К теории метода тепловых источников, используемого при анализе тепловых процессов в электротехнических системах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Electrical facilities and systems

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ ELECTRICAL FACILITIES AND SYSTEMS

Пентегов И.В.

Pentegov I. V.

доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела электротермии Института электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины, Украина, г. Киев

УДК 536.12:621.78.01

К ТЕОРИИ МЕТОДА ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ, ИСПОЛЬЗУЕМОГО ПРИ АНАЛИЗЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

При аналитическом определении распределения тепла в нагреваемых объемных телах возникает ряд трудностей, которые приводят к снижению точности температурных расчетов. Так, наиболее применяемый сейчас метод тепловых источников, развитый Н.Н. Рыкалиным, оперирует с конечной величиной импульса энергии. При этом в точке возникновения импульса энергии возникает бесконечно высокая температура. Устранение этого недостатка позволяет сделать существенный шаг в развитии аналитических методов расчета тепла. В настоящей статье разработан универсальный подход к суммированию радиусвекторов в методе тепловых источников при устремлении числа источников к бесконечности, что позволило избавиться от указанной выше проблемы и расширить область применения метода, включив в нее все задачи электротермии и высокочастотного индукционного нагрева объемных тел, используемые в электротехнических комплексах и системах. Метод особенно эффективен и легок в применении при индукторах простых геометрических форм.

Модернизированный метод тепловых источников был проверен при решении ряда задач электротермии и показал высокую точность совпадения результатов расчета с опытными данными, а также с данными расчета прикладных компьютерных программ ведущих мировых фирм, использующих метод конечных элементов.

Ключевые слова: тепловые расчеты, метод тепловых источников, тепловая мощность, электротермия, высокочастотный индукционный нагрев.

ON THE METHOD OF HEAT SOURCES IN THE ANALYSIS OF THERMAL PROCESSES IN ELECTROTECHNICAL SYSTEMS

Analytical determination of heat distribution in bulk heated bodies meets with a number of difficulties which lead to deterioration of the accuracy of thermal computations. For instance, the method of heat sources, developed by N.N. Rykalin and most widely used nowadays, deals with finite magnitude of the energy burst, causing an infinite temperature at the point of burst. The elimination of this shortcoming would imply a significant step forward in the development of analytical methods of thermal computations. A universal approach to the summation of radius vectors in the method of heat sources with the number of sources approaching infinity is developed in the present paper. This approach is free of the abovementioned problem and expands the method’s usability domain with inclusion of all problems in the fields of elecrothermy and high-frequency induction heating of bulk bodies

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

5

Электротехнические комплексы и системы

arising in electrotechnical systems. The method is especially effective for the inductors with simple geometry.

The modernized method of heat sources is tested on a number of elecrothermy problems and demonstrates high degree of consistency of the calculated results with both the experimental data and the computational results obtained with the use of commercial software utilizing the finite element method.

Key words: thermal calculations, method of heat sources, thermal output, electrothermy, high-frequency induction heating.

При аналитическом определении распределения тепла в нагреваемых объемных телах возникает ряд трудностей. Так, в наиболее применяемом методе тепловых источников [1, 2] оперируют с конечной величиной импульса энергии, получая в точке его возникновения бесконечно высокую температуру, что является существенным недостатком данного метода, влияющим на точность определения температуры. Устранение этого недостатка позволяет сделать существенный шаг в развитии аналитических методов расчета тепла и дает возможность расширить область применения метода, включив в нее все задачи электротермии и высокочастотного индукционного нагрева, используемые в электротехнических комплексах и системах, сделать метод более универсальным и легким в применении, что и является целью настоящей работы.

Распространение тепла от сосредоточенного источника в неограниченном однородном трехмерном пространстве описывается уравнением приращения температур [1, 2]:

П

Q(R,t) =--(1)

cy(4naty

где R2 =(x-x0f +(y-y0f +(z-zQf- (2)

квадрат расстояния от точечного источника тепла в точке с координатами (xQ, y0, z0) до точки тела с координатами (x, y, z), в которой определяется температура; t - время с момента возникновения импульса энергии Q; с - удельная теплоемкость материала, Дж/(кгК); к - плотность материала, кг/м3; а = k/(cy) - коэффициент температуропроводности, м2/с; к - коэффициент теплопроводности, Вт/(мК). В расчете обычно принимают средние значения теплофизических параметров за время нагрева.

