Применение метода текущей линеаризации нелинейных навигационных функций при синтезе комплексных радионавигационных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники.

Безопасность полетов

УДК. 621. 391. 26

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ТЕКУЩЕЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ СИНТЕЗЕ КОМПЛЕКСНЫХ РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Н.Д. ПРИГОНЮК, В.Н. ЩЁГОЛЕВ, А.В. СБИТНЕВ, К.Е. ЗАВЬЯЛОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузьминым А.Б.

В работе обсуждается алгоритм сведения нелинейной задачи фильтрации к линейной, который основан на разложении нелинейной функции в ряд Тейлора.

Введение

В большинстве радионавигационных систем (РНС), применяемых в настоящее время, навигационные параметры (дальность, псевдодальность, разность дальностей, угол азимута и т.п.) связаны с координатами самолета в той или иной системе координат нелинейными функциями. Указанное обстоятельство затрудняет применение алгоритмов фильтрации Калмана для комплексной обработки навигационной информации, т. к. они предполагают линейными как вектор состояния, так и вектор наблюдения.

Цель работы - сформировать алгоритм, основанный на приближенном сведении исходной нелинейной задачи фильтрации к линейной. Для этого в настоящее время широко используется метод текущей линеаризации, который основан на разложении нелинейных навигационных функций в ряд Тейлора с учетом только линейных его членов.

Постановка задачи

Применение этого метода рассмотрим на примере комплексного применения дальномер-ной радионавигационной системы для решения задачи определения прямоугольных координат самолета на плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Определение прямоугольных координат самолёта на плоскости

Задача при этом, как известно, сводится к определению текущих координат самолета x и у по измеренным значениям дальностей d1, d2 и заранее известным координатам радиомаяков xPM1, УРМ1 и xPM2 , УРМ2. Дальность и координаты самолета связаны между собой нелинейной зависимостью вида:

^(х^ = л/Їх-^ршЇ^+іу-УрмЇ)2;

^(х^ = л/(х — ХРМ2 )2 +(У - У PM2 )2 .

(1) (2)

Измеренные значения дальностей обозначим z1(t) и z2(t) соответственно. Предположим, что математические модели этих наблюдений представляют собой аддитивную смесь истинных значений и белого гауссовского шума с известными статистическими характеристиками, т. е.

21(0 = dl(x,У) + аіпі(^ (3)

z2 (t) = d2(x,У) + S2n2(t), (4)

где n1(t) и п2(^ взаимонезависимые стандартные гауссовские шумы с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; а1 и а2 - среднеквадратические погрешности измерения дальностей до радиомаяков.

Для записи системы уравнений (3), (4) в векторно-матричном виде введем следующие обозначения:

ха):

21(0

22(0

; К(Х,У):

X

У

; Ц») =

а

0

0

а

; N 20):

n1(t)

П2(0

(5)

.¿2(Х,У)_

С учетом (5) уравнение наблюдения будет выглядеть следующим образом:

г(1) = цк) + г ^ 2(1), (6)

где ЦК) - вектор функциональной нелинейной зависимости дальности и координат самолета; Г 2 - переходная матрица возмущения; N 2(1;) - вектор шумов наблюдения.

При записи математической модели вектора состояния воспользуемся методом перераспределения информации между векторами состояния, управления и наблюдения. Будем полагать, что априорные сведения о динамике изменения путевой скорости отсутствуют (или малодостоверны) и информация с выхода канала измерения скорости инерциальной навигационной системы отнесена к вектору управления. Математические модели погрешностей измерения скорости с помощью инерциальной навигационной системы (ИНС) известны и представляют собой экспоненциально-коррелированные случайные процессы. С учетом сделанных предположений система уравнений, описывающая динамику изменения компонент вектора состояния, имеет вид:

ёх(1;)

~ ^Х(ГЫ8) СО ЄХ(0,х(М _ Х0;

= ^У(Ш8) (t) — ЄУ (t), y(t0) = у0;

