностей до приемлемого уровня.
Оригинальность. Ускорение расчетов тепловых процессов с использованием разработанных алгоритмов интегрирования в модернизированном методе тепловых источников столь существенно, что позволяет рассчитывать распространение тепла в нагреваемом изделии в режиме реального времени с точностью расчета, приемлемой для практических задач.
Практическая ценность. При оптимальном выборе расчетной модели погрешность вычислений тепла не будет превышать 0,6 %. Если такая погрешность не устраивает, то всегда можно перейти к точному решению [7, рисунок 5].
Ключевые слова: тепловые расчеты, тепловая мощность, распространение тепла, модернизированный метод тепловых источников, алгоритмы интегрирования, повышение скорости расчетов, точность вычислений, высокочастотный индукционный нагрев.
APPLICATION OF THE HEAT SOURCES METHOD WITH ACCOUNT FOR THE HEAT SOURCES' DISTRIBUTION IN THE CASE OF INDUCTION HEATING
Purpose. Development of the algorithm of application of the modernized method of heat sources to the process of induction heating with account for the heat sources distribution.
Methodology. The method is based on scientific principles of theoretical thermal physics — theories of heat propagation in continuous medium, used for determination of distribution of thermal flows in massive bodies, and also on mathematical methods and integration procedures.
Results. The utilization of the modernized method of heat sources, which is based on the new method of summation of position vectors, for the calculation of thermal processes caused by induction heating, allows obtaining both the exact solutions requiring time-consuming computations and the approximate solutions with small computational times. Comparison of the accuracy of calculations of thermal processes caused by induction heating is conducted for various modifications of the method of heat sources. By the example of the MathCAD engineering software recommendations are given concerning the use of the functions «erf» built into software packages, which make explicit integrations unnecessary and sharply cut the computation times. The relative errors are calculated at various operating frequencies of the inductor for the approximate solution using the model with a uniform distribution of heat sources in the volume, restricted by the penetration depth, and for the approximate solution using the model of surface heating with a uniform distribution of heat sources on the surface under the inductor, in comparison with the exact solution. Recommendations are given concerning the error reduction.
Originality. The speed-up of calculations of thermal processes with the use of the developed integration algorithms in the modernized method of heat sources is so significant, that it allows conducting a real-time computation of the heat propagation in heated body with accuracy, which is adequate for the practical purposes.
Practical value. With the optimum choice of computational model the error in the heat propagation calculations will not exceed 0.6 %. If such an error is still unacceptable, it is always possible to revert to the exact solution [7, figure 5].
Key words: thermal calculations, heat rating, heat propagation, modernized method of thermal sources, integration algorithms, acceleration of computations, accuracy of computations, high-frequency induction heating.
В работе [1] был приведен новый способ суммирования радиус-векторов в методе тепловых источников [2, 3], позволяющий избежать бесконечно высоких температур в точке возникновения импульса энергии и тем самым существенно повысить точность расчетов. Модернизированный метод базируется на интегральном подходе при решении задачи распространения тепла. В работе [4] приведены алгоритмы интегрирования в модернизированном методе тепловых источников, обеспечивающие ускорение счета, и выполнено сравнение времен, затрачиваемых на тепловые расчеты в различных задачах. На примере пакета MathCAD [5] показано, что скорость расчетов в разработанном модернизированном методе, по сравнению с традиционными методами расчетов, в зависимости от сложности функции удельной мощности,
увеличивается от нескольких десятков до нескольких тысяч раз.
Важно сравнить точность расчетов тепловых процессов при распространении тепла при различных модификациях метода тепловых источников и дать рекомендации к их использованию. Этот вопрос актуален при решении прикладных задач распространения тепла в электротермии, сварке, электротехнических системах.
Целью и задачей статьи является разработка алгоритма применения модернизированного метода тепловых источников при учете распределения источников тепла при индукционном нагреве.