Уравнение (1) является основным в методе источников и впервые получено Ж. Б. Фурье [3].

В методе тепловых источников оперируют с конечной величиной импульса энергии Q, получая в точке его возникновения бесконечно высокую температуру, что является существенным недостатком данного метода. Модернизируем метод источников таким образом, чтобы исключить получение бесконечно высокой температуры в точке возникновения импульса энергии, использовав подход, часто применяемый в физике.

Для этого представим источник Q распределенным в пространстве, а область, в которой находятся распределенные источники, разобьем на элементарные объемы:

Щм = Л^шАУоАоь (3)

Причем энергия, выделенная в элементарном объеме за время At, равна

bQij,k = pv&АУил, (4)

здесь pV - удельная мощность, выделяемая в элементе объема, Вт/м3. Сначала будем считать pV = const. Если же элементарные источники тепла расположены на поверхности, например, на плоскости (x, z) при каком-то у = const, то эту плоскость также разобьем на элементарные площадки:

ASij =Ax0lAz0k, (5)

причем энергия, выделенная за время At, равна

ш,к = Ps^tbSijt, (6)

где pS - удельная мощность, выделяемая на элементе поверхности, Вт/м2. Сначала также будем считать pS = const.

Используя формулу (1) для AQ, после замены t

на t - т получим:

ле,,м., = ^— i,j,k 4а( t—Tq ) з е (7)

су[4тш(*-т ) F

Здесь

=(x-x0if + (у~ У0] )2 +{z-z0k f (8)

- квадрат расстояния от элементарного точечного источника тепла в точке (x0., y0 z0k) до точки тела с координатами (x, y, z), в которой определяется температура; Tq - время возникновения момента импульса энергии AQ k , отсчитываемое от начала процесса нагрева; t - текущее время, отсчитываемое от начала процесса нагрева; (t - Tq) - время распространения тепла от импульса энергии AQk Здесь уже учитывается, что элементарные дозы энергии AQ длительностью Ат, возникают в мо-

менты времени

Tq = qAT . (9)

С учетом формул (4) и (3) получим приращение температуры в точке (x, y, z) от одного элементарного источника тепла:

я?.,

ad _ /vATAx0iAy0;.Az0, У4sfei

- Iе

су[4тю(г-дАт)]2 . (10)

6

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Electrical facilities and systems

Суммируя все приращения по всему простран- Ат), получим суммарное приращение температуры ству с источниками при фиксированном времени t в точке (x, y, z): и всех временах т (при одинаковых Ах0, Ау0, Аг0 и

0

pvAxAx0Ay0Az0 ^ ^

су[4па(t- qAx)]г ij,k

(11)

В формуле (11) внутренняя сумма пробегает все значения радиус-вектора R. Рассмотрим случай трехмерного распределения источников и введем следующие обозначения. Пусть (0, X), (0, Y) и (0, Z) - интервалы по осям х, у и z, в которых находятся элементарные источники тепла А0. Число дискретных временных интервалов N равно:

и, следовательно, q = 1, 2, 3, ...N. Числа ячеек с источниками тепла по осям х, у и z будут, соответственно, равны:

I = Х/Ах0; J = Y%0; K = Z/\z0, (13)

где i = 1, 2, 3, .I; j = 1, 2, 3, ... J; k = 1, 2, 3, ...K. При этом

x0i = iАXV У0, = j'V z0i = ^ Tq = qАт.

N = t/Ат, (12) Очевидно, что j

я?., i,j,k 1 ( X-iAXq f J (y-jAy0)2 К

\'e -Ь -y> 4e(/-x) . X ’

i,j,k N* о 4.. II о k=0

(z-kAzp Y 4а(*-т)

z0’ q

(14)

(15)

так как перекрестные произведения членов трех сумм справа дают сумму «е» в степенях, числитель которых представляет собой неповторяющуюся сумму ровно трех квадратов со всеми сочетаниями i, j, k без пропусков, и полученная сумма содержит квадраты Efjk всех радиус-векторов типа (8) для всех ячеек с источниками тепла. Поэтому уравне-

ние (15) представляет собой тождество.