-ОЄX (0 + д/2аа2пх (t), єX (t0) = Є

(7)

dt М) dt dє х(t) dt

dЄy(t) = —ає y(t) + д/ 2аа2пуОХ є у (to) = є у0, где УХ(1М8) (^ и УУ(1М8) (t) - измеренные значения составляющих путевой скорости само-

лета на выходе ИНС; єх(1) и єу (t) - погрешности измерения составляющих скорости на выходе ИНС; а - коэффициент, характеризующий ширину спектра флуктуаций величин

ех(1:) и е У(Х); оЕ - среднеквадратическое значение этих флуктуаций; пх(1:) и пу(1:) - взаимо-независимые формирующие стандартные белые гауссовские шумы с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Система стохастических дифференциальных уравнений может быть записана в виде следующего линейного векторно-матричного уравнения:

ёХ(0

&

: РХ(1) + Си(1) + GxNх (1), Х(10) = X0,

где Х(1) =

х(1) "0 0 -1 0 ' "1 0"

У(1) 0 0 0 -1 0 1

; р = ; с =

е х(1) 0 0 -а 0 0 0

е У (1)_ 0 0 0 -а 0 0

; и(і) =

V

х(Ш8)

V

¥(¡N8)

G

X

0

0

0 0

д/їао^ 0

0 д/2ао

; N х(1) =

пх(1)

ПУ(1)

(8)

соответственно Х(1) - вектор состояния; Р - матрица состояния; С - матрица управления; и(1) - вектор управления; Gx - матрица возмущения; Nх(1) - вектор возмущения.

Решение задачи синтеза комплексных радионавигационных систем

Исходными данными для синтеза в рассматриваемом случае являются линейное стохастическое дифференциальное уравнение состояния (8) и нелинейное уравнение наблюдения (6). Для того, чтобы задача синтеза системы комплексной обработки навигационной информации в данной постановке решалась методами оптимальной линейной фильтрации Калмана, необходимо свести нелинейную зависимость (6) к линейной. Воспользуемся для достижения этой цели

^(х,у)

разложением в ряд Тейлора нелинейной функции ЦК):

¿2(Х,У)

относительно некоторой

оценки вектора Я. с учетом только линейных членов ряда. Следует отметить, что оценка эта не обязательно оптимальная и может быть получена, например, по результатам счисления текущих координат местоположения самолета. Данное разложение в нашем случае можно записать следующим образом:

ЦК) » ЦК*) + н(х* )(х - X*), (9)

где н(х* )= ^

¿х х=х* которая в нашем случае имеет вид:

производная векторной функции по вектору (матрица Якоби),

н(х* )=

ах

Х=Х

Э^(х,у) Э^(х,у) Э^1(х,у) Э^1(х,у)

Эх ^2(х,у) * х=х ЭУ Эё2(х,у) * У=У Эе х Эё2(х,у) * ех=ех Эе у Эё2(х,у) * еу =Єу

Эх * х=х ЭУ * У=У Э ГО х * ех =ех Э ГО у * еу =Єу

После взятия соответствующих частных производных получим:

н(х* )=

аь(х)

ах

х=х*

х хрм1 У Урм1

^(х ,у ) а,(х ,у )

* * х ~ ХРМ2 У ~ уРМ1

¿2(х ,У ) а2(х ,у )

0 0

0 0

(10)

22

Таким образом, в развернутом виде линеаризованное уравнение наблюдения (6) можно записать следующим образом:

Z(/) = ¿(К *) + Н (х* )х(/) - Н (х* )х* (/) + Г г N г (/), (11)

* х - ХРМ1 * У - УРМ 1 0 0 1 х( - х* 1

г, (/) & (х*, У*) + & (х*,у*) & (х*,у*) -) X

г 20) & 2(х *, у *) * х ХРМ 2 * У - Урм 1 0 0 £х (/) -е (/)

_ &2 (х *, У *) (х *, У *) £г (/) -£*(/)

"°1 0 " п1 (/)

0 О2 _ _п2 (/)_

После перемножения векторов и матриц получим следующую систему уравнений:

-О,:

.. - , * *. х х

г,(0 = а,(х ,у ) +

* * [x(t) -х*(0]+ у *УРМ [у(1) -у*(1)]+°1п1(1),

а1(х ,У ) а,(х ,у )

(12)

22(1) = ¿2(х ,У ) +

* *' + х*-хРМ2 [х(0 - х*(1)]+ ¿-^М-[У(г) - У*(о]+О2П2(1).