В статье рассмотрено сравнение результатов расчета тепловых процессов при индукционном нагреве при различных модификациях метода тепловых источников. Даны
рекомендации по использованию функций «erf», встроенных в пакеты программ для математических и инженерных расчетов и позволяющих отказаться от интегрирования и резко сократить время счета.
Распределение приращений температур в неограниченном трехмерном пространстве при источниках тепла, равномерно распределенных внутри прямоугольного параллелепипеда со сторонами X, Y, Z, и началом координат в центре параллелепипеда при новом методе суммирования радиус-векторов описывается уравнением (17) работы [1] и уравнением (8) работы [4], справедливых для случая отсутствия теплоотвода вверх от полупространства. При удельной мощности pV , Вт/м3, выделяемой в элементе объема, не являющейся функцией координат и времени (p = consr), эти уравнения примут вид:
К-*)2
4a(t-%)
ЛХо X
t Х/2
О -Х/2 v 4 ' (у о-yf 7П (г0 ~г)2
у/2 "тт/т Z/2 Г е 4а('"т) Г
J J na(t - т) J
4а(Г-т)
Здесь и далее номера цифровых индексов при параметрах температур 0 и Т соответствуют номеру определяющей 0 формулы.
Переход к новому методу суммирования радиус-векторов в методе источников позволяет сократить расчетное время в 50-60 раз по сравнению с классическим методом.
Рассмотрим решение гипотетической задачи поверхностного нагрева нижнего неограниченного полупространства (немагнитная сталь) прямоугольным высокочастотным индуктором площадью Х2 и длиной 2, расположенным над полупространством с центром в начале координат (см. рисунок 1). Теплоотвод вверх от полупространства отсутствует.
dz0dx, (1)
. у1 паи - т) J л/ тш(7 - х)
-7/2 4 У -г/2
где с — удельная теплоемкость материала, Дж/(кгК); у — плотность материала, кг/м3; I — текущее время, отсчитываемое от начала процесса нагрева; а = Х/(су) — коэффициент температуропроводности, м2/с; X — коэффициент теплопроводности, Вт/(мК); т — момент времени, отсчитываемый от начала процесса нагрева, когда в точке с координатами (х0, у0, z0) выделяется энергия dQ (эта энергия равна dQ =ру^т ^У, где dV — элементарный объем dV = dx0dy0dz0 в области распределенных источников тепла [1]); ^-т) — время распространения тепла, связанного с выделившейся энергией dQ; (х, у, z) — координаты точки тела, в которой определяется температура. В расчете обычно принимают средние значения теплофизических параметров за время нагрева.
Истинная температура в точке (х,у,1) в момент времени I будет равна
Т(х, у, I, г) = &/х, у, I, г) + т.. (2)
Здесь Т0 — температура окружающей среды (начальные температуры всех точек нагреваемого изделия также равны Т0).
Рисунок 1. Геометрия области с источниками тепла под индуктором (сечение по z0 = 0, индуктор не показан)
Размеры высокочастотного индуктора примем равными: Х= 0,1 м — ширина настила тока; 2 = 0,5 м — длина. Частота тока индуктора / = 1,6 кГц, его угловая частота ю = 2л/= 104 рад/с. Средние значения тепло-физических параметров стали равны: X = 47,14 Вт/(мК); а = 1,0510-5 м2/с, у = 7860 кг/м3; с = 572,5 Дж/(кгК). Среднее значение удельного электрического сопротивления стали р = 6,45 10-7 Ом-м.
Глубина проникновения магнитного поля в немагнитную сталь А = Y/2 = ^2р/(юц0) = 0,01 м, ц = 4ж107 Гн/м — магнитная постоянная. Здесь уже учтено зеркальное отражение А вверх от плоскости у0 = 0 для запирания этой границы для потока тепла вверх (У = 2А) [1].