Подставляя этот результат в (11) и переходя от конечных размеров временных интервалов и ячеек к бесконечно малым dT, dx0, dy0 и dz0, получим интегральное представление приращения температуры в точке

(x,y,z):®(x,y, z, t)

t

c

у(4я;а)2 o(t-x)

3

2

e

(y0~yf \\ (zo~z)2

Aa{t~x)dyA e 4a^dz0dx.

(16)

Это уравнение дает распределение температур нами X, Y, Z и началом координат в одной из вершин в неограниченном трехмерном пространстве при параллелепипеда. При перемещении начала коор-источниках тепла, равномерно распределенных динат в центр параллелепипеда получим: внутри прямоугольного параллелепипеда со сторо-

- ‘ ! f (Л1^1 %2 ЬЫ f

0(х, у, z,t)= Р' 3|-------------------з- I е 4a{‘~x)dx0 I с 4a^dy0 I с

су ( 4тш )2 о ( t - X )2 Л/2 -7/2 -Z/2

(zo~z)2

4a{t~%)dz,dx.

(17)

Формулами (16) и (17) уже можно пользоваться при численных расчетах.

Этот результат может быть получен и другими методами, например, базирующимися на свойствах n-кратных интегралов, но мы остановились на приведенном выше, как наиболее простом и доступном. Здесь внутренние интегралы легко выражаются через встроенные во многие математические

программы (например, MathCAD) интегралы вероятности:

J е~^= d^ ,

0

что существенно сокращает время счета (более чем на 2 порядка) и делает эти формулы пригодными для аналитических преобразований:

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

7

Электротехнические комплексы и системы

х/2 '_________

I е 4а<~* ^dxо = ^na(t-т)

—Х/2

%2 _[ы4 ,_________

I е 4а(* т)dy0 -sjna^t-т)

-Y/2

%2 _(f0_ZlL ,_________

I е Аа^ ^dz0 - ^na^t- т)

-Z/2

X " *+т -erf 1 X i K>|^ 1

1 ю £ 1 н 1 2-sja(t-x)

' Г Y 1 Г Y 11

, erf ^+2 -erf y~2 .

2^a(t-x) 2^a(t-x)

' ' Z ' " z T

erf Z+ 2 -erf Z 2

2 *Ja(t-x) 2 ^a(t-x)

В дальнейшем будем применять более краткие обозначения:

Erf (x,X,a,t,x) = erf

Erf (y,Y,a,t,x) = erf

Erf (z,Z,a,t,x) = erf

x " *+t -erf 1 X

2^a(t-x) 2 ^a(t-x)

Г Y 1 Г Y 1

^+2 -erf У~2

2-s/a(t-x) 2-s/a(t-x)

" Z " ' Z "

Z+2 -erf Z 2

2^ja(t-x) 1 Ю а 1 H 1

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Подставив обозначения (21)-(23) в формулы (18)-(20) и затем в формулу (17), после сокращений и преобразований получим приращение температуры в точке (x, y, z):

t

®(x,y,z,t) = ^ J Erf (x,X,a,t,x) 1 0

Это уравнение дает распределение приращений температур в неограниченном трехмерном пространстве при источниках тепла, равномерно распределенных внутри прямоугольного параллелепипеда со сторонами X, Y, Z и началом координат в центре параллелепипеда.

Рассмотрим простой случай, когда источники тепла занимают все пространство: X = да, Y = да, Z = да. Используя основные свойства функции erf(n), такие как erf(x>) = 1 и erf(-n) = -erf(n) (см. рис. 1), для величин параметров Erf в этом случае получим:

Erf (х,оо,а,£,т) = Erf( y,co,a,t,x) =

Erf(z,oo,a,£,x) = erf(oo)-erf(-oo) = 2.

Заметим, что условие erf(n) = 1 и полученное выше соотношение выполняется при всех n > 2, см.

Erf (y,Y,a,t,x) • Erf {z,Z,a,t,x)dx. (24)

рис. 1. При этом формула (24) вырождается в

-2-10 1 2 П

Рис. 1. Функция интеграла вероятности erf(n)

8

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Electrical facilities and systems

В этом случае вся энергия, поступающая в любой микрообъем пространства, идет на увеличение теплосодержания тела, и при постоянной удельной мощности температура тела возрастает линейно во времени и от координат не зависит, как и должно быть.