а2(х ,У ) а2(х ,У )

Уравнение (11) линейно относительно х и, следовательно, наряду с линейным уравнением состояния (8) описывает постановку задачи линейной фильтрации.

Уравнение для оценки вектора состояния в данном случае примет следующий вид:

ах () = Гх*(0 + си(/) + К(/)^(/) - ¿(х*) + Н(х*)х*(/) - Н(х*)х*(/)]= (13)

&

= гх*(0 + си(/) + К(/)[z(í) - ¿(х*)] где матрица оптимальных коэффициентов передачи К(1:) определяется в соответствии с выражением:

К (0 = Р(/)н(х* )Т [Gz №1(/)]-1, (14)

&Р(/)

&

= Е(0Р(0 + Р(/ )ГТ (/) - Р(/)НТ (х * )[Gz (/^ «Г Н (х* >(/) + Ох (/)Ох (/), Р(/ 0) = Ро. (15)

Конкретизируя выражение (14) применительно к рассматриваемой постановке задачи, получим следующую запись для оптимальных коэффициентов передачи фильтра:

* х - хРМ1 * х - хРМ2

" кх,1(!) к1,2(1) " Р1,1(1) Р1,2Ю Р1,з(1) Р1,4(1) * * а1(х ,у ) * * а2(х ,у )

к2д№ к2,2(1) Р2,1(1) р2,2(1) р2,з№ Р2,4(1) X * у - уРМ1 * у - уРМ1 о2 0

кз,1(1) к3,2(1) Рзд№ р3,2(1) р3,3(1) Р3,4(1) * * а1(х ,у ) * * а2(х ,У ) _ 0 о 2

к4,1(1) к4,2(1) _ Р 4,1 (^) Р4,2(1) Р4,3(1) Р4,4(1)_ 0 0

0 0

(16)

После перемножения матриц в (16) получим следующие аналитические выражения для коэффициентов передачи:

к1дЮ = -

О,

Ри(0

а,(х ,у )

+ Р1,2(1)

к1,2(^) = 2

*

х - х

Ри«—т^М2- + Р1,2(1)

¿2(х ,У )

У у РМ2

¿2(х*,У*)

к 2,1 (^) = 2 О1

* * р^^М1+Р2,2а)^М-

а1(х ,у ) а1(х ,у )

к2,2№ = 4 О2

*

х -хр

а2(х ,у ) а2(х ,у )_

кз,1 00 = Л

к4д№ = Л-

Р^О)^^ + Рз,2(^)"У УрМ1_

а,(х ,у )

а,(х ,у )_

* *

Р (1)х - хРМ1 + Р (1)у - уРМ1 р4,1(1) , ^ * *ч р4,2(1') . , * *ч

а1(х ,у ) а1(х ,у )

кз,2® =Л

РздЮх^М2 + Рз,2 0) ^^~УРМ*2Г а2(х ,У ) а2(х ,У )

* *

Р 4,1 (^) х Г хРМ*2 + Р4,2 0) У - УРМ2

а2(х ,у )

а2(х ,у )_

*

*

+

ж

1

О

2

О

2

О

О

2

Особенность этих соотношений состоит в том, что в рассматриваемом случае коэффициенты передачи зависят от оценок компонент вектора состояния, т. е. фильтр Калмана является нестационарным.