Удельная поверхностная мощность тепло-вложения постоянна и равна рв=600 кВт/м2; эквивалентная, равномерно распределенная по глубине проникновения удельная мощность объемного тепловложения ру=2р5 /7= 60 мВт/м3; активная мощность индуктора Р = рвХ2 = =ру ХУ2/2 = 30 кВт; начальная температура Т0 = 293 К; время нагрева ^ = 90 мин = 5400 с.
Внутренние интегралы в формуле (1) безразмерны и, как показано в работах [1, 4], выражаются через встроенные в MathCAD интегралы вероятности [5]:
Х/2
\
-Х/2
(xo~xf 4a(t-\)
■yjna(t-x)
dxn = erf
X +
X
2 ^a(t-x)
-erf
7/2
x-
X
2^a{t-x)
(Уо-У)2
= Erf (x,X,a,t,x\ (3)
Ç e 4a(t-x)
I (< \dy° = 6rf
2-yJa(t-x)
-erf
У-
2 yja(t-x)
= m{y,Y,a,t,x)- (4)
z/2
e ЦН)
i
-Z/2
■sJ'Ka(t-x)
dz0 = erf
z +
2-sJa(t-x)
-erf
z--
2 ^(t-x)
Данный интеграл позволяет рассчитывать температуру в процессе нагрева массивного тела (неограниченного полупространства) сверху плоским высокочастотным индуктором, у которого 2 — длина индуктора, X — ширина настила тока под индуктором, 7/2 — глубина проникновения тока в массивное тело, при отсутствии потерь тепла с поверхности тела в верхнее полупространство на излучение и конвекцию. При этом верхняя половина параллелепипеда с размерами X, 7/2, 2 должна рассматриваться как «зеркальное отражение», которое «запирает» для прохода тепловых потоков верхнюю границу нижнего полупространства и обеспечивает требуемые граничные условия [1]. Реальная активная мощность, передаваемая от индуктора в нижнее полупространство в момент времени т, при этом будет равнару (т) ХУ2/2.
Вычисление этой функции не связано с взятием четырехкратного интеграла и время вычисления чрезвычайно мало.
Если удельная мощность ру, выделяемая в элементе объема, зависит от одной из координат, например ру=ру(у0,т), то интеграл (1) может быть записан в виде
{у.~УГ
рЛУ^У
-о
= Erf (z,Z,a,t,x). (5)
В дальнейшем будем применять краткие обозначения «Erf» вместо разностей интегралов вероятности и везде, где это возможно, переходить от интегрирования к встроенным функциям «erf». Произведя замены в уравнении (1), получим формулу (24) работы [1] и (12) работы [4], дающую приращение температуры в точке (x, y, z):
t
©6{x,y,z,t) = ^bri{x,X,a,t,xy о
xErf(j,y,a,i,T)-Erf(z,Z,a,i,x)i/T. (6)
( ч -4
гл ( * \ 1 Г Г рМ^У
J л/яф-0 -У/2 4
хМ(х,^,а,*,т)-М(г,2,д,*,т)</т. (7)
Здесь внутренний интеграл, связанный с у0, в общем случае не может быть выражен через интегралы вероятности.
Остановимся более подробно на наиболее часто встречающемся случае индукционного нагрева, когда мощность тепловых источников (потерь от вихревых токов) экспоненциально уменьшается по мере проникновения электромагнитного поля от поверхности в глубь нагреваемого тела.
Зависимость действующего значения плотности вихревых токов от _у0 определяется выражением [6]:
w
J(y0) = J0e
(8)
где J0=J(0) — плотность вихревых токов на поверхности металла.
Модуль |у0| взят для того, чтобы было правильно учтено верхнее зеркальное отражение при расчете процессов нагрева.
Настил мощности под индуктором определяется по формуле [6]:
Рз
00
=р-1
л«л
йу = рУ,
2 А
Рг{Уо) = Р-т{у«)2 = Р
/0е
ш д
о z
Для рассматриваемого рч = 6105 Вт/м2.