Усложним предыдущую задачу. Оставим X и Z прежними, а Y устремим к некоторому малому значению Y0. Это задача одномерного распространения тепла вдоль оси y от плоского источника энергии, расположенного в плоскости у0 = 0 и не ограниченного по осям х и z. В этом случае интеграл в (19) может быть найден с помощью предельного перехода:

%2 _(Уо-у)2 ____z!— (25)

lim е 4а^с1уо=¥0е 4а^ . ( Y^Yt I и

У°^°-Г/2

Можно, конечно, располагать плоский источник тепла при у Ф 0, но на практике такие случаи не наблюдаются.

Интегралы (18) и (20) остаются без изменений, и их произведение при X = да, Z = да равно 4na(t - т). Подставляя эти результаты в формулы (18)-(20), получим

t

4a(i-x)

dx

■sit-X

(26)

0

Это уравнение описывает изменение приращения температуры при нагреве верхнего и нижнего полупространства от плоского неограниченного по осям X и Z источника нагрева с одномерным тепловым полем, изменяющимся вдоль оси у. Если рассматривать верхнее полупространство как зеркальное отражение, запирающее тепловой поток поперек поверхности с у = 0, то величина pVY0/2 будет представлять собой удельную поверхностную мощность р Вт/м2, связанную с удельной объемной мощностью рт Вт/м3, соотношением

PrTf (27)

поступающей в нижнее полупространство в одномерной задаче.

Истинная температура в любой точке у нижнего полупространства в процессе нагрева определяется по формуле

t

ny,t)=@(y,t)+TB=Zji\

Здесь Т0 - температура нижнего полупространства перед началом нагрева; pS - удельная поверхностная мощность, поступающая от индуктора или горелки в нижнее полупространство.

Эта формула одномерного теплового поля дает решение задачи нагрева длинного стержня любого поперечного сечения с торца при боковых поверхностях стержня, покрытых теплоизоляцией (см. пример 1).

Если необходимо рассмотреть эту же задачу при конечной области с источниками тепла, ограниченной размерами X, Y, Z над неограниченным полупространством, то указанный выше параллелепипед нужно считать состоящим из двух половин: нижней с размерами X, -Y/2, Z и верхней (зеркально отраженной, которая «запирает» для прохода тепловых потоков верхнюю границу нижнего полупространства и обеспечивает требуемые граничные

4„((-х)_Л +То. (28)

sJt-X

о

условия) с размерами X, Y/2, Z. Реальная активная мощность, передаваемая от индуктора в нижнее полупространство, при этом будет равна pVXYZ/2.

Данный случай уже имеет практическое значение. Это процесс нагрева массивного тела (неограниченного полупространства) сверху плоским прямоугольным высокочастотным индуктором, у которого Z - длина индуктора, X - ширина настила тока под индуктором, Y/2 - глубина проникновения тока в массивное тело, при отсутствии потерь тепла с поверхности тела в верхнее полупространство на излучение и конвекцию (например, в случае поверхности тела, покрытого теплоизоляцией). Когда глубина проникновения тока Y/2 мала, то это поверхностный нагрев с мощностью р определяемой по формуле (27), и в этом случае уравнение (28) может быть записано в виде:

dx + T0. (29)

t 2

w *\ Ps'Ta Г ~4af't-x) Ert(x,X,a,t,x)-Er{(z,Z,a,t,x)

r(w-0=w;Je -----------------------------------

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

9

Электротехнические комплексы и системы

Здесь при конечных размерах Х и Z произведение интегралов (18) и (20) в (17) уже не равно 4па (t - т), как в (26) и (28), а равно:

na(t - x)Erf(x,X,a,t,x) • Erf (z,Z,a,t,x\ что и учтено в формуле (29). Это решение задачи распределения температуры в трехмерном пространстве при поверхностном нагреве прямоугольным индуктором с размерами Х и Z и центром прямоугольника в начале координат. Этому решению с использованием формулы (29) посвящен пример 2.