Далее конкретизируем применительно к нашему случаю уравнение для оценки компонент вектора состояния (13):

ёх (1) & ёу*(1) & ёеХ(1) & ае*у(1) &

"0 0 -1 0 " х*(1) "1 0"

0 0 0 -1 У*(1) + 0 1

0 0 -а 0 еХ(1) 0 0

0 0 0 -а е*у(1) 0 0

Х(1Ш)

V

У(1Ш)

+

+

к1,1(1) к1,2(1) к2,1(1) к2,2(1) к3,1(1) к3,2(1) к4,1(1) к4,2(1)

| еТ

2 N |

л/(х*- хрм1 )2 + (:

д/(х* - хрМ2 )2 + (

+ (у*- Урм1)2

* \2

+ 1у - уРМ2/

(18)

После перемножения векторов и матриц в (18) получим следующую систему дифференциальных уравнений для оценок компонент вектора состояния:

= ^Х(Е^) - еХ (1) + к1,1 (1)Аг* (1) + к1,2 (1)Аг2 (1) ,

У^( ) = ^(1Ш) - еУ(1) + к2,1(1)А21 (1) + к2,2(1)Аг2(1)

ёеХ+(1) = -аеХ (1) + к3,1 (1)Аг1 (1) + к3,2 (1)А22 (1) ,

ш

ёеУ (1)

&

= -аеУ (1) + к 41 (1)А7* (1) + к4,2 (1:) А2^ (1),

(19)

где Аг*(1) = 21(1) -д/( А*2(0 = 22(0 -д/р"

х

х

РМ1

)2 +(у

■уРМ1 )2

х

х

РМ2

)2 +(у

* )2

+ \У - УРМ2/ - невязки измерений.

В соответствии с (19) может быть построена структурная схема системы комплексной обработки информации, которая представлена на рис. 2.

Из рис. 2 видно, что система комплексной обработки навигационной информации представляет собой фильтр с двумя входами и четырьмя выходами. Обратная связь осуществляется

через нелинейные преобразователи, выполняющие операцию д/(х* -хРМ) + (у* - уРМ) . То есть невязка формируется по дальности, а на выходе фильтра формируются оценки прямоугольных координат самолета. Кроме этого, следует отметить, что существенное усложнение процедуры фильтрации в расширенном фильтре Калмана по сравнению с линейной обусловле-

*

*

но тем, что теперь в уравнения для оптимальных коэффициентов передачи (14) и для ковариационной матрицы ошибок оценивания (15) входит текущая оценка вектора состояния X*. Поэтому уравнения (14) и (15) нельзя проинтегрировать заранее как в случае линейной фильтрации, а необходимо решать их совместно с уравнением для оценки (13) в текущем времени. Это усложнение при технической реализации особенно существенно при больших размерностях п фильтруемого процесса X*, так как кроме п уравнений оценки (13) необходимо решать в ре-п(п +1)

альном времени

2

уравнений (15) для элементов ковариационной матрицы ошибок.

Расширенный фильтр Калмана в дискретном времени

Вывод алгоритма расширенного фильтра Калмана в дискретном времени аналогичен приведенному выше для непрерывного времени. При линеаризации уравнения наблюдения разложение в ряд Тейлора производится обычно в точке, соответствующей экстраполированной

оценке Хк+1/к = Ц (Т)Хкк + Ш(Т)и к.

Уравнение состояния в данном случае примет вид:

Хк+1 = Ц (Т)Х к + ЩТ)ик + Г X 0Ж, (20)

где Ц(Т) - фундаментальная матрица; ЩТ), Гх (Т) - переходные матрицы управления и возмущения.

В рассматриваемом случае элементы этих матриц имеют следующий вид:

Ц (T):

1 0 - — (l - e-aT) 0

a

0 1 0 -—(l

00

00

gi,i(T)

Г X (T):

0

-aT

0

0

— u - e a

0

e-aT

-aT

H](T):

T0

0T

00

00

0

0

У 2,1 (т) У 2,2(Т) 0 0

У3,1(Т) У3,2(Т) У3,3(Т) 0

у4,1(Т) у4,2 (Т) у4,3 (Т) у4,4 (Т)_

Уравнение наблюдения в дискретном времени можно записать следующим образом:

Z1( k+1) —'\j(xk+1 XPM1 ) + (Ук+1 yPM 1 ) + S1

n

Z^í Ъ+Л \ — ~\j (Xb +1 Xl

: ) + (yk+1 yPM 2 )

1( k +1)

+ S2 n2(k+1)

(21)

(22)

(23)

■'к+1 = к+1) + Г ZN г(к+1).