Бт
(9)
Если величина р5 задана, то из выражения (9) можно определить величину J :
^ (10) рА
Например, при р5=600 кВт/м2, р=6,45 10-7 Ом-м, /= 1,6 кГц и А=1 см величина J0 = 1,364 107 А/м2.
Если учесть, что р5 есть ни что иное, как среднее за период значение вектора Пойнтинга 5 на поверхности рассматриваемого полупространства, то можно записать [7]:
г2_Р К
(11)
2 А 2
Здесь Нт — амплитуда тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности металла. Приравнивая правые части выражений (9) и (11), получим: Н = ЛЗ. (12)
т О к '
Для рассматриваемого примера Н = 1,364 105 А/м.
Обозначим через w количество витков индуктора. Действующее значение ампервит-ков индуктора в рассматриваемом примере при Х= 0,1 м равно
= ХН /Л = 9645А. (13)
Этой же величине равно действующее значение индуцированного в нагреваемом теле тока. Используя формулу (8), получим
(14)
Зависимость (14) при указанных выше параметрах построена на рисунке 2. Отметим, что настил мощности в металле под индуктором равен площади под кривой на рисунке 2. Используя выражения (9) и (14), найдем интеграл, определяющий удельную поверхностную мощность тепловложения:
у в ч-н
Рисунок 2. Экспоненциальное распределение по глубине мощности тепловыделения от вихревых токов под индуктором при:
/ = 1,6 кГц, А = 1 см, / = 5400 с, рх = 6 105 Вт/м2, рД0) = 1,2-108 Вт/м3, ру = 6-107 Вт/м3
Так как рЗд/2 = 6107 Вт/м3 =р^,, то площадь закрашенного прямоугольника равна площади под утолщенной кривой, его ширина равна А, а высота равна рр,, и температура при одном и тот же настиле мощности может быть рассчитана трояким способом:
1) при точном решении, когда мощность тепловыделения в металле пропорциональна площади под экспоненциальной кривой на рисунке 2;
2) при приближенном решении с использованием модели с равномерным распределением источников тепла р = сош^ по всему объему, ограниченному глубиной проникновения А;
3) при приближенном решении с использованием модели чисто поверхностного нагрева с равномерным распределением поверхностных источников тепла (р5 = сом£) по поверхности тела под индуктором.
Эти три способа дают различные приближения и требуют использования различных формул.
В случае 1 воспользуемся формулой, аналогичной формуле (7):
(уо-у)2
? нД
пс ^ 1 Г Г Рго»)« м'"1),
О -пА '
х(16) Пределы интегрирования —пА и пА взяты для убыстрения счета вместо -да и да (на результатах вычислений это не отражается.
(15)
примера
Для конкретного примера достаточно принять п = 3, поскольку при больших значениях п точность вычислений практически не повышается, а время счета увеличивается).
В случае 2 воспользуемся формулой (6) (или формулой (24) работы [1], либо формулой (12) работы [2], при ру = со^^.
В случае 3 воспользуемся формулой (29) работы [1], но запишем ее в несколько измененной форме:
и-У)2
t -
&n(x,y,Z,t):
'J J
naît
4a(i-t)
4cyJ Jna{t-x) 0
а)
AT, %
• ЕгГ (17)
Время счета по формулам (6) и (17) практически одинаково, а точное решение по формуле (16) требует приблизительно в 50 раз большего времени [4].
Относительная погрешность расчета температуры в % по отношению к точному решению (16):
Му{х,у,2,г) = ( ®б\Х>У>2^ -0• 100%;(18)
(19)
1.©16 {х,у,г^) + Т0 ) Здесь индекс У соответствует случаю 2, а индекс £ — случаю 3.
Эти кривые построены на рисунке 3 при /= 1,6 кГц и А = 1 см для трех различных величин у: а) на поверхности; б) на глубине проникновения А; в) на глубине 2А (температурные кривые подобны кривым, приведенным в работе [1]).