* Г L

<d(x,y,z,t) = ^^m(x,X,a,t,x)- ^

0 |_£=-1

Если удельная мощность не постоянна, а меняется во времени по некоторому закону рДт), то эта

Если этот же индуктор с конечными размерами X, Y и Z нагревает не полупространство, а неограниченную по осям х и z пластину с толщиной А > Y/2, то для выполнения непроводящих тепло граничных условий необходимо ввести по методу Сирла бесконечное число зеркальных отражений вверх и вниз по оси у, отстоящих друг от друга на расстоянии 2А [4]. На практике достаточно учесть первые L отражений при L = 5...8. При этом выражение (24) приобретает вид:

Erf(j;-2sA,y,a,f,T)

Erf (z,Z,a,t,x)dx

(30)

величина должна подноситься под знак интеграла, и приращение температуры описывается уравнением:

t

© (X, у, z,t) = J*• Erf (X, X, a, t, т) 0

L

У Erf(j;-2£A,y,a,^T)

8 = -L

Erf(z,Z,a,t,x)dx. (31)

Истинная температура в любой точке (x, y, z) пластины в процессе нагрева определяется по формуле

T(x,y,z,t) = @(x,y,z,t) + T0, (32)

Здесь Т0 - температура пластины перед началом нагрева.

Ограничимся рассмотрением случаев, когда при старте все точки пластины имеют одинаковую температуру. Учет начальных условий при заданном стартовом распределении температур Т(х, y, z, 0) можно найти в работе [5].

Если источник нагрева отключается в момент tn, то при t > tn уравнение (31) дает закон процесса остывания пластины во всех ее точках.

При t > tn мощность pV(T) отсутствует, и при рассмотрении процессов остывания на этом интервале

t

T(x,y,z,t) ^ -Erf (x,X,a,t,x

0

так как последний сомножитель Erf(z, Z, a, t, т) в (31) вырождается в erf ( ао ) — erf ( —со ) = 2.

При индукционном нагреве токами высокой частоты глубина проникновения Y0/2 мала, и можно рассматривать процесс поверхностного нагрева с удельной поверхностной мощностью, Вт/м2, меняющейся во времени и связанной с удельной объемной мощностью, Вт/м3, соотношением

MT) = MT)y. (34)

времени верхний предел интегрирования должен быть заменен на t .

n

Интересен случай, когда осуществляется индукционный нагрев охватывающим индуктором труб большого диаметра с толщиной стенки А. Мысленно разрезав трубу по образующей (вдоль оси х) и распрямив ее, после устремления Z к бесконечности (таким образом вводится бесконечное число зеркальных отражений справа и слева от развернутой трубы для запирания поперечных тепловых потоков), приводим задачу к случаю нагрева пластины, рассмотренному выше, но неограниченной по оси z и с бесконечной длиной индуктора Z.

При этом из формул (31) и (32) получим (кривизной трубы можно пренебречь):

L

)• ^ Erf(у -2&A,Y,a,t,T)dT + TQ, (33)

8 = -L

Этого достаточно, чтобы при переходе от объемного распределения источников тепла к приближению с плоским расположением источников тепла не изменялось количество тепла, поступающего в нагреваемое тело. Здесь уже pS(T) - истинная меняющаяся во времени поверхностная мощность, проходящая через единицу поверхности в трубу. При этом все источники тепла располагаются в плоскости при у0 = 0.

10

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Electrical facilities and systems

При переходе от pV(T) к pS(T) необходимо осу- (25), и сделать замену, указанную ниже: ществить в (33) предельный переход, аналогичный

L

^ Erf(у -2eA,Y,a,t,x)

z=-L

L (у-2s А)2

Y° . e 4a(t-x) ylna(t-x)

(35)

После этого, используя выражение (34), получаем решение задачи о распределении теплового поля в пластине с толщиной А при нагреве плоским прямоугольным высокочастотным индуктором, у которого Z = да - длина индуктора; X - ширина настила

тока под индуктором; Y0/2 - глубина проникновения тока в пластину (она может быть меньше А при высокой рабочей частоте или равна А при низкой частоте):

T{x,y,z,t

/>ЛТ)

■Jna(t-x)

Erf(x,X,a,t,x

(у-2еА)2

4й('-т) dx + T0.

(36)

Формула справедлива при отсутствии потерь тепла с поверхности пластины.

И, наконец, если в рассматриваемой задаче поверхностная удельная мощность изменяется по ши-

рине настила тока (по х0), то pS(x0,x) нужно вставить во внутренний интеграл по х0, который также должен быть записан в общем виде, таком, как он записан в (17):

T(x,y,z,t) = Xj

L (у-2еД)2

4 ' -Х/2

(*о~*)2

4a^dx0dx + Т0 ,

(37)

например:

Ps(x0,x) = pmS

cos

sin(on) .