После разложения нелинейной функции Ь(Я к+1) относительно экстраполированной оценки вектора состояния уравнение (23) переходит в

Z к+1 =цхк+„ к) + Нк+1/к (хк+1 Хк+1/к )+ ГZNг(к+1),

(24)

* Л(Х) . (25)

dX

где Hk+1/k

п » *

X—Xk+1/k

С учетом этого разложения уравнение для оценки вектора состояния в дискретные моменты времени примет следующий вид:

* * * / * \ X k+1 — X k+1/k + K k+1 LZ k+1 - MX k+1/wJ’

(26)

где матрица оптимальных коэффициентов передачи фильтра определяемая в соответствии со следующим соотношением

Кк+1 = Рк+1/кНк+1/к [Нк+1/кРк+1/кНк+1/к + ГZГZ ] . (27)

Здесь Рк+1/к - ковариационная матрица ошибок прогнозирования, которая может быть вычислена на основе соотношения

Рк+1/к = Ц (Т)РкЦ Т (Т) + Г Х ГХ, (28)

которое решается при начальном условии Р0/0 = Р0 .

В момент времени 1к+1 ковариационная матрица ошибок фильтрации Рк+1 удовлетворяет выражению вида:

* *

Рк+1 = Рк+1 /к - Кк+1Нк+1/кРк+1/к . (29)

В развернутом виде уравнение для оценки вектора состояния в дискретные моменты времени запишем следующим образом:

e

x

k+1

Ук+1

*

X(k+1)

*

Y(k+1)

e

e

* x k+1 / k k* k1,1 k* k1,2

* y k+1/k + k* k2,1 k* k2,2

* X(k+1/k) k* k3,1 k* k3,2

* Y(k+1/k) k* k4,1 * ''fr k

X

(30)

X

z

1(k+1)

■V(x

к+1/k

x

PM1

)2 +(

PM1

x

J2 + (У

"2(к+1) 'V 1Хк+1/к ХРМ2^ + \У к+1/к уРМ2/

Вышеприведенные алгоритмы реализуются программно в соответствии с блок-схемой, представленной на рис. 3:

*

2

*

2

*

Рис. 3. Блок-схема программной реализации алгоритмов

ЛИТЕРАТУРА

1. Ярлыков М.С., Миронов М. А. Марковская теория оценивания. - М.: Радио и связь, 1993.

2. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. - М.: Радио и связь, 1985.

APPLICATION OF A METHOD CURRENT TO LINESED NONLINEAR NAVIGATING FUNCTIONS AT SYNTHESIS OF COMPLEX RADIONAVIGATING SYSTEMS

Prigonyuk N.D., Schegolev V.N., Sbitnev A.V., K.E. Zavjalov

In work the algorithm of data of a nonlinear problem of a filtration to linear which is based on decomposition of nonlinear function in numbe Teilora is discussed.

Сведения об авторах

Пригонюк Николай Дмитриевич, 1964 г.р., окончил ВВИА им. Н.Е. Жуковского (1994), кандидат технических наук, доцент кафедры ВВИА им. Н.Е. Жуковского, автор 20 научных работ, область научных интересов - статистическая теория радионавигации.

Щёголев Вячеслав Николаевич, 1977 г.р., окончил ВВИА им. Н.Е. Жуковского (2003), адъюнкт, автор 2 научных работ, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.

Сбитнев Александр Васильевич, 1978 г.р., окончил ВВИА им. Н.Е. Жуковского (2005), адъюнкт, автор 3 научных работ, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.

Завьялов Константин Евгеньевич, 1977 г.р., окончил Ставропольское высшее авиационное инженерное училище им. В.И. Судца (1999), научный сотрудник ОНИЛ 4, автор 3 научных работ, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.