Из анализа рассмотрения кривых следует, что при сравнительно низкой частоте наибольшую погрешность на поверхности (до 4,5 %) дает модель поверхностного нагрева (случай 3), в то время как модель с равномерно распределенной по глубине проникновения объемной удельной мощностью ру= со^т дает погрешность не более 0,2 %.
С ростом у погрешности уменьшаются, поэтому, если нас интересуют температуры вне зоны глубины проникновения, можно использовать все подходы, в зоне с у < А допустимо применять формулы (16) и (6), по совокупности критериев «быстрота — точность» предпочтение нужно отдать самой простой формуле (6).
см Л' ,.Ч
кривая погрешности при Ps - const, у - 1 см , z " 0 — кривая погрешности при Pv = const. у 1 cjg. z = 0
б) ЛТ,
M Л" ..It
— кривая погрешности при Ps - const, у = 2 см , z - 0 —■ кривая погрешности при Pv = const. у 2 см, z = 0
в)
Рисунок 3. Погрешности в % при :
/ = 1,6 кГц, А = 1 см, / = 5400 с, рх = 6-105 Вт/м2, ру = 6-107 Вт/м3 при двух различных приближениях к точному решению
При высокой частоте индуктора, когда А < 2 мм, и при у >> А на первое место выходит формула (17), так как погрешности при переходе к чисто поверхностному нагреву становятся пренебрежимо малыми.
Для пояснения сказанного пересчитаем пример с /= 1,6 кГц, приведенный выше, при повышенной частоте индуктора /= 40 кГц. Глубина проникновения при этом уменьшается в 5 раз и будет равна А=2 мм (все остальные параметры оставляем неизменными). Согласно формулам (10), (12) и (14), при сохранении того же настила мощности 6-105 Вт/м2 величина J0 увеличится в \/5 раз, Нт уменьшится в раз, а ру = 3-108 Вт/м3 (случай 2) возрастает в 5 раз. Эти изменения показаны на рисунке 4.
X
Электротехнические комплексы и системы
лт, %
г-
0.2 -о-
0.02
0.0J
0.04
0.08
0.1
а)
111 кривая погрешности при Ps = const > О / О -кривая погрешности прп Pv = const, у = 0 . z = О
ЛТ, % 0.2-
0 1 : 5 * 5 6 Уд
Рисунок 4. Экспоненциальное распределение по глубине мощности тепловыделения от вихревых токов под индуктором при:
/ = 40 кГц, А = 2 см, г = 5400 с, рх = 6-105 Вт/м2, pV(0) = 6-108 Вт/м3, р¥ = 3^108 Вт/м3
Несмотря на кажущееся подобие геометрии на рисунках 4 и 2, подобия тепловых процессов не наблюдается. Об этом говорит и характер кривых погрешности, построенных на рисунке 5 при /= 40 кГц и А=2 мм для трех различных величин у: а) на поверхности; б) на глубине проникновения А; в) на глубине 2А.
При повышенной частоте 40 кГц на поверхности при у = 0 погрешность при модели с чисто поверхностным нагревом (утолщенные кривые) хотя и уменьшается по сравнению со случаем 1,6 кГц, но остаётся самой большой (порядка 1 %).
При частотах 1,6 кГц и 40 кГц на поверхности при у = 0 меньшую погрешность дает модель с равномерно распределенной по глубине проникновения объемной удельной мощностью. Причем, при у > А уровни рассматриваемых погрешностей конкурируют друг с другом и при у > 2А становятся пренебрежимо малыми.
При расчете температурных кривых суммарные тепловложения во всех случаях принимались одинаковыми и равными р5 = 6-105 Вт/м2.
Погрешности были вычислены для истинной температуры Т(х, у, I, г) = 0(х, у, I, г) + Т При этом максимальная погрешность вычислений не превышает 0,6 % для модели с равномерно распределенной по глубине проникновения объемной удельной мощностью.