Здесь pmS - амплитудное значение удельной мощности pS; ю - угловая частота.

Когда же индуктор имеет сложную форму, например, область расположения элементарных

источников тепла ограничена в плоскости у0 = 0 симметричной кривой Z = ± fx0) и в общем случае, когда pS(х0, z0, т) является функцией х0, z0, т, то интегралы уже не выражаются через интегралы вероятности, и решение для неограниченной пластины записывается в общем виде:

L

1 Г f.=-L

(y-2sA)2

е к ’ Х/2 /(*,)

(*0-x)2+(z„-z)2

T(x,y,z,t) = ^~ f—----------rf f ps(x0,z0,x)e 4a{t ^ dz0dx0dx + T0.

Cyo [na(t-x)]2 -x/2-f(Xo)

(38)

Например, для круглого индуктора без отвер- Если же по центру индуктора имеется отвер-

стия с радиусом R = X/2 и центром окружности в стие с радиусом R0, то внутренние интегралы в (38) начале координат функция f(x0) имеет вид: приобретают вид:

/(*о ) = >/Д2 --*о-

К-*)2

4a(t-i)

Д*о)

1

Ps(xo>z0,x)e

(zn~z)2

4a(f-TWz0

/о(*о)

J Ps(x0,^0,x)e

“■/оС^-о )

(zo~z)2

4ait~T)dz0

dx0 .

Здесь _/J) ( xQ ) = (/ R( — Xq . Формально это соответствует введению в области отверстия источ-

ников отрицательного тепла (фиктивных стоков). Метод использования фиктивных стоков тепла

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

11

Электротехнические комплексы и системы

(тепловых черных дыр) подробно будет описан в следующих статьях.

Еще один случай, имеющий практические приложения, можно получить, рассматривая линейный источник нагрева. Этот случай наблюдается при дуговой наплавке ленточным электродом износостойкого слоя на поверхность пластины c толщиной А (например, лемеха).

Рассмотрим упрощенный случай, когда ширина ленты равна ширине пластины (ширина - по оси z). При этом для выполнения граничных условий на краях пластины (отсутствие потоков тепла через боковые торцы пластины) необходимо ввести бесконечное число зеркальных отражений вдоль оси z, и приходим к случаю бесконечно широких по оси z ленты и пластины.

Для перехода к линейному источнику нагрева устремим в (17) X к некоторому малому значению Х0 и будем рассматривать процесс нагрева с удельной линейной мощностью, Вт/м, связанной с удельной поверхностной мощностью, Вт/м2, соотношением

Мт) = ^(х)^у-. (39)

Здесь р(т) - истинная линейная мощность при линейном настиле тока. При этом линейный источник тепла располагается вдоль оси z0 при у0 = 0 и х0 = 0.

В этом случае интеграл в (18) уже не выражается через интегралы вероятности, а может быть найден с помощью предельного перехода, аналогичного (25):

х12 , у 2

С _(*.-*) ____(40)

lim е 4<t~x>>dx0=Xl0е 4<^ Х^Хо J

*0_>0 -Х/2

Для получения решения задачи нагрева пластины линейным источником тепла воспользуемся формулой (36), справедливой для пластины с Z = да. Для этого осуществим в (36) замену с учетом предельного перехода (40):

х2

Erf(jc,X,fl,f,x) —> , =е ^jna(t-x)

После этого, используя (39), получаем решение задачи нагрева пластины линейным источником тепла:

T(x,y,z,

Р,{%)

па(t- х)

е

4 a(t--i)

e=-L

(у-2вА)2

4e('"x) dx + Tq

(41)

Все более сложные случаи решаются подобным образом. Если пластина ограничена с какой-то стороны, то вводятся соответствующие зеркальные отражения источников или стоков.

Следует обратить внимание на то, что, исходя из рассмотрения общего трехмерного случая, получаем упрощенные решения для двухмерных и одномерных задач как частные решения с помощью предельных переходов.

Приведенное здесь изложение теории метода тепловых источников не ставит целью охватить все случаи применения теории, а лишь иллюстрирует возможности модернизированного метода.

Пример № 1. Приведем решение задачи нагрева длинного стержня круглого поперечного сечения с торца при боковых поверхностях стержня, покрытых теплоизоляцией, с помощью формулы (28) при средних значениях теплофизических параметров стали X = 47,14 Вт/(м • K), а = 1,05 • 105 м2/с и постоянной удельной поверхностной мощности pS = 250 кВт/м2. Начальная температура стержня Т0 = 293 K. Радиус стержня круглой формы R = 0,3 м. Активная мощность высокочастотного индуктора Р =pSnR2 = 71 кВт. Время нагрева tn = 90 мин. За время

нагрева необходимо прогреть стержень на глубине 0,2 м до температуры 950 K, при этом температура поверхности торца стержня не должна достигнуть температуры плавления (выполнение этого условия осуществляется подбором величины pS).

Подставляя эти значения параметров в уравнение (28) и полагая время t изменяющимся от 0 до tn, получаем температурные кривые при нагреве стержня, а положив верхний предел интегрирования равным tn и применяя интервал времени равным 90... 140 мин, получаем температурные кривые при остывании стержня. Полученные кривые построены на рис. 2-4 для разных глубин l прогрева стержня на различных интервалах времени его нагрева и остывания (рис. 2 иллюстрирует стыковку решений при нагреве и остывании, рис. 3 - процессы при нагреве, рис. 4 - процессы при остывании после отключения индуктора в момент времени t = tn; на рис. 4 время остывания отсчитывается от момента выключения индуктора, под стартовым распределением температуры при остывании понимается распределение температуры в конце интервала нагрева стержня).

12

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Electrical facilities and systems

T, К

Рис. 2. Распределение температуры T на различных глубинах во времени t при нагреве и остывании стержня

т, К

1800

1400

1000

600

200

0 0.0? 0 1 О 15 0 2 I м

Рис. 3. Распределение температуры T по глубине l стержня в разные моменты времени при его нагреве

Т, К

Рис. 4. Распределение температуры Tпо глубинеlстержня в разные моменты времени при его остывании

I, М

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

13

Электротехнические комплексы и системы

Пример № 2. Рассмотрим решение задачи поверхностного нагрева нижнего неограниченного полупространства (сталь) прямоугольным индуктором с площадью XZ и длиной Z, расположенного над полупространством с центром в начале координат. Решение может быть получено с помощью формулы (29).

Начальная температура Т время нагрева tn и средние значения теплофизических параметров те же, что и в примере 1. Размеры высокочастотного индуктора: ширина настила тока X = 0,1 м, длина Z = 0,5 м. Удельная поверхностная мощность постоянна и равна pS = 600 кВт/м2, активная мощность индуктора Р = pSXZ = 30 кВт.

В этом примере ограничимся построением линий уровня температуры в момент отключения индуктора после нагрева в течение 90 мин. Распределение температур рассмотрим в вертикальной плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси z. Для этого в формуле (29) положим t = tn (при этом функция (29) превращается в функцию только координат T(x,y,z)) и, используя средства программы MathCAD [3], построим графики линий уровня температуры, см. рис. 5.

Размеры сторон квадратных ячеек на графике по вертикальной и горизонтальной оси х и у - 0,1 м.

Узлы сетки следуют друг за другом с шагом 0,1 м. Температура в узлах сетки на графике линий уровня в момент отключения индуктора после 90 мин. нагрева приведена в таблице.

Рис. 5. Распределение температуры T [K] по глубине и ширине нижнего неограниченного полупространства при z = 0 в момент отключения индуктора

Температура [K] в узлах сетки на графике линий уровня (рис. 5) в момент отключения индуктора

T(0; 0; 0) = 1400 T(0,1; 0; 0) = 750 T(0,2; 0; 0) = 502

T(0; 0,1; 0) = 716 T(0,1; 0,1; 0) = 608 T(0,2; 0,1; 0) = 468

T(0; 0,2; 0) = 494 T(0,1; 0,2; 0) = 464 T(0,2; 0,2; 0) = 407

T(0; 0,3; 0) = 393 T(0,1; 0,3; 0) = 383 T(0,2; 0,3; 0) = 359

T(0; 0,4; 0) = 343 T(0,1; 0,4; 0) = 338 T(0,2; 0,4; 0) = 328

Выводы. Предложен универсальный метод суммирования радиус-векторов в методе тепловых источников, что позволило расширить области применения метода, включив в нее все задачи электротермии и высокочастотного индукционного нагрева, используемых в электротехнических комплексах и системах, сделать метод более универсальным и легким в применении. Новый метод был проверен при решении ряда задач электротермии и показал высокую точность совпадения результатов расчета с опытными данными, а также с данными расчета прикладных компьютерных программ ведущих мировых фирм, использующих метод конечных элементов.