— кривая погрешности при Ps ~ const, у = 2 мм. г - 0 -кривая погрешности при Pv ™ const, у m 2 мм. : " Г
б)
ЛТ, %
— кривая погрешности при Ps = const. у = 4 vч , z = 0 -кривая погрешности при Pv ' coast, у - 4 мм, г - 0
В)
Рисунок 5. Погрешности в % при: / = 40 кГц, А = 2 см, г = 5400 с, рх = 6-105 Вт/м2, р1, = 3-108 Вт/м3 при двух различных приближениях к точному решению
Если такая погрешность не устраивает, то всегда можно перейти к точному решению.
Авторы признательны кандидату физико-математических наук Всеволоду Игоревичу Пентегову за высказанные им замечания при просмотре статьи.
Выводы
1. Использование модернизированного метода тепловых источников, базирующегося на новом методе суммирования радиус-векторов, при расчете тепловых процессов при индукционном нагреве позволяет получать как точные решения, требующие большого времени счета, так и приближенные решения с малым временем счета.
2. Проведено сравнение точности расчетов тепловых процессов при индукционном нагреве при различных модификациях метода тепловых источников. На примере пакета MathCAD даны рекомендации по использованию встроенных в программные продукты функций «erf», позволяющие отказаться от явных функций интегрирования и резко сократить время счета.
3. Рассчитаны относительные погрешности, получаемые при приближенном решении с использованием модели с равномерным распределением источников тепла по всему объему, ограниченному глубиной проникно-
Список литературы
1. Пентегов И.В. К теории метода тепловых источников, используемого при анализе тепловых процессов в электротехнических системах // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2014. Т. 10. № 3. С. 5-15.
2. Fourier J.B. Théorie analytique de la chaleur. Paris: Chez Firmin Didot, père et fils, 1822. 639 p.
3. Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. м.: машгиз, 1951. 297 с.
4. Пентегов И.В., Рымар С.В. Практическое применение метода тепловых источников при анализе тепловых процессов в электротехнических системах // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2016. Т. 12. № 3. С. 11-17.
5. Кирьянов Д.В. MathCAD 14. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 704 с.
6. Ламмеранер Й., Штафль М. Вихревые токи: пер. с чешск. М.-Л.: Энергия, 1967. 208 с.
7. Теоретические основы электротехники: в 3 т.: учебник для вузов. 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. СПб.: Питер, 2003. Т. 3. 377 с.
вения, и при приближенном решении с использованием модели чисто поверхностного нагрева с равномерным распределением поверхностных источников тепла по поверхности тела под индуктором, по сравнению с точным решением при различных рабочих частотах индуктора.
4. Даны рекомендации по уменьшению погрешностей до приемлемого уровня. Показано, что при оптимальном выборе расчетной модели погрешность вычислений не будет превышать 0,6 %. Если такая погрешность не устраивает, то всегда можно перейти к точному решению.
References
1. Pentegov I.V. K teorii metoda teplovykh istochnikov, ispol'zuemogo pri analize teplovykh protsessov v elektrotekhnicheskikh sistemakh // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2014. T. 10. № 3. S. 5-15.
2. Fourier J.B. Théorie analytique de la chaleur. Paris: Chez Firmin Didot, père et fils, 1822. 639 p.
3. Rykalin N.N. Raschety teplovykh protsessov pri svarke. M.: Mashgiz, 1951. 297 s.
4. Pentegov I.V., Rymar S.V. Prakticheskoe primenenie metoda teplovykh istochnikov pri analize teplovykh protsessov v elektrotekhnicheskikh sistemakh // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2016. T. 12. № 3. S. 11-17.
5. Kir'ianov D.V. MathCAD 14. SPb.: BKhV-Peterburg, 2007. 704 s.
6. Lammeraner I., Shtafl' M. Vikhrevye toki: per. s cheshsk. M.-L.: Energiia, 1967. 208 s.
7. Demirchian K.S., Neiman L.R., Korovkin N.V., Chechurin V.L. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki: v 3 t.: uchebnik dlia vuzov. 4-e izd. SPb.: Piter, 2003. T. 3. 377 s.