Список литературы

1. Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке [Текст] / Н.Н. Рыкалин. - М.: Машгиз, 1951. - 297 с.

2. Фролов В.В. Теоретические основы сварки [Текст] / В.В. Фролов, В.А. Винокуров, В.Н. Волчен-ко и др. Под. ред. В.В. Фролова. - М.: Высшая школа, 1970. - 592 с.

3. Fourier J.B. Theorie analitique de la chaleur, Chez Firmin Didot, perf et fils / J.B. Fourier. - Paris, 1822. - 638 p.

4. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники: в 3 ч. Ч. 3: Теория электромагнитного поля. [Текст] / К.М. Поливанов. - М.: Энергия, 1969. - 352 с.

14

Электротехнические и информационные комплексы и системы. № 3, т. 10, 2014

Electrical facilities and systems

5. Лыков А.В. Теория теплопроводности [Текст] / А.В. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

References

1. Rykalin N.N. Raschjoty teplovyh processov pri svarke [Tekst]/ N.N. Rykalin. - M.: Mashgiz, 1951. -297 s.

2. Frolov V.V. Teoreticheskie osnovy svarki [Tekst] / V.V. Frolov, V.A. Vinokurov, V.N. Volchenko i dr. / Pod. red. V.V. Frolova. - M.: Vysshaja shkola,

1970. - 592 s.

3. Fourier J.B. Theorie analitique de la chaleur, Chez Firmin Didot, perf et fils / J.B. Fourier. - Paris, 1822. - 638 p.

4. Polivanov K.M. Teoreticheskie osnovy elektrotehniki: v 3 ch. Ch. 3: Teorija elektromagnitnogo polja. [Tekst] / K.M. Polivanov. - M.: Jenergija, 1969. -352 s.

5. Lykov A.V Teorija teploprovodnosti [Tekst] / A.V. Lykov. - M.: Vysshaja shkola, 1967. - 600 s.

Хакимьянов М.И. Hakimyanov M.I.

кандидат технических наук, доцент кафедры «Электротехника и электрооборудование предприятий» ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», Россия, г. Уфа

Гузеев Б.В.

Guzeev B. V.

кандидат технических наук, доцент кафедры «Электротехника и электрооборудование предприятий» ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», Россия, г. Уфа

Рябишина Л.А.

Ryabishina L.A.

кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Электротехника и электрооборудование предприятий» ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», Россия, г. Уфа

УДК 681.5:502:622.276

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ ДОЖИМНЫХ И КУСТОВЫХ НАСОСНЫХ СТАНЦИЙ

В статье рассматриваются вопросы потребления электроэнергии центробежными насосами дожимных и кустовых насосных станций. Центробежные насосы систем поддержания пластового давления и внутрипромысловой перекачки нефти потребляют свыше 30% всей электроэнергии, расходуемой нефтегазодобывающими предприятиями. Поэтому оптимизация их режимов работы позволит обеспечить значительную экономию электроэнергии и снизить себестоимость добываемой нефти.

Рассмотрены технологические схемы систем поддержания пластового давления и промыслового сбора нефти. В настоящее время широко используются блочные кустовые насосные станции, в которых регулирование потоков воды в нагнетательные скважины осуществляется с использованием штуцеров. Для сбора нефти используются системы с подготовкой нефти в газонасыщенном состоянии на центральном сборном пункте.

Авторы выводят формулы удельного расхода электроэнергии при перекачке жидкостей относительно объемного и массового расходов жидкости, а также относительно расстояния перекачки. Анализируются потери во всех элементах насосной установки: электродвигателе, трансформаторе и центробежном насосе. Приближенно потери в этих элементах могут быть оценены через их КПД, однако для более точного расчета необходимо иметь дополнительные параметры: полезную мощность, коэффициент загрузки и другие.

Electrical and data processing facilities and systems. № 3, v. 10, 2014

15